初中第二十七章 相似综合与测试同步训练题

这是一份初中第二十七章 相似综合与测试同步训练题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

姓名：________ 班级：________ 分数：________
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列选项中有可能与左图相似的是（C）

2．下列各组中的四条线段是成比例线段的是( C )
A．a＝6，b＝4，c＝10，d＝5 B．a＝3，b＝7，c＝2，d＝9
C．a＝2，b＝4，c＝3，d＝6 D．a＝4，b＝11，c＝3，d＝2
3．如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现量得卡钳上A，D两个端点之间的距离为10 cm，eq \f(AO,BO)＝eq \f(DO,CO)＝eq \f(1,2)，则容器的内径是（D）
A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．20 cm
4．如图，在△ECD中，∠C＝90°，AB⊥EC于点B，AB＝1.2，EB＝1.6，BC＝12.4，则CD的长是（C）
A．14 B．12.4 C．10.5 D．9.3
5．如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若OB＝3OB′，则△A′B′C′的面积与△ABC的面积之比是（D）
A．1∶3 B．2∶3 C．1∶6 D．1∶9
6．图①②中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图②中AB，CD相交于点O，对于各图中的两个三角形而言，下列说法中正确的是（A）
A．都相似 B．都不相似 C．只有①相似 D．只有②相似
7．如图，下列条件中不能判定△ADB∽△ABC的是（D）
A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．AB2＝AD·AC D.eq \f(AD,AB)＝eq \f(AB,BC)
8．如图，在△ABC中，已知eq \f(AD,AB)＝eq \f(1,3)，E，F分别在边AC，BC上，DE∥BC，DF∥AC，则（D）
A.eq \f(DE,BC)＝eq \f(1,4) B.eq \f(DF,AC)＝eq \f(1,3) C. eq \f(S△DBF,S△ADE)＝2 D.eq \f(S△DBF,S四边形EDFC)＝1
9．如图，已知AM∶MD＝4∶1，BD∶DC＝2∶3，则AE∶EC＝（B）
A．4∶3 B．8∶5 C．6∶5 D．3∶2
10．如图，在矩形ABCD中，将△ADC绕点D逆时针旋转90°得到△FDE，B，F，E三点恰好在同一直线上，AC与BE相交于点G，连接DG.以下结论中正确的是（D）
①AC⊥BE；②△BCG∽△GAD；③点F是线段CD的黄金分割点；④CG＋eq \r(2)DG＝EG.
A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④
【解析】由△FDE是△ADC绕点D逆时针旋转90°得到的，得△FDE≌△ADC，再由矩形的性质得出∠DAC＋∠DEF＝90°从而判断①；由AC⊥BE可得∠BGC＝90°，从而判断②；由Rt△FCB∽Rt△FDE及BC＝AD＝DF，DE＝DC，得出eq \f(FC,BC)＝eq \f(DF,DE)可判断③；在线段EF上作EG′＝CG，连接DG′，通过△DCG≌△DEG′，得出△GDG′是等腰直角三角形，可以判断④.
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．已知eq \f(a,b)＝eq \f(3,4)，eq \f(a＋b,b)＝eq \f(7,4).
12．如图，l1∥l2∥l3，AC交l1，l2，l3分别于A，B，C.且AC＝6，BC＝4，DF交l1，l2，l3分别于D，E，F.则eq \f(DE,EF)＝eq \f(1,2).
第12题图
13．(嘉定区期末)如图，点D在△ABC的AB边上，当eq \f(AD,AC)＝eq \f(AC,AB)时，△ACD与△ABC相似．
14．(济南期末)如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2∶3，点A的坐标为(0，2)，则点E的坐标是(3，3)．
15．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.8 m，BD＝1 m，BE＝0.2 m，那么AC为8m.
16．如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，DE交对角线AC于F，若CE＝2BE，△ABC的面积等于15，那么△FEC的面积等于4.
17．如图，在△ABC中，D为BC上一点，BC＝eq \r(3)AB＝3BD，则AD∶AC的值为eq \f(\r(3),3).
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点E是BC边上的点，连接AE，过点E作AE的垂线交AB边于点F，则AF的最小值为eq \f(15,2).
【解析】以AF为直径画圆O，当圆O与BC相切于点E时，AF的值最小，∵BC是圆的切线，∴OE⊥BC，∴∠OEB＝∠C＝90°，∴AC∥OE，∴△BOE∽△BAC，∴eq \f(OE,AC)＝eq \f(BO,AB)，设OA＝OF＝OE＝R，在Rt△ACB中，AB＝eq \r(62＋82)＝10，∴eq \f(R,6)＝eq \f(10－R,10)，解得R＝eq \f(15,4)，∴AF的最小值为eq \f(15,2).
三、解答题(共66分)
19．(8分)如图，已知AD·AC＝AB·AE，∠DAE＝∠BAC，求证：∠DBA＝∠ECA.
证明：∵AD·AC＝AB·AE，∴eq \f(AD,AE)＝eq \f(AB,AC).∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAB＝∠EAC，∴△ADB∽△AEC，∴∠DBA＝∠ECA.
20．(10分)如图，△ABC在方格纸中．
(1)请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A的坐标为(3，4)，C的坐标为(7，3)，并求出点B的坐标；
(2)以原点O为位似中心，位似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的位似图形△A′B′C′；
(3)计算△A′B′C′的面积S.
解：(1)建立平面直角坐标系如图所示．∴点B的坐标为(3，2)．
(2)△A′B′C′如图所示．
(3)S＝eq \f(1,2)×4×8＝16.
21．(10分)如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交边BC于点E，交DC的延长线于点F，点G在AE上，连接GD，∠GDF＝∠F.
(1)求证：AD2＝DG·AF；
(2)连接BG，如果BG⊥AE，且AB＝6，AD＝9，求AF的长．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DF，AD∥BC，
∵AE平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF＝∠F，∴AD＝DF，∵∠GDF＝∠F，
∴△GDF∽△DAF，∴eq \f(DG,AD)＝eq \f(DF,AF)，∴AD2＝DG·AF.
(2)解：∵AF平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAF，
∵AD∥BC，∴∠BEA＝∠DAF，
∴∠BEA＝∠BAE，∵BG⊥AE，AB＝6，AD＝9，∴BA＝BE＝6，∵∠BEA＝∠CEF，
∴∠CEF＝∠F，∴EC＝CF＝3，DF＝AD＝9，
∴eq \f(FE,FA)＝eq \f(CE,AD)＝eq \f(1,3)，即AG＝GE＝EF，
∵AD2＝DG·AF，∴eq \f(2,3)AF2＝81，∴AF＝eq \f(9\r(6),2).
22．(12分)如图，M，N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞，工程人员为了计算工程量，必须计算M，N两点之间的直线距离．选择测量点A，B，C，点B，C分别在AM，AN上，现测得AM＝1 km，AN＝1.8 km，AB＝54 m，BC＝45 m，AC＝30 m，求M，N两点之间的直线距离．
解：连接MN，在△AMN和△ABC中，eq \f(AC,AM)＝eq \f(0.03,1)＝0.03，
eq \f(AB,AN)＝eq \f(0.054,1.8)＝0.03＝eq \f(AC,AM)，
又∠A＝∠A，∴△BAC∽△NAM.∴eq \f(BC,NM)＝eq \f(AC,AM)＝eq \f(3,100).∴eq \f(45,MN)＝eq \f(3,100)，
∴MN＝1 500.
答：M，N两点之间的直线距离是1 500 m.
23．(12分)如图，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上异于A，B的一点，连接BC并延长至点D，使CD＝BC，连接AD交⊙O于点E，连接BE.
(1)求证：△ABD是等腰三角形；
(2)连接OC并延长，与以B为切点的切线交于点F，若AB＝4，CF＝1，求DE的长．
(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BD，
又∵CD＝BC，∴AB＝AD，∴△ABD是等腰三角形．
(2)解：∵△ABD是等腰三角形，BC＝CD，∴∠BAC＝eq \f(1,2)∠BAD，AB＝AD，
又∵∠BAC＝eq \f(1,2)∠BOC，∴∠BOC＝∠BAD，∵BF是⊙O的切线，
∴∠FBO＝90°，
∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°＝∠OBF，∴△OBF∽△AEB，
∴eq \f(OB,AE)＝eq \f(OF,AB)，
∵AB＝4，CF＝1，∴OB＝2，OF＝OC＋CF＝3，∴eq \f(2,AE)＝eq \f(3,4)，∴AE＝eq \f(8,3)，
∴DE＝AD－AE＝eq \f(4,3).
24．(14分)若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形.
(1)已知△ABC是比例三角形，AB＝2，BC＝3，请直接写出所有满足条件的AC的长；
(2)如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC.求证：△ABC是比例三角形；
(3)如图②，在(2)的条件下，当∠ADC＝90°时，求eq \f(BD,AC)的值．
(1)解：∵△ABC是比例三角形，且AB＝2，BC＝3.①当AB2＝BC·AC时，得4＝3AC，解得AC＝eq \f(4,3)；②当BC2＝AB·AC时，得9＝2AC，解得AC＝eq \f(9,2)；③当AC2＝AB·BC时，得AC2＝6，解得AC＝±eq \r(6)(负值舍去)，∴AC＝eq \r(6)；∴当AC＝eq \f(4,3)或eq \f(9,2)或eq \r(6)时，△ABC是比例三角形．
(2)证明：∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠CAD.又∵∠BAC＝∠ADC，∴△ABC∽△DCA，
∴eq \f(BC,CA)＝eq \f(CA,AD)，即CA2＝BC·AD.∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD.
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD，∴CA2＝BC·AB，∴△ABC是比例三角形．
(3)解：如图②，过点A作AH⊥BD于点H.∵AB＝AD，∴BH＝eq \f(1,2)BD.
∵AD∥BC，∠ADC＝90°，
∴∠BCD＝90°，∴∠BHA＝∠BCD＝90°.又∵∠ABH＝∠DBC，∴△ABH∽△DBC，∴eq \f(AB,DB)＝eq \f(BH,BC)，
即AB·BC＝BH·DB，∴AB·BC＝eq \f(1,2)BD2.又∵AB·BC＝AC2，∴eq \f(1,2)BD2＝AC2，∴eq \f(BD,AC)＝eq \r(2).