北京市第四中学顺义分校2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题（解析版）

2020－2021北京四中顺义分校高二数学第一学期期中考试试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）（每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的把答案写在题号前）

1. 已知数列{）的通项公式为，则下列各数中不是数列中的项的是

A. 2 B. 40 C. 56 D. 90

【答案】B

【解析】

【分析】分别令选项中的数等于，解得n值不是正整数的即为答案．

【详解】由题意令可得n=2为正整数，即2是{an}项；

同理令,可得n不为正整数，即40不是{an}的项；

令，可得n=8为正整数，即56是{an}的项；

令，可得n=10是正整数，即90是{an}的项．

故选B．

【点睛】本题考查数列的通项公式的定义，注意数列通项公式中n必须是正整数．

2. 等差数列的前项和，若，则

A. 8 B. 10 C. 12 D. 14

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：假设公差为,依题意可得.所以.故选C.

考点：等差数列的性质.

3. 若，则下列不等式一定成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据不等式的性质一一判断即可.

【详解】解：对于A：因为，所以，故A正确；

对于B：因为，所以，故B错误；

对于C：因为，所以，故C错误；

对于D：因为，所以，故D错误；

故选：A

4. 等差数列中，，，这三项构成等比数列，则公比（    ）

A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 1或

【答案】C

【解析】

【分析】由等比数列的性质列方程求得与关系后可得．

【详解】设的公差为，显然，

易知时，，

时，由得，，

．所以或2．

故选：C．

5. 数列的前项和为，且，，则等于

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据已知条件得到数列是等比数列，并且得到首项和公比，根据等比数列前项和公式求得.

【详解】由可知数列为等比数列，且公比为，首项为，故.所以选D.

【点睛】本小题主要考查等比数列的定义，考查等比数列前项和公式，属于基础题.

6. 若椭圆的离心率是，则实数k的值为（    ）

A. 3或 B. 或

C. 2或 D. 或

【答案】B

【解析】

【分析】分焦点在轴和轴上两种情况求解即可.

【详解】当焦点在轴上时，由，得，则，

因为离心率是，

所以，解得，

当焦点在轴上时，由，得，则，

因为离心率是，

所以，解得，

综上，或，

故选：B

7. 已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点坐标为，则双曲线的方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由题意知，求出双曲线的渐近线方程得，即可得，利用

，即可求出、、的值，从而求出双曲线的方程.

【详解】由题意知①，

双曲线的渐近线方程得，又因为一条渐近线方程是，

所以②，又因为③，

由①②③解得：，，

所以双曲线的方程为： ，

故选：C

【点睛】本题主要考查了求双曲线的标准方程，属于中档题.

8. 若关于的不等式对于一切恒成立，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用基本不等式求出的最小值，即可求解.

【详解】令，则不等式对一切，恒成立等价于恒成立，因为，所以，当且仅当时取等，所以，即实数的取值范围是，

故选：．

9. 已知椭圆的两个焦点分别为，若椭圆上存在点使得是钝角，则椭圆离心率的取值范围是

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】当动点在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，对两个焦点的张角渐渐增大，当且仅当点位于短轴端点处时，张角达到最大值，由此可得到关于的不等式，从而可得结果.

【详解】

当动点从椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，对两个焦点的张角渐渐增大，当且仅当点位于短轴端点处时，张角达到最大值．

∵椭圆上存在点使得是钝角，∴中，，

∴ 中，，∴，

∴，∴，∴，

∵，∴．椭圆离心率的取值范围是，故选B．

【点睛】本题主要考查利用椭圆的简单性质求椭圆的离心率范围，属于中档题.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.

10. 设为坐标原点，是以为焦点的抛物线 上任意一点，是线段的中点，则直线的斜率的最大值为

A.  B. 1 C.  D. 2

【答案】B

【解析】

【详解】设，，是线段的中点，所以.

直线的斜率为：.

显然时的斜率较大，此时，当且仅当，时，斜率最大为1.

故选B.

二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

11. 在数列0，，，…，，…中，是它的第__项．

【答案】9

【解析】

【分析】根据数列的通项公式令，求即可.

【详解】令，解得，

所以是它的第项.

故答案为：9

12. 在等差数列{an}中，a2+a4=5，则a3=___________.

【答案】

【解析】

【分析】由等差数列的中项性质得到2a3=a2+a4求解.

【详解】等差数列{an}中，因为a2+a4=5，

由等差数列的中项性质，得2a3=a2+a4=5，

解得.

故答案为：.

13. 请写出一个与有相同焦点的抛物线方程：____．

【答案】或

【解析】

【分析】先求出双曲线的焦点坐标，再用待定系数法求出抛物线方程即可

【详解】解：由题意知

∴双曲线的焦点坐标为或

设抛物线方程为

则或

解得：或

∴抛物线的方程为：或

故答案为：或．

14. 若椭圆与双曲线有相同的焦点，则________

【答案】

【解析】

【分析】根据双曲线方程可得焦点在轴上, 所以椭圆的焦点也在轴上,由此可得,再根据焦距相等列方程可解得.

【详解】因为椭圆与双曲线有相同的焦点

且双曲线的焦点在轴上,所以椭圆的焦点也在轴上,

所以,且,解得,所以.

故答案为:.

【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的几何性质(焦点),解题关键是根据双曲线标准方程得到椭圆中4和的大小.属于中档题.

15. 函数的最小值是_____，此时_____.

【答案】    ① 3    ②. 2

【解析】

【分析】

由题知，又由，结合基本不等式即可求解．

【详解】∵，

∴，

由基本不等式可得，

当且仅当即时，函数取得最小值．

故答案为：①3；②2．

【点睛】关键点点睛：该题主要考查了利用基本不等式求解最值，在求解的过程中，时刻关注利用基本不等式求最值的三个条件：一正、二定、三相等，考查学生的运算求解能力．

16. 不等式对于任意实数恒成立，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【解析】

【分析】讨论与两种情况：代入即可判断，当时，结合一元二次不等式恒成立问题，即可确定的取值范围.

【详解】当时，代入可得成立，所以符合题意；

当时，由一元二次不等式恒成立可知需满足，解得；

综上可知，实数的取值范围为，

故答案为：.

【点睛】本题考查了一元二次不等式恒成立问题的解法，注意二次项系数是否为0，属于基础题.

17. 已知椭圆的两个焦点，，点P在椭圆上，且，则__．

【答案】

【解析】

【分析】由给定椭圆求出半焦距，再由对称性写出坐标，结合，利用勾股定理和椭圆定义可列出方程，即可求出，进而可得答案.

【详解】由椭圆知，椭圆的长半轴长，短半轴长，则半焦距，

由椭圆对称性不妨令焦点，因点P在椭圆C上，且，

设，，则由，解得

即有，

所以的值为.

故答案为：

18. 在数列中，，，且任意连续三项的和均为11，则__；设是数列的前n项和，则使得，成立的最大整数__．

【答案】    ①. 12    ②. 29

【解析】

【分析】由题意可得数列是周期为3的数列，利用周期性即可求，分，，讨论，计算的最大值即可求解

【详解】由题意得，则，

所以数列为周期数列，且周期为，

，

又，则，

；

当时，；

当时，；

当时，；

使得成立，

由，可得的最大值为9，此时；

由，可得的最大值为8，此时；

由，可得的最大值为9，此时；

则使得成立的最大整数

故答案为：12；29

三、解答题（本大题共5小题，共70分）

19. 设是等差数列，，且，，成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）记的前n项和为，求的最小值．

【答案】（1）   

（2）-30

【解析】

【分析】（1）根据已知求出公差d，即可求得通项公式

（2）根据是关于n的二次函数，利用二次函数的性质结合n的范围求解即可

【小问1详解】

解：设的公差为d

∵，，成等比数列

即：

解得：

故数列的通项公式为

【小问2详解】

解：

∴或时，取得最小值

当或时，求得

故的最小值为-30

20. 已知数列的前n项和，其中．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用，即可求出的通项公式

（2）求出，利用等比数列求和公式即可求解.

小问1详解】

当时，

当时，．

当时，也成立

∴．

【小问2详解】

令数列，

∴数列是一个以4为首项，4为公比的等比数列．

∴数列的前n项和为

∴．

21. 已知函数．

（1）当时，求满足的的取值范围；

（2）解关于的不等式．

【答案】（1）；（2）当时，解集为；当时，解集为空集；当时，解集为．

【解析】

【分析】（1）解一元二次不等式可得；

（2）分类讨论，根据两根据的大小分类讨论．

【详解】（1）当时，，所以，即

解得.所以的解集为.

（2） 由，得 ，所以 ，

当时，解集为；当时，解集为空集；

当时，解集．

【点睛】本题考查解一元二次不等式，对含参数的不等式一般需要分类讨论，分类的层次有三个：一是最高次项系数的正负或者是0，二是对应的一元二次方程有无实数解，三是方程有实数解，方程两根的大小关系．

22. 已知抛物线C：，经过点．

（1）求抛物线C的方程及准线方程；

（2）设O为原点，直线与抛物线相交于A，B两点，求证：OA⊥OB．

【答案】（1），   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）把点代入抛物线方程即可求解；

（2）设，，联立，利用根于系数的关系，由平面向量的数量积证明，即可得证

【小问1详解】

因为点在抛物线上，

所以，解得，

故抛物线的方程为，

准线方程为；

【小问2详解】

设，

联立得

，

，

因为

所以

所以

23. 已知椭圆C：的右焦点为，且经过点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线l：与椭圆C交于两个不同的点M，N，若线段MN中点的横坐标为，求直线l的方程及的面积．

【答案】（1）   

（2），1

【解析】

【分析】（1）由题意可直接得出，再结合即可求解；

（2）设，，联立利用根与系数的关系，弦长公式以及点到直线距离公式，结合题意即可求解

【小问1详解】

由题意，得，

又∵

∴，

∴椭圆C的方程为；

【小问2详解】

设，

联立得

，，

即，

由题知，

解得，即（符合题意）

∴直线l的方程为

点F到直线l的距离

∴