北京市第四中学顺义分校2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题（解析版）

北京四中顺义分2021-2022学年度第一学期

高二数学期中试卷

一.选择题（本大题共13小题，每小题4分，共52分)（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案写在题号前）

1. 在空间直角坐标系中，点位于（    ）

A. 轴上 B. 轴上

C. 平面上 D. 平面上

【答案】D

【解析】

【分析】通过点的位置，即可得出答案.

【详解】在空间直角坐标系中, 点，因为坐标中，所以点位于平面上.

故选：D

2. 已知向量，且，那么（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，设，即，，，2，，分析可得、的值，进而由向量模的计算公式计算可得答案．

【详解】根据题意，向量，2，，，，，且，

则设，即，，，2，，

则有，则，，

则，，，故；

故选：A．

3. 已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(　　)

A. 1 B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】试题分析：由的坐标可得，，两向量互相垂直则，即，解得．

考点：两向量垂直坐标满足的条件．

4. 如图所示，下列四条直线中，斜率最大的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先判断直线斜率的正负，当斜率为正时，再根据倾斜程度比较斜率大小.

【详解】由图可知：斜率为负，斜率为，的斜率为正，

又的倾斜程度大于，所以的斜率最大，

故选：D.

5. 若直线与平行，则m的值为（    ）

A.  B. 或 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据两直线平行的等价条件列方程组，解方程组即可求解.

【详解】因为直线与平行，

所以，解得：，

故选：A.

6. 点（1，-1）到直线x-y+1=0的距离是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先判断点（1，-1）不在直线上，再利用点到直线的距离求解即可.

【详解】由题意得点（1，-1）不在直线上，

所以点（1，-1）到直线的距离为．

故选：D．

【点睛】本题主要考查点到直线的距离的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.

7. 圆心为，且与轴相切圆的方程是

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】圆心到y轴的距离，所以圆的半径为1，圆的方程为

故选：B.

8. 已知椭圆的一个焦点为,则的值为

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

利用，求得的值.

【详解】由于，所以.

故选：A

【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，属于基础题.

9. 圆和圆的位置关系是（    ）．

A. 内含 B. 内切 C. 外切 D. 外离

【答案】C

【解析】

【分析】利用圆心距与半径之和的关系可判断两圆的位置关系.

【详解】∵圆的标准方程为：，

表示以为圆心，半径为的圆，

∴两圆圆心距为，正好等于半径之和，

∴两圆相外切，

故选：．

【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，一般地我们依据圆心距与半径之和、半径之差的绝对值的关系来判断。

10. 如果方程表示焦点在x轴上椭圆，那么实数k的取值范围（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由椭圆的标准方程，明确的取值，根据焦点的位置，设不等式，可得答案.

【详解】由方程，则，，即，可得.

故选：B.

11. 过点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】分直线的斜率存在与否，探讨直线的斜率范围，即可求解作答.

【详解】当直线的斜率不存在时，直线：与圆相离，无公共点，

当直线的斜率存在时，设直线：，即，

由，解得，令直线的倾斜角为，则，而，因此，

直线的倾斜角取值范围是.

故选：D

12. 曲线与直线有交点，则的取值范围是（     ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先将曲线方程化简，然后画出图形，根据图象求解即可.

【详解】由，得

当时，，当时，，

画出图形如图所示，

由图可知当时，曲线与直线有交点，

所以的取值范围是，

故选：A

13. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为（   ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意画出曲线的图象，结合圆与直线的位置关系的判定进而得到答案．

【详解】由题意可得：曲线，即，表示圆的右半圆，即如图所示

当直线与圆相切时，则，解得，

结合图象可得：若直线与曲线相切时，则

故若直线与曲线有两个不同的交点，则

故选：B．

二.填空题（把答案写在横线上本大题共8小题，每小题4分，共32分）

14. 直线的斜率是________.倾斜角是_______.

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】由直线一般式方程，算出直接斜率和倾斜角.

【详解】直线，可改写为斜截式方程，∴直线斜率为，倾斜角为，

故答案为：；

15. 在y轴上的截距为2且倾斜角为45°的直线方程为________.

【答案】

【解析】

【分析】先求出直线的斜率，进而利用斜截式即可求出直线方程.

【详解】直线倾斜角为，斜率，直线方程为，

故答案为：．

16. 的顶点，，，则BC边上的中线所在的直线方程是____________．

【答案】

【解析】

分析】由中点坐标公式求出BC中点坐标，由中线过点A，利用两点式求出直线方程.

【详解】由中点坐标公式， BC中点坐标为，BC边上的中线过点A，由直线两点式方程，得，化为一般式方程为:，

故答案为：

17. 经过点且与直线垂直的直线方程为_____.

【答案】

【解析】

【分析】由题可设直线方程为，代入已知点坐标即得.

【详解】由题可设所求直线方程为，

代入点，可得，即，

所以经过点且与直线垂直的直线方程为.

故答案为：．

18. 方程表示圆，则的取值范围是__________

【答案】

【解析】

【分析】

利用圆的一般式方程，即可求出的范围．

【详解】解：方程表示圆，所以

即，，解得的取值范围是．

故答案为：．

【点睛】本题考查圆的一般式方程的应用，不等式的解法，考查计算能力，属于基础题．

19. 过点引圆的切线，则切线方程为__________．

【答案】或

【解析】

【详解】圆心坐标，半径，∵直线与圆相切，∴圆心到直线距离，若直线无斜率，其方程为符合题意，若直线存在斜率，设其方程为，即，，解得，∴切线方程为或，故答案为或.

点睛：本题主要考查了直线与圆的位置关系之相切，属于基础题；求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线.

20. 设是椭圆上的点,到该椭圆左焦点的距离为,则到右焦点的距离为__________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据椭圆的定义，求得到右焦点的距离.

【详解】依题意，而到该椭圆左焦点的距离为,则到右焦点的距离为.

故答案为：

【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，属于基础题.

21. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，笛卡尔心形线更是永恒的经典.曲线为C：（是正整数）也是其中之一，下列说法正确的是______

（1）曲线C是一条封闭曲线

（2）当时，曲线C在第一象限图象与坐标轴围成的面积是

（3）越大，曲线C在第一象限图象与坐标轴围成的面积也越大

（4）曲线C可能没有对称轴

【答案】(2)(3)

【解析】

【分析】利用图象的对称性，结合与时联想到曲线的结构可确定(1)(2)，由第一象限内可确定(3)，由对称性可确定(4).

【详解】对于(1),当时，曲线为C:是一条直线，所以(1)错误;

对于(2),当时，曲线为C: 是单位圆，

所以曲线C在第一象限图象与坐标轴围成的面积是，所以 (2)正确;

对于(3),

若点在曲线为C：上，

即，

因为,所以，

即，

所以点在曲线外，

所以越大，曲线C在第一象限图象与坐标轴围成的区域越大，面积也越大，

所以(3)正确;

对于(4),

若点在曲线为C：上，即，

则有，

即点也在曲线C：上，而与关于对称，

所以C总有对称轴，所以(4)错误.

故答案为：(2)(3).