山东省泰安市泰安第一中学2021-2022学年高一上学期期中数学试题（人教A版2019必修第一册）

这是一份山东省泰安市泰安第一中学2021-2022学年高一上学期期中数学试题（人教A版2019必修第一册），共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
山东省泰安市泰安第一中学2021-2022学年高一上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知集合A={2，3，4），集合B={2，4，5}，则如图中的阴影部分表示（    ）A．{2，4} B．{3，5} C．{5} D．{2，3，4，5}2．命题的否定为（    ）A． B．C． D．3．设，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知函数的对应关系如下表，函数的图象为如图所示的曲线，其中，，，则（    ）．123230 A．3 B．2 C．1 D．05．设，，则（    ）．A． B． C． D．6．二次函数是区间上的偶函数，若函数，则，，的大小关系为（    ）A． B．C． D．7．定义在实数上的偶函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为（    ）A． B．C． D．8．已知函数是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．二、多选题9．下列函数中，既是偶函数，又在（0，＋∞）单调递增的函数是（    ）A． B． C． D．10．下列各式比较大小，正确的是（    ）A．1.72.5＞1.73 B．C．1.70.3＞0.93.1 D．11．已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（    ）A．B．C．若不等式的解集为，则D．若不等式的解集为，且，则12．函数的图像可能是（    ）A． B．C． D．三、填空题13．计算：______．14．已知函数的单调递增区间为________．15．已知正实数x，y满足，则的最小值为___________.四、双空题16．已知函数的图象关于原点对称，则______；若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为______.        五、解答题17．在①、②、③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，求解下列问题：设集合___________，集合，（1）定义且，当时，求；（2）若，求实数的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.       18．已知函数为奇函数．（1）求的值；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．            19．已知a为实数.(1)若比较a与的大小；(2)若求关于x的不等式的解集.         20．已知函数.(1)求函数的定义域，判断并证明的奇偶性；(2)用单调性的定义证明函数在其定义域上是增函数；(3)若关于t的不等式的解集非空，求实数k的取值范围.              21．已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增．（1）求函数的解析式；（2）若，求的取值范围；（3）若实数，（，）满足，求的最小值．       22．如图，矩形是某生态农庄的一块植物栽培基地的平面图，现欲修一条笔直的小路（宽度不计）经过该矩形区域，其中都在矩形的边界上.已知，（单位：百米），小路将矩形分成面积分别为，（单位：平方百米）的两部分，其中，且点在面积为的区域内，记小路的长为百米.（1）若，求的最大值；（2）若，求的取值范围.
山东省泰安市泰安第一中学2021-2022学年高一上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知集合A={2，3，4），集合B={2，4，5}，则如图中的阴影部分表示（    ）A．{2，4} B．{3，5} C．{5} D．{2，3，4，5}【答案】C【分析】图中的阴影部分表示的是属于不属于的元素组成的集合，然后可选出答案.【详解】因为集合A={2，3，4），集合B={2，4，5}，所以图中的阴影部分表示的是属于不属于的元素组成的集合，即故选：C2．命题的否定为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据特称命题的否定是全称命题，即可判断选项.【详解】根据特称命题的否定形式，可知的否定为，.故选：B3．设，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由得，再根据充分必要条件的概念即可得答案.【详解】由得，因为，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.4．已知函数的对应关系如下表，函数的图象为如图所示的曲线，其中，，，则（    ）．123230 A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【分析】利用给定图象求出的值，再根据给定数表即可得解.【详解】观察函数的图象得：，由表格知：，所以.故选：B5．设，，则（    ）．A． B． C． D．【答案】D【分析】首先配方判断、均大于零，然后作商即可比较大小.【详解】，，则.故，当且仅当时，取等号，故选：D【点睛】本题考查了作商法比较两个式子的大小，属于基础题.6．二次函数是区间上的偶函数，若函数，则，，的大小关系为（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】先根据偶函数的性质，定义域关于原点对称，求出，再得到二次函数，再根据其对称性，单调性得到答案.【详解】由题意得解得．，．函数的图象关于直线对称，，，又函数在区间上单调递增，，．故选：C【点睛】关键点睛：利用二次函数的对称性、单调性进行判断大小即可，属于基础题7．定义在实数上的偶函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将原不等式化为或，分别求解可得不等式的解集．【详解】定义在实数上的偶函数在区间，上单调递减，且，故在区间上单调递增，且（2），则由不等式可得或，解得或，故或．故选：A8．已知函数是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】题目比较综合，先要通过的奇偶性，列出关于的方程组，用方程组的方法求出关于的解析式，，可以变形为，是单调性的定义，说明构造新函数之后，函数在单调递增，最后根据新函数在区间的单调性，可以分类讨论得到函数中参数的范围【详解】由题得：是奇函数，所以；是偶函数，所以将代入得：联立 解得：  ，等价于，即：，令，则在单增①当时，函数的对称轴为，所以在单增②当时，函数的对称轴为，若在单增，则，得： ③当时，单增，满足题意综上可得：故选：C【点睛】题目考察的知识点比较综合，涉及到：①函数奇偶性的应用②通过方程组法求解函数的解析式③构造新函数④已知函数在某一区间内的单调性，求解参数的范围需要对函数整个章节的内容都掌握比较好，才能够顺利解决 二、多选题9．下列函数中，既是偶函数，又在（0，＋∞）单调递增的函数是（    ）A． B． C． D．【答案】CD【分析】逐一分析判断各个选项的奇偶性及函数在（0，＋∞）的单调性即可得出答案.【详解】对于A，，定义域为，，所以函数为奇函数，不符题意；对于B，因为函数在（0，＋∞）单调递减，故不符题意；对于C，，，所以函数为偶函数，又当时，，在（0，＋∞）单调递增，故符合题意；对于D，，，所以函数为偶函数，又当时，，在（0，＋∞）单调递增，故符合题意.故选：CD.10．下列各式比较大小，正确的是（    ）A．1.72.5＞1.73 B．C．1.70.3＞0.93.1 D．【答案】BC【分析】A、B选项利用指数函数的单调性进行比较；C选项利用中间值1比大小；D选项利用指数函数和幂函数的单调性比较．【详解】解：对于选项A：∵函数y＝1.7x在R上单调递增，且2.5＜3，∴1.72.5＜1.73，故选项A错误，对于选项B：＝，∵函数y＝2x在R上单调递增，且，∴＝，故选项B正确，对于选项C：∵1.70.3＞1.70＝1，0＜0.93.1＜0.90＝1，∴1.70.3＞0.93.1，故选项C正确，对于选项D：∵函数y＝在R上单调递减，且，∴，又∵函数y＝在（0，+∞）上单调递增，且，∴，∴＜，故选项D错误，故选：BC．11．已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（    ）A．B．C．若不等式的解集为，则D．若不等式的解集为，且，则【答案】ABD【分析】根据集合子集的个数列方程，求得的关系式，对A，利用二次函数性质可判断；对B，利用基本不等式可判断；对CD，利用不等式的解集及韦达定理可判断.【详解】由于集合有且仅有两个子集，所以，由于，所以.A，，当时等号成立，故A正确.B，，当且仅当时等号成立，故B正确.C，不等式的解集为，，故C错误.D，不等式的解集为，即不等式的解集为，且，则，则，，故D正确，故选：ABD12．函数的图像可能是（    ）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】通过对取值，判断函数的图象，推出结果即可.【详解】由题可知，函数，若时，则，定义域为：，选项C可能；若，取时，则函数定义域为，且是奇函数；时函数可化为 选项B可能；若时，如取，，定义域为：且是奇函数，选项A可能，故不可能是选项D，故选：【点睛】本题主要考查了由函数解析式判断函数图象，属于高考高频考点，涉及函数的定义域、奇偶性，单调性，特殊值代入，等属于中档题. 三、填空题13．计算：______．【答案】8【分析】利用对数运算化简求得表达式的值.【详解】原式.故答案为：14．已知函数的单调递增区间为________．【答案】##【分析】先求函数的定义域，然后根据复合函数求单调区间的方法即可求出答案.【详解】由，得，所以或，所以函数的定义域为或.令，则，因为在内单调递减，在内单调递增,在内单调递增，所以的单调递增区间为.故答案为：.15．已知正实数x，y满足，则的最小值为___________.【答案】##【分析】由条件可得且，利用基本不等式求解即可【详解】由得，又，为正实数，所以，得，则，，当且仅当,即时取等号，所以的最小值为，故答案为： 四、双空题16．已知函数的图象关于原点对称，则______；若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为______.【答案】          【解析】根据的图象关于原点对称，得到是奇函数，然后由求解；进而画出函数的图象，由（1），分和时，求得x，再根据不等式（1）在区间，上恒成立，由或在区间，上恒成立求解.【详解】因为的图象关于原点对称，即是奇函数，由,即，解得：，故，画出函数的图象，如图示：，由（1），得时，，解得：，时，，解得：，若关于的不等式（1）在区间，上恒成立，则①或②在区间，上恒成立，由①得：，在，恒成立，则，由②得：，在，恒成立，则，综上：，，，故答案为：；.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用以及不等式恒成立问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 五、解答题17．在①、②、③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，求解下列问题：设集合___________，集合，（1）定义且，当时，求；（2）若，求实数的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）本题首先可求出集合与集合中包含的元素，然后通过的含义即可得出结果；（2）本题首先可通过得出，则，然后根据即可得出结果.【详解】选①：（1），若，则，即，解得，若，，无解，则的解集为，，，即，解得，，则.（2）因为，所以，即，，因为，所以，解得，的取值范围为.选②：（1），解得，，，即，解得，，则.（2）因为，所以，即，，因为，所以，解得，的取值范围为.选③：（1），，解得，，，即，解得，，则.（2）因为，所以，即，，因为，所以，解得，的取值范围为.18．已知函数为奇函数．（1）求的值；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设，则，由可得，然后可得答案；（2）得到函数在区间上单调递增即可建立不等式求解.【详解】（1）设，则因为函数为奇函数，所以即对，总有整理，得解得，．所以（2）由（1）知，易得，函数在区间上单调递增若在区间上单调递增，则有，所以，解得故所求实数取值范围是．19．已知a为实数.(1)若比较a与的大小；(2)若求关于x的不等式的解集.【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析 【分析】（1）利用作差法比较大小即可；（2）分和两种情况讨论，当时，令，求出方程的根，再对根进行分类讨论，即可求出不等式的解集；(1)解：因为，所以，当时，，则；当时，，则；当时，，则.(2)解：因为，不等式当时，即，解得，原不等式的解集为；当时，令，得，.当时，，原不等式的解集为；当时，，原不等式的解集为；当时，，原不等式的解集为.综上可得：当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.20．已知函数.(1)求函数的定义域，判断并证明的奇偶性；(2)用单调性的定义证明函数在其定义域上是增函数；(3)若关于t的不等式的解集非空，求实数k的取值范围.【答案】(1)定义域为R，是定义在R上的奇函数，证明见解析(2)证明见解析(3) 【分析】（1）注意到，即可求出定义域，用定义可以判断与证明其奇偶性；（2）用定义证明即可；（3）根据单调性及奇偶性解不等式后再求参数的范围.(1)∵，∴，函数的定义域为R，即，是奇函数.证明如下：∵的定义域为R，又，∴，∴是定义在R上的奇函数；(2)证明：任取，，且.则，∵，∴，∴又，，∴，即，∴函数在其定义域上是增函数；(3)因为为奇函数，且的解集非空，可得的解集非空，又因为在R上单调递增，所以的解集非空，即在R上有解，则满足，解得，所以实数k的取值范围.21．已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增．（1）求函数的解析式；（2）若，求的取值范围；（3）若实数，（，）满足，求的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）2．【分析】（1）根据幂函数的定义求得，由单调性和偶函数求得得解析式；（2）由偶函数定义变形不等式，再由单调性去掉函数符号“”，然后求解；（3）由基本不等式求得最小值．【详解】解析：（1）．，，（）即或在上单调递增，为偶函数即（2），，，∴（3）由题可知，，当且仅当，即，时等号成立．所以的最小值是2．22．如图，矩形是某生态农庄的一块植物栽培基地的平面图，现欲修一条笔直的小路（宽度不计）经过该矩形区域，其中都在矩形的边界上.已知，（单位：百米），小路将矩形分成面积分别为，（单位：平方百米）的两部分，其中，且点在面积为的区域内，记小路的长为百米.（1）若，求的最大值；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【分析】（1），故得到答案.（2）如图所示：折痕有三种情况，依次计算每种情况的取值范围，综合得到答案.【详解】（1）如图所示：折痕有如下三种情况，易知图2图3不满足，如图1：，故，当时等号成立，故，即的最大值为；（2），，故.如图1：，故，，当时，，当时，，故；如图2：，故，，，故；如图3：，故，，，故.综上所述：.【点睛】本题考查了均值不等式，意在考查学生的计算能力和应用能力.