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    海南省华中师大海南附中2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试卷(含答案)

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    海南省华中师大海南附中2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试卷(含答案)

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    这是一份海南省华中师大海南附中2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试卷(含答案),共19页。试卷主要包含了选择题,填空题等内容,欢迎下载使用。
    2022-2023学年海南省华中师大海南附中九年级第一学期第一次月考数学试卷
    一、选择题:(每小题3分,共36分)
    1.下列各式运算正确的是(  )
    A.+= B.2﹣5=﹣3 C.=5 D.+=2
    2.要使在实数范围内有意义,则x的取值范围是(  )
    A.x≤﹣ B.x> C.x≥ D.x=
    3.下列式子一定是二次根式的是(  )
    A. B. C. D.
    4.下列二次根式中能与合并的是(  )
    A. B. C. D.
    5.已知x=﹣1时,则代数式x2+2x+3的值(  )
    A.1 B.4 C.7 D.3
    6.若关于y的一元二次方程ky2﹣4y﹣3=3y+4有实数根,则k的取值范围是(  )
    A.k>﹣ B.k≥﹣ 且k≠0
    C.k≥﹣ D.k> 且k≠0
    7.已知关于x的方程(m﹣2)x|m|﹣3x﹣4=0是一元二次方程,则(  )
    A.m≠±2 B.m=﹣2 C.m=2 D.m=±2
    8.若一元二次方程x2﹣3x+1=0的两个根分别为a,b,则a2﹣3a+ab﹣2的值为(  )
    A.﹣4 B.﹣2 C.0 D.1
    9.华联超市四月份销售额为35万,预计第二季度销售总额为126万,设该超市五、六月份的销售额的平均增长率为x,则下面列出的方程中正确的是(  )
    A.35(1+x)2=126
    B.35+35(2+x)2=126
    C.35+35(1+x)+35(1+x2)=126
    D.35+35(1+x)+35(1+x)2=126
    10.设a、b、c是△ABC三边,并且关于x的方程x2﹣(a+b)x+2ab+c2=0有两个相等的实数根,判断△ABC的形状,正确的结论是(  )
    A.等腰三角形 B.直角三角形
    C.等腰直角三角形 D.正三角形
    11.若=2﹣x成立,则x的取值范围是(  )
    A.x≤2 B.x≥2 C.0≤x≤2 D.任意实数
    12.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91,设每个支干长出x个小分支,则下列方程中正确的是(  )
    A.1+x2=91 B.(1+x)2=91
    C.1+x+x2=91 D.1+(1+x)+(1+x)2=91
    二、填空题:(每小题4分,共16分)
    13.若关于x的方程x2+mx﹣2=0的一个解为x=2,则m的值为   .
    14.已知实数a、b满足+|6﹣b|=0,则的值为    .
    15.实数a,b在数轴上的位置如图所示,且|a|>|b|,则式子化简的结果为    .

    16.关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2,且x12+x22=4,则x12﹣x1x2+x22的值是   .
    三.解答题(共68分)
    17.(22分)计算:
    (1);
    (2);
    解方程:
    (3)(x﹣2)2=18;
    (4)2x2﹣6x﹣1=0;
    (5)x2﹣6x+5=0(用配方法或因式分解法);
    (6)2(x﹣3)2=x(x﹣3)(适当方法).
    18.已知关于x的一元二次方程x2﹣(m﹣2)x﹣m=0.
    (1)求证:无论m取任何的实数,方程总有两个不相等的实数根;
    (2)如果方程的两实根为x1、x2,且:x12+x22﹣2x1x2=13,求m的值.
    19.如图,在宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分),余下的部分种上草坪.要使草坪的面积为540m2,求道路的宽.
    (部分参考数据:322=1024,522=2704,482=2304)

    20.某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克.经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克.
    (1)现该商场要保证每天盈利6000元,同时又要顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元?
    (2)若该商场单纯从经济角度看,每千克这种水果涨价多少元,能使商场获利最多?
    21.阅读下列材料,解答后面的问题:
    +=﹣1;
    ++=2﹣1=1;
    +++=﹣1;⋯
    (1)写出下一个等式;
    (2)计算+⋯+的值;
    (3)请求出(+⋯+)×()的运算结果.
    22.如图,在边长为12cm的等边三角形ABC中,点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动.若P、Q分别从A、B同时出发,其中任意一点到达目的地后,两点同时停止运动,求:
    (1)经过6秒后,BP=   ,BQ=   ;
    (2)经过几秒后,△BPQ是直角三角形?
    (3)经过几秒△BPQ的面积等于10cm2?
    (4)经过几秒时△BPQ的面积达到最大?并求出这个最大值.



    参考答案
    一、选择题:(每小题3分,共36分)
    1.下列各式运算正确的是(  )
    A.+= B.2﹣5=﹣3 C.=5 D.+=2
    【分析】根据二次根式的性质,同类二次根式的定义,完全平方公式,二次根式的加减法则即可得出答案.
    解:A.和不是同类二次根式,不能合并,选项A不符合题意;
    B.2,选项B不符合题意;
    C.()2=2+2+3=5+,选项C不符合题意;
    D.,选项D符合题意;
    故选:D.
    【点评】本题主要考查二次根式的加减法,完全平方公式,同类二次根式的定义.
    2.要使在实数范围内有意义,则x的取值范围是(  )
    A.x≤﹣ B.x> C.x≥ D.x=
    【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出不等式,求出答案.
    解:在实数范围内有意义,则2x﹣5≥0,
    解得x≥.
    故选:C.
    【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件,正确掌握二次根式的定义是解题关键.
    3.下列式子一定是二次根式的是(  )
    A. B. C. D.
    【分析】直接利用二次根式的定义分别分析得出答案.
    解:A、,﹣x+2有可能小于0,故不一定是二次根式;
    B、,x有可能小于0,故不一定是二次根式;
    C、,x2+1一定大于0,故一定是二次根式,故此选项正确;
    D、,x2﹣2有可能小于0,故不一定是二次根式;
    故选:C.
    【点评】此题主要考查了二次根式的定义,正确把握定义是解题关键.
    4.下列二次根式中能与合并的是(  )
    A. B. C. D.
    【分析】根据一般地,把几个二次根式化为最简二次根式后,如果它们的被开方数相同,就把这几个二次根式叫做同类二次根式判断即可.
    解:A选项,原式=,不能与合并,故该选项不符合题意;
    B选项,原式=4,不能与合并,故该选项不符合题意;
    C选项,原式=3,能与合并,故该选项符合题意;
    D选项,原式=3,不能与合并,故该选项不符合题意;
    故选:C.
    【点评】本题考查了同类二次根式,二次根式的性质与化简,掌握一般地,把几个二次根式化为最简二次根式后,如果它们的被开方数相同,就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键.
    5.已知x=﹣1时,则代数式x2+2x+3的值(  )
    A.1 B.4 C.7 D.3
    【分析】根据完全平方公式以及二次根式的性质即可求出答案.
    解:∵x=﹣1时,
    ∴x+1=,
    ∴(x+1)2=5,
    ∴x2+2x+1=5,
    ∴x2+2x+3=7,
    故选:C.
    【点评】本题考查二次根式的的化简求值,解题的关键是熟练运用完全平方公式,本题属于基础题型.
    6.若关于y的一元二次方程ky2﹣4y﹣3=3y+4有实数根,则k的取值范围是(  )
    A.k>﹣ B.k≥﹣ 且k≠0
    C.k≥﹣ D.k> 且k≠0
    【分析】首先把方程化为一般形式ax2+bx+c=0,再根据方程有实根可得Δ=b2﹣4ac≥0,再代入a、b、c的值再解不等式即可.
    解:整理方程得:ky2﹣7y﹣7=0
    由题意知k≠0,方程有实数根.
    ∴Δ=b2﹣4ac=49+28k≥0
    ∴k≥﹣且k≠0.
    故选:B.
    【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用.切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件.
    7.已知关于x的方程(m﹣2)x|m|﹣3x﹣4=0是一元二次方程,则(  )
    A.m≠±2 B.m=﹣2 C.m=2 D.m=±2
    【分析】利用一元二次方程的定义(只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程)解答即可.
    解:∵关于x的方程(m﹣2)x|m|﹣3x﹣4=0是一元二次方程,
    ∴,
    解得m=﹣2,
    故选:B.
    【点评】此题考查了一元二次方程的定义,熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键.
    8.若一元二次方程x2﹣3x+1=0的两个根分别为a,b,则a2﹣3a+ab﹣2的值为(  )
    A.﹣4 B.﹣2 C.0 D.1
    【分析】根据根与系数的关系即可求出答案.
    解:根据根与系数的关系可知:a+b=3,ab=1,
    将x=a代入x2﹣3x+1=0可得:a2﹣3a=﹣1
    ∴原式=﹣1+1﹣2
    =﹣2
    故选:B.
    【点评】本题考查根与系数的关系,解题的关键是熟练运用根与系数的关系,本题属于基础题型.
    9.华联超市四月份销售额为35万,预计第二季度销售总额为126万,设该超市五、六月份的销售额的平均增长率为x,则下面列出的方程中正确的是(  )
    A.35(1+x)2=126
    B.35+35(2+x)2=126
    C.35+35(1+x)+35(1+x2)=126
    D.35+35(1+x)+35(1+x)2=126
    【分析】直接根据题意得出5月的销售额为35(1+x),则6月的销售额为35(1+x)2,进而利用第二季度销售总额为126万,得出等式即可.
    解:由题意可得:35+35(1+x)+35(1+x)2=126.
    故选:D.
    【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程,正确表示出5,6月的销售额是解题关键.
    10.设a、b、c是△ABC三边,并且关于x的方程x2﹣(a+b)x+2ab+c2=0有两个相等的实数根,判断△ABC的形状,正确的结论是(  )
    A.等腰三角形 B.直角三角形
    C.等腰直角三角形 D.正三角形
    【分析】根据根的判别式得出Δ=[﹣(a+b)]2﹣4×(2ab+c2)=0,化简后得出a2+b2=c2,根据勾股定理的逆定理得出即可.
    解:∵设a、b、c是△ABC三边,并且关于x的方程x2﹣(a+b)x+2ab+c2=0有两个相等的实数根,
    ∴Δ=[﹣(a+b)]2﹣4×(2ab+c2)=0,
    ∴a2+b2=c2,
    ∴∠C=90°,
    即△ABC是直角三角形,
    故选:B.
    【点评】本题考查了根的判别式和勾股定理的逆定理,等腰三角形的性质等知识点,能求出a2+b2=c2是解此题的关键.
    11.若=2﹣x成立,则x的取值范围是(  )
    A.x≤2 B.x≥2 C.0≤x≤2 D.任意实数
    【分析】根据二次根式的性质,利用=|a|以及绝对值的意义进行解答即可.
    解:∵=|x﹣2|=2﹣x,
    ∴x﹣2≤0,
    ∴x≤2,
    故选:A.
    【点评】本题考查二次根式的性质与化简,掌握=|a|以及绝对值的意义是正确解答的前提.
    12.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91,设每个支干长出x个小分支,则下列方程中正确的是(  )
    A.1+x2=91 B.(1+x)2=91
    C.1+x+x2=91 D.1+(1+x)+(1+x)2=91
    【分析】根据题意,可以列出相应的方程:主干+支干+小分支=91,进而得出答案.
    解:由题意可得,
    1+x+x•x=1+x+x2=91.
    故选:C.
    【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程,解答本题的关键是明确题意,列出相应的方程.
    二、填空题:(每小题4分,共16分)
    13.若关于x的方程x2+mx﹣2=0的一个解为x=2,则m的值为 ﹣1 .
    【分析】将x=2代入已知方程即可得到一个关于系数m的新方程,通过解新方程即可求得m的值.
    解:根据题意知,x=2满足关于x的方程x2+mx﹣2=0,则4+2m﹣2=0,
    解得,m=﹣1.
    故答案是:﹣1.
    【点评】此题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义.一元二次方程的根就是一元二次方程的解,就是能够使方程左右两边相等的未知数的值.即用这个数代替未知数所得式子仍然成立.
    14.已知实数a、b满足+|6﹣b|=0,则的值为  2 .
    【分析】先根据非负数的和为0求出a、b的值,再代入化简.
    解:∵+|6﹣b|=0,
    又∵≥0,|6﹣b|≥0,
    ∴a﹣3=0,6﹣b=0.
    ∴a=3,b=6.
    ∴==2.
    故答案为:
    【点评】本题考查了二次根式的化简求值,掌握非负数的和为0时,各个非负数都等于0是解决本题的关键.
    15.实数a,b在数轴上的位置如图所示,且|a|>|b|,则式子化简的结果为  2b﹣a .

    【分析】根据题意可得:|a|>|b|,a<0<b,从而可得a+b<0,a﹣b<0,然后利用二次根式的性质,绝对值的意义,进行化简计算,即可解答.
    解:∵|a|>|b|,a<0<b,
    ∴a+b<0,a﹣b<0,

    =﹣a+(a+b)+(b﹣a)
    =﹣a+a+b+b﹣a
    =2b﹣a,
    故答案为:2b﹣a.
    【点评】本题考查了二次根式的性质与化简,实数与数轴,整式的加减,准确熟练地进行计算是解题的关键.
    16.关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2,且x12+x22=4,则x12﹣x1x2+x22的值是 4 .
    【分析】根据根与系数的关系结合x1+x2=x1•x2可得出关于k的一元二次方程,解之即可得出k的值,再根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元二次不等式,解之即可得出k的取值范围,从而可确定k的值.
    解:∵x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2,
    ∴x1+x2=2k,x1•x2=k2﹣k,
    ∵x12+x22=4,
    ∴=4,
    (2k)2﹣2(k2﹣k)=4,
    2k2+2k﹣4=0,
    k2+k﹣2=0,
    k=﹣2或1,
    ∵Δ=(﹣2k)2﹣4×1×(k2﹣k)≥0,
    k≥0,
    ∴k=1,
    ∴x1•x2=k2﹣k=0,
    ∴x12﹣x1x2+x22=4﹣0=4.
    故答案为:4.
    【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系,熟练掌握“当一元二次方程有实数根时,根的判别式△≥0”是解题的关键.
    三.解答题(共68分)
    17.(22分)计算:
    (1);
    (2);
    解方程:
    (3)(x﹣2)2=18;
    (4)2x2﹣6x﹣1=0;
    (5)x2﹣6x+5=0(用配方法或因式分解法);
    (6)2(x﹣3)2=x(x﹣3)(适当方法).
    【分析】(1)根据二次根式的加减法则计算即可;
    (2)根据二次根式的乘法分配律计算即可;
    (3)用直接开平方法解一元二次方程即可;
    (4)用公式法解一元二次方程即可;
    (5)用因式分解法解一元二次方程即可;
    (6)用因式分解法解一元二次方程即可.
    解:(1)

    =;
    (2)
    =1+9
    =10;
    (3)(x﹣2)2=18
    ∴x﹣2=,
    解得,;
    (4)2x2﹣6x﹣1=0,
    ∵a=2,b=﹣6,c=﹣1,
    ∴Δ=(﹣6)2﹣4×2×(﹣1)=44>0,
    ∴x==,
    ∴,;
    (5)x2﹣6x+5=0,
    ∴(x﹣1)(x﹣5)=0,
    ∴x﹣1=0或x﹣5=0,
    解得x1=1,x2=5;
    (6)2(x﹣3)2=x(x﹣3),
    ∴(x﹣3)(2x﹣6﹣x)=0,
    ∴x﹣3=0或x﹣6=0,
    解得x1=3,x2=6.
    【点评】本题考查了二次根式的计算,解一元二次方程,熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.
    18.已知关于x的一元二次方程x2﹣(m﹣2)x﹣m=0.
    (1)求证:无论m取任何的实数,方程总有两个不相等的实数根;
    (2)如果方程的两实根为x1、x2,且:x12+x22﹣2x1x2=13,求m的值.
    【分析】(1)只要证明Δ>0恒成立即可;
    (2)由题意可得,x1+x2=m﹣2,x1x2=﹣m,进行变形后代入即可求解.
    解:(1)证明:∵x2﹣(m﹣2)x﹣m=0,
    ∴Δ=[﹣(m﹣2)]2﹣4×1×(﹣m)=m2+4>0,
    ∴无论m为任何的实数,方程总有两个不相等的实数根;
    (2)∵x2﹣(m﹣2)x﹣m=0,方程的两实根为x1、x2,
    ∴x1+x2=m﹣2,x1x2=﹣m,
    又,
    ∴,
    ∴(m﹣2)2﹣4×(﹣m)=13,
    解得,m1=3,m2=﹣3,
    即m的值是3或﹣3.
    【点评】本题主要考查了一元二次方程根的存在条件的应用,属于基础试题.
    19.如图,在宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分),余下的部分种上草坪.要使草坪的面积为540m2,求道路的宽.
    (部分参考数据:322=1024,522=2704,482=2304)

    【分析】本题可设道路宽为x米,利用平移把不规则的图形变为规则图形,如此一来,所有草坪面积之和就变为了(32﹣x)(20﹣x)米2,进而即可列出方程,求出答案.
    【解答】解法(1):
    解:利用平移,原图可转化为右图,设道路宽为x米,
    根据题意得:(20﹣x)(32﹣x)=540
    整理得:x2﹣52x+100=0
    解得:x1=50(舍去),x2=2
    答:道路宽为2米.

    解法(2):
    解:利用平移,原图可转化为右图,设道路宽为x米,
    根据题意得:20×32﹣(20+32)x+x2=540
    整理得:x2﹣52x+100=0
    解得:x1=2,x2=50(舍去)
    答:道路宽应是2米.


    【点评】这类题目体现了数形结合的思想,需利用平移把不规则的图形变为规则图形,进而即可列出方程,求出答案.另外还要注意解的合理性,从而确定取舍.
    20.某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克.经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克.
    (1)现该商场要保证每天盈利6000元,同时又要顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元?
    (2)若该商场单纯从经济角度看,每千克这种水果涨价多少元,能使商场获利最多?
    【分析】本题的关键是根据题意列出一元二次方程,再求其最值.
    解:(1)设每千克应涨价x元,则(10+x)(500﹣20x)=6 000
    解得x=5或x=10,
    为了使顾客得到实惠,所以x=5.

    (2)设涨价z元时总利润为y,
    则y=(10+z)(500﹣20z)=﹣20z2+300z+5 000(0<z<25),
    即y=﹣20(z2﹣15z)+5000=﹣20(z2﹣15z+﹣)+5000
    =﹣20(z﹣7.5)2+6125当z=7.5时,y取得最大值,最大值为6 125.
    答:(1)要保证每天盈利6000元,同时又使顾客得到实惠,那么每千克应涨价5元;
    (2)若该商场单纯从经济角度看,每千克这种水果涨价7.5元,能使商场获利最多.
    【点评】求二次函数的最大(小)值有三种方法,第一种可由图象直接得出,第二种是配方法,第三种是公式法,常用的是后两种方法,当二次系数a的绝对值是较小的整数时,用配方法较好,如y=﹣x2﹣2x+5,y=3x2﹣6x+1等用配方法求解比较简单.
    21.阅读下列材料,解答后面的问题:
    +=﹣1;
    ++=2﹣1=1;
    +++=﹣1;⋯
    (1)写出下一个等式;
    (2)计算+⋯+的值;
    (3)请求出(+⋯+)×()的运算结果.
    【分析】(1)根据所给的等式的形式进行求解即可;
    (2)利用所给的规律进行求解即可;
    (3)利用所给的规律进行求解即可.
    解:(1)第4个等式为:++++=;
    (2)+⋯+

    =10﹣1
    =9;
    (3)(+⋯+)×()
    =[+…+﹣(+⋯+)]×()
    =(﹣1﹣9)×()
    =(﹣10)×()
    =(﹣10)×(+10)
    =2122﹣100
    =2022.
    【点评】本题主要考查二次根式的混合运算,解答的关键是对相应的运算法则的掌握.
    22.如图,在边长为12cm的等边三角形ABC中,点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动.若P、Q分别从A、B同时出发,其中任意一点到达目的地后,两点同时停止运动,求:
    (1)经过6秒后,BP= 6cm ,BQ= 12cm ;
    (2)经过几秒后,△BPQ是直角三角形?
    (3)经过几秒△BPQ的面积等于10cm2?
    (4)经过几秒时△BPQ的面积达到最大?并求出这个最大值.

    【分析】(1)根据路程=速度×时间,求出BQ,AP的值就可以得出结论;
    (2)先分别表示出BP,BQ的值,当∠BQP和∠BPQ分别为直角时,由等边三角形的性质就可以求出结论;
    (3)作QD⊥AB于D,由勾股定理可以表示出DQ,然后根据面积公式建立方程求出其解即可;
    (4)由(3)求出△BPQ面积的函数表达式,利用二次函数的性质即可求解.
    解:(1)由题意,得
    AP=6cm,BQ=12cm,
    ∵△ABC是等边三角形,
    ∴AB=BC=12cm,
    ∴BP=12﹣6=6cm.
    故答案为:6cm、12cm;

    (2)∵△ABC是等边三角形,
    ∴AB=BC=12cm,∠A=∠B=∠C=60°,
    当∠PQB=90°时,
    ∴∠BPQ=30°,
    ∴BP=2BQ.
    ∵BP=12﹣x,BQ=2x,
    ∴12﹣x=2×2x,
    解得x=,
    当∠QPB=90°时,
    ∴∠PQB=30°,
    ∴BQ=2PB,
    ∴2x=2(12﹣x),
    解得x=6.
    答:6秒或秒时,△BPQ是直角三角形;

    (3)作QD⊥AB于D,
    ∴∠QDB=90°,
    ∴∠DQB=30°,
    ∴DB=BQ=x,
    在Rt△DBQ中,由勾股定理,得
    DQ=x,
    ∴=10,
    解得x1=10,x2=2,
    ∵x=10时,2x>12,故舍去,
    ∴x=2.
    答:经过2秒△BPQ的面积等于10cm2.;

    (4)∵△BPQ的面积==﹣x2+6x,
    ∴当x==6时,△BPQ的面积最大,此时最大值为﹣×62+6×6=18.

    【点评】本题考查了一元二次方程的应用,等边三角形的性质的运用,30°角的直角三角形的性质的运用,勾股定理的运用,三角形的面积公式的运用,解答时根据三角形的面积公式建立一元二次方程求解是关键.


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