海南省华中师大海南附中2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试卷(含答案)
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这是一份海南省华中师大海南附中2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试卷(含答案),共19页。试卷主要包含了选择题,填空题等内容,欢迎下载使用。
2022-2023学年海南省华中师大海南附中九年级第一学期第一次月考数学试卷
一、选择题:(每小题3分,共36分)
1.下列各式运算正确的是( )
A.+= B.2﹣5=﹣3 C.=5 D.+=2
2.要使在实数范围内有意义,则x的取值范围是( )
A.x≤﹣ B.x> C.x≥ D.x=
3.下列式子一定是二次根式的是( )
A. B. C. D.
4.下列二次根式中能与合并的是( )
A. B. C. D.
5.已知x=﹣1时,则代数式x2+2x+3的值( )
A.1 B.4 C.7 D.3
6.若关于y的一元二次方程ky2﹣4y﹣3=3y+4有实数根,则k的取值范围是( )
A.k>﹣ B.k≥﹣ 且k≠0
C.k≥﹣ D.k> 且k≠0
7.已知关于x的方程(m﹣2)x|m|﹣3x﹣4=0是一元二次方程,则( )
A.m≠±2 B.m=﹣2 C.m=2 D.m=±2
8.若一元二次方程x2﹣3x+1=0的两个根分别为a,b,则a2﹣3a+ab﹣2的值为( )
A.﹣4 B.﹣2 C.0 D.1
9.华联超市四月份销售额为35万,预计第二季度销售总额为126万,设该超市五、六月份的销售额的平均增长率为x,则下面列出的方程中正确的是( )
A.35(1+x)2=126
B.35+35(2+x)2=126
C.35+35(1+x)+35(1+x2)=126
D.35+35(1+x)+35(1+x)2=126
10.设a、b、c是△ABC三边,并且关于x的方程x2﹣(a+b)x+2ab+c2=0有两个相等的实数根,判断△ABC的形状,正确的结论是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.正三角形
11.若=2﹣x成立,则x的取值范围是( )
A.x≤2 B.x≥2 C.0≤x≤2 D.任意实数
12.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91,设每个支干长出x个小分支,则下列方程中正确的是( )
A.1+x2=91 B.(1+x)2=91
C.1+x+x2=91 D.1+(1+x)+(1+x)2=91
二、填空题:(每小题4分,共16分)
13.若关于x的方程x2+mx﹣2=0的一个解为x=2,则m的值为 .
14.已知实数a、b满足+|6﹣b|=0,则的值为 .
15.实数a,b在数轴上的位置如图所示,且|a|>|b|,则式子化简的结果为 .
16.关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2,且x12+x22=4,则x12﹣x1x2+x22的值是 .
三.解答题(共68分)
17.(22分)计算:
(1);
(2);
解方程:
(3)(x﹣2)2=18;
(4)2x2﹣6x﹣1=0;
(5)x2﹣6x+5=0(用配方法或因式分解法);
(6)2(x﹣3)2=x(x﹣3)(适当方法).
18.已知关于x的一元二次方程x2﹣(m﹣2)x﹣m=0.
(1)求证:无论m取任何的实数,方程总有两个不相等的实数根;
(2)如果方程的两实根为x1、x2,且:x12+x22﹣2x1x2=13,求m的值.
19.如图,在宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分),余下的部分种上草坪.要使草坪的面积为540m2,求道路的宽.
(部分参考数据:322=1024,522=2704,482=2304)
20.某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克.经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克.
(1)现该商场要保证每天盈利6000元,同时又要顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元?
(2)若该商场单纯从经济角度看,每千克这种水果涨价多少元,能使商场获利最多?
21.阅读下列材料,解答后面的问题:
+=﹣1;
++=2﹣1=1;
+++=﹣1;⋯
(1)写出下一个等式;
(2)计算+⋯+的值;
(3)请求出(+⋯+)×()的运算结果.
22.如图,在边长为12cm的等边三角形ABC中,点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动.若P、Q分别从A、B同时出发,其中任意一点到达目的地后,两点同时停止运动,求:
(1)经过6秒后,BP= ,BQ= ;
(2)经过几秒后,△BPQ是直角三角形?
(3)经过几秒△BPQ的面积等于10cm2?
(4)经过几秒时△BPQ的面积达到最大?并求出这个最大值.
参考答案
一、选择题:(每小题3分,共36分)
1.下列各式运算正确的是( )
A.+= B.2﹣5=﹣3 C.=5 D.+=2
【分析】根据二次根式的性质,同类二次根式的定义,完全平方公式,二次根式的加减法则即可得出答案.
解:A.和不是同类二次根式,不能合并,选项A不符合题意;
B.2,选项B不符合题意;
C.()2=2+2+3=5+,选项C不符合题意;
D.,选项D符合题意;
故选:D.
【点评】本题主要考查二次根式的加减法,完全平方公式,同类二次根式的定义.
2.要使在实数范围内有意义,则x的取值范围是( )
A.x≤﹣ B.x> C.x≥ D.x=
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出不等式,求出答案.
解:在实数范围内有意义,则2x﹣5≥0,
解得x≥.
故选:C.
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件,正确掌握二次根式的定义是解题关键.
3.下列式子一定是二次根式的是( )
A. B. C. D.
【分析】直接利用二次根式的定义分别分析得出答案.
解:A、,﹣x+2有可能小于0,故不一定是二次根式;
B、,x有可能小于0,故不一定是二次根式;
C、,x2+1一定大于0,故一定是二次根式,故此选项正确;
D、,x2﹣2有可能小于0,故不一定是二次根式;
故选:C.
【点评】此题主要考查了二次根式的定义,正确把握定义是解题关键.
4.下列二次根式中能与合并的是( )
A. B. C. D.
【分析】根据一般地,把几个二次根式化为最简二次根式后,如果它们的被开方数相同,就把这几个二次根式叫做同类二次根式判断即可.
解:A选项,原式=,不能与合并,故该选项不符合题意;
B选项,原式=4,不能与合并,故该选项不符合题意;
C选项,原式=3,能与合并,故该选项符合题意;
D选项,原式=3,不能与合并,故该选项不符合题意;
故选:C.
【点评】本题考查了同类二次根式,二次根式的性质与化简,掌握一般地,把几个二次根式化为最简二次根式后,如果它们的被开方数相同,就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键.
5.已知x=﹣1时,则代数式x2+2x+3的值( )
A.1 B.4 C.7 D.3
【分析】根据完全平方公式以及二次根式的性质即可求出答案.
解:∵x=﹣1时,
∴x+1=,
∴(x+1)2=5,
∴x2+2x+1=5,
∴x2+2x+3=7,
故选:C.
【点评】本题考查二次根式的的化简求值,解题的关键是熟练运用完全平方公式,本题属于基础题型.
6.若关于y的一元二次方程ky2﹣4y﹣3=3y+4有实数根,则k的取值范围是( )
A.k>﹣ B.k≥﹣ 且k≠0
C.k≥﹣ D.k> 且k≠0
【分析】首先把方程化为一般形式ax2+bx+c=0,再根据方程有实根可得Δ=b2﹣4ac≥0,再代入a、b、c的值再解不等式即可.
解:整理方程得:ky2﹣7y﹣7=0
由题意知k≠0,方程有实数根.
∴Δ=b2﹣4ac=49+28k≥0
∴k≥﹣且k≠0.
故选:B.
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用.切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件.
7.已知关于x的方程(m﹣2)x|m|﹣3x﹣4=0是一元二次方程,则( )
A.m≠±2 B.m=﹣2 C.m=2 D.m=±2
【分析】利用一元二次方程的定义(只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程)解答即可.
解:∵关于x的方程(m﹣2)x|m|﹣3x﹣4=0是一元二次方程,
∴,
解得m=﹣2,
故选:B.
【点评】此题考查了一元二次方程的定义,熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键.
8.若一元二次方程x2﹣3x+1=0的两个根分别为a,b,则a2﹣3a+ab﹣2的值为( )
A.﹣4 B.﹣2 C.0 D.1
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案.
解:根据根与系数的关系可知:a+b=3,ab=1,
将x=a代入x2﹣3x+1=0可得:a2﹣3a=﹣1
∴原式=﹣1+1﹣2
=﹣2
故选:B.
【点评】本题考查根与系数的关系,解题的关键是熟练运用根与系数的关系,本题属于基础题型.
9.华联超市四月份销售额为35万,预计第二季度销售总额为126万,设该超市五、六月份的销售额的平均增长率为x,则下面列出的方程中正确的是( )
A.35(1+x)2=126
B.35+35(2+x)2=126
C.35+35(1+x)+35(1+x2)=126
D.35+35(1+x)+35(1+x)2=126
【分析】直接根据题意得出5月的销售额为35(1+x),则6月的销售额为35(1+x)2,进而利用第二季度销售总额为126万,得出等式即可.
解:由题意可得:35+35(1+x)+35(1+x)2=126.
故选:D.
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程,正确表示出5,6月的销售额是解题关键.
10.设a、b、c是△ABC三边,并且关于x的方程x2﹣(a+b)x+2ab+c2=0有两个相等的实数根,判断△ABC的形状,正确的结论是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.正三角形
【分析】根据根的判别式得出Δ=[﹣(a+b)]2﹣4×(2ab+c2)=0,化简后得出a2+b2=c2,根据勾股定理的逆定理得出即可.
解:∵设a、b、c是△ABC三边,并且关于x的方程x2﹣(a+b)x+2ab+c2=0有两个相等的实数根,
∴Δ=[﹣(a+b)]2﹣4×(2ab+c2)=0,
∴a2+b2=c2,
∴∠C=90°,
即△ABC是直角三角形,
故选:B.
【点评】本题考查了根的判别式和勾股定理的逆定理,等腰三角形的性质等知识点,能求出a2+b2=c2是解此题的关键.
11.若=2﹣x成立,则x的取值范围是( )
A.x≤2 B.x≥2 C.0≤x≤2 D.任意实数
【分析】根据二次根式的性质,利用=|a|以及绝对值的意义进行解答即可.
解:∵=|x﹣2|=2﹣x,
∴x﹣2≤0,
∴x≤2,
故选:A.
【点评】本题考查二次根式的性质与化简,掌握=|a|以及绝对值的意义是正确解答的前提.
12.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91,设每个支干长出x个小分支,则下列方程中正确的是( )
A.1+x2=91 B.(1+x)2=91
C.1+x+x2=91 D.1+(1+x)+(1+x)2=91
【分析】根据题意,可以列出相应的方程:主干+支干+小分支=91,进而得出答案.
解:由题意可得,
1+x+x•x=1+x+x2=91.
故选:C.
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程,解答本题的关键是明确题意,列出相应的方程.
二、填空题:(每小题4分,共16分)
13.若关于x的方程x2+mx﹣2=0的一个解为x=2,则m的值为 ﹣1 .
【分析】将x=2代入已知方程即可得到一个关于系数m的新方程,通过解新方程即可求得m的值.
解:根据题意知,x=2满足关于x的方程x2+mx﹣2=0,则4+2m﹣2=0,
解得,m=﹣1.
故答案是:﹣1.
【点评】此题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义.一元二次方程的根就是一元二次方程的解,就是能够使方程左右两边相等的未知数的值.即用这个数代替未知数所得式子仍然成立.
14.已知实数a、b满足+|6﹣b|=0,则的值为 2 .
【分析】先根据非负数的和为0求出a、b的值,再代入化简.
解:∵+|6﹣b|=0,
又∵≥0,|6﹣b|≥0,
∴a﹣3=0,6﹣b=0.
∴a=3,b=6.
∴==2.
故答案为:
【点评】本题考查了二次根式的化简求值,掌握非负数的和为0时,各个非负数都等于0是解决本题的关键.
15.实数a,b在数轴上的位置如图所示,且|a|>|b|,则式子化简的结果为 2b﹣a .
【分析】根据题意可得:|a|>|b|,a<0<b,从而可得a+b<0,a﹣b<0,然后利用二次根式的性质,绝对值的意义,进行化简计算,即可解答.
解:∵|a|>|b|,a<0<b,
∴a+b<0,a﹣b<0,
∴
=﹣a+(a+b)+(b﹣a)
=﹣a+a+b+b﹣a
=2b﹣a,
故答案为:2b﹣a.
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简,实数与数轴,整式的加减,准确熟练地进行计算是解题的关键.
16.关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2,且x12+x22=4,则x12﹣x1x2+x22的值是 4 .
【分析】根据根与系数的关系结合x1+x2=x1•x2可得出关于k的一元二次方程,解之即可得出k的值,再根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元二次不等式,解之即可得出k的取值范围,从而可确定k的值.
解:∵x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2,
∴x1+x2=2k,x1•x2=k2﹣k,
∵x12+x22=4,
∴=4,
(2k)2﹣2(k2﹣k)=4,
2k2+2k﹣4=0,
k2+k﹣2=0,
k=﹣2或1,
∵Δ=(﹣2k)2﹣4×1×(k2﹣k)≥0,
k≥0,
∴k=1,
∴x1•x2=k2﹣k=0,
∴x12﹣x1x2+x22=4﹣0=4.
故答案为:4.
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系,熟练掌握“当一元二次方程有实数根时,根的判别式△≥0”是解题的关键.
三.解答题(共68分)
17.(22分)计算:
(1);
(2);
解方程:
(3)(x﹣2)2=18;
(4)2x2﹣6x﹣1=0;
(5)x2﹣6x+5=0(用配方法或因式分解法);
(6)2(x﹣3)2=x(x﹣3)(适当方法).
【分析】(1)根据二次根式的加减法则计算即可;
(2)根据二次根式的乘法分配律计算即可;
(3)用直接开平方法解一元二次方程即可;
(4)用公式法解一元二次方程即可;
(5)用因式分解法解一元二次方程即可;
(6)用因式分解法解一元二次方程即可.
解:(1)
=
=;
(2)
=1+9
=10;
(3)(x﹣2)2=18
∴x﹣2=,
解得,;
(4)2x2﹣6x﹣1=0,
∵a=2,b=﹣6,c=﹣1,
∴Δ=(﹣6)2﹣4×2×(﹣1)=44>0,
∴x==,
∴,;
(5)x2﹣6x+5=0,
∴(x﹣1)(x﹣5)=0,
∴x﹣1=0或x﹣5=0,
解得x1=1,x2=5;
(6)2(x﹣3)2=x(x﹣3),
∴(x﹣3)(2x﹣6﹣x)=0,
∴x﹣3=0或x﹣6=0,
解得x1=3,x2=6.
【点评】本题考查了二次根式的计算,解一元二次方程,熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.
18.已知关于x的一元二次方程x2﹣(m﹣2)x﹣m=0.
(1)求证:无论m取任何的实数,方程总有两个不相等的实数根;
(2)如果方程的两实根为x1、x2,且:x12+x22﹣2x1x2=13,求m的值.
【分析】(1)只要证明Δ>0恒成立即可;
(2)由题意可得,x1+x2=m﹣2,x1x2=﹣m,进行变形后代入即可求解.
解:(1)证明:∵x2﹣(m﹣2)x﹣m=0,
∴Δ=[﹣(m﹣2)]2﹣4×1×(﹣m)=m2+4>0,
∴无论m为任何的实数,方程总有两个不相等的实数根;
(2)∵x2﹣(m﹣2)x﹣m=0,方程的两实根为x1、x2,
∴x1+x2=m﹣2,x1x2=﹣m,
又,
∴,
∴(m﹣2)2﹣4×(﹣m)=13,
解得,m1=3,m2=﹣3,
即m的值是3或﹣3.
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的存在条件的应用,属于基础试题.
19.如图,在宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分),余下的部分种上草坪.要使草坪的面积为540m2,求道路的宽.
(部分参考数据:322=1024,522=2704,482=2304)
【分析】本题可设道路宽为x米,利用平移把不规则的图形变为规则图形,如此一来,所有草坪面积之和就变为了(32﹣x)(20﹣x)米2,进而即可列出方程,求出答案.
【解答】解法(1):
解:利用平移,原图可转化为右图,设道路宽为x米,
根据题意得:(20﹣x)(32﹣x)=540
整理得:x2﹣52x+100=0
解得:x1=50(舍去),x2=2
答:道路宽为2米.
解法(2):
解:利用平移,原图可转化为右图,设道路宽为x米,
根据题意得:20×32﹣(20+32)x+x2=540
整理得:x2﹣52x+100=0
解得:x1=2,x2=50(舍去)
答:道路宽应是2米.
【点评】这类题目体现了数形结合的思想,需利用平移把不规则的图形变为规则图形,进而即可列出方程,求出答案.另外还要注意解的合理性,从而确定取舍.
20.某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克.经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克.
(1)现该商场要保证每天盈利6000元,同时又要顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元?
(2)若该商场单纯从经济角度看,每千克这种水果涨价多少元,能使商场获利最多?
【分析】本题的关键是根据题意列出一元二次方程,再求其最值.
解:(1)设每千克应涨价x元,则(10+x)(500﹣20x)=6 000
解得x=5或x=10,
为了使顾客得到实惠,所以x=5.
(2)设涨价z元时总利润为y,
则y=(10+z)(500﹣20z)=﹣20z2+300z+5 000(0<z<25),
即y=﹣20(z2﹣15z)+5000=﹣20(z2﹣15z+﹣)+5000
=﹣20(z﹣7.5)2+6125当z=7.5时,y取得最大值,最大值为6 125.
答:(1)要保证每天盈利6000元,同时又使顾客得到实惠,那么每千克应涨价5元;
(2)若该商场单纯从经济角度看,每千克这种水果涨价7.5元,能使商场获利最多.
【点评】求二次函数的最大(小)值有三种方法,第一种可由图象直接得出,第二种是配方法,第三种是公式法,常用的是后两种方法,当二次系数a的绝对值是较小的整数时,用配方法较好,如y=﹣x2﹣2x+5,y=3x2﹣6x+1等用配方法求解比较简单.
21.阅读下列材料,解答后面的问题:
+=﹣1;
++=2﹣1=1;
+++=﹣1;⋯
(1)写出下一个等式;
(2)计算+⋯+的值;
(3)请求出(+⋯+)×()的运算结果.
【分析】(1)根据所给的等式的形式进行求解即可;
(2)利用所给的规律进行求解即可;
(3)利用所给的规律进行求解即可.
解:(1)第4个等式为:++++=;
(2)+⋯+
=
=10﹣1
=9;
(3)(+⋯+)×()
=[+…+﹣(+⋯+)]×()
=(﹣1﹣9)×()
=(﹣10)×()
=(﹣10)×(+10)
=2122﹣100
=2022.
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算,解答的关键是对相应的运算法则的掌握.
22.如图,在边长为12cm的等边三角形ABC中,点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动.若P、Q分别从A、B同时出发,其中任意一点到达目的地后,两点同时停止运动,求:
(1)经过6秒后,BP= 6cm ,BQ= 12cm ;
(2)经过几秒后,△BPQ是直角三角形?
(3)经过几秒△BPQ的面积等于10cm2?
(4)经过几秒时△BPQ的面积达到最大?并求出这个最大值.
【分析】(1)根据路程=速度×时间,求出BQ,AP的值就可以得出结论;
(2)先分别表示出BP,BQ的值,当∠BQP和∠BPQ分别为直角时,由等边三角形的性质就可以求出结论;
(3)作QD⊥AB于D,由勾股定理可以表示出DQ,然后根据面积公式建立方程求出其解即可;
(4)由(3)求出△BPQ面积的函数表达式,利用二次函数的性质即可求解.
解:(1)由题意,得
AP=6cm,BQ=12cm,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=12cm,
∴BP=12﹣6=6cm.
故答案为:6cm、12cm;
(2)∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=12cm,∠A=∠B=∠C=60°,
当∠PQB=90°时,
∴∠BPQ=30°,
∴BP=2BQ.
∵BP=12﹣x,BQ=2x,
∴12﹣x=2×2x,
解得x=,
当∠QPB=90°时,
∴∠PQB=30°,
∴BQ=2PB,
∴2x=2(12﹣x),
解得x=6.
答:6秒或秒时,△BPQ是直角三角形;
(3)作QD⊥AB于D,
∴∠QDB=90°,
∴∠DQB=30°,
∴DB=BQ=x,
在Rt△DBQ中,由勾股定理,得
DQ=x,
∴=10,
解得x1=10,x2=2,
∵x=10时,2x>12,故舍去,
∴x=2.
答:经过2秒△BPQ的面积等于10cm2.;
(4)∵△BPQ的面积==﹣x2+6x,
∴当x==6时,△BPQ的面积最大,此时最大值为﹣×62+6×6=18.
【点评】本题考查了一元二次方程的应用,等边三角形的性质的运用,30°角的直角三角形的性质的运用,勾股定理的运用,三角形的面积公式的运用,解答时根据三角形的面积公式建立一元二次方程求解是关键.
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这是一份2022-2023学年海南省儋州市九年级(上)期末数学试卷(含解析),共17页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
这是一份海南省海口市海南中学2023--2024学年九年级上学期第一次月考数学试卷,共4页。
这是一份2022-2023学年海南省澄迈县九年级(上)期末数学试卷(含解析),共13页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。