2023邢台六校联考高二上学期期中考试数学试题PDF版含答案

高二数学试题答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．【答案】C

解：将圆的一般式方程化为标准方程得，

所以圆心为，半径为．

故选：C

2．【答案】D

解：由方程，可得，

因为方程表示焦点在轴上的椭圆，可得，解得.

所以实数的取值范围是．

故选：D

3．【答案】B

解：A：因为，所以向量是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；

B：因为为空间的一组基底，所以这三个向量不共面.若不构成一组基底，则有，所以向量是共面向量，这与这三个向量不共面矛盾，故假设不正确，因此能构成一组基底；

C：因为，所以向量是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；

D：因为，所以向量是共面向量，因此这三个向量不能构成一组基底．

故选：B

4．【答案】B

解：设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为，

则由题意可知：，，

故短半轴长为，

所以短轴长为．

故选：B

5．【答案】A

解：由题意，圆C的标准方程为，

所以圆C的圆心坐标为，半径，

又点关于轴的对称点为，

所以，

所以，所求最短距离为．

故选：A.

6．【答案】C

解：取椭圆的右焦点，连接、由椭圆的对称性以及直线经过原点，所以，且，所以四边形为平行四边形，故，又因为，则，而，因此，，由于，则，

在中结合勾股定理可得，

故，即，所以，因此．

故选：C

7．【答案】C

解：由题设，若椭圆方程为，

令直线与椭圆交点分别为，则有①，②，两式作差可得：，即，

易知，弦的中点，所以，

故，所以，又，，解得，，故的方程为．

故选：C

8．【答案】B

解：由，化简得：，故图象为圆心为，半径为1的圆的位于直线下半部分，

当直线过点时，恰有两个交点，此时，，即

直线 与圆相切时，可得，解得：（舍去）或，所以

故．

故选：B

二、 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．【答案】AC

解：当P点在椭圆左顶点时，最小，当P点在椭圆右顶点时，最大，所以A正确；

当P点在椭圆上顶点时，，所以不存在点P，使得，所以B不正确；

当AB垂直于x轴时，弦长|AB |取得最小值3 ，所有C正确；

当P点在椭圆上顶点时，的面积取得最大值为，所以D不正确.

故选：AC

10．【答案】BD

解：对A，在正方体中，

平面，

而与平面斜交，

与不垂直，故A错误；

对B，如图所示：

连接，

分别为的中点，，

又，，

在同一平面内，

点在平面内，故B正确；

对C，与平面相交，故点到平面的距离是变化的，故C不正确；

对D，当为中点，易知平面,所以平面，故D正确．

故 选 ：BC

11．【答案】AD

解：圆标准方程是，，半径为，

易得点关于直线对称的点为，故圆的方程为，A正确；

点到直线的距离为，弦长为，B错；

点到原点的距离为2，表示圆上点到原点的距离，故的最大值为，则

的最大值是，C错；

当圆上有且仅有三个点到直线的距离等于时，圆心到直线的距离，即，解得，D正确．

故选：AD．

12．【答案】BCD

解：设点为，点到的距离为，

因为动点P到点F的距离是点P到直线的距离的一半，

则，化简得，故A错误；

联立直线和椭圆方程，可得：，

故存在，直线是“最远距离直线”，B正确；

由可知，,

当点与点A纵坐标相等时，最小距离为：，C正确；

由B选项可知，直线与椭圆切，直线与直线平行，由椭圆的对称性易知与直线平行的另一条切线为 ，故直线与直线的距离即为所求，，故D正确．

故选：BCD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．【答案】10

解：因为椭圆的一个焦点坐标为，所以，解得，所以长轴长为．

故答案为：10

14．【答案】

解：由题意可知，，故在圆上，

则过点做圆的切线有一条，

设切线斜率为，则，，

故切线方程为，整理得．

故答案为：

15．【答案】

解：平面,，

已知，，则，，

，

又因为底面是平行四边形，所以底面是矩形，

以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系.

则，，，，

因为是棱的中点，所以，

所以，，

，

所以异面直线与所成角的余弦值是．

故答案为：．

16．【答案】

解：由题设，，且关于对称，

因是椭圆上的任一点，设，则满足，即

∴当时，取到最小值，此时

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【答案】(1)；（2）或

解：（1）若方程表示圆，则，解得，..............................2分

根据点在圆外，可得 ，则，..............................4分

所以．..............................5分

（2）由椭圆方程，得，

①若焦点在轴上，则，即，，

∴，

∴，即．.............................7分

②若焦点在轴上，则，即，，

∴，

∴得到，即．.............................9分

故或.............................10分

18．【答案】(1)（x﹣1）2 +（y+1）2＝2

(2)  x＝2或3x﹣4y﹣2＝0

解：(1)因为圆心C在直线上，可设圆心为C（a，﹣a）

则点C到直线的距离 ..............................1分

                       ..............................2分

据题意，d＝|OC|，则，

解得a＝1                                 ...............................4分

所以圆心为C（1，﹣1），半径r＝d，

则所求圆的方程是（x﹣1）2 +（y+1）2＝2     ...............................6分

(2)当弦长为2，圆心到直线的距离为  ..............................7分

k不存在时，x＝2符合题意；                                  .............................9分

k存在时，设直线方程为kx﹣y﹣2k +1＝0，圆心到直线的距离，∴，

∴直线方程为3x﹣4y﹣2＝0                                     ..............................11分

综上所述，直线方程为x＝2或3x﹣4y﹣2＝0．                    .............................12分

19．【答案】(1)；(2).

解：（1）因为椭圆的中心在原点，焦点在轴上，

所以设椭圆的标准方程为：，因为椭圆的离心率为，且过点，

所以，所以椭圆的标准方程为：；.............................4分

（2）由（1）可知：，

所以直线的方程为：，        ............................5分

代入椭圆方程中，得

，设，

所以，                               ............................7分

因此，   ............................9分

原点到直线距离，       ............................10分

  ............................11分

所以的面积为              ............................12分

20．【答案】(1)证明见解析；(2)

解：（1）证明：在直角梯形中，，，，

∴，，从而      ............................2分

又，                              

∴平面，                                        ............................4分    

，∴平面平面                   ............................5分

（2）取的中点O，连接，

由题设知为等腰直角三角形，

又平面平面，且平面平面，平面 .........................7分

连接，因为M，O分别为和的中点，

由（1）可知，以分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

，，

设平面的法向量为，

则，令，则.....9分

同理可求平面的法向量为.........................10分

.........................11分

易知二面角为锐角，

故二面角的余弦值为．.........................12分

21．【答案】(1)   (2)存在，定点

解：(1)由题意得，圆的圆心为，，，

则，，，四点共圆，且以为直径，.........................1分

所以该圆的圆心坐标为，故该圆的半径，

所以该圆的方程为，.........................3分

联立，两式相减得，

所以直线方程为： ........................5分

(2)假设存在定点，使得，

设，，，

因为，所以，.......................6分

整理得，

（1）.......................8分

由，为圆上任意一点，则满足（2）

因为同时满足（1）（2），可得，.......................10分

解得，.......................11分

所以存在定点，满足．......................12分

22．【答案】(1)证明见解析；（2）存在点，使得为定值.

解：（1)证明：由椭圆定义可得

由余弦定理得......................2分

，即

整理得.....................4分

则.....................5分

（2）当，，可得，....................6分

又因为焦距为2，所以，，

故椭圆的方程为....................7分

假设存在点,使得为定值, 设,设直线的方程为,

联立,得,,,...................8分

,

...................10分

要使上式为定值, 即与无关, 应有 ,解得,此时......11分

当直线与轴重合时，成立

存在点,使得为定值恒成立．...................12分