2022-2023学年新疆巴音郭楞州和静县九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年新疆巴音郭楞州和静县九年级（上）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年新疆巴音郭楞州和静县九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，共24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）   下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )A.  B.
C.  D.    一元二次方程的根是(    )A.  B.  C. 或 D. 或   抛物线的对称轴是(    )A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线   如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是(    )A.  B. 且 C.  D. 且   二次函数的图象如图，则一次函数的图象经过(    )A. 二、三、四象限
B. 一、二、四象限
C. 一、三、四象限
D. 一、二、三象限
    图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在时，拱顶拱桥洞的最高点离水面，水面宽如图建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是(    )
 A.  B.  C.  D.    已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的根，则该三角形的周长为 (    )A.  B.  C. 或 D.    已知二次函数的图象如图所示，顶点为，下列结论：；；；其中正确结论的个数是(    )
 A.  B.  C.  D.  二、填空题（本大题共6小题，共18分）   若，则______。时钟上的时针不停地旋转，从上午时到上午时，时针旋转的角度是______．抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，得到新的抛物线解析式是______ ．已知点，，都在二次函数的图象上，则、、的大小关系是______．如图，的个顶点都在的网格每个小正方形的边长均为个单位长度的格点上，将绕点顺时针旋转到的位置，且点、仍落在格点上，则线段扫过的图形面积是______平方单位结果保留．
 如图，菱形的三个顶点在二次函数的图象上，点、分别是该抛物线的顶点和抛物线与轴的交点，则点的坐标为______．
   三、解答题（本大题共8小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
用适当的方法解下列一元二次方程：
；
．本小题分
已知关于的方程
若该方程的一个根为，求的值及该方程的另一根；
求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．本小题分
如图，三个顶点的坐标分别为，，．
请画出关于轴对称的，并写出点的坐标；
请画出绕点逆时针旋转后的；
求出中点旋转到点所经过的路径长结果保留根号和．
 本小题分
如图，是由在平面内绕点旋转而得，且，，连接．
求证：≌；
试判断四边形的形状，并说明理由．
本小题分
抛物线与轴分别交于点、，与轴交于点．
求抛物线解析式；
求的面积．本小题分
用长为米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为米，面积为平方米．
求关于的函数关系式；
当为何值时，围成的养鸡场面积为平方米？
能否围成面积为平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．本小题分
某商场要经营一种新上市的文具，进价为元件．试营销阶段发现：当销售单价是元时，每天的销售量为件；销售单价每上涨元，每天的销售量就减少件．
写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润元与销售单价元之间的函数关系式；
求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；
商场的营销部结合上述情况，提出了、两种营销方案：
方案：该文具的销售单价高于进价且不超过元；
方案：每天销售量不少于件，且每件文具的利润至少为元
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．本小题分
抛物线交轴于，两点，交轴于点，对称轴为直线，已知：，．
求抛物线的解析式；
求和的面积的比；
在对称轴是否存在一个点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形．
故选：．
结合选项根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识．轴对称图形的关键是寻找对称轴，沿对称轴对折后两部分可完全重合；中心对称图形的关键是要寻找对称中心，沿着对称中心旋转后能与原图形重合．
 2.【答案】 【解析】解：方程分解因式得：，
可得或，
解得：，．
故选C
方程利用因式分解法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 3.【答案】 【解析】解：．
故选：．
根据抛物线的对称轴公式为，此题中的，，将它们代入其中即可．
本题考查了二次函数的性质，对称轴公式的应用是本题的关键．
 4.【答案】 【解析】解：由题意知，，方程有两个不相等的实数根，
所以，．
又方程是一元二次方程，，
且．
故选：．
若一元二次方程有两不等根，则根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．
总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．
注意方程若为一元二次方程，则．
 5.【答案】 【解析】解：抛物线的顶点在第四象限，
，，
，
一次函数的图象经过二、三、四象限，
故选A．
根据抛物线的顶点在第四象限，得出，，即可得出一次函数的图象经过二、三、四象限．
此题考查了二次函数的图象，用到的知识点是二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，关键是根据抛物线的顶点在第四象限，得出、的符号．
 6.【答案】 【解析】解：设此函数解析式为：，；
那么应在此函数解析式上．
则
即得，
那么．
故选：．
由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，可设此函数解析式为：，利用待定系数法求解．
根据题意得到函数解析式的表示方法是解决本题的关键，关键在于找到在此函数解析式上的点．
 7.【答案】 【解析】解：

，，
由三角形的三边关系可得：
腰长是，底边是，
所以周长是：．
故选：．
用因式分解法可以求出方程的两个根分别是和，根据等腰三角形的三边关系，腰应该是，底是，然后可以求出三角形的周长．
本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，用十字相乘法因式分解求出方程的两个根，然后根据三角形的三边关系求出三角形的周长．
 8.【答案】 【解析】解：抛物线开口向上，
，
对称轴在轴左边，
，
抛物线与轴的交点在轴的上方，
，
，
，
结论不正确；

二次函数的图象与轴只有一个交点，
，
即，
，
结论不正确；

对称轴，
，
，
，
，
，
，
结论正确；

对称轴是，而且时，，
时，，
，
．
结论正确．
综上，可得
正确结论的个数是个：．
故选：．
首先根据抛物线开口向上，可得；然后根据对称轴在轴左边，可得；最后根据抛物线与轴的交点在轴的上方，可得，据此判断出即可．
根据二次函数的图象与轴只有一个交点，可得，即，，据此解答即可．
首先根据对称轴，可得，然后根据，确定出的取值范围即可．
根据对称轴是，而且时，，可得时，，据此判断即可．
此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右．简称：左同右异常数项决定抛物线与轴交点．抛物线与轴交于．
 9.【答案】 【解析】解；，，
。
故答案为：。
先观察，找出与代数式之间的内在联系后，代入求值。
主要考查了代数式求值问题。代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，把所求的代数式变形整理出题设中的形式，利用“整体代入法”求代数式的值。
 10.【答案】 【解析】解：周角为，时针小时转一周，
每小时对应的角度为：．
时针从上午时到上午时走了三个小时，
时针旋转的角度是：．
故答案为：．
根据周角为，时钟转动时，时针小时转一周，每小时对应的角度为，从而可以推出时针从上午时到上午时旋转的角度．
本题考查旋转的相关知识，关键是明确时针转一圈是小时，转过的角度是．
 11.【答案】 【解析】解：，其顶点坐标为
向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后的顶点坐标为，得到的抛物线的解析式是．
故答案为：．
根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．
此题主要考查了一次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
 12.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：明确二次函数图象上点的坐标满足其解析式．方法一：分别计算出自变量为，和时的函数值，然后比较函数值的大小即可．方法二：根据二次函数图象上的点，满足横坐标离对称轴越远，纵坐标越大，比较横坐标与的差的绝对值的大小，即可得纵坐标的大小关系．
【解答】
解：方法一：把，，分别代入，得：
，，，
，
所以．
故答案为．
方法二：二次函数，
对称轴为，在对称轴左侧随的增大而减小，在对称轴右侧，随的增大而增大．
故二次函数图象上的点，满足横坐标离越远，纵坐标越大．
，，，
，
所以．
故答案为．  13.【答案】 【解析】解：在中，由勾股定理，得，
由图形可知，线段扫过的图形为扇形，旋转角为，
线段扫过的图形面积．
故答案为：．
在中，由勾股定理求，观察图形可知，线段扫过的图形为扇形，旋转角为，根据扇形面积公式求解．
本题考查了旋转的性质，扇形面积公式的运用．关键是理解题意，明确线段扫过的图形是的扇形．
 14.【答案】 【解析】解：的对称轴是，与轴的交点坐标是
点的坐标是
菱形的三个顶点在二次函数的图象上，
点、分别是该抛物线的顶点和抛物线与轴的交点，
点与点关于直线对称，
点的坐标为
故答案为：
本题需先求出点的坐标和抛物线的对称轴，再根据点与点关于抛物线的对称轴对称即可求出点的坐标．
本题主要考查了二次函数的综合应用，在解题时要注意二次函数的图象和性质与菱形的性质相结合．
 15.【答案】解：，
，
，
，；

，

，，
，． 【解析】先求出的值，再代入公式求出即可；
先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．
 16.【答案】解：将代入方程得，
，
解得，；
方程为，
即，
设另一根为，则，
；

，
不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【解析】本题考查了一元二次方程的解，根的判别式和根与系数的关系，要记牢公式，灵活运用．
将代入方程得到的值，再根据根与系数的关系求出另一根；
写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答．
 17.【答案】解：如图，即为所求．；

如图，即为所求；

由勾股定理可知：，
点旋转到点的路径长． 【解析】本题主要考查的是作图旋转变换及轴对称变换，以及扇形的弧长公式，掌握相关性质是解题的关键．
利用关于轴对称点的横坐标相等，纵坐标互为相反数可先找出点、、的坐标，然后画出图形即可；
利用旋转的性质可确定出点、的坐标；
利用弧长公式和勾股定理进行计算即可．
 18.【答案】证明：是由在平面内绕点旋转而得，
，，，
，
，
，
在和中，
，
≌；
四边形为菱形；
由得≌，
是由旋转而得，
≌，
，，
又，
四边形为菱形． 【解析】根据旋转的性质可得，，，然后根据垂直可得出，继而可根据证明≌；
根据以及旋转的性质可得，≌≌，继而得出四条棱相等，证得四边形为菱形．
本题考查了旋转的性质，解答本题的关键是掌握全等三角形的判定和性质以及菱形的判定，涉及知识点较多，难度较大．
 19.【答案】解：将，代入函数解析式中得，
解得：，所以；
当时，所以，．
． 【解析】将，代入函数解析式，列出和的二元一次方程组，求出和的值；
首先求出点的坐标，再求出的长，利用三角形面积公式求出答案即可．
本题主要考查了抛物线与轴的交点以及待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是列出和的二元一次方程组，此题难度不大．
 20.【答案】解：设围成的矩形一边长为米，则矩形的邻边长为：依题意得
．
则关于的函数关系式是；
由知，．
当时，，即．
解得，，
即当是或时，围成的养鸡场面积为平方米；
不能围成面积为平方米的养鸡场．
理由如下：
由知，．
当时，，即
因为，
所以该方程无解．
即不能围成面积为平方米的养鸡场． 【解析】本题考查了根据实际列二次函数的解析式和一元二次方程的应用．解题的关键是熟悉矩形的周长与面积的求法，以及一元二次方程的根的判别式．
根据矩形的面积公式进行列式；
、把的值代入中的函数关系，求得相应的值即可．
 21.【答案】解：由题意得，销售量，
则
；

．
，
函数图象开口向下，有最大值，
当时，，
故当销售单价为元时，该文具每天的利润最大；

方案利润高．理由如下：
方案中：，此时随的增大而增大，
故当时，有最大值，
此时；
方案中：，
故的取值范围为：，
，此时随的增大而减小，
当时，有最大值，
此时，
，
方案利润更高． 【解析】本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值或最小值，也就是说二次函数的最值不一定在时取得．
根据利润销售单价进价销售量，列出函数关系式即可；
根据式列出的函数关系式，运用配方法求最大值；
分别求出方案、中的取值范围，然后分别求出、方案的最大利润，然后进行比较．
 22.【答案】解：，两点关于对称，
点坐标为，
根据题意得：，
解得，，．
抛物线的解析式为．

和的面积分别为，，
而，，
：：：．

存在一个点点关于对称点坐标为，
令直线的解析式为
，
，，即的解析式为．
当时，，
点坐标为． 【解析】根据抛物线的对称轴即可得出点的坐标，然后将、、三点坐标代入抛物线中即可求得二次函数的解析式．
由于两三角形等高，那么面积比就等于底边的比，据此求解即可．
本题的关键是确定点的位置，根据轴对称图形的性质和两点间线段最短，可找出点关于抛物线对称轴的对称点，然后连接此点和，那么这条直线与抛物线对称轴的交点就是所求的点．可先求出这条直线的解析式然后联立抛物线对称轴的解析式即可求得点坐标．
本题考查了二次函数解析式的确定，图形面积的求法、函数图象交点等知识点．
解题的关键是根据所学的知识确定点的位置是解题的关键．