2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市香坊区德强学校初中部八年级（上）月考数学试卷（10月份）（五四学制）（含解析）

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市香坊区德强学校初中部八年级（上）月考数学试卷（10月份）（五四学制）

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列标志是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    已知点关于轴的对称点的坐标是，则点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

3.    等腰三角形的一个内角是，则这个三角形的底角的大小是(    )

A. 或 B. 或 C. 或 D. 或

4.    下列推理中，不能判断是等边三角形的是(    )

A.  B. ，
C. ， D. ，且

5.    若实数、满足等式，且、恰好是等腰的两条边的边长，则的周长是(    )

A.  B.  C.  D.

6.    下列说法错误的是(    )

A. 等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
B. 三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等
C. 等腰三角形的两个底角相等
D. 等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半

7.    如图，，，的周长为，的垂直平分线交于点，垂足为，则(    )

A.
B.
C.
D. 无法确定

8.    如图，在下列三角形中，若，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是(    )
    

A.  B.  C.  D.

9.    如图，、是平面直角坐标系中的两点，在轴上有一点能使与的长度之和最小，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，等边中，为边上一点，于，于，且满足，在边上，且满足，则以下四个结论：点在的平分线上；；；≌其中正确的说法有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D.

二、填空题（本大题共10小题，共30分）

11. 一个等边三角形的对称轴有______ 条．
12. 等边三角形的两条中线所夹锐角的度数为______．
13. 如图，在中，，为中点，，则的度数为______ ．

14. 如图，在中，，，平分，交于点，若，则______．

15. 如图，在中，，，是上任意一点，分别作于，于如果，那么______．
16. 如图，在中，，，的面积为，则长为______ ．

17. 我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作，若，则该等腰三角形的顶角为______度．
18. 如图，中，，于点，于点，于点，，则______．

19. 如图，在中，，，点在边上，连接若为直角三角形，则的度数是______

20. 如图，过边长为的等边的边上一点，作于点，为延长线上一点，当时，连接交于点，则的长为______．

三、解答题（本大题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21. 本小题分
    如图，在的正方形网格中，其中点、都在格点上，请按下面要求完成画图．
    
    请在图中画一个，使点在格点上，为轴对称图形，且为的对称点；画出一种情况即可
    请在图中画一个，使点在格点上，为轴对称图形，且为的对称点．画出一种情况即可
22. 本小题分
    请画出关于轴对称的其中，，分别是，，的对应点，不写画法．
    直接写出，，三点的坐标：______，______，______；
    的面积为______．

23. 本小题分
    如图，是某市环城路的一段，，，都是南北方向的街道，其与环城路的交叉路口分别是，，经测量花卉市场位于点的北偏东方向，点的北偏东方向上，，求花卉市场点到环城路之间的距离．

24. 本小题分
    如图，点、在的边上，，．
    
    求证：；
    如图，若点在的垂直平分线上，，直接写出图中所有的等腰三角形．和除外
25. 本小题分
    如图，，，，经过点，，，点，为垂足．
    
    如图，求证：；
    如图，的平分线交于点，请判断与之间的关系，并说明理由．
26. 本小题分
    如图，中，点在边上，连接，，．
    
    如图，求证：；
    如图，求证：；
    如图，在的条件下，连接，交于点，若，且，时，求的长．
27. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴于点，交轴于点，点坐标为，，．
    
    求点坐标；
    点为第四象限内一点，点从点出发沿轴正方向运动，速度为个单位秒，连接、，交轴于点，在运动过程中，始终等于，且，设运动时间为，请用含的代数式表示的面积；
    在的条件下，当，时，求此时点坐标．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B.是轴对称图形，故本选项符合题意；
C.不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
D.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：已知点关于轴的对称点的坐标是，则点的坐标是．
故选：．
根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列方程求出、，然后相加计算即可得解．
本题主要考查关于轴、轴对称点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
 

3.【答案】 

【解析】解：当的角是底角时，三角形的底角就是；
当的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是度．
故选：．
等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角是，则这个角可能是底角也可能是顶角．要分两种情况讨论．
本题考查了等腰三角形的性质；全面思考，分类讨论是正确解答本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断是等边三角形，故本选项不符合题意．
B、由“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”可以判断是等边三角形，故本选项不符合题意．
C、由“，”可以得到“”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断是等边三角形，故本选项不符合题意．
D、由“，且”只能判定是等腰三角形，故本选项符合题意．
故选：．
根据等边三角形的定义、判定定理以及三角形内角和定理进行判断．
本题主要考查了等边三角形的判定和三角形内角和定理，属于基础题．
由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
判定定理：三个角都相等的三角形是等边三角形．
判定定理：有一个角是的等腰三角形是等边三角形．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，，
解得，．
分情况讨论：
当作腰时，因为三角形中两边之和大于第三边，三边为，，不符合三边关系定理；
当作腰时，三边为，，，符合三边关系定理，周长为：．
故选：．
本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质．关键是根据非负数的性质求、的值，再根据或作为腰，分类求解．
 

6.【答案】 

【解析】解：、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合，故A错误，符合题意；
B、三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故B正确，不符合题意；
C、等腰三角形的两个底角相等，故C正确，不符合题意；
D、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半，故D正确，不符合题意，
故选：．
根据等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质解答即可．
本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关性质是解答本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：的垂直平分线，
，
的周长为，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据线段垂直平分线求出，根据周长求出，求出，即可得出答案．
本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
 

8.【答案】 

【解析】解：、中作的角平分线即可；
、过点作的垂线即可；
、中以为顶点为一边在三角形内部作一个度的角即可；
只有选项不能被一条直线分成两个小等腰三角形．
故选D．
根据等腰三角形的判定对个选项逐一分析，只有不能被一条直线分成两个小等腰三角形．
此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题的个选项中只有图有点难度，所以此题属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时最小，如图所示．

点的坐标为，
点的坐标为．
设直线的解析式为，
将，代入得，
解得，
直线的解析式为．
当时，，解得：，
当最小时，点的坐标为．
故选：．
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时最小，根据点的坐标可求出点的坐标，根据点，的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，再代入可求出与之对应的值，进而可得出使得最小的点的坐标．
本题考查了轴对称最短路线问题、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及坐标与图形性质，利用两点之间线段最短，找出点的位置是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：正确，，于，于，
点在的平分线上；．
正确，
在和中，
，
≌，
．
正确，点在的平分线上；
，
又，
，
，
．
正确，为等边三角形，
，
，
，
又于，于，
，
又，
≌．
故选：．
根据角平分线的判定定理知，点在的平分线上；根据已知，易证≌，所以；根据等腰三角形的性质可推出，所以；利用即可证明≌．
本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图：
一个等边三角形的对称轴有条，
故答案为：．
如果沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴．对称轴是一条直线，可得答案．
本题考查了轴对称的性质，如果沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴．对称轴是一条直线．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，
等边三角形，、分别是中线，
、分别是角平分线，
，
．
故答案为：
如图，等边三角形中，根据等边三角形的性质知，底边上的高与底边上的中线，顶角的平分线重合，所以，再根据三角形外角的性质即可得出结论．
本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，为中点，
是的平分线，，
，
，
．
故答案为．
由等腰三角形的三线合一性质可知，再由三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可得出结论．
本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：作于点，
平分，，，
，
在中，，
，
故答案为：．
作，根据角平分线的性质求出，根据含的直角三角形的性质计算，得到答案．
本题考查的是角平分线的性质、直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，
．
于，于，
，．
，
．
故答案为：．
根据等腰三角形的性质及内角和定理可求得两底角的度数，再根据直角三角形的性质不难求得的值．
此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理及含度角的直角三角形的性质的综合运用，解答此题的关键是注意：直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，
，
，
的面积，
解得．
故答案为：．
过点作于，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，然后利用的面积公式列式计算即可得解．
本题考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质，能根据等腰三角形性质、三角形内角和定理和已知得出是解此题的关键．根据等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和定理和已知得出，求出即可．
【解答】
解：如图，

中，，
，
等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作，若，
：：，
即，
，
故答案为：．  

18.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，利用面积公式得出等式是解题的关键．先利用证明≌，得出，又，将代入即可求出．
【解答】
解：在与中，
，
≌，
，
，
，
，
，
．
故答案为．  

19.【答案】或 

【解析】解：在中，，，
，
点在边上，为直角三角形，
如图，当时，则，
，
如图，当时，则
．
综上所述，的度数是或．
故答案为：或．
根据题意可以求得和的度数，然后根据分类讨论的数学思想：当时；当时；即可求得的度数．
本题考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用等腰三角形的性质和分类讨论的数学思想解答．
 

20.【答案】 

【解析】解：作，交的延长线于点，
则，
是等边三角形，于点，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
故答案为：．
根据题意，作出合适的辅助线，然后根据全等三角形的判定和性质可以求得的长，本题得以解决．
本题考擦全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用等三角形的判定与性质和数形结合的思想解答．
 

21.【答案】如图，即为所求；

如图，即为所求． 

【解析】根据轴对称的性质即可画出图形；
根据轴对称的性质即可画出图形．
本题主要考查了作图轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
 

22.【答案】       

【解析】解：如图所示，即为所求；

由题可得，，，；
故答案为：，，；
的面积为：．
故答案为：．
依据轴对称的性质，即可得到关于轴对称的；
依据，，的位置，即可得到其坐标；
依据割补法进行计算，即可得到的面积．
本题主要考查了轴对称图形的画法及对直角坐标系的认识，找出对应点的位置是正确作图的关键．
 

23.【答案】解：如图，过作于，
由题意得，，，
．
，
．
，
．
又，
，
，．
，
，
答：花卉市场点到环城路之间的距离为． 

【解析】根据平行线的性质，方向角的定义以及三角形外角的性质求出，再根据等角对等边，证得，然后根据直角三角形的性质即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，平行线的性质，等腰三角形的判定，解直角三角形，三角函数的定义．理解方向角的意义，把一般三角形通过作高线转化为直角三角形是解决本题的关键．
 

24.【答案】证明：如图，过点作于点，
，
，
，

，
；
解：点在的垂直平分线上，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
除与外图中所有的等腰三角形为：、、、． 

【解析】首先过点作于点，由，根据三线合一的性质，可得，又由，可得，然后由线段垂直平分线的性质，可证得；
由求出，根据等腰三角形的性质可求出，，，的度数，根据等腰三角形的判定解答即可．
此题考查了等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
 

25.【答案】证明：，，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
解：，，理由如下：

如图，连接，设交于．
，平分，
，
，，
，
，
，
∽，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
．
，， 

【解析】只要证明≌即可解决问题；
如图中，连接设交于证明∽，可得，然后可得，再根据等腰直角三角形的性质证明≌，可得，，即可解决问题．
本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是得到≌．
 

26.【答案】证明：在和中，
，
≌，
；
证明：设，，
≌，
，
，
，
，
；
解：如图，在上截取，连接，

，，
，
又，
，
，，
，
，
，
，
，
，
又，，
≌，
，
，
． 

【解析】由“”可证≌，可得；
由全等三角形的性质可得，由平角的性质可得结论；
由“”可证≌，可得，即可求解．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平角的性质，等腰三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

27.【答案】解：，，
，
；
；
如图，

作的垂直平分线，交于，交于，连接，作，交的延长线于，作轴于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
≌，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
≌，
，，
，
，
，
，
． 

【解析】可得出，进而求得点的坐标；
；
作的垂直平分线，交于，交于，连接，作，交的延长线于，作轴于，可证得，进而得出，故推出，可证得，进而证得≌，从而，进一步得出，进而得出是等腰三角形，
本题考查了直角三角形性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．