2021-2022学年湖南省长沙市长郡雨花外国语学校八年级（下）第三次月考数学试卷（含解析）

2021-2022学年湖南省长沙市长郡雨花外国语学校八年级（下）第三次月考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列方程是一元二次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    某校要选拔参加长沙市三独比赛乐器参赛人员，名参赛同学的初赛成绩各不相同，按照成绩取前名进入决赛如果小芳知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小芳需要知道这名同学成绩的(    )

A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差

3.    用配方法解方程时，配方结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.    下列关于的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是(    )

A.  B.  C.  D.

5.    已知，是一元二次方程的两个根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.    关于一次函数，下列结论正确的是(    )

A. 图象经过一、二、三象限 B. 随的增大而增大
C. 当时， D. 图象过点

7.    某校初二年级开展了一班一特色活动，班以“地”为特色在学校的试验园地进行种植蔬菜活动．试验园的形状是长米、宽米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

8.    若一个函数中，随的增大而增大，且，则它的图象大致是(    )

A.  B.  C.  D.

9.    已知关于的方程的一个根为，则实数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在正方形中，边长为的等边三角形的顶点、分别在和上，下列结论：；；；，其中正确的序号是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 二次根式中的取值范围是______．
12. 已知关于的一元二次方程的一个根为，则 ______ ．
13. 晨光中学规定学生的学期体育成绩满分为分，其中早锻炼及体育课外活动占，期中考试成绩占，期末考试成绩占，小宇的三项成绩百分制依次为分，分，分，则小宇这学期的体育总评成绩为______ 分
14. 甲、乙两名男同学练习投掷实心球，每人投了次，平均成绩均为米，方差分别为，，成绩比较稳定的是______填“甲”或“乙”．
15. 函数的图象与、轴分别交于、两点，坐标系原点为，求的面积______．
16. 如图，直线与的交点的横坐标为则下列结论：，；直线一定经过点；与满足；当时，，其中正确结论的个数是______个．

三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    解一元二次方程：
    ；
    ．
18. 本小题分
    已知一次函数的图象经过点和点．
    求这个一次函数的解析式；
    若点，在此函数图象上，且，请比较，的大小，并说明理由．
19. 本小题分
    如图，在一块宽为，长为的长方形草地上，修建同样宽的小路后，剩下的草坪面积为，求修建的小路的宽度．

20. 本小题分
    某市出租车计费方法如图所示，表示行驶里程，元表示车费，请根据图象回答下面的问题：
    出租车的起步价是多少元？当时，求关于的函数关系式；
    若行驶、分别要多少车费？
    若某乘客有一次乘出租车的车费为元，求这位乘客乘车的里程．

21. 本小题分
    枣庄某中学为调查本校学生周末平均每天做作业所用时间的情况，随机调查了名同学，如图是根据调查所得数据绘制的统计图的一部分，请根据以上信息，解答下列问题．
    请你补全条形统计图：
    在这次调查的数据中，做作业所用时间的中位数是______ 小时，平均数是______ 小时；
    若该校共有名学生，根据以上调查结果估计该校全体学生每天做作业时间在小时内含小时的同学共有多少人？

22. 本小题分
    新能源汽车投放市场后，有效改善了城市空气质量，经过市场调查得知，某市去年新能源汽车总量已达到辆，预计明年会增长到辆．
    求今、明两年新能源汽车数量的平均增长率；
    为鼓励市民购买新能源汽车，该市财政部门决定对今年增加的新能源汽车给予每辆万元的政府性补贴，在的条件下，求该市财政部门今年需要准备多少补贴资金？
23. 本小题分
    如图，在平行四边形中，、分别在和的延长线上，且，连接、、．
    求证：；
    若，，，，求的面积．

24. 本小题分
    如图，在中，，，，现有动点从点出发，沿射线方向运动，动点从点出发，沿射线方向运动，已知点的速度是，点的速度是，它们同时出发，设运动时间是．
    当时，求的面积．
    经过多少秒时，的面积是面积的一半．
     
25. 本小题分
    定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，如，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点．
    若方程为，求出该方程的衍生点的坐标；
    若关于的一元二次方程为的衍生点为，过点向轴和轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求的值；
    是否存在，，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上？若有，请求出，的值；若没有，请说明理由．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、含有个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、是分式方程，故此选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、含有个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
故选：．
利用一元二次方程定义进行解答即可．
此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是”；“二次项的系数不等于”；“整式方程”．
 

2.【答案】 

【解析】解：个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有个数，
故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了．
故选：．
由于比赛取前名参加决赛，共有名选手参加，根据中位数的意义分析即可．
本题考查了中位数意义．解题的关键是正确理解中位数的意义．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故选：．
先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上，然后把方程左边写成完全平方形式即可．
本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、中，没有实数根；
B、中，有两个相等的实数根；
C、中，没有实数根；
D、中，有两个不相等的实数根．
故选D．
要判断所给方程是有两个不相等的实数根，只要找出方程的判别式，根据判别式的正负情况即可作出判断．有两个不相等的实数根的方程，即判别式的值大于的一元二次方程．
总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，
所以．
故选：．
利用根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算的值．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

6.【答案】 

【解析】解：、由于一次函数中的，，所以图象过一、二、四象限，不符合题意；
B、由于一次函数中的，所以随的增大而减小，不符合题意；
C、令，则，此时，符合题意；
D、当时，所以图象不过，不符合题意；
故选：．
解不等式求得不等式的解集即可判断；根据一次函数的性质即可判断、；把点代入解析式即可判断．
本题主要考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数与不等式的关系．熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：小道的宽为米，
种植部分可合成长为米，宽为米的矩形．
依题意得：．
故选：．
由小道的宽为米，可得出种植部分可合成长为米，宽为米的矩形，根据种植面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意可知：函数，，．
图，，不符合条件．
图，，，符合条件．
图，，，不符合条件．
图，，不符合条件．
故选：．
函数，，则说明与轴交点在负半轴；随的增大而增大，说明，图象经过一、三象限．问题可求．
本题考查一次函数图象的掌握情况．须熟记：时，图象在一三象限；时，图象在二四象限；时，与纵轴交点在正半轴，时，与纵轴交点在负半轴．
 

9.【答案】 

【解析】解：因为是原方程的根，所以将代入原方程，即成立，解得．
故选：．
一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，
是等边三角形，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
说法正确；
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
说法正确；
如图，连接，交于点，
，且平分，
，
，
，
说法错误；
，
，
设正方形的边长为，
在中，
，即，
解得，
则，
，
说法正确，
故选：．
根据三角形的全等的知识可以判断的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为判断的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断的正误，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断的正误．
本题主要考查正方形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明以及辅助线的正确作法，此题难度不大，但是有一点麻烦．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
根据被开方数大于等于列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
 

12.【答案】 

【解析】解：把代入方程得，
所以．
故答案为．
根据一元二次方程根的定义得到，然后计算的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

13.【答案】 

【解析】解：小宇这学期的体育总评成绩为；分．
故答案为：．
根据加权平均数的计算公式进行计算即可．
本题考查了加权平均数：若个数，，，，的权分别是，，，，，则叫做这个数的加权平均数．
 

14.【答案】乙 

【解析】解：，，
，
成绩比较稳定的是乙；
故答案为：乙．
根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可得出答案．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

15.【答案】 

【解析】解：当时，，
点的坐标为，；
当时，，
解得：，
点的坐标为，．
．
故答案为：．
利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点，的坐标，进而可得出，的长，再利用三角形的面积公式即可求出的面积．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征，求出点，的坐标是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：直线与轴交于负半轴，
；
的图象从左往右逐渐上升，
，
故结论正确；
将代入，得，
直线一定经过点．
故结论正确；
直线与的交点的横坐标为，
当时，，
．
故结论正确；
当时，直线在直线的上方，
当时，，
故结论正确．
故正确结论的个数是个，
故答案为．
由直线与轴交于负半轴，可得；的图象从左往右逐渐上升，可得，即可判断结论正确；
将代入，求出，即可判断结论正确；
由整理即可判断结论正确；
观察函数图象，可知当时，直线在直线的上方，即，即可判断结论正确．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数与一元一次不等式以及一次函数的图象，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
，
，；
，
，
或，
，． 

【解析】先变形为，然后利用直接开平方法解方程；
先变形为，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了直接开平方法解方程．
 

18.【答案】解：根据题意，设一次函数解析式为：，
将和代入得：，
解得：，
一次函数解析式为：；
，
随的增大而减小，
当时，． 

【解析】根据待定系数法即可求得；
根据一次函数的性质即可判断．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
 

19.【答案】解：设修建的小路的宽度为，则种植草坪得部分可合成长，宽的长方形，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又，
，
．
答：修建的小路的宽度为． 

【解析】设修建的小路的宽度为，则种植草坪得部分可合成长，宽的长方形，根据剩下的草坪面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，结合为正值，即可得出修建的小路的宽度为．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

20.【答案】解：由图象得：
出租车的起步价是元；
设当时，与的函数关系式为，由函数图象，得
，
解得：，
当时，与的函数关系式为：；
当时，只需要付起步价，即元；
当时，；
行驶车费为元；行驶车费为元；
当时，，
，
答：这位乘客乘车的里程是． 

【解析】根据函数图象可以得出出租车的起步价是元，设当时，与的函数关系式为，运用待定系数法就可以求出结论；
分别将，代入对应的关系式即可得出结论；
将代入的解析式就可以求出的值．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时理解函数图象是重点，求出函数的解析式是关键．
 

21.【答案】每天作业用时是小时的人数是：人，补全条形统计图如图所示：


人，
答：估计该校全体学生每天组作业时间在小时内含小时的同学共有人． 

【解析】

【分析】
本题考查条形统计图、平均数、中位数的意义和计算方法，掌握平均数、中位数的计算方法是正确计算的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
求出每天作业用时为小时的学生数，即可补全条形统计图；
根据中位数、平均数的计算进行计算即可；
样本中每天做作业时间在小时内含小时的占调查人数的，估计总体名学生的是每天做作业时间在小时内含小时的人数．
【解答】
解：见解析
从小到大排列后排在第和第位的都是每天作业用时是小时的人，
中位数是小时；
平均数是小时，
故答案为：；；
见解析  

22.【答案】解：设今、明两年新能源汽车数量的平均增长率为，由题意，得
．
解得，，舍去．
答：今、明两年新能源汽车数量的平均增长率为；

万元．
答：该市财政部门今年需要准备万元补贴资金． 

【解析】设今、明两年新能源汽车数量的平均增长率为，根据“去年新能源汽车总量已达到辆，预计明年会增长到辆”列出方程并解答；
根据中的增长率可以得到：增长率．
考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
 

23.【答案】证明：四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
≌，
；
解：，，，
，，
，
，
，
，
，
． 

【解析】结合平行四边形的性质，利用证明≌可证得结论；
根据平行四边形的性质可得，利用角的直角三角形，勾股定理可求解的长，再由三角形的面积公式计算可求解．
本题主要考查平行四边形的性质，勾股定理，三角形的面积，角的直角三角形的性质等知识的综合运用．
 

24.【答案】解：点的速度是，点的速度是，
当时，，，
，，

设经过秒的面积是面积的一半．
根据题意得：，
当时如图：

，
整理得，
解得舍去或．
当时如图：

，
整理得，
，无解．
当时如图：

，
整理得，
解得或舍去．
综上所述：经过秒或秒的面积是面积的一半． 

【解析】根据点的速度是，点的速度是，，，利用面积公式求解；
设经过秒的面积是面积的一半，则，，
进而表示出，，利用面积公式表示出方程求解但是由于题目给的是射线，注意分类讨论．
本题考查了一元二次方程的应用，特别是动点问题更是中考的热点考题之一，注意审题，分类讨论思想的应用．
 

25.【答案】解：的解为或，
，，
，
该方程的衍生点的坐标；

的解为或，
当时，，
此时，
由题意可得，
解得；
当时，，
此时，
，
；
当时，，
此时，
解得；
综上所述：的值为或；

存在，满足条件，理由如下：
，
直线经过定点，
方程的衍生点为，
，． 

【解析】解方程后，根据定义即可求点坐标；
求出方程的解为或，再分情况讨论：当时，此时；当时，此时，当时，；再由题意分别求出的值即可；
由直线经过定点，则方程的衍生点为，即可求，．
本题属于一次函数综合题，考查一次函数的图象及性质，点为该一元二次方程的衍生点的定义，解题的关键是理解题意，熟练掌握一次函数的图象及性质，学会用分类讨论的思想解决问题．