江西省宜春市万载中学2021-2022学年高二上学期期中数学（文）试题（解析版）

万载中学2021-2022学年度高二第一学期期中考试卷

数学（文科）

考试时间：120分钟；命题人：郭慧铭审题人：张金荣

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷

一、单选题

1. 在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，则下列等式正确的是（    ）

A. a=bcos C+ccos B B. a=bcos C-ccos B

C. a=bsin C+csin B D. a=bsin C-csin B

【答案】A

【解析】

【分析】利用正弦定理、余弦定理即可求解.

【详解】bcos C+ccos B=b·+c·=a，所以A正确、B错误；

a=bsin C+csin B，

显然不恒成立，故C错误；

a=bsin C- csin B，故D错误.

故选：A

2. 小王同学有三支款式相同、颜色不同的圆珠笔，每支圆珠笔都有一个与之同颜色的笔帽，平时 小王都将笔杆和笔帽套在一起，但偶尔也会将笔杆和笔帽随机套在一起，则小王将两支笔的笔杆和笔帽的颜色混搭的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】设三支款式相同、颜色不同的圆珠笔分别为，，，与之相同颜色的笔帽分别为，，，利用古典概型的概率能求出小王将两支笔和笔帽的颜色混搭的概率．

【详解】解：设三支款式相同、颜色不同的圆珠笔分别为，，，与之相同颜色的笔帽分别为，，，

将笔和笔帽随机套在一起，基本事件有：

，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有6个基本事件，

小王将两支笔和笔帽的颜色混搭包含的基本事件有：

，，，，，，，，，共有3个基本事件，

小王将两支笔和笔帽的颜色混搭的概率是．

故选：C

3. 某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，3次中9环，4次中8环，1次未中靶，则此人中靶的频率是（    ）

A. 0.2 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.9

【答案】D

【解析】

【分析】直接利用频率的公式求解.

【详解】由题得这个人中靶的次数为2+3+4=9，

所以此人中靶的频率是.

故选：D

4. 在300米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，45°，则塔高为

A. （米） B. （米） C. （米） D. （米）

【答案】A

【解析】

【详解】试题分析：如图，山高为，塔高为．

．,中，，，故选择A．

考点：解三角形的实际应用.

5. 计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0~9和结束字母共16个计数符号，这些符号与十进制数的对应关系如下：

例如，用十六进制表示：，则等于

A.  B. 70 C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

首先将化为十进制，再将十进制转化为十六进制即可求解.

【详解】由表知，对应的十进制数为10，对应的十进制数为14，所以，

由十进制表示为，

又表格中对应的十进制为12，所以用十六进制表示为.

故选：D.

【点睛】本题考查了进位制的转化，掌握进位制转化公式，属于基础题.

6. 的内角的对边分别为.已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】正弦定理边化角后，结合余弦定理可得关于的方程，解方程可求得.

【详解】由正弦定理得：，整理得：，由余弦定理知，，解得：.

故选：A.

7. 有200人参加了一次会议，为了了解这200人参加会议的体会，将这200人随机号为001,002，003，…，200，用系统抽样的方法(等距离)抽出20人，若编号为006,036,041,176, 196的5个人中有1个没有抽到，则这个编号是

A. 006 B. 041 C. 176 D. 196

【答案】B

【解析】

【分析】求得抽样的间隔为，得出若在第1组中抽取的数字为6，则抽取的号码满足，即可出判定，得到答案.

【详解】由题意，从200人中用系统抽样的方法抽取20人，所以抽样的间隔为，

若在第1组中抽取的数字为006，则抽取的号码满足，其中，

其中当时，抽取号码为36；当时，抽取的号码为176；当时，抽取的号码为196，所以041这个编号不在抽取的号码中，故选B.

【点睛】本题主要考查了系统抽样的应用，其中解答中熟记系统抽样的抽取方法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

8. 某小卖部为了了解热茶销售量y（杯）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：

由表中数据算得线性回归方程中的=﹣2，预测当气温为﹣5℃时，热茶销售量为（    ）杯．

A. 50 B. 60 C. 70 D. 80

【答案】C

【解析】

【分析】求出样本中心坐标，把样本中心坐标点代入回归方程中求出的值，写出回归方程，计算时的值即可．

【详解】解：由题意，计算，

，

将代入回归方程中，且，

，解得，

；

当时，，

预测当气温为时，热茶销售量为70杯．

故选：．

9. 已知，且 ，则的最小值为（    ）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

【答案】C

【解析】

【分析】利用已知条件将化为积为定值的形式，再根据基本不等式可求出结果.

【详解】

，

当且仅当，即，又，所以时，等号成立.

故选：C

10. 执行下面的程序框图，则输出的n=（ ）

A. 17 B. 19 C. 21 D. 23

【答案】C

【解析】

【分析】根据程序框图的算法功能可知，要计算满足的最小正奇数，根据等差数列求和公式即可求出．

【详解】依据程序框图的算法功能可知，输出的是满足的最小正奇数，

因为，解得，

所以输出的．

故选：C.

【点睛】本题主要考查程序框图的算法功能的理解，以及等差数列前项和公式的应用，属于基础题．

11. 如图给出的是计算的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】分析程序框图中各变量、各语句的作用，再根据框图所示的顺序，可知该程序的作用是累加并输出的值．

【详解】程序运行过程中，各变量值如下表所示：

第一次循环：，，

第二次循环：，，

第三次循环：，，

依此类推，第1007次循环：，，退出循环

其中判断框内应填入的条件是：，

故选：．

【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，条件分支结构，属于中档题．

12. 已知满足，如果目标函数的取值范围为，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由约束条件可得可行域，将目标函数转化为为与点连线的斜率，通过分析点的不同位置， 根据的范围可确定的范围.

【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：

表示与点连线的斜率，可知点只能在上移动，

当点位于右侧时，存在的情况，不合题意；

当点位于线段（不含端点）上时，存在的情况，不合题意；

当点与重合时，存在的情况，不合题意；

当点位于左侧时，，满足题意；

由得：，即，，

即实数的取值范围为

故选：B.

【点睛】方法点睛：线性规划问题中几种常见形式有：

①截距型：，将问题转化为在轴截距的问题；

②斜率型：，将问题转化为与连线斜率问题；

③两点间距离型：，将问题转化为与两点间距离的平方的问题；

④点到直线距离型：，将问题转化为到直线的距离的倍的问题.

第II卷

二、填空题

13. 已知满足，则的最大值为__________．

【答案】

【解析】

【详解】根据题意作出可行域：目标函数则可以理解为可行域中的点与的斜率的最大值，由图可知最大斜率为：

14. 表示已知程序运算功能的算术表达式(不计算，只写式子)为T＝________.

【答案】1×2×3×4×5

【解析】

【分析】直接理解程序框图即可求解

【详解】该程序中由T＝N*T知表示乘积运算，又由N＝N＋1知表示连续的整数的运算

故答案为：1×2×3×4×5

15. 已知一组数据，，，…，的平均数为，方差为.若，，，…，的平均数比方差大4，则的最大值为__________．

【答案】-1

【解析】

【分析】设新数据平均数为，方差为，可得，，由新数据的平均数比方差大4可得，可得，代入可得其最大值.

【详解】解：设新数据，，，…，的平均数为，方差为，

可得：，，由新数据平均数比方差大4，

可得，可得，

可得：，

由，可得，

可得当时，可得的最大值为：，

故答案为：.

【点睛】本题主要考查数据的平均数、方差及其计算，属于中档题.

16. 设函数，若关于的不等式的解集为，则______

【答案】9

【解析】

【分析】根据不等式的解集可得2,3,6应为不等式对应方程的根，故分析两个不等式对应方程的根，即可求解.

【详解】由满足不等式知，即，

所以，

所以，

所以的两根为，

而可化为，

即，

所以方程的两根为6，

且，

不等式的解集为，

可知，

解得，

所以，

所以，

故答案为：9

【点睛】关键点点睛：本题主要考查不等式与方程的关系，不等式解集的端点为对应方程的根，本题在理解分别是与的根，而方程含有公共根6，所以必然2,3两根分别是，即可求解,本题属于难题.

三、解答题

17. 已知函数f(x)＝|x－1|－2|x＋1|的最大值为m.

（1）求m；

（2）若a，b，c∈(0，＋∞)，a2＋2b2＋c2＝2m，求ab＋bc的最大值．

【答案】（1）m＝2    （2）最大值2

【解析】

【分析】（1）根据绝对值内的零点，分类讨论，去掉绝对值符号，求出函数的最大值，即可得到m．

（2）利用重要不等式求解ab+bc的最大值．

【小问1详解】

当x≤－1时，f(x)＝3＋x≤2；

当－1<x<1时，f(x)＝－1－3x<2；

当x≥1时，f(x)＝－x－3≤－4.

故当x＝－1时，f(x)取得最大值2，即m＝2.

【小问2详解】

因a2＋2b2＋c2＝(a2＋b2)＋(b2＋c2)≥2ab＋2bc＝2(ab＋bc)，

当且仅当a＝b＝c＝1时取等号，

所以ab＋bc≤＝2，即ab＋bc的最大值为2.

18. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足，．

（1）求角A的大小；

（2）求周长的范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用余弦定理化角为边，再根据余弦定理即可的解；

（2）利用正弦定理求得边，再利用三角恒等变换化简，结合正弦函数的性质即可得出答案.

【小问1详解】

解：由余弦定理，即，

所以，因为，所以．

【小问2详解】

由正弦定理：，则，，

由（1），故

因为，则，

所以，即周长范围是．

19. 某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．

（1）求，，，；

（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．

【答案】（1）；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.

【解析】

【分析】（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.

（2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断.

【详解】（1），

，

，

.

（2）依题意，，，

，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.

20. 某校为了解学生对食堂的满意程度，做了一次问卷调查，对三个年级进行分层抽样，共抽取40名同学进行询问打分，将最终得分按，，，，，，分成6段，并得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求频率分布直方图中a的值，以及此次问卷调查分数的中位数；

（2）若从打分区间在的同学中随机抽出两位同学，求抽出的两位同学中至少有一位同学来自打分区间的概率.

【答案】（1），中位数为；（2）.

【解析】

【分析】

（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积和为1，由求得a，然后利用中位数公式求解.

（2）先分别得到打分区间在和打分区间在的同学的人数，然后利用古典概型的概率公式求解.

【详解】（1）因为频率分布直方图中所有小矩形的面积和为1，

所以，

解得，

所以中位数为；

（2）打分区间在的同学共有人，分别记为，

打分区间在的同学共有人，分别记为，

从这6人中随机抽出两位同学，共有以下15种情况：

，，，，；，，，；，，；，；

其中，至少有一位同学来自打分区间共有14种情况：

，，，；，，，；，，；，；

所以至少有一位同学来自打分区间的概率为.

【点睛】方法点睛：利用频率分布直方图：

求概率根据频率分布直方图中所有小矩形的面积和为1求解；

求中位数根据频率分布直方图中所有小矩形的面积和的对应点求解；

求平均数根据频率分布直方图中各矩形横坐标中点与其概率之积的和求解；

21. 设x，y满足约束条件，目标函数的最大值为2．

作出可行域；

求的值；

若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】（1）见解析（2）（3）

【解析】

【分析】画出不等式组表示的平面区域即可；

由图形知目标函数过直线与的交点时，z取得最大值，由此求得的值；

由题意求得的最小值，把命题转化为关于x的一元二次不等式恒成立问题，利用判别式求出m的取值范围．

【详解】画出约束条件表示的平面区域，如图阴影部分所示；

由图形知，当直线过直线与的交点时，

目标函数取得最大2，

即；

由题意，

；

当且仅当时等号成立，

所以的最小值是；

不等式对任意恒成立，

等价于对任意恒成立；

即，

，

解得实数m的取值范围是．

【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，也考查了利用基本不等式求最值的应用问题，熟记线性规划方法，熟练运用基本不等式，及不等式恒成立问题的转化是关键，  是中档题．

22. 已知函数，，.

（1）若，求在上的最小值；

（2）若对于任意的实数恒成立，求a的取值范围；

（3）当时，求函数在上的最小值.

【答案】（1）2e；（2）[0,2]；（3）答案见解析

【解析】

【分析】（1）结合基本不等式求得在区间上的最小值.

（2）根据已知条件得到对于任意的实数恒成立，结合绝对值三角不等式以及绝对值不等式的解法，求得的取值范围.

（3）先求得的表达式，利用零点分段法，结合对分类讨论，求得在上的最小值.

【详解】（1），且时，

，

当且仅当时，等号成立.

（2）对于任意的实数恒成立，

即对于任意的实数恒成立，

即对于任意的实数恒成立，

即对于任意的实数恒成立，

，

所以，则，

所以的取值范围是.

（3），.的范围是.

，

①当时，由（2）得，

故当，即时，；

当，即时，.

当时，的范围不符合.

②当时，，；.

画出和的大致图象如下图所示：

故当，即时，.

当，即时，

（i）时，，，.

（ii），，，

.

综上所述：

时，；

时，；

时，；

时，.

【点睛】求解含有绝对值的问题，可采用零点分段法进行分类讨论来进行求解.