四川省广元市重点高中2021-2022学年高二上学期期中考试 数学（文）试题

2021～2022学年度上期半期考试

高二文科数学

考试时间：120分钟          满分：150分

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名和准考证号填写在试卷和答题卡上。

2．选择题用2B铅笔在对应的题号涂黑答案。主观题用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡上对应的答题区域内。

3．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡上交。

第Ⅰ卷（选择题   共60分）

一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）

1．直线的倾斜角为（　　）

A．       B．       C． D．

2．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（    ）

A．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n       B．若m∥α，n∥α，则m∥n

C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α       D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α

3．直线与直线平行，则的值为（    ）

A．        B．2          C． D．0

4．无论取任何实数，直线恒过一定点，则该定点坐标为（     ）

A.  B. C. D.

5．如果ac＜0且bc＜0，那么直线ax＋by＋c＝0不通过（     ）

A．第一象限      B．第三象限     C．第二象限       D．第四象限

6．已知实数x，y满足，则z =2x -y的最小值是（    ）

A．5           B．            C．0            D．-1

7.与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为(　　)

A．3x＋4y－5＝0                B．3x＋4y＋5＝0

C．－3x＋4y－5＝0              D．－3x＋4y＋5＝0

8.如图，在三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，△PAC为等腰直角三角形，PA＝PC＝4，平面PAC⊥平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为（　　）

A．             B．            

C．          D．

9．已知直线ax＋y+1＝0, x＋ay+1＝0 和 x＋y+a＝0 能构成三角形，则a的取值范围是 （     ） 

 A．a ≠ - 2             B．a ≠     

 C．a ≠ - 2且a ≠                D．a ≠ - 2且a ≠ 1

10．已知平面上一点若直线l上存在点P使则称该直线为点的“相关直线”，下列直线中不是点的“相关直线”的是（    ）

A．  B．    C．    D．

11. 过定点的直线与过定点的直线交于点，则2的最大值为（    ）

A．1  B．3    C．4    D. 2

12．如图，正方体的棱长为1，P，Q分别是线段和上的动点，且满足，则下列命题错误的是（    ）

A．的面积为定值           

B．当时，直线与是异面直线 

C．存在P，Q的某一位置，使

D．无论P，Q运动到任何位置，均有

第Ⅱ卷（非选择题   共90分）

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）

13．直线5x+12y+3=0与直线10x+24y+5=0的距离是________________;

14．若A(a，0)，B(0，b)，C(，)三点共线，则________;

15. 如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为___ _____;

           (15题图）                     （16题图）

16．在棱长为1的正方体中，点是对角线上的动点（点与不重合），则下列结论正确的是_______.

①的面积不可能等于；  ②存在点，使得平面；

③存在点，使得平面平面；

④若分别是在平面与平面的正投影的面积，则存在点，使得.

三．解答题：(本大题共6小题，满分70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17. (本题满分10分)一个几何体的三视图如图所示（单位长度为：）

（1）求该几何体的体积；

（2）求该几何体的表面积.

18．(本题满分10分)已知△ABC的三个顶点分别为A(2，4)，B(1，1)，C(7，3).

（1）求BC边上的中线所在直线的方程；

（2）求BC边上的高所在直线的方程.

19．(本题满分12分)如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、P、Q分别是BC、C1D1、AD1、BD的中点．

(1)求证：PQ∥平面DCC1D1；

(2)求证：AC⊥EF.

20．(本题满分12分)已知直线方程为，其中.

（1）求直线恒过定点的坐标. 当变化时，求点到直线的距离的最大值及此时的直线方程；

（2）若直线分别与轴､轴的负半轴交于两点，求面积的最小值及此时的直线方程.

21.(本题满分12分)如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面平面，且，，为的中点，．

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积．

22．(本题满分12分)如图所示，在四棱锥中，底面四边形是菱形，底面是边长为2的等边三角形，PB=PD=, AP=4AF

（1）求证：PO⊥底面ABCD

（2）求直线与OF所成角的大小.

（3）在线段上是否存在点，使得平面？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由.

2021～2022学年度上期半期考试

高二文科数学答案

一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）

1．D   2．A   3．B   4．A   5．B   6. C   7．B    8．B    9．C  10．D

11. C      12. A

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）

13．         14.        15.        16.(2)(3)(4)

三．解答题：(本大题共6小题，满分70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.（10分）解：（1）由图知该几何体是一个上面是正四棱锥，下面是一个正方体的组合体.且正四棱锥的底面边长为4，四棱锥的高为2，所以体积cm3............................5分

（2）由三视图知，四棱锥的侧面三角形的高.

该几何体表面积为cm2......10分

18．（12分）解：（1）B(1，1)，C(7，3)，BC的中点为M(4，2).

又A(2，4)在BC边上的中线上，所求直线方程为=，即BC边上的中线所在直线的方程为x+y-6=0..................................................6分

（2）B(1，1)，C(7，3)，直线BC的斜率为=. 而BC边上的高所在直线与直线BC垂直，BC边上的高所在直线的斜率为-3.又A(2，4)在BC边上的高上，所求直线方程为y-4=-3(x-2)，即BC边上的高所在直线的方程为3x+y-10=0...........12分

19.（12分）解：(1)如图所示，连接CD1.∵P、Q分别为AD1、AC的中点．∴PQ∥CD1.而CD1平面DCC1D1，PQ//平面DCC1D1

∴PQ∥平面DCC1D1................................6分

(2)如图，取CD中点H，连接EH，FH.

∵F、H分别是C1D1、CD的中点，在平行四边形CDD1C1中，FH//D1D.而D1D⊥面ABCD，∴FH⊥面ABCD，而AC面ABCD，∴AC⊥FH.又E、H分别为BC、CD的中点，∴EH∥DB.而AC⊥BD，∴AC⊥EH.

因为EH、FH是平面FEH内的两条相交直线，所以AC⊥平面EFH，

而EF平面EFH，所以AC⊥EF.....................................12分

20.（12分）解:（1）直线方程为，

可化为对任意都成立，

所以，解得，所以直线恒过定点.........................................4分

设定点为,当变化时，直线时，

点到直线的距离最大，可知点与定点的连线的距离就是所求最大值，

即，此时直线过点且与垂直，

∴，解得   故直线的方程为............................7分

（2）由于直线经过定点．直线的斜率存在且，

可设直线方程为可得与轴、轴的负半轴交于，两点∴，，解得．

∴

当且仅当时取等号，面积的最小值为4 , 

此时直线的方程为：，即：．......................................................................................................................12分

21.（12分）解：（1）证明：连接，交于点，连接．

∵为的中点，为的中点，∴为的中位线， ∴，且．又平面，平面，∴平面..........4分

（2）在中，，，

由余弦定理得，∴．∴．

∵，且为的中点，∴．在中，．在平面内，作，交的延长线于．

∵平面平面，平面平面,∴平面．

即为点到平面的距离．∵点为的中点，∴点到平面的距离是长度的一半．在中，，

∴．....................12分

22.(12分)（1）证明：底面ABCD是菱形，ACBD=OO 为AC,BD中点

在△PBD中,PB=PDPO⊥BD

在△PAC,PA=PC,O 为AC,BD中点PO⊥AC

又ACBD=O PO⊥底面ABCD..........................3 分

（2）连接OF，取AP中点为E，连接OE

底面ABCD是菱形，ACBD=O

O为AC中点，且E为AP中点，AP=4AFF为AE中点

CP∥OE

故∠EOF为直线与OF所成的角

△PAC为等边三角形，且E为中点∠EOF=  ......................7分

(3)存在， .................................................9分

 连接CM,连接CE,ME

AP=4AF,  E为AP中点又在△PFB中，

即EM∥BF   EM平面BDF，BF平面BDFEM∥平面BDF，  

由（2）知EC∥OFEC平面BDF，OF平面BDFEC∥平面BDF

ECEM=E   平面EMC∥平面BDF

CM平面EMCCM∥平面BDF........................... 12分