广东省深圳市实验学校初中部2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份广东省深圳市实验学校初中部2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)，共23页。试卷主要包含了在－2，，，2中，是无理数的是，下列运算中，正确的是，在同一坐标系中等内容，欢迎下载使用。
深圳实验学校初中部2022-2023学年第一学期九年级期中考试数学试卷

一．选择题（每题3分，共30分）
1． 在－2，，，2中，是无理数的是（　　）
A．－2 B． C． D．2
2． 下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A．科克曲线 B．笛卡尔心形线
C．阿基米德螺旋线 D．赵爽弦图
3． 下列运算中，正确的是（　　）
A．3a2＋2a2＝5a4 B．a9÷a3＝a3
C．＋＝ D．（－3x2）3＝－27x6
4． 在同一坐标系中（水平方向是x轴），函数y＝和y＝kx＋3的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
5． 某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为（　　）
A．30（1＋x）2＝50 B．30（1－x）2＝50
C．30（1＋x2）＝50 D．30（1－x2）＝50
6． 如图，在平面直角坐标系中，C为△AOB的OA边上一点，AC：OC＝1：2，过C作CD∥OB交AB于点D，C、D两点纵坐标分别为1、3，则B点的纵坐标为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

7． 如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为（　　）

A．25 B．22 C．19 D．18
8． 如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（　　）

A．AB＝BE B．BE⊥DC C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE
9． 一次函数y＝mx＋n的图象与反比例函数y＝的图象交于点A、B，其中点A、B的坐标为A（－，－2m）、B（m，1），则△OAB的面积是（　　）
A．3 B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分∠OAE，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF＝EF，△ABE的面积为18，则k的值为（　　）

A．6 B．12 C．18 D．24
二．填空题（每题3分，共15分）
11．因式分解：a2－3a＝_______．
12．设x1，x2是一元二次方程x2＋2x－3＝0的两个实数根，则x1＋x2－x1x2的值为 _______．
13．如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解．则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的关联方程．若方程x－1＝0是关于x的不等式组的关联方程，则n的取值范围是 _______．
14．如图，已知直线y＝kx与双曲线y＝交于A，B两点，将线段AB绕点A沿顺时针方向旋转60°后，点B落在点C处，双曲线y＝经过点C，则的值是 _______．

15．如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．则的值是_______．

三．解答题（共55分）
16．（8分）计算：（3.14－π）0＋|－1|＋（）－1－．



17．（8分）先化简，再求值：（－1）÷，其中x＝－4．

18．（8分）为喜迎中国共产党第二十次全国代表大会的召开，红星中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标，良好，优秀，优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．

请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是_______，圆心角β＝_______度；
（2）补全条形统计图；
（3）已知红星中学共有1200名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？
（4）若在这次竞赛中有A，B，C，D四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表学校参加县级比赛．请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到A，C两人同时参赛的概率．






19．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点E是DC边上的任一点（不包括端点D，C），过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，设DE＝a．
（1）求BF的长（用含a的代数式表示）；
（2）连接EF交AB于点G，连接GC，当GC∥AE时，求证：四边形AGCE是菱形．


20．（8分）某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．
（1）求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
（2）每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．
请根据以上要求，完成如下问题：
①设购买A型机器人m台，购买总金额为w万元，请写出w与m的函数关系式；
②请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？






21．（10分）如图①，在矩形OABC中，OA＝4，OC＝3，分别以OC、OA所在的直线为x轴、y轴，建立如图所示的坐标系，连接OB，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段OB的中点D，并与矩形的两边交于点E和点F，直线l：y＝kx+b经过点E和点F．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接OE、OF，求△OEF的面积；
（3）在第一象限内，请直接写出关于x的不等式kx+b≤的解集：　 　．
（4）如图②，将线段OB绕点O顺时针旋转一定角度，使得点B的对应点H恰好落在x轴的正半轴上，连接BH，作OM⊥BH，点N为线段OM上的一个动点，求HN+ON的最小值．


22．（10分）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
【观察与猜想】
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF，则的值为 　 　；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，则的值为 　 　；
【类比探究】
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE•AB＝CF•AD；

【拓展延伸】
（4）如图4，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AD＝9，tan∠ADB＝，将△ABD沿BD翻折，点A落在点C处得△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，DE⊥CF．
①求的值；
②连接BF，若AE＝1，直接写出BF的长度．

参考答案与试题解析
一．选择题
1．在－2，，，2中，是无理数的是（　　）
A．－2 B． C． D．2
【解答】解：－2，，2是有理数，是无理数，
故选：C．
2．下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A．科克曲线 B．笛卡尔心形线
C．阿基米德螺旋线 D．赵爽弦图
【解答】解：A．科克曲线既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．笛卡尔心形线是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．阿基米德螺旋线不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．赵爽弦图不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
3．下列运算中，正确的是（　　）
A．3a2＋2a2＝5a4 B．a9÷a3＝a3
C．＋＝ D．（－3x2）3＝－27x6
【解答】解：A．因为3a2＋2a2＝5a2，所以A选项运算不正确，故A选项不符合题意；
B．因为a9÷a3＝a9－3＝a6，所以B选项运算不正确，故B选项不符合题意；
C．因为与不是同类二次根式，不能进行合并计算，所以C选项运算不正确，故C选项不符合题意；
D．因为（－3x2）3＝－27x6，所以D选项运算正确，故D选项符合题意．
故选：D．
4．在同一坐标系中（水平方向是x轴），函数y＝和y＝kx＋3的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、由函数y＝的图象可知k＞0与y＝kx＋3的图象k＞0一致，故A选项正确；
B、因为y＝kx＋3的图象交y轴于正半轴，故B选项错误；
C、因为y＝kx＋3的图象交y轴于正半轴，故C选项错误；
D、由函数y＝的图象可知k＞0与y＝kx＋3的图象k＜0矛盾，故D选项错误．
故选：A．
5．某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为（　　）
A．30（1＋x）2＝50 B．30（1－x）2＝50
C．30（1＋x2）＝50 D．30（1－x2）＝50
【解答】解：设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x，
由题意得，30（1＋x）2＝50．
故选：A．
6．如图，在平面直角坐标系中，C为△AOB的OA边上一点，AC：OC＝1：2，过C作CD∥OB交AB于点D，C、D两点纵坐标分别为1、3，则B点的纵坐标为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
【解答】解：∵CD∥OB，∴，
∵AC：OC＝1：2，∴，
∵C、D两点纵坐标分别为1、3，∴CD＝3－1＝2，
∴，解得：OB＝6，
∴B点的纵坐标为6，故选：C．
7．如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为（　　）

A．25 B．22 C．19 D．18
【解答】解：由题意可得，
MN垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∵△ABD的周长是AB＋BD＋AD，
∴AB＋BD＋AD＝AB＋DC＋AD＝AB＋AC，
∵AB＝7，AC＝12，
∴AB＋AC＝19，
∴△ABD的周长是19，故选：C．
8．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（　　）

A．AB＝BE B．BE⊥DC C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
又∵AD＝DE，∴DE∥BC，且DE＝BC，
∴四边形BCED为平行四边形，
A、∵AB＝BE，DE＝AD，∴BD⊥AE，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误；
B、∵对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项正确；
C、∵∠ADB＝90°，∴∠EDB＝90°，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误；
D、∵CE⊥DE，∴∠CED＝90°，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误．故选：B．
9．一次函数y＝mx＋n的图象与反比例函数y＝的图象交于点A、B，其中点A、B的坐标为A（－，－2m）、B（m，1），则△OAB的面积是（　　）
A．3 B． C． D．
【解答】解：∵点A（－，－2m）在反比例函数y＝上，
∴－2m＝，解得：m＝2，
∴点A的坐标为：（－，－4），点B的坐标为（2，1），
∴S△OAB＝××5－××4－×2×1－×1＝，故选：D．
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分∠OAE，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF＝EF，△ABE的面积为18，则k的值为（　　）

A．6 B．12 C．18 D．24
【解答】解：如图，连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M．

∵AN∥FM，AF＝FE，
∴MN＝ME，∴FM＝AN，
∵A，F在反比例函数的图象上，
∴S△AON＝S△FOM＝，
∴•ON•AN＝•OM•FM，∴ON＝OM，
∴ON＝MN＝EM，∴ME＝OE，
∴S△FME＝S△FOE，
∵AD平分∠OAE，∴∠OAD＝∠EAD，
∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝∠DAE，
∴AE∥BD，∴S△ABE＝S△AOE，∴S△AOE＝18，
∵AF＝EF，∴S△EOF＝S△AOE＝9，∴S△FME＝S△EOF＝3，
∴S△FOM＝S△FOE－S△FME＝9－3＝6＝，∴k＝12．
故选：B．
二．填空题
11．因式分解：a2－3a＝　a（a－3）　．
【解答】解：a2－3a＝a（a－3）．
故答案为：a（a－3）．
12．设x1，x2是一元二次方程x2＋2x－3＝0的两个实数根，则x1＋x2－x1x2的值为 　1　．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2＋2x－3＝0的两个实数根，
∴x1＋x2＝－2，x1x2＝－3，
则原式＝－2－(－3)＝1．
故答案为：1．
13．如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解．则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的关联方程．若方程x－1＝0是关于x的不等式组的关联方程，则n的取值范围是 　1≤n＜3　．
【解答】解：解方程x－1＝0得x＝3，
∵x＝3为不等式组的解，
∴，解得1≤n＜3，
即n的取值范围为：1≤n＜3，
故答案为：1≤n＜3．
14．如图，已知直线y＝kx与双曲线y＝交于A，B两点，将线段AB绕点A沿顺时针方向旋转60°后，点B落在点C处，双曲线y＝经过点C，则的值是 　－　．

【解答】解：连接OC、BC，作BM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵直线y＝kx与双曲线y＝交于A，B两点，∴OA＝OB，
∴CO⊥AB，∠BCO＝∠ACB＝30°，∴＝，
∵∠BOC＝90°，∴∠BOM＋∠CON＝90°，
∵∠BOM＋∠MBO＝90°，
∴∠CON＝∠MBO，
∵∠BMO＝∠ONC＝90°，
∴△BOM∽△OCN，
∴＝（）2＝，
∵S△BOM＝|k1|＝－k1，S△CON＝|k2|＝k2，
∴＝，∴＝－，
故答案为－．

15．如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．则的值是 　 　．

【解答】解：由折叠性质可得：DG＝OG＝AG，AE＝OE＝BE，OC＝BC，
∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，
∴∠FGE＝∠FGO＋∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG＋∠OEC＝90°，
∴∠FGE＋∠GEC＝180°，
∴GF∥CE，
设AD＝2a，AB＝2b，则DG＝OG＝AG＝a，AE＝OE＝BE＝b，
∴CG＝OG＋OC＝3a，
在Rt△CGE中，CG2＝GE2＋CE2，
（3a）2＝a2＋b2＋b2＋（2a）2，解得：b＝a，
∴AB＝AD，
在Rt△COF中，设OF＝DF＝x，则CF＝2b－x＝2a－x，
∴x2＋（2a）2＝（2a－x）2，
解得：x＝a，
∴DF＝×a＝a，2OF＝2×a＝2a，
在Rt△AGE中，GE＝＝a，
∴GE＝DF，OC＝2OF，
∴＝2．
三．解答题
16．计算：（3.14－π）0＋|－1|＋（）－1－．
【解答】解：原式＝1＋－1＋2－2＝2－．
17．先化简，再求值：（－1）÷，其中x＝－4．
【解答】解：原式＝•＝•＝，
当x＝－4时，原式＝＝－1．
18．为喜迎中国共产党第二十次全国代表大会的召开，红星中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标，良好，优秀，优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．

请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是 　50　，圆心角β＝　144　度；
（2）补全条形统计图；
（3）已知红星中学共有1200名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？
（4）若在这次竞赛中有A，B，C，D四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表学校参加县级比赛．请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到A，C两人同时参赛的概率．
【解答】解：（1）本次调查的样本容量是：10÷20%＝50，
则圆心角β＝360°×＝144°，
故答案为：50，144；
（2）成绩优秀的人数为：50－2－10－20＝18（人），
补全条形统计图如下：

（3）1200×＝480（人），
答：估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为480人；
（4）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中恰好抽到A，C两人同时参赛的结果有2种，
∴恰好抽到A，C两人同时参赛的概率为＝．
19．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点E是DC边上的任一点（不包括端点D，C），过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，设DE＝a．
（1）求BF的长（用含a的代数式表示）；
（2）连接EF交AB于点G，连接GC，当GC∥AE时，求证：四边形AGCE是菱形．

【解答】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADE＝∠ABF＝∠BAD＝90°，
∴∠DAE＋∠BAE＝90°，
∵AF⊥AE，
∴∠BAF＋∠BAE＝90°，
∴∠DAE＝∠BAF，
∴△ADE∽△ABF，
∴，即，
∴BF＝2a，
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AG∥CE，
∵GC∥AE，
∴四边形AGCE是平行四边形．
∴AG＝CE＝8－a，
∴BG＝AB－AG＝8－（8－a）＝a，
在Rt△BGF中，GF2＝a2＋（2a）2＝5a2，
在Rt△CEF中，EF2＝（2a＋4）2＋（8－a）2＝5a2＋80，
在Rt△ADE中，AE2＝42＋a2＝16＋a2，
如图，过点G作GM⊥AF于点M，
∴GM∥AE，
∴△MGF∽△AEF，∴，
∴，∴＝，
∴GM＝a，
∴GM＝BG，
又∵GM⊥AF，GB⊥FC，
∴GF是∠AFB的角平分线，
∴EA＝EC，
∴平行四边形AGCE是菱形．
解法二：∵AG∥CE，CG∥AE，
∴四边形AGCE是平行四边形，
∴AG＝CE，
∵AB＝CD，∴BG＝DE＝a，
∴tan∠EFC＝＝＝，
∴EC＝a＋2＝8－a，∴a＝3，
∴AE＝＝5，
∴AE＝CE＝5，
∴四边形AGCE是菱形．
20．某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．
（1）求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
（2）每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．
请根据以上要求，完成如下问题：
①设购买A型机器人m台，购买总金额为w万元，请写出w与m的函数关系式；
②请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？
【解答】解：（1）设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物（x＋10）吨，
由题意得：，解得x＝90，
当x＝90时，x（x＋10）≠0，∴x＝10是分式方程的根，
∴x＋10＝90＋10＝100（吨），
答：每台A型机器人每天搬运货物90吨，则每台B型机器人每天搬运货物100吨；
（2）①由题意得：w＝1.2m＋2（30－m）＝－0.8m＋60；
②由题意得：，解得：15≤m≤17，
∵－0.8＜0，∴w随m的增大而减小，
∴当m＝17时，w最小，此时w＝－0.8×17＋60＝46.4，
∴购买A型机器人17台，B型机器人13台时，购买总金额最低是46.4万元．
21．如图①，在矩形OABC中，OA＝4，OC＝3，分别以OC、OA所在的直线为x轴、y轴，建立如图所示的坐标系，连接OB，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段OB的中点D，并与矩形的两边交于点E和点F，直线l：y＝kx+b经过点E和点F．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接OE、OF，求△OEF的面积；
（3）在第一象限内，请直接写出关于x的不等式kx+b≤的解集：　0＜x≤或3≤x≤　．
（4）如图②，将线段OB绕点O顺时针旋转一定角度，使得点B的对应点H恰好落在x轴的正半轴上，连接BH，作OM⊥BH，点N为线段OM上的一个动点，求HN+ON的最小值．

【解答】解：（1）在矩形ABCO中，∵OA＝BC＝4，OC＝AB＝3，
∴B（3，4），
∵OD＝DB，
∴D（，2），
∵y＝经过D（，2），
∴k＝3，
∴反比例函数的解析式为y＝．
（2）如图①中，连接OE，OF．

由题意E（，4），F（3，1），
∴S△OEF＝S矩形ABCO﹣S△AOE﹣S△OCF﹣S△EFB＝12﹣×4×﹣×3×1﹣×3×（3﹣）＝．
（3）观察图象可知：在第一象限内，关于x的不等式kx+b≤的解集为：0＜x≤或3≤x＜．
故答案为：0＜x≤或3≤x＜．
（4）如图②中，作NJ⊥BD于J．HK⊥BD于K．

由题意OB＝OH＝5，
∴CH＝OH﹣OC＝5﹣3＝2，
∴BH＝＝＝2，
∴sin∠CBH＝＝，
∵OM⊥BH，
∴∠OMH＝∠BCH＝90°，
∵∠MOH+∠OHM＝90°，∠CBH+∠CHB＝90°，
∴∠MOH＝∠CBH，
∵OB＝OH，OM⊥BH，
∴∠MOB＝∠MOH＝∠CBH，
∴sin∠JOD＝，
∴NJ＝ON•sin∠NOD＝ON，
∴NH+ON＝NH+NJ，
根据垂线段最短可知，当J，N，H共线，且与HK重合时，HN+ON的值最小，最小值＝HK的长，
∵OB＝OH，BC⊥OH，HK⊥OB，
∴HK＝BC＝4，
∴HN+ON是最小值为4．
22．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
【观察与猜想】
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF，则的值为 　1　；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，则的值为 　　；
【类比探究】
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE•AB＝CF•AD；

【拓展延伸】
（4）如图4，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AD＝9，tan∠ADB＝，将△ABD沿BD翻折，点A落在点C处得△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，DE⊥CF．
①求的值；
②连接BF，若AE＝1，直接写出BF的长度．
【解答】解：（1）如图1，设DE与CF交于点G，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠FDC＝90°，AD＝CD，
∵DE⊥CF，
∴∠DGF＝90°，
∴∠ADE+∠CFD＝90°，∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠CFD＝∠AED，
在△AED和△DFC中，，
∴△AED≌△DFC（AAS），
∴DE＝CF，
∴＝1；
（2）如图2，设DB与CE交于点G，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠EDC＝90°，
∵CE⊥BD，
∴∠DGC＝90°，
∴∠CDG+∠ECD＝90°，∠ADB+∠CDG＝90°，
∴∠ECD＝∠ADB，
∵∠CDE＝∠A，
∴△DEC∽△ABD，
∴，
故答案为：．
（3）证明：如图3，过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H，

∵CG⊥EG，
∴∠G＝∠H＝∠A＝∠B＝90°，
∴四边形ABCH为矩形，
∴AB＝CH，∠FCH+∠CFH＝∠DFG+∠FDG＝90°，
∴∠FCH＝∠FDG＝∠ADE，∠A＝∠H＝90°，
∴△DEA∽△CFH，
∴，
∴，
∴DE•AB＝CF•AD；
（4）①如图4，过点C作CG⊥AD于点G，连接AC交BD于点H，CG与DE相交于点O，

∵CF⊥DE，GC⊥AD，
∴∠FCG+∠CFG＝∠CFG+∠ADE＝90°，
∴∠FCG＝∠ADE，∠BAD＝∠CGF＝90°，
∴△DEA∽△CFG，
∴，
在Rt△ABD中，tan∠ADB＝，AD＝9，
∴AB＝3，
在Rt△ADH中，tan∠ADH＝，
∴，
设AH＝a，则DH＝3a，
∵AH2+DH2＝AD2，
∴a2+（3a）2＝92，
∴a＝（负值舍去），
∴AH＝，DH＝，
∴AC＝2AH＝，
∵S△ADC＝AD•CG，
∴×9CG，
∴CG＝，
∴；
②∵AC＝，CG＝，∠AGC＝90°，
∴AG＝＝＝，
由①得△DEA∽△CFG，
∴，
又∵，AE＝1，
∴FG＝，
∴AF＝AG﹣FG＝＝，
∴BF＝＝＝．