七年级数学复习专题：平行线的综合

知识讲解

1．平行线：在同一平面内，两条不相交的直线叫平行线．

2．平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行．

3．平行线的性质：

　　（1）两直线平行，同位角相等．

　　（2）两直线平行，内错角相等．

　　（3）两直线平行，同旁内角互补．

4．平行线的判定：

　　（1）如果两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（平行公理的推论）．

　　（2）同位角相等，两直线平行．

　　（3）内错角相等，两直线平行．

　　（4）同旁内角互补，两直线平行．

5．平移：图形平移前后，形状和大小不发生改变．对应点的连线平行且相等．

6．几个典型图形中的结论：

典例分析

一、与平行有关的计算

例1、（1）如图1，AB∥CD，BE⊥EC于E，BF平分∠ABE，CF平分∠ECD，则∠F＝________．

解析：

　　由典型图形可得∠F=∠ABF＋∠DCF=（∠ABE＋∠DCE）=∠E．

答案：45°．

　　（2）如图2，AB∥EF，∠C＝90°，则x＋y－z=_________．

解析：

　　由典型图形可得x＋y=z＋90°．

答案：　　x＋y－z=90°；

　　（3）如图3，若∠AOB＝25°，则∠ACD＋∠CDE＋∠DEF＋∠EFB＝________．

解析：

　　分别过C作BO的平行线，过F作AO的平行线，

　　再由典型图形可得

　　∠ACD＋∠CDE＋∠DEF＋∠EFB

　　＝540°+25°=565°．

答案：565°

二、平移的应用

例2、（1）如图，小明从A 处出发沿北偏东60°向行走至B处，又沿北偏西20°方向行走至 C 处，此时需把方向调整到与出发时一致，则方向的调整应是（　）

A．右转80°　　　　　　　　　　B．左转80°

C．右转100°　　　　　　　　　 D．左转100°

解析：

　　（1）画出调整后的图形，利用平行的性质求解．

答案：

　　（1）如图所示：由题意可知，∠FAB=60°，∠DBG=20°，

　　由AF∥BG，得∠ABG=120°，则∠ABD=100°，

　　又AB∥CE，则∠BCE=100°，∠DCE=80°．

　　所以方向的调整应是右转80°．

　　（2）把两个一样的梯形纸片如图1摆放，将梯形纸片ABCD沿上底AD方向向右平移得到图2，已知AD＝4，BC＝8，若阴影部分的面积是四边形A′B′CD的面积的，则图2中平移的距离A′A=_________．

解析：

　　设A′A=x，利用梯形面积公式计算．

答案：

　　设A′A=x，则AD′=4－x，B′B=x，BC=8－x．

　　∵阴影部分的面积是四边形A′B′CD的面积的，

　　∴x=3．

　　（3）如图，大长方形的周长为20，则图中五个小长方形的周长之和为_________．

解析：

　　利用平移，将五个小长方形水平的线段转化到大长方形的长，竖直的线段转化为大长方形的宽，再计算周长．

答案：

　　∵五个小长方形的一个长相加等于大长方形的一个长，五个小长方形的一个宽相加等于大长方形的一个宽，

　　∴五个小长方形的周长之和为大长方形的周长．

　　∴五个小长方形的周长之和为20．

例3、探究题

　　（1）如图，直线L是一条固定直线，点A与点B是两个固定点，点P是直线L上一个动点，则动点P运动到什么位置，线段PA＋PB最小？

　　（2）运用上述结论探究下面问题：如图，在一条河的两旁有两个村庄A、B，现要在河流上建一座垂直于河岸的桥梁，问桥梁建在何处可使A村庄到达B村庄的距离AM＋MN＋NB最短？

解析：

　　（1）当点P与A，B三点共线时，线段PA＋PB最小；

　　（2）当AM＋NB最短时，即AM＋MN＋NB最短．将线段MN平移，使点N与B点重合，再连接AM，交上河岸于一点，该点即为修桥地点．

答案：

　　（1）点P运动至线段AB与直线l的交点位置时，线段PA＋PB最小．

　　（2）作图过程如下：①过点B作BC⊥b，且BC=河宽；

　　②连接AC，交a于点M；

　　③过M点作MN⊥b，垂足为N，MN即为修桥地点；

　　④连接BN．

　　此时，AM＋MN＋NB最短．

三、平行线的判定和性质的综合应用

例4、已知：AB∥CD，∠1＝∠2，求证：a∥b．

解析：

　　直线a，b之间无截线，没有形成“三线八角”的基本图形，故应考虑构造辅助线，可连接AD或延长AB．

答案：

　　方法一：证明：连接AD，

　　∵AB∥CD，

　　∴∠BAD＝∠ADC．

　　∵∠1＝∠2，

　　∴∠BAD＋∠1＝∠ADC＋∠2．

　　∴a∥b．

　　方法二：证明：延长AB交直线b于点E，

　　∵AB∥CD，

　　∴∠AED＝∠2．

　　∵∠1＝∠2，

　　∴∠AED＝∠1．

　　∴a∥b．

例5、如图，在三角形ABC中，∠1＋∠2=180°，∠3=∠B，试证明：∠ADE=∠ACB．

解析：

　　欲证∠ADE=∠ACB，需证DE∥CB．由∠1＋∠2=180°，可证DF∥AB．

　　可得∠3=∠AED=∠B，故得证．

答案：

　　证明：∵∠1＋∠2=180°，∠EFD＋∠2=180°，

　　∴∠1＝∠EFD．

　　∴DF∥AB．

　　∴∠3＝∠AED．

　　∵∠3=∠B ，

　　∴∠AED＝∠B．

　　∴DE∥CB．

　　∴∠ADE＝∠ACB．

例6、如图，AB∥CD，∠AEC＝90°，

　　（1）当CE平分∠ACD时，求证：AE平分∠BAC；

　　（2）移动直角顶点E点，如图，∠MCE＝∠ECD，当E点移动时，问∠BAE与∠MCG是否存在确定的数量关系，并证明．

解析：

　　（1）由AB∥CD，得∠BAC＋∠ACD＝180°，

　　过E作EF∥AB，可得EF∥AB∥CD，可得

　　∠BAE＝∠AEF＝90°－∠CEF=90°－∠ECD，

　　而∠BAC＝180°－∠ACD=180°－2∠ECD，

　　则∠BAC=2∠BAE，则AE平分∠BAC．

　　（2）过点M作MF∥AB，由（1）可知，ME平分∠FMC，

　　则可证∠MCG=∠FMC=2∠FME=2∠BAE．

答案：

　　(1)证明：过E作EF∥AB，

　　∵AB∥CD，EF∥AB，

　　∴EF∥AB∥CD．

　　∴∠CEF=∠ECD，∠BAE＝∠AEF．

　　∵∠AEC＝90°，

　　∴∠BAE＝∠AEF＝90°－∠CEF=90°－∠ECD．

　　又AB∥CD，

　　∴∠BAC＋∠ACD＝180°．

　　∴∠BAC＝180°－∠ACD=180°－2∠ECD．

　　∴∠BAC＝2∠BAE．

　　∴AE平分∠BAC．

　　(2)证明：过M作MF∥AB，

　　∵AB∥CD， FM∥AB，

　　∴FM∥AB∥CD．

　　∴∠BAE=∠FME，∠FMC＝∠MCG．

　　由（1）可知，ME平分∠FMC．

　　∴∠MCG=∠FMC＝2∠FME=2∠BAE．