南京师范大学附属中学新城初级中学2022-2023学年八年级上学期期中考试数学试题（含答案）

南京师范大学附属中学新城初级中学2022-2023学年八年级上学期期中考试数学试题

注意事项：

1．选择题请用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．

2．非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷上的指定位置，在其他位置答题一律无效．

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1．“新城初中”四个字中，可看成轴对称图形的是

2．若三角形的三边长为a，b，c，且b2－c2＝a2，则这个三角形是

3．下列说法：①斜边和斜边上的高线分别相等的两个直角三角形全等；②两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；③斜边和一锐角分别相等的两个直角三角形全等；④斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．

其中所有正确结论的序号是

4．如图，若∠C＝∠D，∠1＝∠2，则直接判定△ABC ≌ △ABD的理由是

5．如图，在正方形网格中，到∠AOB两边距离相等的点可能是

6．如图，四边形ABCD是正方形，M，N分别在边CD，BC上，且∠MAN＝45°．设∠AMD＝ α ，∠CNM＝ β ，则 α 与 β 之间的关系为

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）

7．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，若CM是△ABC的中线，则CM＝  ▲  ．

8．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，若CH是△ABC的高线，则CH＝  ▲  ．

9．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，若CI是△ABC的角平分线，则CI＝ ▲ ．

10．若一个等腰三角形的两边长分别为 2 和 6 ，则这个三角形的周长是  ▲  ．

11．如图，△ABC ≌ △ADE，AB，BC分别与DE交于点P，Q．若AB⊥DE，∠CQE＝50°，则∠D＝  ▲  °．

12．如图，Mn，Nn，Pn，Qn（n＝1，2，3，4，5）分别是正方形各边的六等分点．依次连接对应点，得到线段MnNn与PnQn，则图中所有与线段M2N2相等的线段为  ▲  ．

13．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边向外作等边△CDE，则∠AEC＝  ▲  °．

14．将四个全等的直角三角形分别拼成正方形（如图1，2），边长分别为6和2．若以一个直角三角形的两条直角边为边向外作正方形（如图3），其面积分别为S1，S2．则S1－S2＝  ▲  ．

 15．如图，AB＝AC＝BD，AC交BD于点E．若∠AEB＝110°，则∠C＋∠D＝ ▲ °．

16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．若CD⊥AC，CD＝AC，则BD＝  ▲  ．

三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（6分）已知：如图，点C为∠AOB平分线上一点，CD∥OB交OA于点D．

求证OD＝CD．

18．（6分）如图，在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．

（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′；

（2）△ABC的面积为  ▲  ．

 19．（6分）《九章算术》中有一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：有一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？（教材P86）

20．（6分）已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．求证BC＝2 1AB．（教材P65）

21．（6分）已知：如图，射线AB．

求作：∠CAB，使得∠CAB＝30°．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

22．（7分）如图，在 △ABC 和 △DEF 中，AB＝DF，AC＝DE，∠C＋∠E＝180°．

求证∠B＝∠F．

23．（10分）如图，AC和BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD．

（1）求证AB＝CD．

（2）分别过点B、O作AB、AC的垂线，交于点E．若CD＝2，BE＝3，求CE的长．

24．（9分）如图，△ABC 和 △CEF 都为等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECF＝90°，且点E为线段AB上一个动点．

（1）求证∠CBF＝45°；

（2）P为BC上一点．若PB＝，则PF的最短长度为  ▲  ；

（3）若AE＝6，CE＝，则BE＝  ▲  ．

25．（12分）定义：如果三角形中，两边的平方和等于第三边平方的2倍，那么这个三角形叫“超厉害三角形”．

（1）下列三角形一定是“超厉害三角形”的是  ▲  ．

（2）如图1，△ABC是“超厉害三角形”，且AB＜AC＜BC．若正方形ABDE和正方形ACFG的面积分别是7和25，则正方形BCHI的面积是  ▲  ．

（3）若Rt△ABC是“超厉害三角形”，且一条直角边长为3232，则斜边长为  ▲  ．

（4）如图2，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠ADC＝90°．E是四边形ABCD外一点，且AE＝AB，DE＝DC．求证：△AED是“超厉害三角形”．

参考答案

一、选择题（每小题2分，共计12分）

二、填空题（每小题2分，共计20分）

三、解答题（本大题共10小题，共计68分）

17．（本题6分）

证明：∵  CD∥OB交OA于点D，

∴  ∠BOC＝∠DCO． 2分

∵  点C为∠AOB平分线上一点，

∴  ∠BOC＝∠AOC．

∴  ∠AOC＝∠DCO． 4分

∴  OD＝CD． 6分

18．（本题6分）

解：（1）图略． 4分

   （2）2.5． 6分

19．（本题6分）

解：设AC＝x尺，则AB＝(10－x)尺．

由勾股定理，得

x2＋32＝(10－x)2． 4分

解得x＝4.55．

∴  折断处离地面4.55尺． 6分

20．（本题6分）

证明：作△ABC的中线CM． 1分

∵  ∠C＝90°，

∴  CM＝BM＝AM． 2分

∵  ∠A＝30°，

∴  ∠ACM＝∠A＝30°．

∴  ∠CMB＝∠A＋∠ACM＝60°． 4分

∵  CM＝BM，

∴  △MBC是等边三角形．

∴  BC＝CM． 5分

∵  CM＝2 1AB，

∴  BC＝2 1AB． 6分

21．（本题6分）

图略． 6分

22．（本题7分）

证法一：在BC的延长线上截取CM＝EF，连接AM．

∴  ∠ACB＋∠ACM＝180°．

∵  ∠C＋∠E＝180°，

∴  ∠ACM＝∠E． 2分

在△ACM和△DEF中，

CM＝EF．∠ACM＝∠E，

∴  △ACM≌△DEF (SAS)． 4分

∴  ∠M＝∠F，AM＝DF．

∵  AB＝DF．

∴  AM＝AB．

∴  ∠M＝∠B． 6分

∴  ∠B＝∠F． 7分

证法二：分别过点A，D作AM⊥BC，DH⊥EF，垂足为M，H．

∴  ∠DEH＋∠DEF＝180°．

∵  ∠C＋∠E＝180°，

∴  ∠C＝∠DEH． 2分

在△ACM和△DEH中，

AC＝DE．∠ACM＝∠DEH，

∴  △ACM≌△DEH(AAS)． 4分

∴  AM＝DH．

在Rt△ABM和Rt△DFH中，∠AMB＝∠DHF＝90°．

AB＝DF．AM＝DH，

∴  Rt△ABM≌Rt△DFH (HL)． 6分

∴  ∠B＝∠F． 7分

23．（本题10分）

（1）证明：∵  AC和BD相交于点O，

∴  ∠AOB＝∠COD．

在△AOB和△COD中，

OB＝OD．∠AOB＝∠COD，

∴  △AOB≌△COD (SAS)． 3分

∴  AB＝CD． 4分

（2）连接AE．

∵  CD＝2，

∴  AB＝2．

∵  BE⊥AB，BE＝3，

∴  BE⊥AB，AE＝＝． 7分

∵  OE⊥AC，OA＝OC，

∴  EC＝AE＝． 10分

24．（本题9分）

（1）证明：∵  △ABC 和 △CEF 都为等腰直角三角形，

∴  AC＝BC，CE＝CF．

∵  ∠ACB＝∠ECF＝90°，

∴  ∠ACE＝∠BCF．

在△ACE和△BCF中，

CE＝CF．∠ACE＝∠BCF，

∴  △ACE≌△BCF (SAS)． 3分

∴  ∠A＝∠CBF．

∵  △ABC是等腰直角三角形，

∴  ∠A＝45°．

∴  ∠CBF＝45°． 5分

（2）1． 7分

（3）8． 9分

25．（本题12分）

（1）D． 2分

（2）43． 4分

（3）1，． 8分

（4）连接AC．

∵  ∠ABC＝∠ADC＝90°，

∴  △ABC和△ADC均为直角三角形，

在Rt△ABC中，AB2＋BC2＝AC2．

在Rt△ADC中，AD2＋DC2＝AC2． 10分

∵  AB＝BC＝AE，DE＝DC，

∴  2AE2 ＝ AD2＋ DE 2．

∴  △AED是“超厉害三角形”． 12分