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2022-2023学年北京市西城区九年级（上）月考数学试卷（10月份）（解析版）
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2022-2023学年北京市西城区九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．（2分）下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）A．y＝3x﹣1 B．y＝3x2+x﹣1 C． D．2．（2分）受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从元月份的300万元，连续两个月降至260万元，则可列方程（ ）A．300（1+x）2＝260 B．300（1﹣x2）＝260 C．300（1﹣2x）＝260 D．300（1﹣x）2＝2603．（2分）将抛物线y＝﹣3x2平移，得到抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（ ）A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位4．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，Δ＝b2﹣4ac，则下列四个选项正确的是（ ）A．b＜0，c＜0，Δ＞0 B．b＞0，c＜0，Δ＜0 C．b＞0，c＜0，Δ＞0 D．b＜0，c＞0，Δ＜05．（2分）关于x的方程（k﹣3）x2﹣4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）A．k≤5 B．k＜5且k≠3 C．k≤5且k≠3 D．k≥5且k≠36．（2分）小高发现，用微波炉加工爆米花时，时间太短，时间太长，就糊了．如果将爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下（单位：分钟）满足的函数关系p＝at2+bt+c（a、b、c是常数），小高记录了三次实验的数据（如图）．根据上述函数模型和实验数据（ ）A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟7．（2分）已知4是关于x的方程x2﹣5mx+12m＝0的一个根，且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则△ABC的周长为（ ）A．14 B．16 C．12或14 D．14或168．（2分）表中所列x，y的6对值是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上的点所对应的坐标，其中﹣3＜x1＜x2＜x3＜x4＜1，n＜m．根据表中信息，下列4个结论：①b﹣2a＝0；②abc＜0；④如果x3＝，c＝﹣，那么当﹣3＜x＜0时，则﹣≤k＜（ ）个．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）请写出一个一元二次方程，要求满足下列两个条件：①有两个不等实根；②其中有一个解为x＝2 ．10．（2分）二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，若点A（0，y1）和B（﹣3，y2）在此函数图象上，则y1 y2（填“＜”“＞”或“＝”）．11．（2分）有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了 个人．12．（2分）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）和（3，0），则方程ax2+bx+c＝0的解为 ．13．（2分）特殊时期，市疾控专家提醒广大市民，乘坐电梯切莫大意，某商场在厢式电梯地面铺设了醒目的隔离带，提醒顾客乘坐电梯时持足够的空间距离，宽为170cm的矩形地面，已知无隔离带区域（空白部分）2，若设隔离带的宽度均为xcm，那么x满足的一元二次方程是 ．14．（2分）若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于 ．15．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，其中点B的坐标为B（4，0），抛物线的对称轴交x轴于点D，并与抛物线的对称轴交于点E．现有下列结论：①a＞0；②b＞0；④AD+CE＝4．其中所有正确结论的序号是 ．16．（2分）在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c的一部分图象如图所示，它与x轴交于A（1，0），与y轴交于点B（0，3） ，a的取值范围是 ．三、解答题17．（10分）用适当的方法解下列方程：（1）（x﹣3）2＝25；（2）3x2+2x﹣2＝0．18．（5分）已知a是方程x2﹣2x﹣4＝0的一个实数根，求代数式（a﹣2）2+（a+1）（a﹣1）的值．19．（5分）已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象与y轴交于点A（0，﹣3），且经过点B（2，5）．（1）求二次函数的解析式；（2）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式．20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根为负数，求m的取值范围．21．（7分）对于抛物线y＝x2﹣4x+3．（1）它与x轴交点的坐标为 ，与y轴交点的坐标为 ，顶点坐标为 ；（2）在坐标系中画出此抛物线；（3）当﹣1＜x＜时，y的取值范围是 ．22．（6分）运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h（m）（s）满足二次函数关系，t与h的几组对应值如下表所示．（1）求h与t之间的函数关系式（不要求写t的取值范围）；（2）求小球飞行3s时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22m？请说明理由．23．如图，要在墙边围一个矩形花圃．花圃的一边靠墙（墙的长度不限），另三边用篱笆围成．如果矩形花圃的面积为50平方米，求矩形花圃的长和宽各是多少米？24．阅读下面的材料：小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x≤m，求二次函数y＝x2﹣6x+7的最大值．他画图研究后发现，x＝1和x＝5时的函数值相等，于是他认为需要对m进行分类讨论．他的解答过程如下：∵二次函数y＝x2﹣6x+7的对称轴为直线x＝3，∴由对称性可知，x＝1和x＝5时的函数值相等．∴若1≤m＜5，则x＝1时，y的最大值为2；若m≥5，则x＝m时，y的最大值为m2﹣6m+7．请你参考小明的思路，解答下列问题：（1）当﹣2≤x≤4时，二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为 ；（2）若p≤x≤2，求二次函数y＝2x2+4x+1的最大值；（3）若t≤x≤t+2时，二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为31，则t的值为 ．25．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于点A，B（A在B的左侧）．（1）抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，AB＝4．求抛物线的表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形；（3）当m＝4时，抛物线上有两点M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜2，x2＞2，x1+x2＞4，试判断y1与y2的大小，并说明理由．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）经过点A（﹣1，0），将点B（0，4），得到点C（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．27．对于平面直角坐标系xOy中的点P和正方形给出如下定义：若正方形的对角线交于点O，四条边分别和坐标轴平行，我们称该正方形为“原点正方形”．当“原点正方形”上存在点Q，称点P为原点正方形的“友好点”．（1）当“原点正方形”边长为4时，①在点P1（0，0），P2（﹣1，1），P3（1，3），P4（3，3）中，“原点正方形”的“友好点”是 ．②点P在直线y＝x的图象上，若点P为“原点正方形”的“友好点”，求点P横坐标的取值范围；（2）一次函数y＝﹣x+2的图象分别与x轴，y轴交于点A、B，若线段AB上存在“原点正方形”的“友好点” 2022-2023学年北京市西城区九年级（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．（2分）下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）A．y＝3x﹣1 B．y＝3x2+x﹣1 C． D．【分析】利用二次函数定义进行解答即可．【解答】解：A、y＝3x﹣1是一次函数，故此选项不合题意；B、y＝4x2+x﹣1是二次函数，故此选项合题意；C、y＝，故此选项不符合题意；D、y＝2x8+不是二次函数；故选：B．【点评】本题主要考查二次函数的定义，解题的关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．2．（2分）受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从元月份的300万元，连续两个月降至260万元，则可列方程（ ）A．300（1+x）2＝260 B．300（1﹣x2）＝260 C．300（1﹣2x）＝260 D．300（1﹣x）2＝260【分析】根据该企业元月份及经过两个月降低后的生产总值，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：依题意，得：300（1﹣x）2＝260．故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．3．（2分）将抛物线y＝﹣3x2平移，得到抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（ ）A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．【解答】解：∵y＝﹣3x2的顶点坐标为（4，0）2﹣2的顶点坐标为（1，﹣2），∴将抛物线y＝﹣6x2向右平移1个单位，再向下平移3个单位2﹣2．故选：D．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．4．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，Δ＝b2﹣4ac，则下列四个选项正确的是（ ）A．b＜0，c＜0，Δ＞0 B．b＞0，c＜0，Δ＜0 C．b＞0，c＜0，Δ＞0 D．b＜0，c＞0，Δ＜0【分析】根据抛物线的开口方向和对称轴的位置确定b的符号，由抛物线与x轴的交点个数确定Δ的符号，由抛物线与y轴的交点位置确定c的符号，即可得出答案．【解答】解：∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴﹣＞4，∴b＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方，∴c＜0，∵抛物线与x轴有两个交点，∴Δ＞6，故选：A．【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要牢记图象与系数的关系，牢记抛物线的对称轴公式．5．（2分）关于x的方程（k﹣3）x2﹣4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）A．k≤5 B．k＜5且k≠3 C．k≤5且k≠3 D．k≥5且k≠3【分析】讨论：当k﹣3＝0，即k＝3，方程为一元一次方程，有一个解；当k﹣3≠0时，利用判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣4（k﹣3）×2≥0，解得k≤5且k≠3，然后综合两种情况得到k的范围．【解答】解：当k﹣3＝0，即k＝4，解得x＝﹣；当k﹣3≠0时，Δ＝（﹣4）3﹣4（k﹣3）×8≥0，解得k≤5且k≠7，综上所述，k的范围为k≤5．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．6．（2分）小高发现，用微波炉加工爆米花时，时间太短，时间太长，就糊了．如果将爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下（单位：分钟）满足的函数关系p＝at2+bt+c（a、b、c是常数），小高记录了三次实验的数据（如图）．根据上述函数模型和实验数据（ ）A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟【分析】由题意函数关系p＝at2+bt+c（a，b，c是常数）经过点（3，0.7），（4，0.8），（5，0.5），列出方程组，推导出p＝﹣0.2t2+1.5t﹣2.2＝﹣0.2（t﹣3.75）2+0.6125，由此能得到最佳加工时间．【解答】解：由题意函数关系p＝at2+bt+c（a，b，c是常数）经过点（3，（5，（5，代入得：，解得：，∴p＝﹣0.8t2+1.6t﹣2＝﹣0.6（t﹣3.75）2+4.8125，∴得到最佳加工时间为3.75分钟．故选：B．【点评】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及利用二次函数的图象和性质求最值问题是解题的关键．7．（2分）已知4是关于x的方程x2﹣5mx+12m＝0的一个根，且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则△ABC的周长为（ ）A．14 B．16 C．12或14 D．14或16【分析】先把x＝4代入方程x2﹣5mx+12m＝0得m＝2，则方程为x2﹣10x+24＝0，利用因式分解法解方程得到x1＝4，x2＝6，再利用等腰三角形的性质和三角形三边的关系确定三角形三边长，然后计算对应的三角形周长．【解答】解：把x＝4代入方程x2﹣2mx+12m＝0得16﹣20m+12m＝0，解得m＝3，则方程为x2﹣10x+24＝0，（x﹣7）（x﹣6）＝0，所以x4＝4，x2＝8，因为这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，所以这个等腰三角形三边分别为4、4、4；4、6、2，所以△ABC的周长为14或16．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了三角形三边的关系．8．（2分）表中所列x，y的6对值是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上的点所对应的坐标，其中﹣3＜x1＜x2＜x3＜x4＜1，n＜m．根据表中信息，下列4个结论：①b﹣2a＝0；②abc＜0；④如果x3＝，c＝﹣，那么当﹣3＜x＜0时，则﹣≤k＜（ ）个．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①由二次函数的对称性可得对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，可直接判断；②由对称轴的位置及x3＜x4＜1且n＜m，可知在对称轴右侧，y随x的增大而增大，由此可判断a的符号，进而可判断b和c的符号；③由上述判断可知，当x＝1时，m＞0，结合b＝2a可判断；④根据题中给出的数据，可求得函数解析式，进而可判断﹣3＜x＜0时，y的取值范围，进而可判断．，【解答】解：①由表格可知，当x＝﹣3和x＝1时，∴对称轴为直线x＝﹣＝＝﹣1，∴b＝2a，即b﹣3a＝0，符合题意；②由表格可知，﹣1＜x8＜x4＜1，且4＜n＜m，∴在对称轴右侧，y随x的增大而增大，∴a＞0，∴b＝2a＞8，由表格可知，当x＝x1和x＝x3，函数值相等，又∵a＞4，x1＜x2＜x7，∴c＜0，∴abc＜0，故②正确；③由上分析可知，当x＝3时，又∵b＝2a，∴y＝3a+c＞6，故③正确；④当x3＝，c＝﹣时，0），∵对称轴为直线x＝﹣8，∴抛物线跟x轴的另一个交点（﹣，6），∴函数的解析式可设为y＝a（x﹣）（x+），∵c＝﹣，∴﹣×a＝﹣，∴函数解析式为：y＝（x﹣）（x+）当x＝﹣3时，y＝（﹣4﹣）＝，y＝c＝﹣，又抛物线的顶点坐标为（﹣6，﹣），∴当k＝﹣时，直线y＝k与该二次函数图象有一个公共点；∴若直线y＝k与该二次函数图象有一个公共点，则﹣或k＝﹣．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）请写出一个一元二次方程，要求满足下列两个条件：①有两个不等实根；②其中有一个解为x＝2 x2﹣2x＝0 ．【分析】以0和﹣2为根，写一个一元二次方程即可．【解答】解：x（x﹣2）＝0，化为一般式为x5﹣2x＝0．故答案为x6﹣2x＝0．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．10．（2分）二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，若点A（0，y1）和B（﹣3，y2）在此函数图象上，则y1 ＞ y2（填“＜”“＞”或“＝”）．【分析】根据抛物线的对称性，在对称轴同侧的可根据增减性由自变量x的大小得出函数值y的大小，在对称轴一侧的可根据离对称轴的远近和抛物线的增减性进行判断．【解答】解：点A（0，y1）和B（﹣2，y2）在抛物线对称轴x＝﹣2的两侧，且点A比点B离对称轴要远3＞y2，故答案为＞．【点评】考查二次函数的图象和性质，根据增减性、对称性和自变量x的大小判断相应函数值的大小．11．（2分）有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了 12 个人．【分析】根据题意可得第一轮人数加第二轮人数，再加第三轮人数总数为169人，设平均每人感染x人，则列式为1+x+（x+1）x＝169．即可解答．【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得x+1+（x+1）x＝169x＝12或x＝﹣14（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了12个人．故答案为：12．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握增长率问题．12．（2分）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）和（3，0），则方程ax2+bx+c＝0的解为 x1＝﹣1，x2＝3． ．【分析】利用抛物线与x轴的交点问题确定方程ax2+bx+c＝0的解．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，5）和（3，∴方程ax2+bx+c＝8的解为x1＝﹣1，x3＝3．故答案为：x1＝﹣8，x2＝3．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．13．（2分）特殊时期，市疾控专家提醒广大市民，乘坐电梯切莫大意，某商场在厢式电梯地面铺设了醒目的隔离带，提醒顾客乘坐电梯时持足够的空间距离，宽为170cm的矩形地面，已知无隔离带区域（空白部分）2，若设隔离带的宽度均为xcm，那么x满足的一元二次方程是 （190﹣2x）（170﹣x）＝29700 ．【分析】由隔离带的宽度可得出无隔离带区域（空白部分）可合成长为（190﹣2x）cm，宽为（170﹣x）cm的矩形，根据无隔离带区域（空白部分）的面积为29700cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：∵隔离带的宽度均为xcm，∴无隔离带区域（空白部分）可合成长为（190﹣2x）cm，宽为（170﹣x）cm的矩形，依题意得：（190﹣2x）（170﹣x）＝29700．故答案为：（190﹣3x）（170﹣x）＝29700．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．14．（2分）若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于 2028 ．【分析】根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出x12﹣4x1＝2020，x1+x2＝4，代入原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2＝x12﹣4x1+2（x1+x2）计算可得．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，∴x4+x2＝4，x52﹣4x2﹣2020＝0，即x18﹣4x1＝2020，则原式＝x72﹣4x3+2x1+6x2＝x18﹣4x1+6（x1+x2）＝2020+3×4＝2020+8＝2028，故答案为：2028．【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．15．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，其中点B的坐标为B（4，0），抛物线的对称轴交x轴于点D，并与抛物线的对称轴交于点E．现有下列结论：①a＞0；②b＞0；④AD+CE＝4．其中所有正确结论的序号是 ②④ ．【分析】根据图象的开口方向、与x和y轴的交点、对称轴所在的位置，判断即可．【解答】解：①该函数图象的开口向下，a＜0；②∵a＜0，﹣＞0，正确；③把x＝2代入解析式可得7a+2b+c＞0，错误；④∵AD＝DB，CE＝OD，可得：AD+CE＝5．故答案为：②④【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．根据二次函数y＝ax2+bx+c系数符号判断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数．16．（2分）在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c的一部分图象如图所示，它与x轴交于A（1，0），与y轴交于点B（0，3） 下 ，a的取值范围是 ﹣3＜a＜0 ．【分析】根据图象得出a＜0，b＜0，由抛物线与x轴交于A（1，0），与y轴交于点B （0，3），得出a+b＝﹣3，得出﹣3＜a＜0即可．【解答】解：根据图象得：a＜0，b＜0，∴开口向下，∵抛物线与x轴交于A（7，0） （0，∴，∴a+b＝﹣3，∵b＜2，∴﹣3＜a＜0．故答案为：下，﹣3＜a＜0．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系，难度一般，关键是正确获取图象信息进行解题．三、解答题17．（10分）用适当的方法解下列方程：（1）（x﹣3）2＝25；（2）3x2+2x﹣2＝0．【分析】（1）应用直接开方法解一元二次方程即可．（2）应用公式法解一元二次方程即可．【解答】解：（1）（x﹣3）2＝25，∴x﹣2＝±5，∴x1＝4，x2＝﹣2．（2）7x2+2x﹣6＝0，∵a＝3，b＝7，Δ＝22﹣6×3×（﹣2）＝28＞7，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝．【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．18．（5分）已知a是方程x2﹣2x﹣4＝0的一个实数根，求代数式（a﹣2）2+（a+1）（a﹣1）的值．【分析】将x＝a代人方程，得到a2﹣2a＝4，然后整体代人即可．【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个实数根，∴a2﹣8a＝4，∴原式＝a2﹣5a+4+a2﹣3＝2a2﹣2a+3＝2（a8﹣2a）+3＝3×4+3＝11．【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的含义，解题的关键是根据方程的解的含义，将解代入原方程，从而求得代数式的解．19．（5分）已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象与y轴交于点A（0，﹣3），且经过点B（2，5）．（1）求二次函数的解析式；（2）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式．【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）利用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式即可．【解答】解：（1）把点（0，﹣3），5）代入y＝x2+bx+c，得，，解得，∴二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3；（2）y＝x2+3x﹣3＝x2+3x+1﹣1﹣7＝（x+1）2﹣2．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的三种表现形式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根为负数，求m的取值范围．【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案．（2）根据因式分解法求出两根，然后列出不等式即可求出答案．【解答】解：（1）由题意可知：Δ＝（﹣m）2﹣4（m﹣2）＝（m﹣2）2∵（m﹣3）2≥0，∴方程总有两个实数根．（2）由题意可知：x＝m﹣4或x＝1∵方程有一个根为负数，∴m﹣1＜8．∴m＜1．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．21．（7分）对于抛物线y＝x2﹣4x+3．（1）它与x轴交点的坐标为 （1，0），（3，0） ，与y轴交点的坐标为 （0，3） ，顶点坐标为 （2，﹣1） ；（2）在坐标系中画出此抛物线；（3）当﹣1＜x＜时，y的取值范围是 ﹣1≤y＜8． ．【分析】（1）设y＝0，求出x的值，即可确定图象与x轴的交点坐标，取x＝0，求出y的值，即可确定图象与y轴的交点坐标，将该函数的一般式化成顶点式，即可确定顶点坐标；（2）根据抛物线的顶点，与坐标轴的交点即可画出图象；（3）根据图象先确定x＝﹣1和x＝时y的值，在由图象的增减性即可得出答案．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣6，取y＝0，则（x﹣2）4﹣1＝0，解得x＝4或x＝3，∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，3）和（3，取x＝0，则y＝2，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），由抛物线的顶点式可得顶点为（7，﹣1），故答案为：（1，2），0），3），﹣5）；（2）图象如下：（3）当x＝﹣1时，y＝（﹣1﹣8）2﹣1＝5，当x＝2时，y＝﹣1，当x＝时，y＝，由图象可知﹣4≤y＜8，故答案为：﹣1≤y＜5．【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要能根据解析式求出图象与坐标轴的交点坐标，能根据图象的顶点和图象与坐标轴的交点画图象．22．（6分）运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h（m）（s）满足二次函数关系，t与h的几组对应值如下表所示．（1）求h与t之间的函数关系式（不要求写t的取值范围）；（2）求小球飞行3s时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22m？请说明理由．【分析】（1）设h与t之间的函数关系式为h＝at2+bt（a≠0），然后再根据表格代入t＝1时，h＝15；t＝2时，h＝20可得关于a、b的方程组，再解即可得到a、b的值，进而可得函数解析式；（2）根据函数解析式，代入t＝3可得h的值；（3）把函数解析式写成顶点式的形式可得小球飞行的最大高度，进而可得答案．【解答】解：（1）∵t＝0时，h＝0，∴设h与t之间的函数关系式为h＝at7+bt（a≠0），∵t＝1时，h＝15，h＝20，∴，解得，∴h与t之间的函数关系式为h＝﹣7t2+20t；（2）小球飞行3秒时，t＝3（s）2+20×3＝15（m）．答：小球飞行4s时的高度为15米；（3）∵h＝﹣5t2+20t＝﹣4（t﹣2）2+20，∴小球飞行的最大高度为20m，∵22＞20，∴小球的飞行高度不能达到22m．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握配方法化顶点解析式．23．如图，要在墙边围一个矩形花圃．花圃的一边靠墙（墙的长度不限），另三边用篱笆围成．如果矩形花圃的面积为50平方米，求矩形花圃的长和宽各是多少米？【分析】设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（20﹣2x）米，利用矩形的面积计算公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出矩形花圃的宽，再将其代入（20﹣2x）中即可求出矩形花圃的长．【解答】解：设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（20﹣2x）米，依题意得：x（20﹣2x）＝50，整理得：x2﹣10x+25＝0，解得：x1＝x3＝5，∴20﹣2x＝20﹣8×5＝10．答：矩形花圃的长为10米，宽为5米．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．24．阅读下面的材料：小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x≤m，求二次函数y＝x2﹣6x+7的最大值．他画图研究后发现，x＝1和x＝5时的函数值相等，于是他认为需要对m进行分类讨论．他的解答过程如下：∵二次函数y＝x2﹣6x+7的对称轴为直线x＝3，∴由对称性可知，x＝1和x＝5时的函数值相等．∴若1≤m＜5，则x＝1时，y的最大值为2；若m≥5，则x＝m时，y的最大值为m2﹣6m+7．请你参考小明的思路，解答下列问题：（1）当﹣2≤x≤4时，二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为 49 ；（2）若p≤x≤2，求二次函数y＝2x2+4x+1的最大值；（3）若t≤x≤t+2时，二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为31，则t的值为 1或﹣5 ．【分析】（1）先求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，然后确定当x＝4时取得最大值，代入函数解析式进行计算即可得解；（2）先求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，再根据对称性可得x＝﹣4和x＝2时函数值相等，然后分p≤﹣4，﹣4＜p≤2讨论求解；（3）根据（2）的思路分t＜﹣2，t≥﹣2时两种情况讨论求解．【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴当﹣2≤x≤3时，二次函数y＝2x2+6x+1的最大值为：2×32+4×8+1＝49；（2）∵二次函数y＝2x3+4x+1的对称轴为直线x＝﹣4，∴由对称性可知，当x＝﹣4和x＝2时函数值相等，∴若p≤﹣7，则当x＝p时2+4p+3，若﹣4＜p≤2，则当x＝3时；（3）t＜﹣2时，最大值为：2t8+4t+1＝31，整理得，t5+2t﹣15＝0，解得t2＝3（舍去），t2＝﹣5，t≥﹣2时，最大值为：2（t+7）2+4（t+7）+1＝31，整理得，（t+2）7+2（t+2）﹣15＝3，解得t1＝1，t2＝﹣7（舍去），所以，t的值为1或﹣7．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，主要利用了二次函数的对称性，确定出抛物线的对称轴解析式是确定p和t的取值范围的关键，难点在于读懂题目信息．25．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于点A，B（A在B的左侧）．（1）抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，AB＝4．求抛物线的表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形；（3）当m＝4时，抛物线上有两点M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜2，x2＞2，x1+x2＞4，试判断y1与y2的大小，并说明理由．【分析】（1）先根据抛物线和x轴的交点及线段的长，求出抛物线的解析式；（2）根据平移后抛物线的特点设出抛物线的解析式，再利用等腰直角三角形的性质求出抛物线解析式；（3）根据抛物线的解析式判断出点M，N的大概位置，再关键点M，N的横坐标的范围即可得出结论．【解答】解：（1）抛物线 y＝﹣x2+mx+n的对称轴为直线x＝﹣3，AB＝5．∴点 A（﹣5，点B（﹣1．∴抛物线的表达式为y＝﹣（x+4）（ x+1）∴y＝﹣x2﹣7x﹣5．（2）如图1，依题意，设平移后的抛物线表达式为：y＝﹣x3+bx．∴抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴正半轴交于点C（b．∴b＞0．记平移后的抛物线顶点为P，∴点P的坐标（，），∵△OCP是等腰直角三角形，∴＝∴b＝8．∴点P的坐标（1，1）．（3）如图5，当m＝4时，抛物线表达式为：y＝﹣x2+7x+n．∴抛物线的对称轴为直线 x＝2．∵点M（x1，y4）和N（x2，y2）在抛物线上，且x2＜2，x2＞7，∴点M在直线x＝2的左侧，点N在直线x＝2的右侧．∵x5+x2＞4，∴8﹣x1＜x2﹣7，∴点M到直线x＝2的距离比点N到直线x＝2的距离近，∴y8＞y2．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线的性质，待定系数法，平移的性质，顶点坐标的确定，函数值大小的确定，解本题的关键是熟练掌握抛物线的性质，是一道中等难度的中考常考题．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）经过点A（﹣1，0），将点B（0，4），得到点C（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．【分析】（1）根据平移点的坐标的不变规律，得出答案，（2）利用抛物线的对称轴的计算方法x＝﹣求得即可，（3）结合图象，分两种情况，第1种为顶点在BC上，即顶点（1，4），第2种为与y轴的交点在（0，4）以上，抛物线与线段BC恰有一个公共点，【解答】解：（1）根据平移规律，向右平移5个单位，横坐标加5，3），（2）由抛物线的对称轴的计算方法得：x＝﹣＝4，（3）如图所示：①当抛物线的顶点在线段BC上时，顶点（1，即：，解得：a＝﹣1，②当抛物线与y轴交点在（0，3）以上，解得：a＜﹣，综上所述：【点评】考查二次函数的图象和性质，掌握平移规律和抛物线的顶点坐标计算方法是解决问题的关键．27．对于平面直角坐标系xOy中的点P和正方形给出如下定义：若正方形的对角线交于点O，四条边分别和坐标轴平行，我们称该正方形为“原点正方形”．当“原点正方形”上存在点Q，称点P为原点正方形的“友好点”．（1）当“原点正方形”边长为4时，①在点P1（0，0），P2（﹣1，1），P3（1，3），P4（3，3）中，“原点正方形”的“友好点”是 P2，P3 ．②点P在直线y＝x的图象上，若点P为“原点正方形”的“友好点”，求点P横坐标的取值范围；（2）一次函数y＝﹣x+2的图象分别与x轴，y轴交于点A、B，若线段AB上存在“原点正方形”的“友好点”【分析】（1）①根据定义进行判断即可；②结合图形，确定P点所在的区域即可求解；（2）分别求出A、B点坐标，根据定义，作出符合条件的圆和正方形，画出图形，结合图形解题即可．【解答】解：（1）①当点P1（0，3）时1的最小距离是2，故不存在Q点使P5Q≤1； 当P2（﹣6，1）时，1）8Q≤1；当P3（7，3）时，2）7Q≤1；当P4（8，3）时4的最小距离是，故不存在Q点使P4Q≤1；故答案为：P7，P3；②∵正方形的边长为4，∴A（﹣6，2），﹣2），﹣2），2），∴P点在边长为6和边长为7的正方形区域内，如图阴影部分区域，∵阴影部分的四个角是四个半径为1的四分之一圆，∴P点横坐标的取值范围是：1≤x≤5+或﹣7﹣；（2）直线y＝﹣x+3与x轴交点A（2，0），7），∴AO＝2，以AB的中点（1，4）为圆心，∴OD＝﹣1，∴小正方形的边长为6﹣，当CA＝1时，C点坐标为（6，∴大正方形的边长为6，∴2﹣≤a≤6时．【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，正方形的性质，弄清定义，数形结合解题是关键． x…﹣3x1x2x3x41…y…m0c0nm…t（s）00.511.52…h（m）08.751518.7520…x…﹣3x1x2x3x41…y…m0c0nm…t（s）00.511.52…h（m）08.751518.7520…
2022-2023学年北京市西城区九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．（2分）下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）A．y＝3x﹣1 B．y＝3x2+x﹣1 C． D．2．（2分）受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从元月份的300万元，连续两个月降至260万元，则可列方程（ ）A．300（1+x）2＝260 B．300（1﹣x2）＝260 C．300（1﹣2x）＝260 D．300（1﹣x）2＝2603．（2分）将抛物线y＝﹣3x2平移，得到抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（ ）A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位4．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，Δ＝b2﹣4ac，则下列四个选项正确的是（ ）A．b＜0，c＜0，Δ＞0 B．b＞0，c＜0，Δ＜0 C．b＞0，c＜0，Δ＞0 D．b＜0，c＞0，Δ＜05．（2分）关于x的方程（k﹣3）x2﹣4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）A．k≤5 B．k＜5且k≠3 C．k≤5且k≠3 D．k≥5且k≠36．（2分）小高发现，用微波炉加工爆米花时，时间太短，时间太长，就糊了．如果将爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下（单位：分钟）满足的函数关系p＝at2+bt+c（a、b、c是常数），小高记录了三次实验的数据（如图）．根据上述函数模型和实验数据（ ）A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟7．（2分）已知4是关于x的方程x2﹣5mx+12m＝0的一个根，且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则△ABC的周长为（ ）A．14 B．16 C．12或14 D．14或168．（2分）表中所列x，y的6对值是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上的点所对应的坐标，其中﹣3＜x1＜x2＜x3＜x4＜1，n＜m．根据表中信息，下列4个结论：①b﹣2a＝0；②abc＜0；④如果x3＝，c＝﹣，那么当﹣3＜x＜0时，则﹣≤k＜（ ）个．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）请写出一个一元二次方程，要求满足下列两个条件：①有两个不等实根；②其中有一个解为x＝2 ．10．（2分）二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，若点A（0，y1）和B（﹣3，y2）在此函数图象上，则y1 y2（填“＜”“＞”或“＝”）．11．（2分）有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了 个人．12．（2分）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）和（3，0），则方程ax2+bx+c＝0的解为 ．13．（2分）特殊时期，市疾控专家提醒广大市民，乘坐电梯切莫大意，某商场在厢式电梯地面铺设了醒目的隔离带，提醒顾客乘坐电梯时持足够的空间距离，宽为170cm的矩形地面，已知无隔离带区域（空白部分）2，若设隔离带的宽度均为xcm，那么x满足的一元二次方程是 ．14．（2分）若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于 ．15．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，其中点B的坐标为B（4，0），抛物线的对称轴交x轴于点D，并与抛物线的对称轴交于点E．现有下列结论：①a＞0；②b＞0；④AD+CE＝4．其中所有正确结论的序号是 ．16．（2分）在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c的一部分图象如图所示，它与x轴交于A（1，0），与y轴交于点B（0，3） ，a的取值范围是 ．三、解答题17．（10分）用适当的方法解下列方程：（1）（x﹣3）2＝25；（2）3x2+2x﹣2＝0．18．（5分）已知a是方程x2﹣2x﹣4＝0的一个实数根，求代数式（a﹣2）2+（a+1）（a﹣1）的值．19．（5分）已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象与y轴交于点A（0，﹣3），且经过点B（2，5）．（1）求二次函数的解析式；（2）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式．20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根为负数，求m的取值范围．21．（7分）对于抛物线y＝x2﹣4x+3．（1）它与x轴交点的坐标为 ，与y轴交点的坐标为 ，顶点坐标为 ；（2）在坐标系中画出此抛物线；（3）当﹣1＜x＜时，y的取值范围是 ．22．（6分）运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h（m）（s）满足二次函数关系，t与h的几组对应值如下表所示．（1）求h与t之间的函数关系式（不要求写t的取值范围）；（2）求小球飞行3s时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22m？请说明理由．23．如图，要在墙边围一个矩形花圃．花圃的一边靠墙（墙的长度不限），另三边用篱笆围成．如果矩形花圃的面积为50平方米，求矩形花圃的长和宽各是多少米？24．阅读下面的材料：小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x≤m，求二次函数y＝x2﹣6x+7的最大值．他画图研究后发现，x＝1和x＝5时的函数值相等，于是他认为需要对m进行分类讨论．他的解答过程如下：∵二次函数y＝x2﹣6x+7的对称轴为直线x＝3，∴由对称性可知，x＝1和x＝5时的函数值相等．∴若1≤m＜5，则x＝1时，y的最大值为2；若m≥5，则x＝m时，y的最大值为m2﹣6m+7．请你参考小明的思路，解答下列问题：（1）当﹣2≤x≤4时，二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为 ；（2）若p≤x≤2，求二次函数y＝2x2+4x+1的最大值；（3）若t≤x≤t+2时，二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为31，则t的值为 ．25．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于点A，B（A在B的左侧）．（1）抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，AB＝4．求抛物线的表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形；（3）当m＝4时，抛物线上有两点M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜2，x2＞2，x1+x2＞4，试判断y1与y2的大小，并说明理由．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）经过点A（﹣1，0），将点B（0，4），得到点C（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．27．对于平面直角坐标系xOy中的点P和正方形给出如下定义：若正方形的对角线交于点O，四条边分别和坐标轴平行，我们称该正方形为“原点正方形”．当“原点正方形”上存在点Q，称点P为原点正方形的“友好点”．（1）当“原点正方形”边长为4时，①在点P1（0，0），P2（﹣1，1），P3（1，3），P4（3，3）中，“原点正方形”的“友好点”是 ．②点P在直线y＝x的图象上，若点P为“原点正方形”的“友好点”，求点P横坐标的取值范围；（2）一次函数y＝﹣x+2的图象分别与x轴，y轴交于点A、B，若线段AB上存在“原点正方形”的“友好点” 2022-2023学年北京市西城区九年级（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．（2分）下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）A．y＝3x﹣1 B．y＝3x2+x﹣1 C． D．【分析】利用二次函数定义进行解答即可．【解答】解：A、y＝3x﹣1是一次函数，故此选项不合题意；B、y＝4x2+x﹣1是二次函数，故此选项合题意；C、y＝，故此选项不符合题意；D、y＝2x8+不是二次函数；故选：B．【点评】本题主要考查二次函数的定义，解题的关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．2．（2分）受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从元月份的300万元，连续两个月降至260万元，则可列方程（ ）A．300（1+x）2＝260 B．300（1﹣x2）＝260 C．300（1﹣2x）＝260 D．300（1﹣x）2＝260【分析】根据该企业元月份及经过两个月降低后的生产总值，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：依题意，得：300（1﹣x）2＝260．故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．3．（2分）将抛物线y＝﹣3x2平移，得到抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（ ）A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．【解答】解：∵y＝﹣3x2的顶点坐标为（4，0）2﹣2的顶点坐标为（1，﹣2），∴将抛物线y＝﹣6x2向右平移1个单位，再向下平移3个单位2﹣2．故选：D．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．4．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，Δ＝b2﹣4ac，则下列四个选项正确的是（ ）A．b＜0，c＜0，Δ＞0 B．b＞0，c＜0，Δ＜0 C．b＞0，c＜0，Δ＞0 D．b＜0，c＞0，Δ＜0【分析】根据抛物线的开口方向和对称轴的位置确定b的符号，由抛物线与x轴的交点个数确定Δ的符号，由抛物线与y轴的交点位置确定c的符号，即可得出答案．【解答】解：∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴﹣＞4，∴b＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方，∴c＜0，∵抛物线与x轴有两个交点，∴Δ＞6，故选：A．【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要牢记图象与系数的关系，牢记抛物线的对称轴公式．5．（2分）关于x的方程（k﹣3）x2﹣4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）A．k≤5 B．k＜5且k≠3 C．k≤5且k≠3 D．k≥5且k≠3【分析】讨论：当k﹣3＝0，即k＝3，方程为一元一次方程，有一个解；当k﹣3≠0时，利用判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣4（k﹣3）×2≥0，解得k≤5且k≠3，然后综合两种情况得到k的范围．【解答】解：当k﹣3＝0，即k＝4，解得x＝﹣；当k﹣3≠0时，Δ＝（﹣4）3﹣4（k﹣3）×8≥0，解得k≤5且k≠7，综上所述，k的范围为k≤5．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．6．（2分）小高发现，用微波炉加工爆米花时，时间太短，时间太长，就糊了．如果将爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下（单位：分钟）满足的函数关系p＝at2+bt+c（a、b、c是常数），小高记录了三次实验的数据（如图）．根据上述函数模型和实验数据（ ）A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟【分析】由题意函数关系p＝at2+bt+c（a，b，c是常数）经过点（3，0.7），（4，0.8），（5，0.5），列出方程组，推导出p＝﹣0.2t2+1.5t﹣2.2＝﹣0.2（t﹣3.75）2+0.6125，由此能得到最佳加工时间．【解答】解：由题意函数关系p＝at2+bt+c（a，b，c是常数）经过点（3，（5，（5，代入得：，解得：，∴p＝﹣0.8t2+1.6t﹣2＝﹣0.6（t﹣3.75）2+4.8125，∴得到最佳加工时间为3.75分钟．故选：B．【点评】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及利用二次函数的图象和性质求最值问题是解题的关键．7．（2分）已知4是关于x的方程x2﹣5mx+12m＝0的一个根，且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则△ABC的周长为（ ）A．14 B．16 C．12或14 D．14或16【分析】先把x＝4代入方程x2﹣5mx+12m＝0得m＝2，则方程为x2﹣10x+24＝0，利用因式分解法解方程得到x1＝4，x2＝6，再利用等腰三角形的性质和三角形三边的关系确定三角形三边长，然后计算对应的三角形周长．【解答】解：把x＝4代入方程x2﹣2mx+12m＝0得16﹣20m+12m＝0，解得m＝3，则方程为x2﹣10x+24＝0，（x﹣7）（x﹣6）＝0，所以x4＝4，x2＝8，因为这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，所以这个等腰三角形三边分别为4、4、4；4、6、2，所以△ABC的周长为14或16．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了三角形三边的关系．8．（2分）表中所列x，y的6对值是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上的点所对应的坐标，其中﹣3＜x1＜x2＜x3＜x4＜1，n＜m．根据表中信息，下列4个结论：①b﹣2a＝0；②abc＜0；④如果x3＝，c＝﹣，那么当﹣3＜x＜0时，则﹣≤k＜（ ）个．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①由二次函数的对称性可得对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，可直接判断；②由对称轴的位置及x3＜x4＜1且n＜m，可知在对称轴右侧，y随x的增大而增大，由此可判断a的符号，进而可判断b和c的符号；③由上述判断可知，当x＝1时，m＞0，结合b＝2a可判断；④根据题中给出的数据，可求得函数解析式，进而可判断﹣3＜x＜0时，y的取值范围，进而可判断．，【解答】解：①由表格可知，当x＝﹣3和x＝1时，∴对称轴为直线x＝﹣＝＝﹣1，∴b＝2a，即b﹣3a＝0，符合题意；②由表格可知，﹣1＜x8＜x4＜1，且4＜n＜m，∴在对称轴右侧，y随x的增大而增大，∴a＞0，∴b＝2a＞8，由表格可知，当x＝x1和x＝x3，函数值相等，又∵a＞4，x1＜x2＜x7，∴c＜0，∴abc＜0，故②正确；③由上分析可知，当x＝3时，又∵b＝2a，∴y＝3a+c＞6，故③正确；④当x3＝，c＝﹣时，0），∵对称轴为直线x＝﹣8，∴抛物线跟x轴的另一个交点（﹣，6），∴函数的解析式可设为y＝a（x﹣）（x+），∵c＝﹣，∴﹣×a＝﹣，∴函数解析式为：y＝（x﹣）（x+）当x＝﹣3时，y＝（﹣4﹣）＝，y＝c＝﹣，又抛物线的顶点坐标为（﹣6，﹣），∴当k＝﹣时，直线y＝k与该二次函数图象有一个公共点；∴若直线y＝k与该二次函数图象有一个公共点，则﹣或k＝﹣．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）请写出一个一元二次方程，要求满足下列两个条件：①有两个不等实根；②其中有一个解为x＝2 x2﹣2x＝0 ．【分析】以0和﹣2为根，写一个一元二次方程即可．【解答】解：x（x﹣2）＝0，化为一般式为x5﹣2x＝0．故答案为x6﹣2x＝0．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．10．（2分）二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，若点A（0，y1）和B（﹣3，y2）在此函数图象上，则y1 ＞ y2（填“＜”“＞”或“＝”）．【分析】根据抛物线的对称性，在对称轴同侧的可根据增减性由自变量x的大小得出函数值y的大小，在对称轴一侧的可根据离对称轴的远近和抛物线的增减性进行判断．【解答】解：点A（0，y1）和B（﹣2，y2）在抛物线对称轴x＝﹣2的两侧，且点A比点B离对称轴要远3＞y2，故答案为＞．【点评】考查二次函数的图象和性质，根据增减性、对称性和自变量x的大小判断相应函数值的大小．11．（2分）有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了 12 个人．【分析】根据题意可得第一轮人数加第二轮人数，再加第三轮人数总数为169人，设平均每人感染x人，则列式为1+x+（x+1）x＝169．即可解答．【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得x+1+（x+1）x＝169x＝12或x＝﹣14（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了12个人．故答案为：12．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握增长率问题．12．（2分）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）和（3，0），则方程ax2+bx+c＝0的解为 x1＝﹣1，x2＝3． ．【分析】利用抛物线与x轴的交点问题确定方程ax2+bx+c＝0的解．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，5）和（3，∴方程ax2+bx+c＝8的解为x1＝﹣1，x3＝3．故答案为：x1＝﹣8，x2＝3．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．13．（2分）特殊时期，市疾控专家提醒广大市民，乘坐电梯切莫大意，某商场在厢式电梯地面铺设了醒目的隔离带，提醒顾客乘坐电梯时持足够的空间距离，宽为170cm的矩形地面，已知无隔离带区域（空白部分）2，若设隔离带的宽度均为xcm，那么x满足的一元二次方程是 （190﹣2x）（170﹣x）＝29700 ．【分析】由隔离带的宽度可得出无隔离带区域（空白部分）可合成长为（190﹣2x）cm，宽为（170﹣x）cm的矩形，根据无隔离带区域（空白部分）的面积为29700cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：∵隔离带的宽度均为xcm，∴无隔离带区域（空白部分）可合成长为（190﹣2x）cm，宽为（170﹣x）cm的矩形，依题意得：（190﹣2x）（170﹣x）＝29700．故答案为：（190﹣3x）（170﹣x）＝29700．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．14．（2分）若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于 2028 ．【分析】根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出x12﹣4x1＝2020，x1+x2＝4，代入原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2＝x12﹣4x1+2（x1+x2）计算可得．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，∴x4+x2＝4，x52﹣4x2﹣2020＝0，即x18﹣4x1＝2020，则原式＝x72﹣4x3+2x1+6x2＝x18﹣4x1+6（x1+x2）＝2020+3×4＝2020+8＝2028，故答案为：2028．【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．15．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，其中点B的坐标为B（4，0），抛物线的对称轴交x轴于点D，并与抛物线的对称轴交于点E．现有下列结论：①a＞0；②b＞0；④AD+CE＝4．其中所有正确结论的序号是 ②④ ．【分析】根据图象的开口方向、与x和y轴的交点、对称轴所在的位置，判断即可．【解答】解：①该函数图象的开口向下，a＜0；②∵a＜0，﹣＞0，正确；③把x＝2代入解析式可得7a+2b+c＞0，错误；④∵AD＝DB，CE＝OD，可得：AD+CE＝5．故答案为：②④【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．根据二次函数y＝ax2+bx+c系数符号判断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数．16．（2分）在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c的一部分图象如图所示，它与x轴交于A（1，0），与y轴交于点B（0，3） 下 ，a的取值范围是 ﹣3＜a＜0 ．【分析】根据图象得出a＜0，b＜0，由抛物线与x轴交于A（1，0），与y轴交于点B （0，3），得出a+b＝﹣3，得出﹣3＜a＜0即可．【解答】解：根据图象得：a＜0，b＜0，∴开口向下，∵抛物线与x轴交于A（7，0） （0，∴，∴a+b＝﹣3，∵b＜2，∴﹣3＜a＜0．故答案为：下，﹣3＜a＜0．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系，难度一般，关键是正确获取图象信息进行解题．三、解答题17．（10分）用适当的方法解下列方程：（1）（x﹣3）2＝25；（2）3x2+2x﹣2＝0．【分析】（1）应用直接开方法解一元二次方程即可．（2）应用公式法解一元二次方程即可．【解答】解：（1）（x﹣3）2＝25，∴x﹣2＝±5，∴x1＝4，x2＝﹣2．（2）7x2+2x﹣6＝0，∵a＝3，b＝7，Δ＝22﹣6×3×（﹣2）＝28＞7，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝．【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．18．（5分）已知a是方程x2﹣2x﹣4＝0的一个实数根，求代数式（a﹣2）2+（a+1）（a﹣1）的值．【分析】将x＝a代人方程，得到a2﹣2a＝4，然后整体代人即可．【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个实数根，∴a2﹣8a＝4，∴原式＝a2﹣5a+4+a2﹣3＝2a2﹣2a+3＝2（a8﹣2a）+3＝3×4+3＝11．【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的含义，解题的关键是根据方程的解的含义，将解代入原方程，从而求得代数式的解．19．（5分）已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象与y轴交于点A（0，﹣3），且经过点B（2，5）．（1）求二次函数的解析式；（2）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式．【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）利用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式即可．【解答】解：（1）把点（0，﹣3），5）代入y＝x2+bx+c，得，，解得，∴二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3；（2）y＝x2+3x﹣3＝x2+3x+1﹣1﹣7＝（x+1）2﹣2．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的三种表现形式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根为负数，求m的取值范围．【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案．（2）根据因式分解法求出两根，然后列出不等式即可求出答案．【解答】解：（1）由题意可知：Δ＝（﹣m）2﹣4（m﹣2）＝（m﹣2）2∵（m﹣3）2≥0，∴方程总有两个实数根．（2）由题意可知：x＝m﹣4或x＝1∵方程有一个根为负数，∴m﹣1＜8．∴m＜1．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．21．（7分）对于抛物线y＝x2﹣4x+3．（1）它与x轴交点的坐标为 （1，0），（3，0） ，与y轴交点的坐标为 （0，3） ，顶点坐标为 （2，﹣1） ；（2）在坐标系中画出此抛物线；（3）当﹣1＜x＜时，y的取值范围是 ﹣1≤y＜8． ．【分析】（1）设y＝0，求出x的值，即可确定图象与x轴的交点坐标，取x＝0，求出y的值，即可确定图象与y轴的交点坐标，将该函数的一般式化成顶点式，即可确定顶点坐标；（2）根据抛物线的顶点，与坐标轴的交点即可画出图象；（3）根据图象先确定x＝﹣1和x＝时y的值，在由图象的增减性即可得出答案．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣6，取y＝0，则（x﹣2）4﹣1＝0，解得x＝4或x＝3，∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，3）和（3，取x＝0，则y＝2，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），由抛物线的顶点式可得顶点为（7，﹣1），故答案为：（1，2），0），3），﹣5）；（2）图象如下：（3）当x＝﹣1时，y＝（﹣1﹣8）2﹣1＝5，当x＝2时，y＝﹣1，当x＝时，y＝，由图象可知﹣4≤y＜8，故答案为：﹣1≤y＜5．【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要能根据解析式求出图象与坐标轴的交点坐标，能根据图象的顶点和图象与坐标轴的交点画图象．22．（6分）运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h（m）（s）满足二次函数关系，t与h的几组对应值如下表所示．（1）求h与t之间的函数关系式（不要求写t的取值范围）；（2）求小球飞行3s时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22m？请说明理由．【分析】（1）设h与t之间的函数关系式为h＝at2+bt（a≠0），然后再根据表格代入t＝1时，h＝15；t＝2时，h＝20可得关于a、b的方程组，再解即可得到a、b的值，进而可得函数解析式；（2）根据函数解析式，代入t＝3可得h的值；（3）把函数解析式写成顶点式的形式可得小球飞行的最大高度，进而可得答案．【解答】解：（1）∵t＝0时，h＝0，∴设h与t之间的函数关系式为h＝at7+bt（a≠0），∵t＝1时，h＝15，h＝20，∴，解得，∴h与t之间的函数关系式为h＝﹣7t2+20t；（2）小球飞行3秒时，t＝3（s）2+20×3＝15（m）．答：小球飞行4s时的高度为15米；（3）∵h＝﹣5t2+20t＝﹣4（t﹣2）2+20，∴小球飞行的最大高度为20m，∵22＞20，∴小球的飞行高度不能达到22m．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握配方法化顶点解析式．23．如图，要在墙边围一个矩形花圃．花圃的一边靠墙（墙的长度不限），另三边用篱笆围成．如果矩形花圃的面积为50平方米，求矩形花圃的长和宽各是多少米？【分析】设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（20﹣2x）米，利用矩形的面积计算公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出矩形花圃的宽，再将其代入（20﹣2x）中即可求出矩形花圃的长．【解答】解：设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（20﹣2x）米，依题意得：x（20﹣2x）＝50，整理得：x2﹣10x+25＝0，解得：x1＝x3＝5，∴20﹣2x＝20﹣8×5＝10．答：矩形花圃的长为10米，宽为5米．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．24．阅读下面的材料：小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x≤m，求二次函数y＝x2﹣6x+7的最大值．他画图研究后发现，x＝1和x＝5时的函数值相等，于是他认为需要对m进行分类讨论．他的解答过程如下：∵二次函数y＝x2﹣6x+7的对称轴为直线x＝3，∴由对称性可知，x＝1和x＝5时的函数值相等．∴若1≤m＜5，则x＝1时，y的最大值为2；若m≥5，则x＝m时，y的最大值为m2﹣6m+7．请你参考小明的思路，解答下列问题：（1）当﹣2≤x≤4时，二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为 49 ；（2）若p≤x≤2，求二次函数y＝2x2+4x+1的最大值；（3）若t≤x≤t+2时，二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为31，则t的值为 1或﹣5 ．【分析】（1）先求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，然后确定当x＝4时取得最大值，代入函数解析式进行计算即可得解；（2）先求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，再根据对称性可得x＝﹣4和x＝2时函数值相等，然后分p≤﹣4，﹣4＜p≤2讨论求解；（3）根据（2）的思路分t＜﹣2，t≥﹣2时两种情况讨论求解．【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴当﹣2≤x≤3时，二次函数y＝2x2+6x+1的最大值为：2×32+4×8+1＝49；（2）∵二次函数y＝2x3+4x+1的对称轴为直线x＝﹣4，∴由对称性可知，当x＝﹣4和x＝2时函数值相等，∴若p≤﹣7，则当x＝p时2+4p+3，若﹣4＜p≤2，则当x＝3时；（3）t＜﹣2时，最大值为：2t8+4t+1＝31，整理得，t5+2t﹣15＝0，解得t2＝3（舍去），t2＝﹣5，t≥﹣2时，最大值为：2（t+7）2+4（t+7）+1＝31，整理得，（t+2）7+2（t+2）﹣15＝3，解得t1＝1，t2＝﹣7（舍去），所以，t的值为1或﹣7．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，主要利用了二次函数的对称性，确定出抛物线的对称轴解析式是确定p和t的取值范围的关键，难点在于读懂题目信息．25．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于点A，B（A在B的左侧）．（1）抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，AB＝4．求抛物线的表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形；（3）当m＝4时，抛物线上有两点M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜2，x2＞2，x1+x2＞4，试判断y1与y2的大小，并说明理由．【分析】（1）先根据抛物线和x轴的交点及线段的长，求出抛物线的解析式；（2）根据平移后抛物线的特点设出抛物线的解析式，再利用等腰直角三角形的性质求出抛物线解析式；（3）根据抛物线的解析式判断出点M，N的大概位置，再关键点M，N的横坐标的范围即可得出结论．【解答】解：（1）抛物线 y＝﹣x2+mx+n的对称轴为直线x＝﹣3，AB＝5．∴点 A（﹣5，点B（﹣1．∴抛物线的表达式为y＝﹣（x+4）（ x+1）∴y＝﹣x2﹣7x﹣5．（2）如图1，依题意，设平移后的抛物线表达式为：y＝﹣x3+bx．∴抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴正半轴交于点C（b．∴b＞0．记平移后的抛物线顶点为P，∴点P的坐标（，），∵△OCP是等腰直角三角形，∴＝∴b＝8．∴点P的坐标（1，1）．（3）如图5，当m＝4时，抛物线表达式为：y＝﹣x2+7x+n．∴抛物线的对称轴为直线 x＝2．∵点M（x1，y4）和N（x2，y2）在抛物线上，且x2＜2，x2＞7，∴点M在直线x＝2的左侧，点N在直线x＝2的右侧．∵x5+x2＞4，∴8﹣x1＜x2﹣7，∴点M到直线x＝2的距离比点N到直线x＝2的距离近，∴y8＞y2．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线的性质，待定系数法，平移的性质，顶点坐标的确定，函数值大小的确定，解本题的关键是熟练掌握抛物线的性质，是一道中等难度的中考常考题．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）经过点A（﹣1，0），将点B（0，4），得到点C（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．【分析】（1）根据平移点的坐标的不变规律，得出答案，（2）利用抛物线的对称轴的计算方法x＝﹣求得即可，（3）结合图象，分两种情况，第1种为顶点在BC上，即顶点（1，4），第2种为与y轴的交点在（0，4）以上，抛物线与线段BC恰有一个公共点，【解答】解：（1）根据平移规律，向右平移5个单位，横坐标加5，3），（2）由抛物线的对称轴的计算方法得：x＝﹣＝4，（3）如图所示：①当抛物线的顶点在线段BC上时，顶点（1，即：，解得：a＝﹣1，②当抛物线与y轴交点在（0，3）以上，解得：a＜﹣，综上所述：【点评】考查二次函数的图象和性质，掌握平移规律和抛物线的顶点坐标计算方法是解决问题的关键．27．对于平面直角坐标系xOy中的点P和正方形给出如下定义：若正方形的对角线交于点O，四条边分别和坐标轴平行，我们称该正方形为“原点正方形”．当“原点正方形”上存在点Q，称点P为原点正方形的“友好点”．（1）当“原点正方形”边长为4时，①在点P1（0，0），P2（﹣1，1），P3（1，3），P4（3，3）中，“原点正方形”的“友好点”是 P2，P3 ．②点P在直线y＝x的图象上，若点P为“原点正方形”的“友好点”，求点P横坐标的取值范围；（2）一次函数y＝﹣x+2的图象分别与x轴，y轴交于点A、B，若线段AB上存在“原点正方形”的“友好点”【分析】（1）①根据定义进行判断即可；②结合图形，确定P点所在的区域即可求解；（2）分别求出A、B点坐标，根据定义，作出符合条件的圆和正方形，画出图形，结合图形解题即可．【解答】解：（1）①当点P1（0，3）时1的最小距离是2，故不存在Q点使P5Q≤1； 当P2（﹣6，1）时，1）8Q≤1；当P3（7，3）时，2）7Q≤1；当P4（8，3）时4的最小距离是，故不存在Q点使P4Q≤1；故答案为：P7，P3；②∵正方形的边长为4，∴A（﹣6，2），﹣2），﹣2），2），∴P点在边长为6和边长为7的正方形区域内，如图阴影部分区域，∵阴影部分的四个角是四个半径为1的四分之一圆，∴P点横坐标的取值范围是：1≤x≤5+或﹣7﹣；（2）直线y＝﹣x+3与x轴交点A（2，0），7），∴AO＝2，以AB的中点（1，4）为圆心，∴OD＝﹣1，∴小正方形的边长为6﹣，当CA＝1时，C点坐标为（6，∴大正方形的边长为6，∴2﹣≤a≤6时．【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，正方形的性质，弄清定义，数形结合解题是关键． x…﹣3x1x2x3x41…y…m0c0nm…t（s）00.511.52…h（m）08.751518.7520…x…﹣3x1x2x3x41…y…m0c0nm…t（s）00.511.52…h（m）08.751518.7520…
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