人教版九年级上册24.3 正多边形和圆教学设计

24.3　正多边形和圆

1．学习正多边形的概念，探索正多边形和圆的关系．

2．能进行正多边形的有关计算，了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念，通过等分圆周作正多边形．

▲重点

探索正多边形和圆的关系，了解有关概念；会进行计算．

▲难点

探索正多边形和圆的关系，正多边形的半径、边心距、中心角、边长之间的关系．

新知导入

生活中的正多边形图案

问题1：什么样的图形叫做正多边形？

各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

问题2：你还能举出这样的例子吗？

问题3： 矩形是正多边形吗？菱形呢？正方形呢？为什么？

矩形不是正多边形，因为矩形不符合各边相等；

菱形不是正多边形，因为菱形不符合各角相等.

正方形是正多边形.

思考： 如何在圆中作出圆内接正多边形？

只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆.

正多边形与圆到底有什么样的关系呢?

这个正多边形就是这个圆的内接正多边形,这个圆叫做这个正多边形的外接圆.

探究： 如何在圆中作出圆内接正五边形？

如图，把 ⊙O 分成相等的 5 段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE ．

提炼概念

一个正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．

外接圆的半径叫做正多边形的半径．

正多边形每一条边所对的圆心角

叫作正多边形的中心角.

中心到正多边形的一边的距离叫做

正多边形的边心距.

典例精讲

例  如图，有一个亭子，它的地基是半径为4 m的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）.

思考1：  你能画一个边长为 1.5 cm 的正六边形吗？

方法一 ： 以 1.5 cm 为半径画一个圆，用量角器依次画出 60° 的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，得到圆的六个等分点，顺次连接各分点，即可得到正六边形．

思考2：  你能用尺规作图的方法画出正六边形吗？

方法二：在半径为1.5 cm 的圆上，依次截取等于1.5 cm 的弦，就可以把圆六等分，顺次连接各分点，即可得到正六边形．

思考3：  你能用尺规作图的方法画出正方形吗？

用直尺和圆规作 ⊙O 的两条相互垂直的直径，就可以把圆四等分，从而作出正方形．

归纳概念

用量角器等分圆：

        由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆周，从而得到正多边形．采用“先用量角器画一个        的圆心角，然后在圆上依次截取这个圆心角所对弧的等弧”.

这种方法简便，且可以画任意正多边形、误差小．

用尺规等分圆：

    用尺规作图的方法等分圆周，然后依次连接圆上各分点得到正多边形，这种方法有局限性，不是任意正多边形都能用此法作图，这种方法从理论上讲是一种准确方法，但在作图时较复杂，同样存在作图的误差．

课堂练习

1.如果一个正多边形的每个外角都等于36°，则这个多边形

的中心角等于(      )

A.36°            B.18°           C.72°           D.54°

2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为（　　）

A．3：2：1               B．4：3：2

C．4：2：1               D．6：4：3

3.如图，已知⊙O的内接正方形的边长为4，则

⊙O的半径是（　　）

A. 2      B. 4

C.        D. 4

4、已知☉O和☉O上的一点A(如图).

(1)作☉O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH;

(2)在(1)题的作图中,如果点E在弧AD上,

求证:DE是☉O的内接正十二边形的一边.

5.如图(1),(2),(3),…,(n),M,N分别是☉O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB,BC上的点,且BM=CN,连接OM、ON.

(1)求图(1)中∠MON的度数.

(2)图(2)中∠MON的度数是　　　　________,图(3)中∠MON的度数是　　　　.

(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).

课堂小结

通过今天的学习，你有什么收获呢？

1．作业布置

(1)教材P108　习题24.3第1，2，3，4题；

(2)对应课时练习．

2．教学反思