九年级上册24.3 正多边形和圆练习题

这是一份九年级上册24.3 正多边形和圆练习题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共14小题）
1. 如图，正六边形 ABCDEF 的半径 OA=OD=2，则点 B 关于原点 O 的对称点坐标为
A. 1,−3B. −1,3C. −3,1D. 3,−1

2. 如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度 b=3 cm，则螺帽边长 a 等于
A. 3 cmB. 23 cmC. 2 cmD. 2 cm

3. 如图，正六边形 ABCDEF 内接于 ⊙O，半径为 4，则这个正六边形的边心距 OM 和 BC 的长分别为
A. 2，π3B. 23，πC. 3，2π3D. 23，4π3

4. 我们可以只用直尺和圆规作出圆的部分内接正多边形．在我们目前所学知识的范围内，下列圆的内接正多边形不可以用尺规作图作出的是
A. 正三角形B. 正四边形C. 正六边形D. 正七边形

5. 下列说法正确的是
A. 正五边形是中心对称图形B. 正十边形的每个内角是 108∘
C. 正五边形的中心角是 72∘D. 正十边形的每个外角是 72∘

6. 如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为 2 的正六边形，则原来的纸带宽为
A. 1B. 2C. 3D. 2

7. 如图，正五边形 ABCDE 内接于 ⊙O，P 为 DE 上的一点（点 P 不与点 D 重合），则 ∠CPD 的度数为
A. 30∘B. 36∘C. 60∘D. 72∘

8. 下列命题中，正确的是
A. 正多边形都是中心对称图形
B. 正多边形一个内角的大小与边数成正比例
C. 正多边形一个外角的大小与边数成反比例
D. 边数大于 3 的正多边形的对角线长都相等

9. 如图，已知正六边形 ABCDEF 的边长为 2，G，H 分别是 AF 和 CD 的中点，P 是 GH 上的动点，连接 AP，BP，当 AP+BP 的值最小时，BP 与 HG 的夹角（锐角）度数为
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 75∘

10. 如图，已知 ⊙O 的半径为 4，则它的内接正方形的边长为
A. 4B. 8C. 82D. 42

11. 如图，⊙O 是正五边形 ABCDE 的外接圆，这个正五边形的边长为 a，半径为 R，边心距为 r，则下列关系式错误的是
A. R2−r2=a2B. a=2R⋅sin36∘
C. a=2r⋅tan36∘D. r=R⋅cs36∘

12. 如图，正六边形螺帽的边长是 2 cm，这个扳手的开口 a 的值应是
A. 23 cmB. 3 cmC. 233 cmD. 1 cm

13. 如图，点 O 为正六边形 ABCDEF 对角线 FD 上一点，S△AFO=8，S△CDO=2，则 S正六边形ABCDEF 的值是
A. 20B. 30
C. 40D. 随点 O 位置而变化

14. 如图，将边长为 a 的正六边形 A1A2A3A4A5A6 在直线 l 上由图（1）的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当 A1 第一次滚动到图（2）位置时，顶点 A1 所经过的路径的长为
A. 4+233πaB. 8+433πaC. 4+33πaD. 4+236πa

二、填空题（共5小题）
15. 如图，若以 AB 为边长作 ⊙O 的内接正多边形，则这个多边形是正 边形．

16. 已知正六边形的边长为 6 cm，那么它的边心距等于 cm．

17. 如图，正六边形的面积为 6a，则图中阴影部分的面积为 ．

18. 半径为 4 的圆的内接正三角形的边长为 ．

19. 如图，AB 是 ⊙O 的内接正九边形的一边，若点 C 在 ⊙O 上，BC 是 ⊙O 的内接正十八边形的一边，AC 是 ⊙O 的内接正 n 边形的一边，则 n= ．

三、解答题（共5小题）
20. 在直径长为 3 厘米的圆中，用直尺和圆规作它的内接正三角形、正方形、正六边形（不写作法）．

21. 如图，已知正五边形 ABCDE．
（1）画一个五边形，使这个五边形的各角与正五边形 ABCDE 的各角都相等，而各边不相等．
（2）画一个五边形，使这个五边形的各边与正五边形 ABCDE 的各边都相等，而各角不相等．

22. 在 ⊙O 中，弦 AB 是内接正十边形的一条边，弦 AC 是内接正十五边形的一条边，那么弦 BC 所对的圆心角是多少度?弦 BC 是内接正几边形的一条边?

23. 要在半径长为 1 米、圆心角为 60∘ 的扇形铁皮（如图所示）上截取一块面积尽可能大的正方形，请你设计一个截取方案（画出示意图），并计算这个正方形铁皮的面积（精确到 0.01）．

24. 请阅读后完成证明和填空．九年级数学兴趣小组探究发现的结果，内容如下：
（1）如图 1，正三角形 ABC 中，在 AB，AC 边上分别取点 M，N，使 BM=AN，连接 BN，CM，发现 BN=CM，且 ∠NOC=60∘．请证明：∠NOC=60∘．
（2）如图 2，正方形 ABCD 中，在 AB，BC 边上分别取点 M，N，使 AM=BN，连接 AN，DM，那么 AN= ，且 ∠DON= 度．
（3）如图 3，正五边形 ABCDE 中，在 AB，BC 边上分别取点 M，N，使 AM=BN，连接 AN，EM，那么 AN= ，且 ∠EON= 度．
（4）在正 n 边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论．请大胆猜测，用一句话概括你的发现： ．
答案
1. D
【解析】如图，连接 OB，
设 BC 与 x 轴的交点为 H．
∵ 正六边形 ABCDEF 的半径 OA=OD=2，△ABO 为等边三角形，
∴OB=OA=AB=2，∠ABO=∠AOB=60∘，
∴∠OBH=120∘−60∘=60∘，∠BOH=30∘，
∴BH=12OB=1，OH=3，
∴B−3,1，
∴ 点 B 关于原点 O 的对称点坐标为 3,−1．
故选D．
2. A
【解析】如图，连接 AC，过点 B 作 BD⊥AC 于 D，
由题意得 ∠ABC=120∘，AB=BC=a，
∴∠BCD=∠BAC=30∘，
由 AC=3，得 CD=1.5，
∵Rt△ABD 中，∠BAD=30∘，
∴BD=12AB=12a，
∴AD=a2−12a2=32a，即 32a=1.5，
∴a=3cm．
故选A．
3. D
【解析】连接 OB，
∵OB=4，
∴BM=2，
∴OM=23，BC=60π×4180=43π．
4. D
【解析】取圆上一点为圆心，以已知圆的半径为半径画弧，重复此种作法可得到圆的六等分点，据此可得圆的内接正六边形；在以上所得六等分点中，间隔取点，首尾连接可得圆的内接正三角形；由于圆的直径可以将圆二等分、两条互相垂直的直径可以将圆四等分，据此可作出圆的内接正四边形．综上可知，不可以用尺规作图作出的是圆的内接正七边形．
5. C
6. C
7. B
8. C
【解析】A．当正多边形的边数是偶数时，正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，当正多边形的边数是奇数时，正多边形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故正多边形不一定是中心对称图形，选项错误，不符合题意；
B．正多边形一个内角的大小是 n−2×180∘n，不符合正比例的关系，故选项错误，不符合题意；
C．正多边形一个外角等于 360∘n，正多边形一个外角的大小与它的边数成反比例；故选项正确，符合题意；
D．边数大于 3 的正多边形的对角线长不一定相等，故选项错误，不符合题意．
9. C
【解析】如图，连接 PF，BF，BF 交 GH 于点 Pʹ，连接 APʹ，
∵ 正六边形 ABCDEF 中，G，H 分别是 AF 和 CD 的中点，
∴ 直线 GH 是正六边形的对称轴，
∴PA=PF，
∴PA+PB=PF+PB．
∵PB+PF≥BF，
∴ 当点 P 与点 Pʹ 重合时，PA+PB 的值最小．
∵∠BAF=120∘，AB=AF，
∴∠ABF=∠AFB=30∘．
∵∠FGPʹ=90∘，
∴∠FPʹG=60∘，即 ∠BPʹH=60∘．
10. D
【解析】如图所示，连接 OA，OB，
因为 ⊙O 的半径为 4，四边形 ABCD 是正方形，
所以 OA=OB=4，∠AOB=90∘，
所以 AB=OA2+OB2=42．
11. A
【解析】∵⊙O 是正五边形 ABCDE 的外接圆，
∴∠BOC=15×360∘=72∘，
∴∠BOF=12∠BOC=12×72∘=36∘．
在 Rt△BOF 中，R2−r2=12a2=14a2；
12a=Rsin36∘，即 a=2Rsin36∘；
12a=rtan36∘，即 a=2rtan36∘；
cs36∘=rR，即 r=Rcs36∘，
∴ 关系式错误的是 R2−r2=a2．
12. A
【解析】提示：正六边形的每一个内角都是 120∘，边长为 2，构造直角三角形，勾股定理即可求出 a 的值．
13. B
14. A
15. 六
【解析】连接 OB．
∵AB=OA=OB，
∴△AOB 是等边三角形，
∴∠AOB=60∘，
∴360∘60∘=6，
∴ 这个多边形是正六边形．
16. 33
17. 2a
【解析】如图，连接 AD，BE，CF 交于点 O．
∵ 六边形 ABCDEF 是正六边形，
∴CF∥AB∥DE，
∴S△ABF=S△AOB=16S正六边形ABCDEF，S△DEF=S△EOD=16S正六边形ABCDEF，
∴S阴影=13S正六边形ABCDEF=2a．
18. 43
【解析】如图：△ABC 是等边三角形，过点 O 作 OD⊥BC 于 D，连接 OB，OC，
∴BD=CD=12BC，
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A=60∘，
∴∠BOC=2∠A=120∘，
∴∠BOD=12∠BOC=60∘，
∵ 半径为 4，
∴OB=4，
∴BD=OB⋅sin∠BOD=4×32=23，
∴BC=2BD=43，
即直径为 4 的圆的内接正三角形的边长为：43．
故答案为：43．
19. 18 或 6
【解析】如图，
应分两种情况，
①当点 C（图中 C1）在劣弧 AB 上时，连接 OC1，
∵BC1 是 ⊙O 的内接正十八边形的一边，
∴∠BOC1=360∘÷18=20∘．
又 ∵AB 是 ⊙O 的内接正九边形的一边，
∴∠AOB=360∘÷9=40∘，
∴∠AOC1=∠AOB−∠BOC1=40∘−20∘=20∘，
∴n=360∘÷20∘=18．
②当点 C（图中 C2）在优弧 AB 上时，连接 OC2，可得 ∠AOC2=∠AOB+∠BOC2=40∘+20∘=60∘，
∴n=360∘÷60∘=6．
综上所述，n 的值为 18 或 6．
20.
21. （1） 略
（2） 略
22. ∵ 弦 AB 是内接正十边形的一条边，
∴ 弦 AB 所对圆心角 ∠AOB=360÷10=36∘，
同理，弦 AC 所对圆心角 ∠AOC=360÷15=24∘，
当点 A 在 ∠BOC 内时，∠BOC=∠AOC+∠AOB=60∘，360÷60=6，弦 BC 是内接正六边形的一条边；
当点 A 在 ∠BOC 外时，∠BOC=∠AOC−∠AOB=12∘，360÷12=30，弦 BC 是内接正三十边形的一条边．
23. 首先应考虑使正方形的各顶点在扇形的边界上，并注意扇形关于它的中心角的平分线所在直线对称，而正方形也是轴对称图形，然后分两种情况讨论：①这个正方形有两个顶点同在扇形边界的一条半径上，另外两个顶点分别在扇形边界的另一条半径和弧上；②这个正方形有两个顶点各在扇形边界的一条半径上，另外两个顶点同在扇形的弧上，在①的情况下，正方形的面积 S1≈0.2867；在②的情况下，正方形的面积 S2≈0.2679，于是应如①截取正方形，这时它的面积 S1≈0.29．图略．
24. （1） 通过正三角形易证 △ABN≌△BCM，可知 ∠ABN=∠BCM，由于 ∠ABN+∠NBC=∠BCM+∠NBC=60∘，通过外角性质得 ∠NOC=60∘．
（2） DM；90
（3） EM；108
（4） 正 n 边形内两条线段长度相等，当 n>3 时，两条线段所夹的钝角就是正 n 边形内角的度数，即 n−2×180∘÷n