2021年华师版九年数学秋期期末模拟试卷（二）

这是一份2021年华师版九年数学秋期期末模拟试卷（二），共23页。试卷主要包含了选择题.，填空题.，解答题等内容，欢迎下载使用。
初中数学期末模拟试卷
一、选择题（共10小题）.
1.已知2+ 3 是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的一个实数根，则实数m的值是（   ）
A. 0                                         B. 1                                         C. ﹣3                                         D. ﹣1
2.抛物线y＝2x2+c的顶点坐标为（0，1），则抛物线的解析式为（   ）
A. y＝2x2+1                         B. y＝2x2﹣1                         C. y＝2x2+2                         D. y＝2x2﹣2
3.从数据﹣ 12 ，﹣6，1.2，π，﹣ 2 ，0.010010001…中任取一个数，则该数为无理数的概率为（   ）
A. 16                                          B. 13                                          C. 12                                          D. 23
4.下列图形中，任意两个图形一定是相似图形的是（   ）
A. 三角形                                B. 平行四边形                                C. 抛物线                                D. 圆
5.如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，若∠AOC＝120°，则∠D的度数是（   ）

A. 20°                                       B. 30°                                       C. 40°                                       D. 45°
6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果AC＝4，cosB＝ 35 ，那么BC等于（   ）

A. 3                                           B. 4                                           C. 5                                           D. 6
7.若二次根式 x−3 有意义，则x的取值范围是（   ）
A. x＜3                                     B. x≠3                                     C. x≤3                                     D. x≥3
8.下列四组线段中，不构成比例线段的一组是    (        )

A. 1cm,2cm,3cm,6cm                                           B. 2cm,3cm,4cm,6cm
C. 1cm,2cm,3cm,6cm                                  D. 1cm,2cm,3cm,4cm
9.正方形外接圆的半径为4，则其内切圆的半径为（   ）
A. 2 2                                       B. 2                                       C. 1                                       D. 22
10.抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过点（1，0）和点（0，﹣3），且顶点在第三象限，设m＝a﹣b+c，则m的取值范围是（   ）
A. ﹣6＜m＜0                    B. ﹣6＜m＜﹣3                    C. ﹣3＜m＜0                    D. ﹣3＜m＜﹣1
二、填空题（共5小题）.
11.如图，在半径为6的⊙O中，随意向圆内投掷一个小球，经过大量重复投掷后发现，小球落在阴影部分的概率稳定在 16 ，则 AB 的长约为________.（结果保留π）

12.圆锥的侧面展开图的圆心角是120°，其底面圆的半径为3cm，则其侧面积为________.
13.若x1 ， x2方程x2﹣4x﹣2021＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于________.
14.如图，点A，B，C为正方形网格中的3个格点，则tan∠ACB＝________.

15.如图，点C为半圆的中点，AB是直径，点D是半圆上一点，AC，BD交于点E，若AD＝1，BD＝7，则CE的长为________.

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为弧AC的中点，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E.

（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为7，AB＝10，求CE的长.
17.抛物线y＝ax2+bx﹣6a与x轴交于A，B两点，且A（﹣2，0），抛物线的顶点为P.
（1）求点P的坐标；（用只含a的代数式表示）
（2）若﹣8≤a≤﹣5，求△ABP面积的最大值；
（3）当a＝1时，把抛物线y＝ax2+bx﹣6a位于x轴下方的部分沿x轴向上翻折，其余部分保持不动，得到新的函数图象.若直线y＝﹣x+t与新的函数图象至少有3个不同的交点，求t的取值范围.
四、解答题
18.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（一1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l交抛物线于点C（2，m）.

（1）求抛物线的解析式.
（2）点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P的坐标.
（3）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由.
19.如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于点A（1，0）和B（3，0），与y轴交于点C，D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于E.

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，在抛物线的对称轴DE上求作一点M，使△AMC的周长最小，并求出点M的坐标和周长的最小值.
（3）如图2，点P是x轴上的动点，过P点作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC于F、G，使△FCG是等腰三角形，直接写出P的横坐标.
20.如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为点D ．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若过点C的直线交线段AB于点E ， 且S△ACE：S△CEB＝3：5，求直线CE的函数表达式；
（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，是否存在以点D ， C ， P ， Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
21.如图，在平面直角坐标系中，已知点C(0，4)，点A、B在x轴上，并且OA＝OC＝4OB ， 动点P在过A、B、C三点的抛物线上．
   
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在直线AC上方的抛物线上，是否存在点P ， 使得△PAC的面积最大？若存在，求出P点坐标及ΔPAC面积的最大值；若不存在，请说明理由．
（3）在x轴上是否存在点Q ， 使得△ACQ是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
22.下面是小于同学设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P ，
求作：直线 PQ ，使得 PQ//l ．
小于同学的作法：如下，

①在直线l的下方取一点O；
②以点O为圆心， OP 长为半径画圆， ⊙O 交直线l于点C ， D（点C在左侧），连接 CP ；
③以点D为圆心， CP 长为半径画圆，交 ⊙O 于点Q ， N（点Q与点P位于直线l同侧）；
④作直线 PQ ；
所以直线 PQ 即为所求．
请你依据小于同学设计的尺规作图过程，完成下列问题．
（1）使用直尺和圆规，完成作图；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：连接 DP
∵ CP=DQ
∴ CP=DQ （________）（填推理的依据）．
∴ ∠PDC=∠DPQ （________）（填推理的依据）．
∴ PQ//l （________）（填推理的依据）．
23.已知：如图，射线 AP ．

求作： △ABC ，使得点B在射线 AP 上， ∠C=90° ， ∠A=60° ．
作法：①在射线 AP 上任取一点M；
②以点M为圆心， MA 的长为半径画圆，交射线 AP 于另一点B；
③以点A为圆心， AM 的长为半径画弧，在射线 AP 的上方交 ⊙M 于点C；
④连接 AC 、 BC ．
所以 △ABC 为所求作的三角形．
（1）使用直尺和圆规依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵ AB 为 ⊙M 的直径，点C在 ⊙M 上，
∴ ∠ACB=90° （________）（填推理依据）．
连接 MC ．
∵ MA=MC=AC ，
∴ △AMC 为等边三角形（________）（填推理依据）．
∴ ∠A=60° ．
24.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+a−4(a≠0) 的对称轴是直线 x=1 ．
（1）求抛物线 y=ax2+bx+a−4(a≠0) 的顶点坐标；
（2）当 −2≤x≤3 时，y的最大值是5，求a的值；
（3）在（2）的条件下，当 t≤x≤t+1 时，y的最大值是m ， 最小值是n ， 且 m−n=3 ，求t的值．
25.阅读解关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的过程，解答下列问题：
解：两边同乘以4a ， 得4a2x2+4abx+4ac＝0．……第一步
移项，得4a2x2+4abx＝﹣4ac ． ……第二步
配方，得4a2x2+4abx+b2＝b2﹣4ac ． ……第三步
（2ax+b）2＝b2﹣4ac ． ……第四步
两边开平方，得 2ax+b=±b2−4ac ……第五步
2ax=−b±b2−4ac ．……第六步
所以， x1=−b+b2−4ac2a，x2=−b−b2−4ac2a ．……第七步
（1）第一步变形的依据是      ；
（2）从第      步开始出现错误，错误的原因是      ；
（3）采用上述解方程的思路，求3x2﹣4x﹣2＝0的根．
26.综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，点 A(0,10) ，点B是x轴的正半轴上的一个动点，连接AB，取AB的中点M，将线段MB绕着点B按顺时针方向旋转90°，得到线段BC．过点B作x轴的垂线交直线AC于点D．设点B坐标是 (t,0)

（1）当 t=6 时，点M的坐标是      ；
（2）用含t的代数式表示点C的坐标；
（3）是否存在点B，使四边形AOBD为矩形？若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在点B的运动过程中，平面内是否存在一点N，使得以A、B、N、D为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的纵坐标（不必要写横坐标）；若不存在，请说明理由．
27.下面是小勇解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解∶2x2＋4x-6=0
二次项系数化为1，得x²+2x-3=0．……………………… 第一步
移项，得x2+2x=3．…………………………………… ……第二步
配方，得x2+2x+4=3+4．即（x+2）2=7．…………… ………第三步
由此，可得x+2=± 7 ． ………………………………… 第四步
x1=2＋ 7 ，x2=2- 7 ．……………………………………第五步
任务∶
（1）上面小勇同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元—次方程，体现的数学思想是      ；其中配方法依据的一个数学公式是      ；
（2）“第二步”变形的依据      ；
（3）上面小勇同学的解题过程中，从第  ▲  步开始出现错误，写出正确的解答过程．
28.如图，抛物线与x轴交于点 A(1,0) ， B(3,0) ，与y轴交于点 C(0,3) ．

（1）求二次函数的表达式及顶点坐标；
（2）若点P为抛物线上的一点，且 SΔABP=1 ，求点P的坐标；；
（3）连接BC，在抛物线的对称轴上是否存在一点E，使 ΔBCE 是直角三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
五、解答题(本大题共8个小题，共75分．)
29.  
（1）解方程：2x2-4x-3=0
（2）下面是大壮同学进行解方程的过程，请你认真阅读并完成相应任务：
解方程：4(2y-5)2=9(3y-1)2 ．
解：4(2y- 5)2 -9(3y-1)2
[(4y-10)+(9y-3)][(4y-10)-(9y- 3)=0
(13y-13)(5y-7)=0
13y- 13=0或5y-7=0步
解得：y1=1，y2= 75
任务一：①以上解方程过程中，主要是依据      来求解的(填“配方法”或“公式法”或“因式分解法")．
②第      步开始出现错误，错误的原因是      
任务二：请直接写出本题的正确结果       ．
30.综合与探究
如图，开口向下的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-3，0)、C(1，0)，与y轴交于点B(0，3)，连接AB．

（1）求抛物线解析式．
（2）若P为线段AB上一点，且AP=2 2 ，求点P的坐标．
（3）在(2)的条件下，设M是y轴上一点，试探究：抛物线上是否存在点N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

答案解析部分
一、选择题（共10小题）.
1.【答案】 B
2.【答案】 A
3.【答案】 C
4.【答案】 D
5.【答案】 B
6.【答案】 A
7.【答案】 D
8.【答案】 D
9.【答案】 A
10.【答案】 A
二、填空题（共5小题）.
11.【答案】 2π
12.【答案】 27πcm2
13.【答案】 2029
14.【答案】 2
15.【答案】 154
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16.【答案】 （1）解：DE与⊙O相切，
理由：连接OD，

∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∵D为 AC 的中点，
∴ AD ＝ CD ，
∴AD＝CD，
∴∠ACD＝45°，
∵O是AC的中点，
∴∠ODC＝45°，
∵DE∥AC，
∴∠CDE＝∠DCA＝45°，
∴∠ODE＝90°，
∴DE与⊙O相切；

（2）解：∵⊙O的半径为7，
∴AC＝14，
∴AD＝CD＝7 2 ，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵∠BAD＝∠DCE，
∵∠ABD＝∠CDE＝45°，
∴△ABD∽△CDE，
∴ ABCD ＝ ADCE ，
∴ 1072 ＝ 72CE ，
∴CE＝9.8.
17.【答案】 （1）解：∵点A（﹣2，0），在抛物线 y＝ax2+bx﹣6a上，
∴4a﹣2b﹣6a＝0，
∴b＝﹣a，
∴ y=ax2−ax−6a=a(a−12)2−25a4 .
∴点P坐标为 (12,25a4) .

（2）解：由（1）可知，抛物线的对称轴为直线 x= ，
∴点B与点A关于直线 x= 对称，
∴B（3，0），
∴AB＝5，
∵点P坐标为 (12,25a4) ，
设△ABP面积为S，则 S=12×5×|−25a4|=1258|a| .
∵﹣8≤a≤﹣5
∴ S=−1258a ，S随a的增大而减小.
∴a＝﹣8时，△ABP面积的最大值为125.

（3）解：∵a＝1，b＝﹣a，
∴y＝x2﹣x﹣6，
∵y＝x2﹣x﹣6与x轴交于A（﹣2，0），B（3，0）.
∴新函数为 y={x2−x−6(x≥3或x≤2)−x2+x+6(−20，
x= −b±b2−4ac2a=4±2102×2=2±102
∴x1= 2+102 ，x2= 2−102

（2）因式分解法；三；合并同类项出错；y1=1，y2= −75
30.【答案】 （1）解：∵抛物线交y轴于点B(0，3)，∴c=3．
又∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-3，0)，C(1，0)，
∴ {9a−3b+3=0a+b+3=0 ，解得 {a=−1b=−2
∴抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3

（2）解：如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，

∵OA=3，OB=3，∠AOB=90°，
∴∠ BAO=∠ABO=45° ，
∴△PAD为等腰直角三角形
∵AP=2 2 ，
∴PD=AD=2，
∴点P的坐标为(-1，2)

（3）解：存在．
点N的坐标为(-2，3)或(2，-5)或(-4，-5)
提示：当AP为边，且N在AB的上方时，过点N作NE⊥y轴于点E，如图2，

∵四边形APMN为平行四边形，
∴NM∥AP，NM=AP=2 2 ，∴∠NME=∠ABO=45°，
∴△NME为等腰直角三角形，∴Rt△NME≌Rt△APD，∴NE=AD=2．
当x=-2时，y=-(-2)2-2×(-2)+3=3，．点N的坐标为(-2，3)．
当AP为边，且N在AB的下方时，过点N作NF⊥y轴于点F，如图3，

同理可得：Rt△NMF≌Rt△APD，∴NF=AD=2．
当x=2时，y=-22-2×2+3=-5，∴点N的坐标为(2，-5)．
当AP为对角线时，则AP中点的坐标为(-2，1)，
∵四边形APMN为平行四边形，
点N，M关于AP中点中心对称，而M点的横坐标为0，
∴N点横坐标为-4，则y=-(-4)2-2×(-4)+3=-5，
点N的坐标为(-4，-5)
综上，点N的坐标为(-2，3)或(2，-5)或(-4，-5)．