人教B版 (2019)必修 第二册4.2.3 对数函数的性质与图像导学案

第2课时　对数函数的图象和性质

基 础 自 测

1．比较下列各组值的大小：

(1)0.5________0.6；

(2)log1.51.6________log1.51.4；

(3)log0.57________log0.67；

(4)log3π________log20.8.

2．若log3a＜0，＞1，则(　　)

A．a＞1，b＞0    B．0＜a＜1，b＞0

C．a＞1，b＜0    D．0＜a＜1，b＜0

3．函数y＝log2x在区间(0，2]上的最大值是(　　)

A．2　　　 B．1    C．0　　　 D．－1

课堂探究·素养提升——强化创新性

题型1　比较大小[经典例题]

例1　(1)已知b<a<c，则(　　)

A．2a>2b>2c      B．2b>2a>2c

C．2c>2b>2a      D．2c>2a>2b

(2)设a＝log32，b＝log2，c＝2log32，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a＜b＜c　　     B．b＜a＜c

C．b＜c＜a　　     D．c＜a＜b

(3)若a＝log20.2，b＝20.2，c＝log0.20.3，则下列结论正确的是(　　)

A．b>c>a      B．c>a>b

C．a>b>c      D．c>b>a

状元随笔　构造对数函数，利用函数单调性比较大小.

方法归纳

比较对数值大小时常用的三种方法

跟踪训练1　(1)设a＝log2π，b＝π，c＝π－2，则(　　)

A．a＞b＞c     B．b＞a＞c

C．a＞c＞b     D．c＞b＞a

(2)设a＝，b＝，c＝log3，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a<b<c     B．c<b<a

C．b<a<c     D．b<c<a

状元随笔　(1)选择中间量0和1，比较大小．

(2)利用对数函数的单调性比较大小．

题型2　解对数不等式[经典例题]

例2　(1)已知log0.72x＜log0.7(x－1)，则x的取值范围为________；

(2)已知loga(x－1)≥loga(3－x)(a＞0，且a≠1)，求x的取值范围；

状元随笔　(1)利用函数y＝log0.7x的单调性求解．

(2)分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论，解不等式．

(3)求函数y＝的定义域．

方法归纳

两类对数不等式的解法

(1)形如logaf(x)＜logag(x)的不等式．

①当0＜a＜1时，可转化为f(x)＞g(x)＞0；

②当a＞1时，可转化为0＜f(x)＜g(x).

(2)形如logaf(x)＜b的不等式可变形为logaf(x)＜b＝logaab.

①当0＜a＜1时，可转化为f(x)＞ab；

②当a＞1时，可转化为0＜f(x)＜ab.

跟踪训练2　(1)满足不等式log3x＜1的x的取值集合为________；

(2)根据下列各式，确定实数

a的取值范围：

①log1.5(2a)＞log1.5(a－1)；

②log0.5(a＋1)＞log0.5(3－a).

(1)log33＝1.

(2)由对数函数的单调性求解．

(3)函数y＝的定义域为(　　)

A．(－∞，]   B．(，)

C．(，]   D．[，＋∞)

题型3　有关对数复合函数的值域与最值问题[逻辑推理、数学运算]

例3　求下列函数的值域：

(1)y＝log2(x2＋4)；

(2)y＝ (3＋2x－x2)；

(3)f(x)＝(lg x)2－2lg x2＋3(1≤x≤1 000).

状元随笔　求出函数的定义域⇒求出真数的范围⇒根据对数函数的单调性求出函数的值域．

方法归纳

复合函数值域的求法

(1)求对数函数或与对数函数相关的复合函数的值域(最值)，关键是根据单调性求解，若需换元，需考虑新元的取值范围．

(2)对于形如y＝logaf(x)(a>0且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：

①分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；

②求f(x)的定义域；

③求u的取值范围；

④利用y＝logau的单调性求解．

跟踪训练3　求下列函数的值域：

(1)y＝ (4x－x2)；

(2)f(x)＝log2(x2＋8)；

(3)f(x)＝(log2x)2－log2x2－3.

题型4　对数函数性质的综合应用[经典例题]

例4　设函数f(x)＝ln (2＋x)－ln (2－x)，则f(x)是(　　)

A．奇函数，且在(0，2)上是增函数

B．奇函数，且在(0，2)上是减函数

C．偶函数，且在(0，2)上是增函数

D．偶函数，且在(0，2)上是减函数

方法归纳

解答y＝logaf(x)型或y＝f(logax)型函数需注意的问题

(1)要注意变量的取值范围．例如，f(x)＝log2x，g(x)＝x2＋x，则f(g(x))＝log2(x2＋x)中需要g(x)＞0；g(f(x))＝(log2x)2＋log2x中需要x＞0.

(2)判断y＝logaf(x)型或y＝f(logax)型函数的奇偶性，首先要注意函数中变量的范围，再利用奇偶性定义判断．

跟踪训练4　已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f(x)＝ (－x＋1).

(1)求f(0)，f(1)；

(2)求函数f(x)的解析式．

第2课时　对数函数的图象和性质

[基础自测]

1．解析：(1)因为函数y＝x是减函数，且0.5＜0.6，所以0.6.

(2)因为函数y＝log1.5x是增函数，且1.6＞1.4，所以log1.51.6＞log1.51.4.

(3)因为0＞log70.6＞log70.5，所以＜，即log0.67＜log0.57.

(4)因为log3π＞log31＝0，log20.8＜log21＝0，所以log3π＞log20.8.

答案：(1)＞　(2)＞　(3)＞　(4)＞

2．解析：由函数y＝log3x，y＝的图象知，0＜a＜1，b＜0.

答案：D

3．解析：函数y＝log2x在(0，2]上递增，故x＝2时，y的值最大，最大值是1.

答案：B

课堂探究·素养提升

例1　【解析】　(1)由于函数y＝x为减函数，因此由b<a<c，可得b>a>c，又由于函数y＝2x为增函数，所以2b>2a>2c.

(2)因为0＝log31＜a＝log32＜log33＝1，

b＝log2＜log21＝0，c＝2log32＝log34＞1，

所以a，b，c的大小关系为b＜a＜c.

(3)∵a＝log20.2<log21＝0，b＝20.2>20＝1，0＝log0.21<c＝log0.20.3<log0.20.2＝1，∴b>c>a.

【答案】　(1)B　(2)B　(3)A

跟踪训练1　　解析：(1)a＝log2π＞1，b＝π＜0，c＝π－2∈(0，1)，所以a＞c＞b.

(2)因为a＝＝log32，

b＝＝log3，c＝log3，

又y＝log3x是单调增函数，所以log3<log3<log32，

即c<b<a.

答案：(1)C　(2)B

例2　【解析】　(1)∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，

∴由log0.72x＜log0.7(x－1)得解得x＞1，

即x的取值范围是(1，＋∞).

(2)loga(x－1)≥loga(3－x)，

当a＞1时，有解得2≤x＜3.

当0＜a＜1时，有解得1＜x≤2.

综上可得，

当a＞1时，不等式loga(x－1)≥loga(3－x)中x的取值范围为[2，3)；

当0＜a＜1时，不等式loga(x－1)≥loga(3－x)中x的取值范围是(1，2].

(3)由已知可得

解得x≥1，

故函数的定义域为x∈[1，＋∞).

【答案】　(1)(1，＋∞)　(2)(3)见解析

跟踪训练2　解析：(1)因为log3x＜1＝log33，

所以x满足的条件为

即0＜x＜3.所以x的取值集合为{x|0＜x＜3}．

(2)①函数y＝log1.5x在(0，＋∞)上是增函数．

因为log1.5(2a)＞log1.5(a－1)，所以解得a＞1，

即实数a的取值范围是a＞1.

②函数y＝log0.5x在(0，＋∞)上是减函数，因为log0.5(a＋1)＞log0.5(3－a)，

所以解得－1＜a＜1.即实数a的取值范围是－1＜a＜1.

(3)由题意可得 (5x－2)≥0且5x－2>0，

即 (5x－2)≥1且5x－2>0，

整理可得0<5x－2≤1，

解得：<x≤

所以函数y＝的定义域为(，].

答案：(1){x|0＜x＜3}　(2)见解析　(3)C

例3　【解析】　(1)y＝log2(x2＋4)的定义域是R.

因为x2＋4≥4，

所以log2(x2＋4)≥log24＝2.

所以y＝log2(x2＋4)的值域为[2，＋∞).

(2)由3＋2x－x2>0得定义域为(－1，3).

设u＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4≤4.

因为u>0，所以0<u≤4.

又y＝u在(0，＋∞)上为减函数，

所以u≥4＝－2，

所以y＝ (3＋2x－x2)的值域为[－2，＋∞).

(3)令lg x＝t，因为1≤x≤1 000，所以0≤t≤3.

所以y＝t2－4t＋3＝(t－2)2－1，0≤t≤3，

当t＝2时，y取得最小值－1，当t＝0时，y取得最大值3，

所以值域为[－1，3].

跟踪训练3　解析：(1)由4x－x2>0，得0<x<4，

令t＝4x－x2，则y＝t，

因为t＝4x－x2＝－(x－2)2＋4，0<x<4，

所以0<t≤4，

因为函数y＝t在(0，4]上单调递减，

所以y＝t≥4＝－2，

所以函数的值域为[－2，＋∞).

(2)设t＝x2＋8，则t≥8，又函数y＝log2t在(0，＋∞)上为增函数，所以f(x)≥log28＝3.函数的值域为[3，＋∞).

(3)因为f(x)＝(log2x－1)2－4(x>0)，所以当log2x＝1，

即x＝2时，f(x)取最小值－4；

f(x)没有最大值；

故函数的值域为[－4，＋∞).

例4　【解析】　因为f(－x)＝ln (2－x)－ln (2＋x)＝－f(x)，

所以f(x)为奇函数；

因为y＝ln (2＋x)与y＝－ln (2－x)在(0，2)内都是增函数，

所以f(x)在(0，2)上是增函数．

【答案】　A

跟踪训练4　解析：(1)因为当x≤0时，f(x)＝ (－x＋1)，

所以f(0)＝0.

又函数f(x)是定义在R上的偶函数，

所以f(1)＝f(－1)＝ [－(－1)＋1]＝2＝－1，即f(1)＝－1.

(2)令x>0，则－x<0，

所以f(－x)＝ (x＋1)＝f(x)，

所以x>0时，f(x)＝ (x＋1).

所以函数f(x)的解析式为f(x)＝