广西北海市2023届高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题及答案

2023届北海市高三第一次模拟考试

数学（理科）

全卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.回答选考题时，考生须按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.

5.本卷主要考查内容：高考范围.

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，集合，则等于（    ）

A. B. C. D.

2.已知复数z满足，若z为纯虚数，则（    ）

A.-3 B. C.3 D.0

3.在等差数列中，，，则（    ）

A.19 B.18 C.17 D.20

4.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵.记鲑鱼的游速为v（单位：），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究发现.当时，鲑鱼的耗氧量的单位数为800.当时，鲑鱼的耗氧量的单位数为（    ）

A.12800 B.24800 C.25600 D.51200

5.如图所示几何体是底面直径为2，高为3的圆柱的上底面挖去半个球，则该几何体的表面积为（    ）

A. B. C. D.

6.如右图所示，阴影部分由四个全等的三角形组成，每个三角形是腰长等于圆的半径，顶角为

的等腰三角形.如果在圆内随机取一点，那么该点落到阴影部分内的概率为，则（    ）

A. B. C. D.

7.已知角满足，则（    ）

A. B. C. D.

8.已知奇函数的定义域为R，且在上单调递增，在上单调递减.若，则的解集为（    ）

A.  B.

C.  D.

9.已知，，若，恒成立，则正数m的最小值是（    ）

A. B.1 C. D.e

10.已知函数，将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，已知在上恰有5个零点，则的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

11.已知数列的前n项和为，且满足，则数列的前81项的和为（    ）

A.1640 B.1660 C.1680 D.1700

12.已知抛物线的焦点为F，抛物线上的任意一点P到焦点F的距离比到直线的距离少，过焦点F的直线与抛物线C交于A，B两点，直线，与直线分别相交于M，N两点，O为坐标原点，若，则直线的斜率为（    ）

A.1或 B.1或2 C.或2 D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量是单位向量，向量，且，则与的夹角为_____________.

14.的展开式中的系数为_____________.

15.如图，已知双曲线的左，右焦点分别为，，正六边形的一边的中点恰好在双曲线M上，则双曲线M的离心率是_____________.

16.如图，在体积为的三棱锥中，，，底面，则三棱锥外接球体积的最小值为_____________.

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答、第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分、

17.（本小题满分12分）

已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

（1）求角B的大小；

（2）若，求周长的最大值.

18.（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱中，，E为的中点，F为的中点.

（1）证明：平面；

（2）若，求平面与平面所成二面角的正弦值.

19.（本小题满分12分）

某校为了了解学生每天完成数学作业所需的时间收集了相关数据（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，学生完成数学作业的时间的范围是.其统计数据分组区间为，，，，.

（1）求直方图中x的值；

（2）以直方图中的频率作为概率，从该校学生中任选4人，这4名学生中完成数学作业所需时间少于20分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望.

20.（本小题满分12分）

已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆C上，且椭圆C

的离心率为.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）相互垂直且斜率存在的直线，都过点，直线与椭圆相交于P、Q两点，直线与椭圆相交于M、N两点，点D为线段的中点，点E为线段的中点，证明：直线过定点.

21.（本小题满分12分）

已知函数.

（1）当时，求过点且和曲线相切的直线方程；

（2）若对任意实数，不等式恒成立，求实数a的取值范围.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（为参数）.以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.

（1）求曲线C的标准方程与直线l的直角坐标方程；

（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，求A，B两点的极坐标.

23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数.

（1）若，求不等式的解集；

（2）若，求实数a的取值范围.

2023届北海市高三第一次模拟考试・数学（理科）

参考答案、提示及评分细则

1.D  ∵，∴.

2.C  由且，可知.

3.  C由，有，可得.

4.D  因为时，，故，

所以，故时，，即.故选D.

5.B  几何体的表面积为.

6.A  设圆的半径为，圆的面积为，四个三角形的面积为，有，解得，可得.

7.A  由，得，，故选A.

8.B  作出图象，可知解集为.

9.B  由，即，即.令，则，令，则在上恒成立，所以在上单调递减，又，所以当时，，当时，.即在上单调递增，在上单调递减.所以.故选B.

10.D  ，令，由题意在上恰有5个零点，即在上恰有5个不相等的实根，由的性质可得，解得.故选D.

11.A  由，有.又由，可得，可得则数列的前81项的和为.

12.A  因为抛物线的焦点为，抛物线上的任意一点到焦点的距离比到直线的距离少，所以抛物线上的任意一点到焦点的距离与到直线的距离相等，

由抛物线的定义知，即，所以抛物线的方程为.，

设的方程为，，.

联立方程组整理得，

由韦达定理知，.

直线的方程为，联立方程组

所以，因为，所以点的坐标为，同理，.

所以，

又由，有，解得或，

故直线的斜率为1或.故选A.

13.  由题意可知，，，，故，，即和的夹角为.

14.9  ，展开式中的系数为.

15.  设的中点为，连接，，易得，，所以，，在中，由余弦定理得，所以，所以，所以双曲线的离心率.

15.  如图，设外接圆的圆心为，外接圆的半径为，，，，，由，有，由可知，为三棱锥外接球的球心，有，解得（当且仅当时取等号），故三棱锥外接球体积的最小值为.

17.解：（1）由及正弦定理得，

因为，……………………3分

所以，因为，所以，，…………5分

又，解得；……………………………………6分

（2）∵，，即，………………8分

所以，当且仅当时等号成立，……………………10分

所以，当且仅当时等号成立.

所以周长的最大值为.………………………………12分

18.（1）证明：取的中点O，连接，，…………………………1分

∵，，∴且，…………………………2分

∵，，∴，且……………………3分

∴四边形是平行四边形，

∴，………………………………4分

∵，平面，平面，∴平面；………………5分

（2）解：由，，两两垂直，以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，各点坐标如下，，，，，，，……………………………………6分

设平面的法向量为，由，，

有取，，，可得平面的一个法向量为，……8分

设平面的法向量为，由，，

有取，，，可得平面的一个法向量为，……10分

有，，，可得，

故平面与平面的二面角的正弦值为.……………………12分

19.解：（1）由直方图可得，解得；……3分

（2）X的可能取值为0，1，2，3，4.…………………………4分

由直方图可知，每位学生完成数学作业所需时间少于20分钟的概率为，……………………5分

，………………………………6分

，…………………………7分

，………………………………8分

，………………………………9分

.……………………………………10分

所以的分布列为

……………………………………11分

.……………………………………12分

20.（1）解：设点，的坐标分别为、，

由题意有解得…………………………3分

故椭圆的标准方程为；………………………………4分

（2）证明:设直线的斜率为，可得直线的斜率为，

设点的坐标为，点的坐标为，直线的方程为，

联立方程消除后有，有，可得，

，…………………………………………6分

同理，，…………………………8分

由对称性可知直线所过的定点T必定在x轴上，设点T的坐标为，…………9分

有，有，化简得，解得，

故直线过定点.………………………………12分

21.解：（1）当时，，，

因为点没有在曲线上，故不是切点，设切点为，直线斜率为，……1分

则切线方程为，又因为该直线过点，

所以，即，…………………………3分

记，

当时，，当时，，

∴在上单调递增，

又，∴，

故切线方程为；………………………………4分

（2）当时，由可得，

即，……………………8分

构造函数，其中，则，

所以函数在R上为增函数，

由可得，

所以，即，其中，……………………………10分

令，其中，则.

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

所以，即.………………………………12分

22.解：（1）曲线C的参数方程为（为参数），转换为标准方程为，……3分

直线l的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为；………5分

（2）联立方程…………………………6分

解得或………………………………………………8分

故点A，B的直角坐标分别为，，

可得点A的极坐标为，点B的极坐标为.……………………10分

23.解：（1）当时，，

当时，不等式化为，∴，此时；………………1分

当时，不等式化为，恒成立，此时；…………2分

当时，不等式化为，∴，此时，…………3分

综上所述，不等式的解集为；………………………………4分

（2），…………6分

若，则，………………7分

当时，不等式恒成立；………………………8分

当时，不等式，两边平方可得，解得，∴，…9分

综上可得，a的取值范围是.………………………………10分