北京市汇文中学2022--2023学年九年级数学上学期期中数学试卷(含答案)

北京汇文中学教育集团2022−2023学年度第一学期

期中考试

初三年级  数学

一、选择题（共16分，每题2分）第1−8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．

1. 如图，点A，B，C在上，，则的大小为（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 在平面直角坐标系中，抛物线向上平移3个单位长度得到的抛物线为（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线的示意图如图所示，下列说法中正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 下列所给方程中，没有实数根的是（    ）

A.  B.

C.  D.

6. 如图，是正方形的外接圆，若的半径为4，则正方形的边长为（    ）

A. 4 B. 8 C.  D.

7. 下列说法中，正确的是（    ）

A. “射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件

B. 事件发生可能性越大，它的概率越接近1

C. 某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖

D. 抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得

8. 如图，点P是以O为圆心，AB为直径半圆上的动点，AB=2，设弦AP的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（共16分，每题2分）

9. 在半径为的圆中，的圆心角所对弧的弧长是______．

10. 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB＝10，CD＝8，则BH的长度为_____．

11. 若点，在抛物线上，则，的大小关系为：______（填“>”，“=”或“<”）．

12. 关于的一元二次方程有一个根为1，则的值为________．

13. 如图，是的切线，A，B是切点，点C为上一点，若，则的度数为______．

14. 据了解，2022年9月，某展览中心参观人数为万人，比7月份的参观人数增加了万人，设参观人数的月平均增长率为，则可列方程为______．

15. 已知二次函数图像上部分点横坐标、纵坐标的对应值如下表：

直接写出该二次函数的图像与x轴的交点坐标______．

16. 抛物线的顶点为，且经过点，其部分图像如图所示，对于此抛物线有如下四个结论：

①；②；③；④；⑤若此抛物线经过点．则一定是方程的一个根．

其中所有正确结论的序号是______．

三、解答题（总分68）

17. 解方程：．

18. 下面是小石设计的“过三角形一个顶点作其对边的平行线”的尺规作图过程．

已知：如图，．

求作：直线BD，使得．

作法：如图，

①分别作线段AC，BC的垂直平分线，，两直线交于点O；

②以点O为圆心，OA长为半径作圆；

③以点A为圆心，BC长为半径作弧，交于点D；

④作直线BD．所以直线BD就是所求作的直线．

根据小石设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明．

证明：连接AD，

∵点A，B，C，D在上，，

∴______．

∴（______）（填推理的依据）．

∴．

19. 已知二次函数．

（1）求此函数图像的对称轴和顶点坐标；

（2）画出此函数的图像（不需要列表）；

（3）若点和都在此函数的图像上，且，结合函数图像，直接写出m的取值范围．

20. 已知关于x的一元二次方程．

（1）求证：此方程总有两个实数根；

（2）若此方程恰有一个根小于，求k的取值范围．

21. 有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数，，5．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为.若，小明胜；若，为平局；若，小刚胜．

（1）若，用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率；

（2）当为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数的值．

22. 如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点、、，若该圆弧所在圆的圆心为点，请你利用网格图回答下列问题：

（1）圆心坐标为_____；

（2）若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面圆的半径长（结果保留根号）．

23. 如图，内接于，高经过圆心．

（1）求证：；

（2）若，的半径为．求的面积．

24. “母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进了一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲，在义卖的过程中发现，这种文化衫每天的销售件数y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：．如果义卖这种文化衫每天的利润为p（元），那么销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？

（1）求出p与x关系式；

（2）当销售单价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？

25. 如图，是的直径，四边形内接于，是的中点，交的延长线于点．

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求的长．

26. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A，．

（1）若，

①点A到轴的距离为_______；

②求此抛物线与轴的两个交点之间的距离；

（2）已知点A到轴的距离为4，此抛物线与直线的两个交点分别为，，其中，若点在此抛物线上，当时，总满足，求的值和的取值范围．

27. 在中，，，D是的中点，E为边上一动点（不与点A，C重合），连接，点A关于直线的对称点为F，过点F作于点H，交射线于点G．

（1）如图1，当时，写出与的大小关系；

（2）如图1，当时，用等式表示线段与的数量关系，并证明；

（3）如图2．当时，依题意补全图2，用等式表示线段，，之间的数量关系（不需证明）．

28. 对于平面直角坐标系中的图形G和点P给出如下定义；Q为图形G上任意一点，若P，Q两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的k倍，则称点P为图形G的“k分点”．

己知点，，，．

（1）①在点A，B，C中，线段的“分点”是______；

②点，若点C为线段的“二分点”，求a的值；

（2）以点O为圆心，r为半径画图，若线段上存在的“二分点”，直接写出r的取值范围．

北京汇文中学教育集团2022−2023学年度第一学期

期中考试

初三年级  数学

一、选择题（共16分，每题2分）第1−8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．

【1题答案】

【答案】C

【2题答案】

【答案】D

【3题答案】

【答案】C

【4题答案】

【答案】A

【5题答案】

【答案】D

【6题答案】

【答案】D

【7题答案】

【答案】B

【8题答案】

【答案】A

二、填空题（共16分，每题2分）

【9题答案】

【答案】

【10题答案】

【答案】2

【11题答案】

【答案】<

【12题答案】

【答案】-5

【13题答案】

【答案】##40度

【14题答案】

【答案】

【15题答案】

【答案】，

【16题答案】

【答案】③④##④③

三、解答题（总分68）

【17题答案】

【答案】

【18题答案】

【答案】（1）作图见解析；（2）在同圆中，等弧所对的圆周角相等

【19题答案】

【答案】（1）对称轴直线，顶点坐标为；   

（2）见解析；    （3）或．

【20题答案】

【答案】（1）见解析    （2）

【21题答案】

【答案】（1）见详解；（2）m=-1

【22题答案】

【答案】（1）；（2）该圆锥底面圆的半径长为．

【23题答案】

【答案】（1）见解析    （2）

【24题答案】

【答案】（1）；   

（2）当销售单价定为28元时，每天获得的利润最大，最大利润是192元．

【25题答案】

【答案】（1）见详解；（2）

【26题答案】

【答案】（1）①8；②；（2），

【27题答案】

【答案】（1），证明见解析   

（2），证明见解析   

（3），补图见解析

【28题答案】

【答案】（1）①点B，②   

（2）或