2023内江六中高三上学期第二次月考文科数学含解析

内江六中2022—2023学年（上）高2023第二次月考

文科数学试题

第Ⅰ卷  选择题（满分60分）

一、选择题（每题5分，共60分）

1. 已知向量，，若，且，则实数（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据平面向量坐标的线性运算得得坐标，在根据向量垂直的坐标关系，即可得实数的值.

【详解】解：因为向量，，所以，又，所以，解得.

故选：D.

2. 复数的虚部为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用复数的除法运算化简，即可得复数的虚部.

【详解】解：复数

故的虚部为.

故选：A．

3. 若集合，0，，，，则（    ）

A.  B.  C. ， D. ，

【答案】D

【解析】

【分析】把中元素代入中解析式求出的值，确定出，找出两集合的交集即可．

【详解】解：把中，0，1代入中得：，1，即，，

则，，

故选：D．

4. 若变量、满足约束条件，则目标函数取最大值时的最优解是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】作出满足约束条件的可行域，平移直线，即可得出结果.

【详解】作出满足约束条件的可行域（如图中阴影部分所示）.

可化为，

平移直线，

当其经过点时，目标函数取得最大值，

联立，解得，，

故最优解是，

故选：C.

5. 若a，b均为实数，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数与解不等式，即可判断.

【详解】解：因为，由函数在上单调递增得：

又，由于函数在上单调递增得：

由“”是“”的充分不必要条件

可得“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

6. 如图是函数的图象的一部分，则函数的解析式为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由图象可确定最小正周期，由此可得；根据可求得；由可求得，由此可得.

【详解】由图象可知：最小正周期，；

又，，

解得：，又，，，

，，.

故选：B.

7. 已知向量的夹角为，且，则向量在向量方向上的投影是（    ）

A.  B. 3 C.  D. 1

【答案】D

【解析】

【分析】由题意，根据数量积的运算，化简等式，解得模长，结合投影的计算公式，可得答案.

【详解】由，，，

，，，

解得，所以向量在向量方向上的投影为，

故选：D.

8. 蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系．用均匀投点实现统计模拟和抽样，以获得问题的近似解，故又称统计模拟法或统计实验法，现设计一个实验计算圆周率的近似值，向两直角边长分别为6和8的直角三角形中均匀投点40个．落入其内切圆中的点有22个，则圆周率（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据几何概型的计算公式和题意即可求出结果.

【详解】直角三角形内切圆的直径等于两直角边的和与斜边的差，即，

由几何概型得，从而.

故选：B.

9. 双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：A·h），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流，放电时间为（    ）

A. 28h B. 28.5h C. 29h D. 29.5h

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意求出蓄电池的容量C，再把代入，结合指数与对数的运算性质即可得解.

【详解】解：根据题意可得，

则当时，

，

所以，

即当放电电流，放电时间为28.5h.
故选：B.

10. 已知函数，则函数的零点个数为（    ）．

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】B

【解析】

【分析】首先根据，得到或，然后利用导数分析时函数的单调性，结合单调性画出函数的图象，通过图象即可观察出函数零点的个数.

【详解】由，得或.

当时，，

所以当，单调递减；当，单调递增，

所以时，有极小值.

又时，，

画出函数的图象如图所示，由图可知：函数的零点个数为3.

故选：B.

11. 已知是定义在R上的函数满足，且满足为奇函数，则下列说法一定正确的是（    ）

A. 函数图象关于直线对称 B. 函数的周期为2

C. 函数关于点中心对称 D.

【答案】D

【解析】

【分析】对于A.令代入即可判断.

对于C.可考虑图像平移或者将换元进行判断.

对于BD.通过AB对称轴和对称中心即可判断出函数周期，继而计算出

【详解】因为函数关于直线对称，不能确定是否关于直线对称，A错误；

因为为奇函数，所以，所以，所以，所以函数关于点中心对称，故C错误;

由与得，即，故，所以函数的周期为4，故B错误；

，故D正确．

故选: D

12. 已知关于的不等式有且仅有两个正整数解（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围是（       ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】问题转化为（）有且仅有两个正整数解，讨论、并构造、，利用导数研究单调性，进而数形结合列出不等式组求参数范围.

【详解】当时，由，可得（），

显然当时，不等式在恒成立，不合题意；

当时，令，则在上单调递增，

令，则，故上，上，

∴在上递增，在上递减，

又且趋向正无穷时趋向0，故，

综上，图象如下：

由图知：要使有两个正整数解，则，即，解得．

故选：D

【点睛】关键点点睛：问题转化为（）有且仅有两个正整数解，根据不等式两边的单调性及正整数解个数列不等式组求范围.

第Ⅱ卷非选择题（满分90分）

二、填空题（每题5分，共20分）

13. ______ ．

【答案】##

【解析】

【分析】利用指数幂与对数运算即可求解.

【详解】.

故答案为：.

14. 曲线在点处的切线方程为________．（用一般式表示）

【答案】

【解析】

【分析】利用导数的几何意义即得.

【详解】由，得，

所以切线的斜率为，

所以所求的切线方程为，即.

故答案为：.

15. 已知，则___________.

【答案】##0.28

【解析】

分析】利用倍角余弦公式求得，由诱导公式，即可求值.

【详解】，

而.

故答案为：

16. 已知函数 (ω>0)，若在上恰有两个零点，且在上单调递增，则ω的取值范围是________.

【答案】

【解析】

【分析】由在上恰有两个零点，令，，可得，令，，可得f(x)在上单调递增，从而有，联立求解即可得答案.

【详解】解：由题意，令，，得x＝，，

∴f(x)的第2个、第3个正零点分别为，，

∴，解得，

令，，

∴，，

令k＝0，f(x)在上单调递增，

∴，

∴，解得，

综上，ω的取值范围是.

故答案为：.

三、解答题（共70分）

（一）必考题（共60分）

17. 在锐角中，内角所对的边分别为，已知.

（1）求角的大小；

（2）求的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）结合，以及诱导公式、二倍角公式、正弦定理化简原式，即得解；

（2）利用正弦定理，辅助角公式可化简，结合的范围即得解

【小问1详解】

，

，又为锐角

【小问2详解】

由正弦定理，，

由锐角，故

故.

18. 已知等差数列的前n项和为，，．

（1）求及；

（2）若，求数列的前n项和．

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）设出等差数列的首项和公差，利用等差数列的通项公式、前项和公式得到关于首项和公差的方程组求出和，进而求出及；（2）利用（1）求出，再利用裂项抵消法进行求和.

【小问1详解】

设等差数列的公差为d，

则，解得，

所以，

．

【小问2详解】

由（1）得：，，

则，

所以

..

19. 已知.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若对恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用导数的几何意义以及直线方程的点斜式即可求解.

（2）分离参数，转化成不等式恒成立问题，利用导数求最值即可.

【小问1详解】

当时，，，

，，

所以切线方程为：，即.

【小问2详解】

恒成立，即在上恒成立，

设，，

令，得，

在上，，

所以函数在上单调递减，

所以，，

故有.

20. 2022年2月4日北京冬奥运会正式开幕，“冰墩墩”作为冬奥会的吉祥物之一，受到各国运动员的“追捧”，成为新晋“网红”，尤其在我国，广大网友纷纷倡导“一户一墩”，为了了解人们对“冰墩墩”需求量，某电商平台采用预售的方式，预售时间段为2022年2月5日至2022年2月20日，该电商平台统计了2月5日至2月9日的相关数据，这5天的第x天到该电商平台参与预售的人数y（单位：万人）的数据如下表：

（1）依据表中的统计数据，请判断该电商平台的第天与到该电商平台参与预售的人数（单位：万人）是否具有较高的线性相关程度？（参考：若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，计算时精确度为）

（2）求参与预售人数与预售的第天的线性回归方程；用样本估计总体，请预测2022年2月20日该电商平台的预售人数（单位：万人）.

参考数据：，附：相关系数

【答案】（1）具有较高的线性相关程度   

（2），万人

【解析】

【分析】（1）根据已知数据计算出相关系数可得；

（2）由已知数据求出回归方程的系数得回归方程，然后在回归方程中令代入计算可得估计值．

【小问1详解】

由表中数据可得，

所以

又

所以

所以该电商平台的第天与到该电商平台参与预售的人数（单位：万人）具有较高的线性相关程度即可用线性回归模型拟合人数与天数之间的关系.

【小问2详解】

由表中数据可得

则

所以

令，可得（万人）

故预测2022年2月20日该电商平台预售人数万人

21. 已知

（1）当时，求的单调性；

（2）讨论的零点个数．

【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；   

（2）当，0个零点；当或，1个零点；，2个零点

【解析】

【分析】（1）求出函数的导函数，可得，令，利用导数说明的单调性，即可求出的单调区间；

（2）依题意可得，令，则问题转化为，，利用零点存在定理结合单调性可判断方程的解的个数.

【小问1详解】

解：因为，，

所以，

令，，所以在单增，且，

当时，当时，

所以当时，当时，

所以在单调递减，在单调递增

【小问2详解】

解：因为

令，易知在上单调递增，且，

故零点转化为即，，

设，则，

当时，无零点；

当时，，故为上的增函数，

而，，故在上有且只有一个零点；

当时，若，则；，则；

故，

若，则，故在上有且只有一个零点；

若，则，故在上无零点；

若，则，此时，

而，，

设，，则，

故在上为增函数，故即，

故此时在上有且只有两个不同的零点；

综上：当时，0个零点；当或时，1个零点；时，2个零点；

【点睛】思路点睛：导数背景下的零点问题，注意利用零点存在定理结合函数单调性来讨论.

（二）选考题（10分）请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

选修4-4：坐标系与参数方程

22. 已知曲线的参数方程为 （为参数），以直角坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程.

（1）求的极坐标方程；

（2）若曲线与曲线、曲线分别交于两点A，B，点 ，求△PAB的面积.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）将的参数方程化为普通方程，再根据极坐标与直角坐标的转化公式即可得答案;

（2）联立方程，分别求得点A，B的极坐标，根据三角形面积公式即可求得答案.

【小问1详解】

由消去参数，得,

因为，

所以曲线的直角坐标方程为，

因为，

所以曲线的极坐标方程为 ；

【小问2详解】

由 得:，

所以曲线与曲线交于点A，

由,得:，   

所以曲线与曲线:交于点B，

则

.

选修4-5：不等式选讲

23. 己知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若对于任意，都有，求实数a的取值范围．

【答案】（1）   

（2）或．

【解析】

【分析】（1）分，，三种情况打开绝对值，求解即可；

（2）打开绝对值，将函数写成分段函数，结合单调性求解即可

【小问1详解】

当时，，解得，

当时，，解得，

当时，，解得，

所以不等式的解集为．

【小问2详解】

因为，

故

所以

所以函数在上递减，在上递增，

所以函数在上的最小值为．

所以，

即

解得或．