2022石嘴山平罗中学高三上学期期中考试数学（理）含解析

平罗中学2021—2022学年度第一学期期中考试试卷

高三数学（理）

一、选择题（每小题5分，共60分）

1．集合，，则（）

A． B． C． D．

2．复数的实部为（）

A． B．1 C． D．2

3．已知,条件甲：；条件乙：,则甲是乙的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知向量，且，则（）

A． B． C． D．5

5．已知点是角的终边与单位圆的交点，则（）

A． B． C． D．

6．在△中，为边上的中线，为的中点，则（）

A．B．C． D．

7．在中，若，则（）

A． B． C．或 D．或

8．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷（guǐ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始．若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则夏至之后第三个节气（立秋）晷长是（）

A．三尺B．三尺五寸C．四尺D．四尺五寸

9．已知，则（）

A． B． C． D．

10．将函数的图象向右平移个单位长度得到图像，则下列判断错误的是

A．函数的最小正周期是 B．图像关于直线对称

C．函数在区间上单调递减 D．图像关于点对称

11．已知等比数列中，，若恒成立，则实数的最大值为（）

A．-16 B．16 C．-20 D．20

12．已知函数（且）．若函数的图象上有且只有两个点关于原点对称，则的取值范围是（）

A． B．

C． D．

二、填空题（每小题分，共20分）

13．已知实数，满足约束条件，则的最小值为_________.

14．已知数列满足，则__________.

15．求直线与曲线所围成的平面图形的面积为___________.

16．已知函数，有下列命题：

①函数的图像在点处的切线为；

②函数有3个零点；

③函数在处取得极大值；

④函数的图像关于点对称

上述命题中，正确命题的序号是__________．

三、解答题（共70分）

17．(本题12分)已知等差数列的前n项和为，其中r为常数.

（1）求r的值；

（2）设，求数列的前n项和.

18．(本题12分)已知函数．

（1）求的单调递减区间；

（2）设锐角内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，求b的取值范围．

19．(本题12分)在中，，，分别是角，，的对边，已知向量，，且．

（1）求的值；

（2）若，的面积为，求的周长．

20．(本题12分)已知函数.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若对任意，不等式恒成立，求正整数的最小值.

21．(本题12分)已知函数

（1）求不等式的解集；

（2）若，，，且，证明：.

22．(本题10分)在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）.

（1）写出曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；

（2）已知点，曲线与曲线相交于，两点，求.

参考答案

一、选择题

CAAB  AAAD  DCAC 

1．C

【分析】

先求出，再求交集即可.

【详解】

据题意，所以

故选：C

2．A

【分析】

将化简即可求解.

【详解】

的实部为，

故选：A.

3．A

【分析】

先通过解分式不等式化简条件乙，再判断甲成立是否推出乙成立；条件乙成立是否推出甲成立，利用充要条件的定义判断出甲是乙成立的什么条件．

【详解】

条件乙：，即为⇔

若条件甲：a＞b＞0成立则条件乙一定成立；

反之，当条件乙成立，则也可以，但是此时不满足条件甲：a＞b＞0，

所以甲是乙成立的充分非必要条件

故选A．

【点睛】

判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．

4．B

【分析】

根据向量共线求出参数，从而求出的坐标，再根据向量模的坐标表示，计算可得；

【详解】

解：因为，且，所以，所以

所以

所以

故选：B

【点睛】

本题考查平面向量共线的坐标表示，以及向量模的运算，属于基础题.

5．A

【分析】

先用三角函数的定义得，再用二倍角公式求出.

【详解】

由三角函数的定义得，

所以．

故选：A

【点睛】

(1) 三角函数值的大小与点P（x,y）在终边上的位置无关，严格代入定义式子就可以求出对应三角函数值；

(2) 当角的终边在直线上时，或终边上的点带参数必要时，要对参数进行讨论．

6．A

【分析】

分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.

【详解】

根据向量的运算法则，可得

，

所以，故选A.

【点睛】

该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.

7．A

【分析】

由正弦定理化边为角，再由诱导公式，两角和的正弦公式变形可得．

【详解】

因为，由正弦定理得，

，

因为，所以，所以，而B为三角形内角，故．

故选：A．

8．D

【分析】

根据题意，结合等差数列的通项公式进行求解即可.

【详解】

根据题意从冬至到夏至可知：晷长为等差数列，公差为，

由题意可知：，，

所以有，

因为相邻两个节气晷长的变化量相同，

所以当夏至之后第三个节气（立秋）晷长是，

故选：D

9．D

【分析】

直接利用指数函数和对数函数的单调性判断.

【详解】

因为，

所以

故选：D

10．C

【分析】

根据三角函数的图象平移关系求出的解析式，结合函数的单调性，对称性分别进行判断即可．

【详解】

由题意，将函数的图象向右平移个单位长度，

可得，

对于,函数的最小正周期为，所以该选项是正确的；

对于，令，则为最大值，

函数图象关于直线，对称是正确的；

对于中，，则，，

则函数在区间上先减后增，不正确；

对于中，令，则，

图象关于点对称是正确的，

故选．

【点睛】

本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的单调性，对称性，求出解析式是解决本题的关键．

11．A

【分析】

由条件求得等比数列通项，将恒成立不等式移项，利用单调性来判断最值情况，从而求得参数最大值.

【详解】

因为，所以，

又，所以，解得，所以，

所以恒成立等价于恒成立，

令，则，

当时，；当时，；

当时，，

所以，

所以，所以，即实数的最大值为，

故选：A．

【点睛】

关键点点睛：求得等比数列通项公式，作差法求得bn=2n-8n的单调性，从而求解参数最值.

12．C

【分析】

根据原点对称的性质，求出当时函数关于原点对称的函数，条件转化为函数与只有一个交点，作出两个函数的图象，利用数形结合的方法，再结合对数函数的性质进行求解即可

【详解】

当时，函数关于原点对称的函数为，即，若函数的图象上有且只有两个点关于原点对称，则等价于函数与只有一个交点，作出两个函数的图象如图：

若时，与函数有唯一的交点，满足条件；

当时，

若时，要使与函数有唯一的交点，

则要满足，即，

解得故；

综上的取值范围是

故选：C

13．

【分析】

根据约束条件，画出可行域，将目标函数转化为，平移直线，由直线在y轴上截距最小时求解.

【详解】

由约束条件，画出可行域如图所示阴影部分：

将目标函数转化为，平移直线，

当直线经过点A时，直线在y轴上截距最小，

此时，目标函数取得最小值，

由，解得，所以，

所以目标函数的最小值为，

故答案为：6

14．

【分析】

利用递推关系式推出数列为等比数列，再由等比数列的通项公式即可求解.

【详解】

，，即

又，

是首项为3，公比为3的等比数列，

，故

故答案为：

【点睛】

方法点睛：本题考查等比数列的定义和等比数列的通项公式，求数列通项公式常用的方法：（1）由与的关系求通项公式；（2）累加法；（3）累乘法；（4）构造新数列法.考查了学生的转化与数学算能力，属于基础题.

15．

【分析】

根据题意得，计算定积分，即可得到答案；

【详解】

或，

，

故答案为：

16．①②④

【分析】

①求出导数，即为所求切线的斜率，再求出即可写出切线的方程；②判断函数的单调性，再利用零点存在定理进行判断；③由②所求单调性可判断函数的极值点；④令，证明函数为奇函数可知函数的图像关于原点对称，再通过平移证明函数的对称性.

【详解】

①，，且，

函数的图像在点处的切线为，①正确；

②令解得或，

函数在和上单调递增，在上单调递减，

又，

在上各有一点使，即函数有3个零点，②正确；

③由②知函数在处取得极小值，③错误；

④令，因为，

所以函数为奇函数，则的图像关于原点对称，

将函数的图像向右平移一个单位再向上平移一个单位可得函数，

所以函数的图像关于点对称，④正确.

17．（1）；（2）.

【分析】

（1）求出前三项为，利用等差中项的性质即可得解；

（2）由（1）可得，，利用裂项相消法即可得解.

【详解】

（1）先求前三项，，，，

由为等差数列，所以，

所以，即；

（2）由（1）知，，

也满足，所以，

所以，所以，

所以.

18．（1）；（2）．

【分析】

（1）化简函数，结合三角函数的图象与性质，即可求解；

（2）由，得到，解得，再由正弦定理，进而求得实数的取值范围.

【详解】

（1）由题意，函数

，

令，可得，

所以的单调递减区间为.

（2）由，可得，

因为，可得，解得，

由正弦定理得，即，

因为为锐角三角形，可得，所以实数的取值范围为.

19．（1）；（2）．

【分析】

（1）利用向量的数量积以及正弦定理可得，再由两角和的正弦公式以及三角形内角和性质即可求解.

（2）利用余弦定理可得，再由三角形的面积公式即可求解.

【详解】

解：（1）由，所以，

由正弦定理可得，

即

，

又，所以，

又，所以，所以，

又，

所以．

（2）根据余弦定理可知，

所以，即，

又的面积为，

所以，

解得，

所以，

解得，所以的周长为．

20．（1）；（2）最小值是.

【分析】

（1）当时，，求导，利用导数的几何意义，可求得切斜斜率k，代入点斜式方程，即可得答案.

（2）由题意可得在上恒成立，令，利用导数，求得的单调性和最值，综合分析，即可得答案.

【详解】

解：（1）当时，，则，

切线的斜率为，又，

所求切线的方程为，即为.

（2）当时，，整理可得，

令，则

令，则，

由，解得，

当时，，函数单调递减，

，

在区间上存在一个零点，

此时，即，

当时，，则，函数单调递增，

当时，，即，函数单调递减，

有极大值，即最大值为，

则，

，

正整数的最小值是.

【点睛】

解题的关键是熟练掌握导数的几何意义、利用导数求函数单调区间、极最值的方法，并灵活应用，难点在于，需将，转化为在上恒成立问题，再合理构造函数求解，属中档题.

21．（1）；（2）证明见解析.

【分析】

（1）先分段讨论去绝对值，解不等式，再求并集即可；

（2）先利用绝对值不等式求得，再妙用“1”进行代换，利用基本不等式求得即可.

【详解】

解：（1）

当时，，则，所以，

当时，，则，所以，

当时，，则，所以，

综上：不等式的解集为；

（2）由绝对值不等式的性质可得，

，

因为，，，且，所以

，

当且仅当，时，等号成立.

故.

22．（1）：，：；（2）.

【分析】

（1）利用两角差的余弦可得，从而可得的普通方程，利用同角的三角函数的基本关系式可得曲线的普通方程.

（2）利用直线方程中参数的几何意义可求.

【详解】

（1）∵，，∴，

的普通方程为，

由可得，故的普通方程为.

（2）的参数方程为（为参数），

将曲线的参数方程代入的普通方程，整理得，

令，，由韦达定理得，

则有.

【点睛】

方法点睛：直线的参数方程有很多种，如果直线的参数方程为（其中为参数），注意表示直线上的点到的距离，我们常利用这个几何意义计算直线上线段的长度和、差、积等．