2020内蒙古包钢一中高三上学期期中考试数学（文）含答案

文科数学试卷

注意事项：1、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚

          2、请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题上答题无效

一、选择题：本题共12小题， 每小题 5分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1．设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝(　　)

A．(－1,1)       B．(0,1)        C．(－1，＋∞)       D．(0，＋∞)

2. 在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的

面积分别为，，，则三棱锥A－BCD的外接球的体积为(　　)

A.π           B．2π       C．3π             D．4π

3．给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x＝对称，则下列四个函数中，

同时具有性质①②的是(　　)

A．y＝sin                     B．y＝sin   

C．y＝sin                    D．y＝sin|x|

4．若函数f(x)＝且f(a)>1，则实数a的取值范围是(　　)[来源:学|科|网]

A．(0,1)                            B．(2，＋∞)

C．(0,1)∪(2，＋∞)                  D．(1，＋∞)

5. 若0<x<，则y＝x(3－2x)的最大值是(　　)

A.              B.               C．2              D.

6．函数f(x)＝lnx－x在区间(0，e]上的最大值为(　　)

A．1－e            B．－1           C．－e               D．0

7．方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是(　　)

A．1               B．2             C．3               D．4

8．若不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　　)

A．(－3,0)          B．[－3,0)        C．[－3,0]          D．(－3,0]

9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝4，S10＝110，则的

最小值为(　　)

A．8　　　　       B．　　　　    C.　 7　　           D.

10．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的最大值为(　)

A．－4              B．0            C.                  D．4

11．已知球的直径SC＝4，A、B是该球球面上的两点，AB＝，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S－ABC的体积为(　　)

A．3             B．2           C.  D．1

12．当0<≤时，，则a的取值范围是 (   )

A.  (0，)         B.  (，1)       C.  (1，)          D.  (，2)

二、 填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分。

13. 若已知数列的前四项是、、、，则数列前n项和为________        ．

14. 若向量a、b满足|a|＝|b|＝1，(a＋b)·b＝，则向量a、b的夹角为      . 

15．若函数f(x)＝x2－ax＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________。

16．α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：

①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；

②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；

③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；

④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等。

其中正确的命题有________。(填写所有正确命题的序号)。　

三、 解答题：共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。

17．(10分) △ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，向量m＝(2sinB,2－cos2B)，

n＝(2sin2(＋)，－1)，且m⊥n.

(1)求角B的大小；

(2)若a＝，b＝1，求c的值．

18．(12分) 已知各项均为正数的等差数列{an}满足：a4＝2a2，且a1,4，a4成等比数列。

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求同时满足下列条件的所有an的和：①20≤n≤116；②n能够被5整除。

19. (12分) 如图，已知在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥DC，AB∥DC，

DC＝DD1＝2AD＝2AB＝2.

 (1)求证：DB⊥平面B1BCC1；

(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，

使得D1E∥平面A1BD，并说明理由．

20.(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠ACD＝90°，

∠BAC＝∠CAD＝60°，E为PD的中点，F在AD上，且∠FCD＝30°。

(1)求证：CE∥平面PAB；

(2)若PA＝2AB＝2，求四面体P－ACE的体积。

21．(12分) 已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)。

(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；

(2)求函数f(x)的极值。

22.( 12分) 已知函数g(x)＝，f(x)＝g(x)－ax.

(Ⅰ)求函数g(x)的单调增区间；

(Ⅱ)若函数f(x)在(1，＋∞)上是减函数，求实数a的最小值.

文科数学参考答案

一、选择题：1----6：CABCDB；  7------12：BDBDCA

二、 填空题：13. －.   ；  14. 60° ；  15. [2，＋∞) ；  16. ②③④

17．(10分) △ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，向量m＝(2sinB,2－cos2B)，n＝(2sin2(＋)，－1)，

且m⊥n.     (1)求角B的大小；     (2)若a＝，b＝1，求c的值．

17．[解析]　(1)∵m⊥n，∴m·n＝0，   ∴4sinB·sin2(＋)＋cos2B－2＝0，

2sinB[1－cos(＋B)]＋cos2B－2＝0，  ∴2sinB＋2sin2B＋1－2sin2B－2＝0， ∴sinB＝.  ∵0<B<π， ∴B＝或π.

(2)∵a＝>b，∴此时B＝，  由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，  ∴c2－3c＋2＝0，∴c＝2或c＝1.

18．(12分) 已知各项均为正数的等差数列{an}满足：a4＝2a2，且a1,4，a4成等比数列。

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求同时满足下列条件的所有an的和：①20≤n≤116；②n能够被5整除。

18.  解析　(1)设{an}的公差为d，则由题意可得

解得a1＝d＝2。所以an＝2n。

(2)设同时满足20≤n≤116和n能够被5整除的an构成一个新的等差数列{bm}，

其中b1＝a20＝40，b2＝a25＝50，…，b20＝a115＝230。

所以{bm}的公差d′＝50－40＝10，[来源:学§科§网Z§X§X§K]

所以{bm}的前20项之和为S20＝20×40＋×10＝2 700。

19. (12分) 如图，已知在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥DC，AB∥DC，DC＝DD1＝2AD＝2AB＝2.

(1)求证：DB⊥平面B1BCC1；

(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使得D1E∥平面A1BD，并说明理由．

19.[解析]　(1)证明：∵AB∥DC，AD⊥DC，∴AB⊥AD，在Rt△ABD中，AB＝AD＝1，

   ∴  BD＝，   易求BC＝，又∵CD＝2，∴BD⊥BC.

又BD⊥BB1，B1B∩BC＝B，∴BD⊥平面B1BCC1.

(2)DC的中点即为E点．   ∵DE∥AB，DE＝AB，

∴四边形ABED是平行四边形．∴AD//BE.   又AD//A1D1，∴BE//A1D1，

∴四边形A1D1EB是平行四边形．∴D1E∥A1B.  ∵D1E⊄平面A1BD，A1B⊂平面A1BD，∴D1E∥平面A1BD.

20.(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，

E为PD的中点，F在AD上，且∠FCD＝30°。

(1)求证：CE∥平面PAB；

(2)若PA＝2AB＝2，求四面体P－ACE的体积。

20.解析　(1)证明：∵∠ACD＝90°，∠CAD＝60°，∴∠FDC＝30°。

又∠FCD＝30°，∴∠ACF＝60°，  ∴AF＝CF＝DF，即F为AD的中点。

又E为PD的中点，∴EF∥PA。[来源:学科网]

∵AP⊂平面PAB，EF⊄平面PAB，

∴EF∥平面PAB。又∠BAC＝∠ACF＝60°，∴CF∥AB，可得CF∥平面PAB。

又EF∩CF＝F，∴平面CEF∥平面PAB，

而CE⊂平面CEF，∴CE∥平面PAB。

(2)∵EF∥AP，AP⊂平面APC，EF⊄平面PAC，  ∴EF∥平面APC。

  又∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝60°，

PA＝2AB＝2，   ∴AC＝2AB＝2，CD＝＝2。

∴VP－ACE＝VE－PAC＝VF－PAC＝VP－ACF＝××S△ACD·PA＝×××2×2×2＝。

21．(12分) 已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)。[来源:Zxxk.Com]

(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；

(2)求函数f(x)的极值。

21.解析　(1)由f(x)＝x－1＋，得f′(x)＝1－。

又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，得f′(1)＝0，即1－＝0，解得a＝e。

(2)f′(x)＝1－，

①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值。

②当a>0时，令f′(x)＝0，得ex＝a，即x＝lna，x∈(－∞，lna)时，f′(x)<0；x∈(lna，＋∞)时，f′(x)>0，

所以f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增，

故f(x)在x＝lna处取得极小值，且极小值为f(lna)＝lna，无极大值。

综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；[来源:Zxxk.Com]

当a>0时，f(x)在x＝lna处取得极小值lna，无极大值。

22.( 12分) 已知函数g(x)＝，f(x)＝g(x)－ax.

(Ⅰ)求函数g(x)的单调增区间； 

(Ⅱ)若函数f(x)在(1，＋∞)上是减函数，求实数a的最小值；

22.解：由已知函数g(x)，f(x)的定义域均为(0,1)∪(1，＋∞)，且f(x)＝－ax(a＞0)．

(Ⅰ)函数g′(x)＝＝， 当x＞e时，g′(x)＞0.

所以函数g(x)的单调增区间是(e，＋∞)

(Ⅱ)因f(x)在(1，＋∞)上为减函数，故f′(x)＝－a≤0在(1，＋∞)上恒成立．

所以当x∈(1，＋∞)时，f′(x)max≤0.  

 又f′(x)＝－a＝－2＋－a＝－2＋－a，

故当＝，即x＝e2时，f′(x)max＝－a.  所以－a≤0，

于是a≥，故a的最小值为.