2021青铜峡高级中学高三上学期期中考试数学（理）试题含答案

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一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）

1．已知全集，集合，，则=（    ）

A． B． C． D．

2．已知，则“”是“”的（ ）

A．充分非必要条件   B．必要非充分条件   C．充要条件   D．既非充分又非必要条件

3．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

4．的内角的对边分别为成等比数列，且，则等于（　）

A． B． C． D．

5．已知向量，满足，，向量，的夹角为，则（    ）

A． B． C． D．5

6．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则

（   ）

A．50 B．0 C．2 D．-2018

7．已知数列是等比数列，若，则（    ）

A．5 B．10 C．25 D．30

8．如图，已知函数的图象关于坐标原点对称，则函数的解析式可能是（   ）

A． B． C． D．

9．某工厂生产某产品2019年每月生产量基本保持稳定，2020年由于防疫需要2、3、4、5月份停产，6月份恢复生产时月产量仅为去年同期的一半，随着疫情缓解月产量逐步提高．该工厂如果想8月份产量恢复到去年同期水平，那么该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达多少个百分点？（    ）

A．25 B．35 C．42 D．50

10．已知函数若函数有两个不同的零点，则的取值范围是

A． B． C． D．

11．定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度的最大值为（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数与的图象恰有三个不同的公共点（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围是（    ）

A．     B．     C．     D．

二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知函数的定义域是，则函数的定义域是________.

14．已知，若，则实数的值_________.

15．____________________

16．给出以下四个结论：①函数的对称中心是；②若关于的方程在没有实数根，则的取值范围是；③在中，若则为等腰三角形；④若将函数的图象向右平移个单位后变为偶函数，则的最小值是.其中正确的结论是________.

三、解答题:共70分，解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

17．等差数列的前项和为，若，.

（1）求的通项公式；（2）设，求的前项和.

18．已知函数=sin（2x+）+ cos 2x．

（1）求函数的单调递增区间。

（2）在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知f（A）=，a=2，B=，求的面积．

19．已知函数,．

(1)讨论函数的单调性；(2)当时,判断的零点个数．

20．在锐角△ABC中，分别为A、B、C所对的边，且

（1）确定角C的大小；（2）若c＝，求△ABC周长的取值范围．

21．已知函数，．

（1）求在区间上的极值点；（2）证明：恰有3个零点．

选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(，为参数)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线经过点，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）若，是曲线上两点，求的值．

23．函数.

（1）求函数的最小值；

（2）若的最小值为，，求证：.

参考答案

1．D  2．A  3．A  4．B  5．C  6．B  7．C  8．D  9．C  10．A  11．A  12．D

13．     14．     15．     16．①③④

17．（1）；（2）.

【详解】

（1）的首项为，公差为，

因为，所以解得

所以．

（2），

所以．

18．（1）f（x）的单调递增区间为：；（2）

【解析】

（1）解：=

==3分

令，解得，

f（x）的单调递增区间为：6分

（2）由，

又，因此，解得：8分

由正弦定理，得，

又由可得：10分

故12分

19．(1)见解析；(2)2

【详解】

(1),

故当时,,所以函数在上单调递增,

当时,令,得,所以函数在上单调递增,

令,得,所以函数在上单调递减,

综上,当时,函数在上单调递增,

当时,函数在上单调递增,在上单调递减.

(2)设,

则,令,解得,

当时,；当时,；

故最大值为，

所以有且只有一个零点.

20．（1）C=60°；（2）（+3，]．

【详解】

解:（1）已知a、b、c分别为A、B、C所对的边，

由a＝2csinA，得sinA＝2sinCsinA，又sinA≠0，则sinC=，

∴C=60°或C=120°,

∵△ABC为锐角三角形，∴C=120°舍去．∴C=60°

（2）∵c=，sinC=

∴由正弦定理得：,

即a=2sinA，b=2sinB，又A+B=π-C=，即B=-A

∴a+b+c=2（sinA+sinB）+=2 [sinA+sin（-A）]+

=2（sinA+sincosA-cossinA）+

=2（sinAcos+cosAsin）+=2sin（A+）+，

∵△ABC是锐角三角形，

∴＜A＜， ∴＜sin（A+）≤1，

则△ABC周长的取值范围是（+3，]．

21．（1）极大值点，极小值点；（2）证明见解析.

【详解】

解：（1）（），

令，得，或．

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增．

故是的极大值点，是的极小值点．

综上所述，在区间上的极大值点为，极小值点为．

（2）（），

因为，所以是的一个零点．

，

所以为偶函数．

即要确定在上的零点个数，只需确定时，的零点个数即可．

当时，．

令，即，或（）．

时，，单调递减，又，所以；

时，，单调递增，且，

所以在区间内有唯一零点．当时，由于，．

．

而在区间内单调递增，，

所以恒成立，故在区间内无零点，

所以在区间内有一个零点，由于是偶函数，

所以在区间内有一个零点，而，

综上，有且仅有三个零点．

22．（1）；（2）.

【详解】

（1）将曲线的参数方程化为普通方程为，

即.

由，，得曲线的极坐标方程为.

由曲线经过点，则(舍去),

故曲线的极坐标方程为.

（2）由题意可知，,

所以.

23．（1）；（2）证明见解析.

【详解】

解：（1），

当时，；

当时，；

当时，.

所以的最小值为.

（2）由（1）知，即，

又因为，，

所以

当且仅当，即，时，等号成立，所以.