2021【KS5U解析】宁夏六盘山高级中学高三上学期期中考试数学（理）试卷含解析

宁夏六盘山高级中学2020-2021学年第一学期高三期中测试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 设集合，则等于（     ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

先求出集合B，再根据交集的定义即可求出.

【详解】，

.

故选：D.

2. 复数（）满足，则(   )

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

把z＝a+bi（a，b∈R）代入2z＝i（1﹣z），利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求得a，b的值，则答案可求．

【详解】∵z＝a+bi，

由2z＝i（1﹣z），得2a+2bi＝i（1﹣a﹣bi）＝b+（1﹣a）i，

∴，解得a，b．

∴a+b．

故选D．

【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．

3. 已知命题p：角的终边在直线上，命题q：，那么p是q的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

结合三角函数的定义，以及充分，必要条件的定义，判断选项.

【详解】命题 若角的终边在直线上，则，则角，

所以命题不能推出，反过来，，则角的终边在直线上，所以是的必要不充分条件.

故选：B

4. 若向量的夹角为，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由，代入已知条件，即可解得.

【详解】因为，

又，，，

所以，解得(舍去)或.故选C.

【点睛】本题考查求平面向量的模,常用方法是用数量积或求解.

5. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则（     ）

A. 103 B. 107 C. 109 D. 105

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意可知正整数能被21整除余2，即可写出通项，求出答案.

【详解】根据题意可知正整数能被21整除余2，

，

.

故选：B.

6. 已知函数，记，，，则的大小关系为(   )

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

可以看出，f（x）是偶函数，并且在[0，+∞）上单调递增，从而得出，并且可以得出，从而由f（x）在[0，+∞）上的单调性即可得出a，b，c的大小关系．

【详解】f（x）是偶函数，在[0，+∞）上单调递增；

∴b＝f（log0.23）＝f（﹣log0.23）；

∵50.2＞50＝1，；

∴；

∴；

∴b＜c＜a．

故选A．

【点睛】本题考查偶函数的定义，对数函数的单调性，指数函数的单调性，以及增函数的定义．

7. 已知函数图象向右平移个单位长度得到的图象，为函数的一个零点，则的值不可能为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据三角函数图象的平移伸缩，得出，由于为函数的一个零点，则关于点对称，根据对称的性质，即可求出，，即可判断出答案.

【详解】解：函数向右平移个单位长度得：，

由题意可知，为函数的一个零点，

则关于点对称，

则，则，，

当，；，；，，故B不可能.

故选：B.

【点睛】本题考查三角函数图象的平移伸缩以及正弦函数图象的对称性，属于基础题.

8. 已知是定义在R上的奇函数，当时，，若，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由指数型函数可知在上单调递增,根据是定义在奇函数,则在上单调递增,即由可得,即可求解.

【详解】解:因为当时,,所以在上单调递增,

又因为是定义在奇函数,所以在上单调递增,

因为,所以,解得，

故选:C

【点睛】本题考查函数奇偶性的应用,考查利用函数单调性解不等式,考查指数型函数的性质的应用.

9. 在梯形中，已知，，，，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据向量运算法则，化简得到，得到，即可求解.

【详解】由题意，根据向量的运算法则，可得：

，

又因为，所以，

所以.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟练应用平面向量的基本定理，熟练应用向量的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

10. 函数在处的切线也是函数图象的一条切线，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用导数的几何意义得出在的切线的方程，设切线在函数上的切点为，结合导数的几何意义得出在点的切线方程，并将点代入切线方程和函数，求出，，再代入，即可得出的值.

【详解】∵，∴，所以在的切线的方程为直线

设切线在函数上的切点为

由，得出

故切线方程为

由整理得，即

所以，所以

解得，

代入，解得.

故选：C

【点睛】本题主要考查了导数几何意义的应用，属于中档题.

11. 设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a7=5，S5=-55，则nSn的最小值为（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

将用表示，解方程组求得，再设函数求导求得的最小值即可.

【详解】∵解得∴设当0<x<7时，当x>7时，,故的最小值为f(7)=-343.

故选A.

【点睛】本题考查等差数列通项及求和，考查函数的思想，准确记忆公式，熟练转化为导数求最值是关键，是中档题.

12. 已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题中条件，得到方程有解，令，则的取值范围是的值域，对函数求导，判定其单调性，研究其值域，即可得出结果.

【详解】函数与图象上存在关于轴对称的点，

即方程有解，即方程有解，

令，则的取值范围是的值域，

因为，

所以当时，；

当时，，，所以，则函数单调递增；

当时，，，所以，则函数单调递减；

所以，

画出函数的大致图像如下，

由图像可得，，

所以的取值范围.

故选：B.

【点睛】本题主要考查导数的方法研究方程根的问题，考查函数与方程的应用，将问题转化为两函数交点的问题是解题的关键，属于常考题型.

二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分

13. 命题“，”的否定是__________．

【答案】，

【解析】

【详解】

【分析】

命题的否定，

将“”变为“”，

将“”变为“”．

14. 设数列满足，且，则数列前2020项的和为________．

【答案】

【解析】

【分析】

由得到，用累加法求得，从而得到，然后利用裂项相消法求解.

【详解】因为,

所以，

左右分别相加得，

所以，

所以，

所以，

故答案为：

【点睛】本题主要考查累加法求通项，裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

15. 已知，，则________.

【答案】

【解析】

【分析】

结合二倍角余弦公式解方程求得，由同角三角函数平方关系和商数关系可求得结果.

【详解】，

或（舍），

，，，

.

故答案为：.

16. 如果函数同时具有下列两个性质（1）对任意的，都有，（2）对任意的，都有，则称是“函数”，给出下列函数：① ② ③其中，所有的“函数”的序号为________．

【答案】①③

【解析】

【分析】

由（1）（2）可知，函数是单调递增，并且函数关于点对称，然后根据函数的特点判断选项.

【详解】如满足条件（1）说明函数单调递增，若满足条件（2）说明函数关于点对称，满足这两个条件，是“函数”.

①是增函数，并且关于点对称，故①成立；②在定义域上不是单调函数，故②不成立；③，，所以函数单调递增，并且函数关于点对称，故③成立.

故答案为：①③

【点睛】结论点睛：本题考查抽象函数的性质，有关单调性的一些式子包含1.若函数在定义域满足（或），或（或）说明函数单调递增（或递减），2.若函数满足或，说明函数关于直线对称，3.若函数满足或，说明函数关于点对称，

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答.

17. 已知向量, 设函数.

(1) 求的最小正周期.

(2) 求在上的最大值和最小值.

【答案】（1）；（2）最大值和最小值分别为.

【解析】

【分析】

（1）求出化简，即可得出结论；

（2）根据整体思想，结合图像特征，即可求出答案.

【详解】(1) ,

    .

.         

所以,  所以最小正周期为.

(2) 当 时，      

.

所以在上的最大值和最小值分别为.

【点睛】本题考查向量的数量积，三角函数的化简以及三角函数的性质，整体思想是解题的关键，属于中档题.

18. 设数列的前项和为，，且，.

（1）求证：数列为等比数列；

（2）求数列 的前项和

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】

（1），，，变形为，即可得证.

（2）由（1），利用乘公比错位相减法、等比数列求和公式即可得出.

【详解】（1）证明：∵，.

∴，

∴，

∴数列为等比数列，首项为1，公比为2，.

（2）由（1）可得：，

∴

∴数列的前项和.

∴，

∴，

∴.

【点睛】本题主要考查了等比数列的证明，通项公式的求法，乘公比错位相减法求和、等比数列求和公式等知识，属于中档题.

19. 已知的内角所对的边分别为

（1）求；

（2）已知，求三角形周长的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

(1)由正弦定理可得，然后由余弦定理可得答案.

(2)由余弦定理可得，由均值不等式结合三角形中两边之和大于第三边可得答案.

【详解】解（1）由可得

即，则，

所以

（2），

即，所以

所以

所以三角形周长的取值范围是

20. 正项数列的前项和满足：，，

（1）求数列的通项公式；

（2）令，数列前项和为，证明：对于任意的都有.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）利用与的关系，结合等差数列的性质，即可得出数列的通项公式；

（2）由得出数列的通项公式，结合裂项相消法和不等式的性质证明即可.

【详解】（1）解：∵正项数列的前项和满足：

，①

则，②

①②得

即

即

又，，.

又，所以数列是以2为首项2为公差的等差数列.所以.

（2）证明：由于，则

.

【点睛】本题主要考查了由求以及裂项相消法求数列的和，属于中档题.

21. 已知函数，.

（1）当时，求函数图象在点处的切线方程：

（2）若函数有两个极值点，，且，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

(1)首先由导函数确定切线的斜率，然后求解切线方程即可；

(2)由题意结合韦达定理将原问题转化为一元函数问题，然后利用导函数求解其取值范围即可.

【详解】当时，，其导数，

所以，即切线斜率为2，

又切点为，所以切线的方程为

函数的定义域为，，

因为，为函数的两个极值点，

所以，是方程的两个不等实根，由根与系数的关系知，

又已知，所以，，

将式代入得，

令，，

，令，解得，

当时，，在递减；

当时， ，在递增；

所以，，，

即的取值范围是

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．

选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．

22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求的极坐标方程和的直角坐标方程；

（2）若曲线的极坐标方程为，与的交点为，与异于极点的交点为，求.

【答案】（1）； （2）

【解析】

【分析】

（1）将参数方程转化为直角方程，转化为极坐标方程，计算直线l的方程，即可．结合，得到的直角方程，即可．（2）分别计算极径，结合，计算结果，即可．

【详解】（1）因为直线l的参数方程为（t为参数），

所以直线l的普通方程为，

又

故直线l的极坐标方程为.

由曲线C1的极坐标方程为，得，

所以曲线C1的直角坐标方程为.

（2）

则，解得.

又

所以.

【点睛】考查了极坐标方程转化为直角坐标方程，考查了参数方程转化为直角坐标方程，考查了极坐标下弦长计算公式，难度中等．

23. 已知函数的最大值为4.

（1）求实数的值；

（2）若，，求最小值.

【答案】（1）或；（2）4.

【解析】

【分析】

（1）利用绝对值的三角不等式可求得最值；（2）由题意求得的范围，去绝对值后，再利用“”的代换计算.

【详解】（1）∵，

∴或.

（2）∵，

由（1）可知，

∴，

∴

，

当且仅当，

即时，等号成立，

∴.

【点睛】本题主要考查了绝对值的三角不等式以及基本不等式求最值问题.属于中档题.