2021【KS5U解析】宁夏长庆高级中学高二上学期期中考试数学（理）试卷含解析

宁夏长庆高级中学2020-2021学年第一学期高二年级

数学（理科）期中试卷

第Ⅰ卷

一、选择题

1. 命题“若，则”的逆否命题是

A. “若，则” B. “若，则”

C. “若x，则” D. “若，则”

【答案】C

【解析】

因为命题“若，则”的逆否命题是若，则”

选C

2. “(2x－1)x＝0”是“x＝0”的(　)

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

，所以答案选择B

【考点定位】考查充分条件和必要条件，属于简单题.

3. 命题“”的否定是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据全称命题的否定是特称命题即可得出.

【详解】根据全称命题的否定是特称命题，

则命题“”的否定是“”.

故选：C.

4. 方程表示的曲线是()

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

因为,所以图像在二,四象限, 结合表示圆心在原点,半径为1的圆，即可得解.

【详解】因为表示圆心在原点,半径为1的圆,

又,说明图像在二,四象限,故选D.

【点睛】本题考查了曲线与方程,属基础题.

5. 已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（    ）

A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相切或相交

【答案】C

【解析】

【分析】

将直线方程和椭圆方程联立，解方程组，由解的个数即可判断直线与椭圆的位置关系

【详解】解：由，得，化简得，

因为，

所以方程无解，

所以直线与椭圆的位置关系是相离，

故选：C

6. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（    ）

A.  B.

C.  D. 与斜交

【答案】B

【解析】

分析】

由的方向向量 ，平面的法向量 可得，从而得解.

【详解】∵ ，，

∴ ，即.∴.

故选：B

【点睛】本题考查利用直线的方向向量与平面的法向量关系判断线面位置关系.属于基础题.

7. 焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是(　)

A. ＋＝1 B. ＋y2＝1

C. ＋＝1 D. x2＋＝1

【答案】A

【解析】

【分析】

设出椭圆的标准方程，由题意可得，解得a，c，利用b2＝a2﹣c2得到b2,从而得到标准方程.

【详解】设椭圆的方程为（a>b>0），由右焦点到短轴端点的距离为2知a=2, 右焦点到左顶点的距离为3知a+c=3,解得a＝2，c＝1，

∴b2＝a2﹣c2＝3，

因此椭圆的方程为＋＝1．

故选：A.

【点睛】本题考查椭圆的标准方程，属基础题．

8. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

抛物线的焦点为 ，双曲线的一条渐近线为 ，所以所求距离为，选D.

9. 已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为（ ）

A. 4 B. 8 C. 16 D. 32

【答案】B

【解析】

【详解】F（2，0）,K（-2，0），过A作AM⊥准线，则|AM|=|AF|，

∴|AK|=|AM|，三角形APM为等腰直角三角形，

设A（m2，2m）（m＞0）,

由得，解得

则△AFK的面积=4×2m•=4m=8,

故选B.

10. 如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】试题分析：由椭圆与双曲线的定义可知，|AF2|＋|AF1|＝4，|AF2|－|AF1|＝2a(其中2a为双曲线的长轴长)，∴|AF2|＝a＋2，|AF1|＝2－a，又四边形AF1BF2是矩形，∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝(2)2，∴a＝，∴e＝＝.

考点：椭圆的几何性质．

11. 在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

利用空间向量的加法运算法则求解.

【详解】如图，

由空间向量的线性运算可得：

，

，

故选：A

12. 已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

设双曲线方程为，如图所示，，，过点作轴，垂足为，在中，，，故点的坐标为，代入双曲线方程得，即，所以，故选D．

考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．

第Ⅱ卷

二、填空题

13. 过椭圆的焦点的弦中最短弦长是______．

【答案】

【解析】

【分析】

根据椭圆的简单性质，以及椭圆方程，可直接得出结果.

【详解】由椭圆的几何性质可知，过椭圆焦点且与长轴垂直的弦长最短，

弦长为．

故答案为：.

14. 直线被抛物线截得线段的中点坐标是________.

【答案】

【解析】

【分析】

本道题可以设出交点坐标，然后将直线方程代入抛物线方程，利用根与系数的关系，即可得出交点坐标．

【详解】设交点分别为，所以中点坐标为

        将直线方程代入抛物线方程中，得到，解得代入中点坐标，故中点坐标为

【点睛】本道题考查了直线与抛物线综合问题，设出交点坐标，将直线方程代入抛物线方程，即可计算出结果，较容易．

15. 如图，在三棱柱中，所有棱长均为1，且底面，则点到平面的距离为______．

【答案】

【解析】

【分析】

建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出点到面的距离；

【详解】解：如图建立空间直角坐标系：

则，，，，

则，，，

设平面的一个法向量为，

则有令 ，解得，

则所求距离为．

故答案为：

16. 已知点是平行四边形所在平面外一点，如果，对于结论：①；②；③是平面的法向量；④.其中正确的说法的序号是__________．

【答案】①②③

【解析】

 由,

 在①中，，所以，所以，所以是正确的；

在②中，，所以，所以，所以是正确的；

在③中，由于，，且，可知是平面的法向量，所以是正确的；

在④中，,

假设存在实数使得，则，此时无解，所以是不正确的，

 所以正确命题的序号为①②③.

点睛：本题主要考查了命题的真假判定问题，其中解答中涉及到空间向量的数量积的运算，空间向量的坐标表示，平面法向量的概念，同时考查了向量垂直、向量平行等基础知识，着重考查了推理能力与计算能力，属于基础题，解答中熟记向量的坐标运算的基本公式是解答的关键.

三、解答题

17. 斜率为的直线l经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A、B两点．

求该抛物线的标准方程和准线方程；

求线段AB的长．

【答案】（1）抛物线的方程为，其准线方程为；（2）

【解析】

【分析】

根据焦点可求出p的值，从而求出抛物线的方程，即可得到准线方程；

设，将直线l的方程与抛物线方程联立消去y，整理得，，得到根与系数的关系，由抛物线的定义可知，代入即可求出所求．

【详解】

由焦点，得，解得

所以抛物线方程为，其准线方程为，

设，

直线l的方程为

与抛物线方程联立，得，

消去y，整理得，

由抛物线的定义可知，．

所以，线段AB的长为

【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，以及过焦点的直线与抛物线相交的弦长等问题，属于中档题．

18. 已知命题p：(x＋1)(x－5)≤0，命题q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．

（1）若p是q充分条件，求实数m的取值范围；

（2）若m＝5，p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数x的取值范围．

【答案】（1）[4，＋∞)；（2）.

【解析】

【分析】

（1）设使命题p成立的集合为A，命题q成立的集合为B，由题意可得A⊆B，根据集合的包含关系，列出方程，即可求得结果；

（2）由题意可得：p，q命题，一真一假，分别求得当p真q假时、 p假q真时x的范围，即可得结果.

【详解】（1）设使命题p成立的集合为A，命题q成立的集合为B，

则A＝{x|－1≤x≤5}，B＝{x|1－m≤x≤1＋m}，

由题意得：A⊆B，

所以，解得m≥4，

故m的取值范围为[4，＋∞)．

（2）根据条件可得：p，q命题，一真一假，

当p真q假时，，无解；

当p假q真时，，解得－4≤x<－1或5<x≤6.

故实数x的取值范围为．

【点睛】本题考查根据充分条件求参数范围、利用复合命题真假求参数范围，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.

19. 如图，正方体中，、分别为、中点．选用合适的方法证明以下问题：

（1）证明：平面平面；

（2）证明：面．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

如图建立空间直角坐标系，利用空间向量证明即可

（1）求出两个平面的法向量，若两法向量共线，则可得证；

（2）求出向量，若此向量与平面的法向量共线，则可得证

【详解】（1）建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2，

则，，，，，，

设平面的法向量为，

∵，，

∴，

∴取，

同理平面的法向量为，∴，

∴平面平面；

（2）∵、分别为、的中点，

∴，∴，

∴面．

20. 如图，设是圆上的动点，点是在轴上的投影，为上一点，且.

（1）当在圆上运动时，求点的轨迹的方程；

（2）求过点且斜率为的直线被所截线段的长度.

【答案】（1）.（2）.

【解析】

试题分析：（1）由题意可知：M的坐标为（x，y），P的坐标为（x'，y'），则，得，代入，整理得：.

（2）设直线方程为：，代入椭圆方程，由韦达定理可知：x1+x2=3，x1•x2=-8，弦长公式：丨AB丨=即可求得直线被C所截线段的长度．

试题解析：

（1）设点的坐标为，点的坐标为，由已知得.

∵在圆上，，

即，整理得，即的方程为.

（2）过点且斜率为的直线方程为，

设直线与的交点为，，将直线方程代入的方程，

得，即.

∴x1+x2=3，x1•x2=-8∴线段的长度为

.

∴直线被所截线段的长度为.

21. 如图，已知在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，，分别是线段，的中点，

（1）证明：；

（2）判断并说明上是否存在点，使得平面．

【答案】（1）证明见解析；（2）存，说明见解析.

【解析】

【分析】

（1）建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出直线与的平行向量，然后根据两个向量的数量积为0，得到；

（2）求出平面的法向量（含参数，及的方向向量，进而根据线面平行，则两个向量垂直数量积为0，构造方程求出值，得到点位置；

【详解】∵平面，，，，

如图，建立空间直角坐标系，

则，，，．

（1）不妨令，∴，，

∴，

∴，即；

（2）设平面的法向量为，

由，得，

令，解得，

∴，

设点的坐标为，

又，则，

要使平面，只需，

即，即，

解得，

从而满足的点即为所求．

【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论证明空集位置关系或求出相应的角和距离.

22. 已知椭圆的两个焦点分别为，短轴的两个端点分别为.

（Ⅰ）若为等边三角形，求椭圆的方程；

（Ⅱ）若椭圆的短轴长为，过点的直线与椭圆相交于两点，且，求直线的方程.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或．

【解析】

【详解】试题分析：（1）由为等边三角形可得a=2b，又c=1，集合可求，则椭圆C的方程可求；（2）由给出的椭圆C的短轴长为2，结合c=1求出椭圆方程，分过点F2的直线l的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，把直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和，把

转化为数量积等于0，代入坐标后可求直线的斜率，则直线l的方程可求

试题解析：（1）为等边三角形，则

椭圆的方程为：；

（2）容易求得椭圆的方程为，

当直线的斜率不存在时，其方程为，不符合题意；

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

由得，设，

则，

∵，

∴，

即

解得，即，

故直线的方程为或.

考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系．