2023届湖南省郴州市高三第一次教学质量监测数学卷及答案（文字版）

郴州市2023届高三第一次教学质量监测试卷

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

4.考试时间为120分钟，满分为150分.

5.本试题卷共5页.如缺页，考生须声明，否则后果自负.

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知复数满足（为虚数单位），是的共轭复数，则（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 中，为中点，设向量，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 某种疾病的患病率为5%，通过验血诊断该病的误诊率为2%，即非患者中有2%的人诊断为阳性，患者中有2%的人诊断为阴性随机抽取一人进行验血，则其诊断结果为阳性的概率为（    ）

A. 0.46 B. 0.046 C. 0.68 D. 0.068

5. 设正项等比数列的前项和为，若，则（    ）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

6. 设函数，已知在区间上有且仅有个零点，下列结论正确的是（    ）

A. 直线是函数的图象的一条对称轴

B. 的取值范围是

C. 的图象向右平移个单位后所得图象的函数是奇函数

D. 在区间上有且仅有个极值点

7. 是双曲线的左、右焦点，过左焦点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 某村计划修建一条横断面为等腰梯形（上底大于下底）的水渠，为了降低建造成本，必须尽量减少水与渠壁的接触面.已知水渠横断面面积设计为平方米，水渠深米，水渠壁的倾角为，则当该水渠的修建成本最低时的值为（    ）

A  B.  C.  D.

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，且，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（    ）

A. 在棱上存在点，使平面

B. 异面直线与所成的角的余弦值为

C. 直线与平面所成的角为

D. 平面

10. 已知无穷等差数列的首项为，它的前项和为，且，，则（    ）

A. 数列是单调递减数列

B.

C. 数列的公差的取值范围是

D 当时，

11. 已知抛物线的焦点为，在抛物线上，延长交抛物线于点，抛物线准线与轴交于点，则下列叙述正确的是（    ）

A.

B. 点坐标为

C.

D. 在轴上存在点，使得为钝角

12. 已知函数，的定义域为R，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列一定成立的有（    ）

A.  B.

C.  D.

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 若，则________.

14. 已知（）展开式中第5项和第6项的二项式系数最大，则其展开式中常数项是________.

15. 如图，已知的外接圆为圆，为直径，垂直圆所在的平面，且，过点作平面，分别交于点，则三棱锥的外接球的体积为________.

16. 已知函数,,对任意,存在,使,则的最小值为________.

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 已知数列中，，其前n项和为，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，若数列的前n项和为，求证：.

18. △ ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．

（1）求a；

（2）若AD⊥ BC于D，且AD=，求角A的最大值．

19. 在图（）五边形中，，，，，将沿折起到的位置，得到如下图（）所示的四棱锥，为线段的中点，且平面.

（1）求证：平面；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.

20. 年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于年月日开幕，月日闭幕.本次冬奥会极大地鼓舞了中国人民参与冰雪运动的热情，某校短道速滑社团的队员们纷纷加练，训练场内热火朝天，为了给刻苦训练的运动员们以激励，社团决定开展“训练赢吉祥物”活动，游戏规则如下：有一张共格的长方形格子图，依次编号为第格、第格、第格、……、第格，游戏开始时“跳子”在第格，队员每次完成训练后抛掷一枚均匀的硬币，若出现正面，则“跳子”前进格（从第格到第格），若出现反面，则“跳子”前进格（从第格到第格）（为正整数），当“跳子”前进到第格或者第格时，游戏结束.“跳子”落在第格，则每位队员可以得到一只“雪容融”玩偶，“跳子”落在第格，则每位队员可以得到一只“冰墩墩”玩偶.记“跳子”前进到第格的概率为.

（1）求；

（2）（i）证明数列等比数列；

（ii）求该社团参加一次这样的游戏获得“冰墩墩”玩偶的概率.

21. 已知椭圆的离心率为，过坐标原点的直线交椭圆于两点，其中在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连接.当为椭圆的右焦点时，的面积为.

（1）求椭圆方程；

（2）若为的延长线与椭圆的交点，试问：是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由.

22. 已知函数.

（1）求在上的最小值.

（2）设，若有两个零点，证明：.

郴州市2023届高三第一次教学质量监测试卷

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

4.考试时间为120分钟，满分为150分.

5.本试题卷共5页.如缺页，考生须声明，否则后果自负.

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

【1题答案】

【答案】C

【2题答案】

【答案】A

【3题答案】

【答案】A

【4题答案】

【答案】D

【5题答案】

【答案】A

【6题答案】

【答案】B

【7题答案】

【答案】D

【8题答案】

【答案】C

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

【9题答案】

【答案】ABC

【10题答案】

【答案】ACD

【11题答案】

【答案】BC

【12题答案】

【答案】ABD

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

【13题答案】

【答案】

【14题答案】

【答案】##

【15题答案】

【答案】

【16题答案】

【答案】

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

【17题答案】

【答案】（1）；   

（2）证明见解析.

【18题答案】

【答案】（1）2；    （2）．

【19题答案】

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【20题答案】

【答案】（1）；   

（2）（i）证明见解析；（ii）.

【21题答案】

【答案】（1）   

（2）为定值

【22题答案】

【答案】（1）   

（2）证明见解析