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2021-2022学年福建省福州市八县（市）协作校高二（上）期中数学试卷
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这是一份2021-2022学年福建省福州市八县（市）协作校高二（上）期中数学试卷，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年福建省福州市八县（市）协作校高二（上）期中数学试卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（5分）抛物线y＝8x2的准线方程是（ ）
A．y＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x D．y
2．（5分）圆x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0与圆（x﹣1）2+（y+2）2＝9的位置关系为（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
3．（5分）已知直线mx﹣ny+1＝0平行于直线4x+3y+5＝0，且在y轴上的截距为，则m，n的值分别为（ ）
A．4和3 B．﹣4和3 C．﹣4和﹣3 D．4和﹣3
4．（5分）椭圆1（m＞0）的焦点为F1，F2，上顶点为A，若∠F1AF2，则m＝（ ）
A．1 B． C． D．2
5．（5分）设点A（1，3），B（3，2），若直线ax﹣y﹣2＝0与线段AB有交点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（5分）已知F为双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的渐近线方程为（ ）
A． B． C．y＝±2x D．
7．（5分）唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y2≤1，若将军从点A（3，0）处出发，河岸线所在直线方程为x+y＝4，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B．2 C． D．
8．（5分）椭圆1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF＝α，且α∈[，]，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）
A．[，1] B．[，] C．[，1） D．[，]
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。）
（多选）9．（5分）关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则直线l∥α
B．已知为空间的一个基底，若，则也是空间的基底
C．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
D．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
（多选）10．（5分）已知曲线C的方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．当k＝4时，曲线C为圆
B．当k＞2时，曲线C为焦点在x轴上的双曲线
C．若曲线C为椭圆，且焦距为，则k＝5
D．不存在实数k，使得曲线C为抛物线
（多选）11．（5分）在正方体ABCB﹣A1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC和棱CC1的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．异面直线QP与A1C1所成的角为45°
B．A1D⊥平面AQP
C．平面APQ截正方体所得截面为等腰梯形
D．点M在线段BC1上运动，则三棱锥A﹣MPQ的体积不变
（多选）12．（5分）数学中的很多符号具有简洁、对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素．如我们熟悉的∞符号，我们把形状类似∞的曲线称为“∞曲线”．在平面直角坐标系xOy中，把到定点F1（﹣a，0），F2（a，0）距离之积等于a2（a＞0）的点的轨迹称为“∞曲线”C．已知点P（x0，y0）是“∞曲线”C上一点，下列说法中正确的有（ ）
A．“∞曲线”C关于原点O中心对称
B．
C．“∞曲线”C上满足|PF1|＝|PF2|的点P有两个
D．|PO|的最大值为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．（5分）已知（1，1，0），（﹣1，3，2），且与垂直，则k的值为 ．
14．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）经过点P（2，y0），F为抛物线的焦点，且|PF|＝4，则y0的值为 ．
15．（5分）1765年欧拉在其著作《三角形的几何学》首次提出：三角形的重心、垂心、外心在同一条直线上，我们把这条直线称为该三角形的欧拉线，若△ABC的顶点都在圆x2+y2＝4上，边AB所在直线方程为x+3y＝1，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线方程为 ．
16．（5分）如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体的水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面CDD1C1有一个小孔E，E点到CD的距离为3，若该正方体水槽绕CD倾斜（CD始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面CDD1C1与桌面所成的角正切值为 ．
四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（10分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长和侧棱长都等于1，∠BAA1＝∠CAA1＝60°．
（1）设，，，用向量表示；
（2）求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值．
18．（12分）已知圆C经过点P（5，0）和点Q（1，4），且圆心在直线x+y＝1上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若过点（﹣1，4）的直线l与圆C相交于A，B两点，且∠ACB＝120°，求直线l的方程．
19．（12分）已知双曲线E：1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，离心率e＝2，虚轴长为2．
（1）求E的方程；
（2）过右焦点F，倾斜角为30°的直线交双曲线于A、B两点，求|AB|．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°．
（1）证明：平面PCD⊥平面PAD；
（2）若PD＝2，AD＝AB＝1，∠APD＝30°，求平面ABP与平面DBP所成角的余弦值．
21．（12分）设圆x2+y2﹣2x﹣21＝0的圆心为P，点Q（），点H为圆上动点，线段HQ的垂直平分线与线段HP交于点E，设点E的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）若直线l与曲线C交于点A，B，与圆O：x2+y2＝2切于点M，问：|MA|•|MB|是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由．
22．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，AC＝16，PA＝PC＝10，O为AC中点，H为△PBC内的动点（含边界）．
（1）求点O到平面PBC的距离；
（2）若OH∥平面PAB，求直线PH与平面ABC所成角的正弦值的取值范围．
2021-2022学年福建省福州市八县（市）协作校高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（5分）抛物线y＝8x2的准线方程是（ ）
A．y＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x D．y
【分析】先将抛物线的方程化为准线方程，进而根据抛物线的性质可求得答案．
【解答】解：因为抛物线y＝8x2，
可化为：x2y，
∴2p，
则线的准线方程为y．
故选：D．
【点评】本题主要考查抛物线的定义和性质，难度不大，属于基础题．
2．（5分）圆x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0与圆（x﹣1）2+（y+2）2＝9的位置关系为（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
【分析】把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据两圆的圆心距，与两个圆的半径和与差的关系，可得两个圆关系．
【解答】解：圆C1：x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0，即 （x﹣1）2+（y﹣2）2＝1，表示以C1（1，2）为圆心，半径等于1的圆，
圆C2：（x﹣1）2+（y+2）2＝9，表示以C2（1，﹣2）为圆心，半径等于3的圆，
∴两圆的圆心距d4，
∵4＝3+1，故两个圆相外切．
故选：C．
【点评】本题主要考查圆的标准方程，圆和圆的位置关系，圆的标准方程的求法，属于基础题．
3．（5分）已知直线mx﹣ny+1＝0平行于直线4x+3y+5＝0，且在y轴上的截距为，则m，n的值分别为（ ）
A．4和3 B．﹣4和3 C．﹣4和﹣3 D．4和﹣3
【分析】直接利用直线平行的充要条件的应用求出结果．
【解答】解：直线4x+3y+5＝0，整理得：，
直线mx﹣ny+1＝0，整理得：，
由于两直线平行，
所以，
由于在y轴上的截距为，
故n＝3，
所以m＝﹣4．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：直线平行的充要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
4．（5分）椭圆1（m＞0）的焦点为F1，F2，上顶点为A，若∠F1AF2，则m＝（ ）
A．1 B． C． D．2
【分析】由题意利用椭圆的性质可求c＝1，b＝m，可求∠F1AO，解三角形即可求解m的值．
【解答】解：由题意可得c1，b＝m，
又因为∠F1AF2，可得∠F1AO，
可得tan∠F1AO，解得m．
故选：C．
【点评】本题主要考查了椭圆的性质，考查了计算能力，属于基础题．
5．（5分）设点A（1，3），B（3，2），若直线ax﹣y﹣2＝0与线段AB有交点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先求出直线恒过定点，作出直线的图像，利用两个点的坐标求出直线的斜率取值范围．
【解答】解：∵直线ax﹣y﹣2＝0恒过定点P（0，﹣2），斜率为a，
画出图形，如图所示，
5，kPB，
∵直线ax﹣y﹣2＝0与线段AB有交点，
∴，
故选：A．
【点评】本题主要考查了直线恒过定点，考查了直线的斜率公式，同时考查了学生数形结合的数学思想，是基础题．
6．（5分）已知F为双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的渐近线方程为（ ）
A． B． C．y＝±2x D．
【分析】利用已知条件列出关系式，求出a、c关系，然后求解a、b关系，得到双曲线的渐近线方程．
【解答】解：F为双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，可得3，可得，解得c＝2a，
即a2+b2＝4a2，所以，
则C的渐近线方程为：yx．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，是基础题．
7．（5分）唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y2≤1，若将军从点A（3，0）处出发，河岸线所在直线方程为x+y＝4，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B．2 C． D．
【分析】设点A关于直线x+y＝4的对称性A'（a，b），军营所在区域的圆心为C，则A'C﹣1为最短总路程，再结合A与A’关于直线x+y＝4对称，求出A'的坐标，再结合两点之间的距离公式，即可求解．
【解答】解：设点A关于直线x+y＝4的对称性A'（a，b），军营所在区域的圆心为C，
则A'C﹣1为最短总路程，
AA'的中点为（），直线AA'的斜率为1，
故直线AA'为y＝x﹣3，
由，解得a＝4，b＝1，
所以A'C，即A'C．
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，考查计算能力，属于中档题．
8．（5分）椭圆1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF＝α，且α∈[，]，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）
A．[，1] B．[，] C．[，1） D．[，]
【分析】设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|＝2a，根据B和A关于原点对称可知|BF|＝|AF′|，推知|AF|+|BF|＝2a，又根据O是Rt△ABF的斜边中点可知|AB|＝2c，在Rt△ABF中用α和c分别表示出|AF|和|BF|代入|AF|+|BF|＝2a中即可表示出即离心率e，进而根据α的范围确定e的范围．
【解答】解：∵B和A关于原点对称
∴B也在椭圆上
设左焦点为F′
根据椭圆定义：|AF|+|AF′|＝2a
又∵|BF|＝|AF′|∴|AF|+|BF|＝2a …①
O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|＝2c
又|AF|＝2csinα …②
|BF|＝2ccosα …③
②③代入①2csinα+2ccosα＝2a
∴
即e
∵a∈[，]，
∴α+π/4
∴sin（α）≤1
∴e
故选：B．
【点评】本题主要考查了椭圆的性质．要特别利用好椭圆的定义．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。）
（多选）9．（5分）关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则直线l∥α
B．已知为空间的一个基底，若，则也是空间的基底
C．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
D．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
【分析】直接利用法向量，基底的定义，四点共面的充要条件的应用判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：对于A：若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，由于，则直线l∥α或l⊂α，故A错误；
对于B：已知为空间的一个基底，若，则也是空间的基底，故B正确；
对于C：若对空间中任意一点O，有，满足，则P，A，B，C四点共面，故C正确；
对于D：两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查的知识要点：法向量，基底的定义，四点共面的充要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
（多选）10．（5分）已知曲线C的方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．当k＝4时，曲线C为圆
B．当k＞2时，曲线C为焦点在x轴上的双曲线
C．若曲线C为椭圆，且焦距为，则k＝5
D．不存在实数k，使得曲线C为抛物线
【分析】通过k的取值，判断A、B的正误；利用焦距求解k判断C；方程的特征判断D即可．
【解答】解：曲线C的方程为，当k＝4时，曲线C为x2+y2＝2，表示圆，所以A正确；
当k＞6时，曲线C为焦点在x轴上的双曲线，所以B不正确；
曲线C为椭圆，且焦距为，焦点坐标在x轴时，k﹣2﹣6+k＝2，解得k＝5，
焦点坐标的y轴时，6﹣k﹣k+2＝2，解得k＝3，所以C不正确；
曲线C的方程为，不含一次项，所以曲线不可能是抛物线，所以D正确；
故选：AD．
【点评】本题考查曲线与方程的应用，圆锥曲线的性质的应用，是基础题．
（多选）11．（5分）在正方体ABCB﹣A1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC和棱CC1的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．异面直线QP与A1C1所成的角为45°
B．A1D⊥平面AQP
C．平面APQ截正方体所得截面为等腰梯形
D．点M在线段BC1上运动，则三棱锥A﹣MPQ的体积不变
【分析】根据题意画出对应的图形，结合图形对选项中的命题真假性判断即可．
【解答】解：对于A，连接A1B、BC1，如图1所示：
因为P，Q分别为棱BC和棱CC1的中点，所以PQ∥BC1，所以∠A1C1B是异面直线QP与A1C1所成的角，
又A1C1＝A1B＝BC1，所以∠A1C1B＝60°，即异面直线QP与A1C1所成的角为60°，选项A错误；
对于B，建立空间直角坐标系，如图2所示：
设正方体的棱长为1，则D（0，0，0），A（1，0，0），P（，1，0），A1（1，0，1），
所以（1，0，1），（，1，0），
所以•，所以与不垂直，即DA1与AP不垂直，
所以A1D与平面AQP不垂直，选项B错误；
对于C，连接AD1、D1Q，则四边形APQD1是平面APQ截正方体所得的截面，如图3所示：
连接BC1，则BC1∥AD1，且BC1＝AD1，
又PQ∥BC1，且PQBC1，所以PQ∥AD1，且PQAD1，
所以四边形APQD1是梯形，
又AP＝D1Q，所以四边形APQD1是等腰梯形，选项C正确；
对于D，如图4所示，
设正方体的棱长为a，因为PQ∥BC1，所以点M到PQ的距离为a，PQa，点A到平面MPQ的距离为a，
所以三棱锥A﹣MPQ的体积为Vaa×a，是定值，选项D正确．
故选：CD．
【点评】本题考查了空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用问题，也考查了空间想象能力与推理运算能力，是中档题．
（多选）12．（5分）数学中的很多符号具有简洁、对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素．如我们熟悉的∞符号，我们把形状类似∞的曲线称为“∞曲线”．在平面直角坐标系xOy中，把到定点F1（﹣a，0），F2（a，0）距离之积等于a2（a＞0）的点的轨迹称为“∞曲线”C．已知点P（x0，y0）是“∞曲线”C上一点，下列说法中正确的有（ ）
A．“∞曲线”C关于原点O中心对称
B．
C．“∞曲线”C上满足|PF1|＝|PF2|的点P有两个
D．|PO|的最大值为
【分析】对A，设动点C（x，y），求出轨迹方程判断A的正误；对B，通过三角形底面积转化求解推出，判断B的正误；对C，通过|PF1|＝|PF2|，则P（x0，y0）在F1F2的中垂线即y轴上．说明y0＝0，即P（0，0），仅有一个，判断C的正误；对D，因为∠POF1+∠POF2＝π，推出．
结合|PF1|﹣|PF2|≤|F1F2|＝2a，得，判断D的正误．
【解答】解：对A，设动点C（x，y），由题意可得C的轨迹方程为，把（x，y）关于原点对称的点（﹣x，﹣y）代入轨迹方程，显然成立；所以A正确；
对B，因为P（x0，y0），故，
又，所以a2sin∠F1PF2＝2a⋅|y0|，
即，故，故B正确；
对C，若|PF1|＝|PF2|，则P（x0，y0）在F1F2的中垂线即y轴上．
故此时x0＝0，代入，
可得y0＝0，即P（0，0），仅有一个，故C错误；
对D，因为∠POF1+∠POF2＝π，
故cos∠POF1+cos∠POF2＝0，，
因为|OF1|＝|OF2|＝a，，
故．
即，
所以．
又|PF1|﹣|PF2|≤|F1F2|＝2a，当且仅当P，F1，F2共线时取等号．
故，
即|OP|2≤2a2，解得，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，考查轨迹方程，余弦定理以及曲线与方程的应用，是难度比较大的题目．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．（5分）已知（1，1，0），（﹣1，3，2），且与垂直，则k的值为 5 ．
【分析】根据题意，求出与的坐标，由空间向量数量积的计算公式可得关于k的方程，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，（1，1，0），（﹣1，3，2），
k（k﹣1，k+3，2），2（3，﹣1，﹣2），
若与垂直，则（k）•（2）＝3（k﹣1）﹣（k+3）﹣4＝0，
解可得：k＝5；
故答案为：5．
【点评】本题考查空间向量数量积的计算，涉及空间向量垂直的判断，属于基础题．
14．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）经过点P（2，y0），F为抛物线的焦点，且|PF|＝4，则y0的值为 ±4 ．
【分析】根据已知条件，结合抛物线的定义，可得p＝4，即可得抛物线方程，将P的横坐标代入，即可求解．
【解答】解：∵点P（2，y0）为抛物线上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|＝4，
∴抛物线的定义，可得24，解得p＝4，
∴y2＝8x，
∵P的横坐标为2，
∴2×8＝16，解得y0＝±4．
故答案为：±4．
【点评】本题主要考查了抛物线的定义，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
15．（5分）1765年欧拉在其著作《三角形的几何学》首次提出：三角形的重心、垂心、外心在同一条直线上，我们把这条直线称为该三角形的欧拉线，若△ABC的顶点都在圆x2+y2＝4上，边AB所在直线方程为x+3y＝1，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线方程为 3x﹣y＝0 ．
【分析】由直线垂直求出△ABC的欧拉线方程的斜率，再利用直线过原点，即可得到直线方程．
【解答】解：由题意可得，△ABC的欧拉线过原点且与直线x+3y＝1垂直，
所以所求直线的斜率为3，
所以△ABC的欧拉线方程为3x﹣y＝0．
故答案为：3x﹣y＝0．
【点评】本题考查了直线方程的求法以及两条直线垂直时斜率之间的关系应用问题，正确理解题意，求出直线的斜率是解题的关键，是基础题．
16．（5分）如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体的水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面CDD1C1有一个小孔E，E点到CD的距离为3，若该正方体水槽绕CD倾斜（CD始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面CDD1C1与桌面所成的角正切值为 2 ．
【分析】由题意知，水的体积为32，设正方体水槽倾斜后，水面分别与棱AA1，BB1，CC1，DD1交于M，N，P，Q，则PC＝3，此时水的体积为SBCPN•CD，从而求得BN＝1；在平面BCC1B1内，过点C1作C1H∥NP，交BB1于H，侧面CDD1C1与桌面所成的角即侧面CDD1C1与水面MNPQ所成的角，即侧面CDD1C1与平面HC1D1所成的角，故∠HC1C即为所求，再在Rt△B1HC1中，由tan∠HC1C＝tan∠B1HC1 即可得解．
【解答】解：由题意知，水的体积为4×4×2＝32，
如图所示，设正方体水槽倾斜后，水面分别与棱AA1，BB1，CC1，DD1交于M，N，P，Q，则PC＝3，
水的体积为SBCPN•CD＝32，
∴•BC•CD＝32，即 4×4＝32，∴BN＝1．
在平面BCC1B1内，过点C1作C1H∥NP，交BB1于H，则四边形NPC1H是平行四边形，NH＝C1P＝1，
∴B1H＝BB1﹣NH﹣BN＝4﹣1﹣1＝2，
∵侧面CDD1C1与桌面所成的角即侧面CDD1C1与水面MNPQ所成的角，即侧面CDD1C1与平面HC1D1所成的角，
∴∠HC1C即为所求，而∠HC1C＝∠B1HC1，
在Rt△B1HC1中，tan∠B1HC12，
∴侧面CDD1C1与桌面所成角的正切值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查二面角的求法，将所求的角逐步转化为边长已知的直角三角形中的角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（10分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长和侧棱长都等于1，∠BAA1＝∠CAA1＝60°．
（1）设，，，用向量表示；
（2）求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值．
【分析】（1）利用空间向量的线性表示，即可用，，表示出、；
（2）利用空间向量的数量积求出、的夹角余弦值，即可求出异面直线AB1与BC1所成角的余弦值．
【解答】解：（1）因为，，，
所以，
；
（2）因为•（）•（）••12﹣12+1×1×cos60°+1×1×cos60°＝1，
2•12+2×1×1×cos60°+12＝3，所以||，
2•2•2•12+12+12﹣2×1×1×cos60°+2×1×1×cos60°﹣2×1×1×cos60°＝2，
所以||，计算cos，，
所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．
【点评】本题主要考查了空间向量基本定理，向量的数量积公式及应用问题，是基础题．
18．（12分）已知圆C经过点P（5，0）和点Q（1，4），且圆心在直线x+y＝1上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若过点（﹣1，4）的直线l与圆C相交于A，B两点，且∠ACB＝120°，求直线l的方程．
【分析】（1）由已知求出PQ的垂直平分线方程，与已知直线方程联立求得圆心C的坐标，进一步求出半径，则圆C的方程可求；
（2）由题意画出图形，可得圆心C到直线l的距离，然后分直线的斜率存在与不存在求解直线l的方程．
【解答】解：（1）∵P（5，0），Q（1，4），∴PQ的中点坐标为（3，2），
则kPQ1，则PQ的垂直平分线方程为y﹣2＝x﹣3，即x﹣y﹣1＝0．
联立，解得，
则圆C的圆心坐标为（1，0），半径为5﹣1＝4．
∴圆C的方程为（x﹣1）2+y2＝16；
（2）如图，∵圆C的半径为4，且∠ACB＝120°，过C作CD⊥AB，垂直为D，则CD＝2，
即圆心C到直线l的距离为2，
当直线l过点（﹣1，4），斜率不存在时，满足题意，此时直线l的方程为x＝﹣1；
当直线l的斜率存在时，设斜率为k，直线方程为y﹣4＝k（x+1），即kx﹣y+k+4＝0，
由2，解得k．
则直线方程为x﹣y0，即3x+4y﹣13＝0．
∴所求直线方程为x＝﹣1或3x+4y﹣13＝0．
【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
19．（12分）已知双曲线E：1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，离心率e＝2，虚轴长为2．
（1）求E的方程；
（2）过右焦点F，倾斜角为30°的直线交双曲线于A、B两点，求|AB|．
【分析】（1）由已知列关于a，b，c的方程组，求解a与b的值，则双曲线方程可求；
（2）写出直线l的方程，与双曲线方程联立，利用根与系数的关系及弦长公式求解．
【解答】解：（1）由题意，，解得．
∴E的方程为；
（2）由（1）得，F（2，0），又直线l的倾斜角为30°，∴斜率为．
则直线l的方程为y．
联立，得8x2+4x﹣13＝0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，．
∴|AB|3．
【点评】本题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°．
（1）证明：平面PCD⊥平面PAD；
（2）若PD＝2，AD＝AB＝1，∠APD＝30°，求平面ABP与平面DBP所成角的余弦值．
【分析】（1）推导出CD⊥AP，CD⊥DP，从而CD⊥平面PAD，由此能证明平面PCD⊥平面PAD．
（2）由余弦定理求出AP，从而AP⊥AD，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ABP与平面DBP所成角的余弦值．
【解答】解：（1）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°，
∴CD⊥AP，CD⊥DP，
∵AP∩DP＝P，∴CD⊥平面PAD，
∵CD⊂平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAD．
（2）设AP＝a，∵PD＝2，AD＝AB＝1，∠APD＝30°，
∴cos30°，解得a，∴AP，
∴AP2+AD2＝PD2，∴AP⊥AD，
以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
B（1，0，0），D（0，1，0），P（0，0，2），
（﹣1，1，0），（﹣1，0，2），
设平面BDP的法向量（x，y，z），
则，取x＝2，得（2，2，1），
平面ABP的法向量（0，1，0），
设平面ABP与平面DBP所成角为θ，
则平面ABP与平面DBP所成角的余弦值为：
cosθ．
【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
21．（12分）设圆x2+y2﹣2x﹣21＝0的圆心为P，点Q（），点H为圆上动点，线段HQ的垂直平分线与线段HP交于点E，设点E的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）若直线l与曲线C交于点A，B，与圆O：x2+y2＝2切于点M，问：|MA|•|MB|是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由．
【分析】（1）利用圆的方程求出圆心P和半径，根据线段垂直平分线的性质以及椭圆的定义，可得点E的轨迹是椭圆，求解方程即可；
（2）先考虑斜率不存在的情况，得到|MA|•|MB|为定值2，再考虑斜率存在的情况，将直线方程与椭圆联立，结合韦达定理进行求解，即可得到答案．
【解答】解：（1）由题意可得，半径，
又线段HQ的垂直平分线与线段HP交于点E，所以|EQ|＝|EH|，
则有|EQ|+|EP|＝|EH|+|EP|＝|HP|，
所以点E的轨迹是以P，Q为焦点，实轴长为的椭圆，
故轨迹方程为；
（2）①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，
由椭圆C的方程可知或，
则|MA|•|MB|；
②当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），
因为直线与圆O相切，所以，即m2＝2（1+k2），
联立直线l和椭圆的方程可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣6＝0，
则Δ＝（4km）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣6）＝8（4k2+1）＞0，
，
则
，
所以OA⊥OB，所以Rt△OAB中，|MA|•|MB|＝|OM|2＝2，
所以|MA|•|MB|为定值2．
【点评】本题考查了动点轨迹方程的求解，涉及了椭圆定义的应用、椭圆标准方程的求解以及直线与椭圆位置关系的应用，要掌握常见的求解轨迹的方法：直接法、定义法、代入法、交轨法、消元法等，属于中档题．
22．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，AC＝16，PA＝PC＝10，O为AC中点，H为△PBC内的动点（含边界）．
（1）求点O到平面PBC的距离；
（2）若OH∥平面PAB，求直线PH与平面ABC所成角的正弦值的取值范围．
【分析】（1）利用等体积法即可求得点O到平面PBC的距离；
（2）以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，求出平面PAB的法向量和平面PBC的法向量，由OH∥平面PAB，PH⊂PBC，可得H（x，4，3x），求出和平面ABC的法向量，求出直线PH与平面ABC所成角的正弦值，利用换元法及二次函数的性质即可求解直线PH与平面ABC所成角的正弦值的取值范围．
【解答】解：（1）在三棱锥P﹣ABC中，连接OB，OP，
因为△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，PA＝PC，O为AC中点，
所以OP⊥OC，OB⊥OC，
又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，OP⊂平面PAC，
所以OP⊥平面ABC，又OB⊂平面ABC，
所以OP⊥OB，所以OB，OC，OP两两垂直，
VO﹣PBC＝VP﹣OBC•PO•S△OBC（）2＝64．
又S△PBC•BC•88，
所以d，
所以点O到就平面PBC的距离为．
（2）在三棱锥P﹣ABC中，OB，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，
则O（0，0，0），P（0，0，6），A（0，﹣8，0），C（0，8，0），B（8，0，0），
设H（x，y，z），则（x，y，z），
（x，y，z﹣6），（0，﹣8，﹣6），（8，0，﹣6），（0，8，﹣6），
设平面PAB的法向量为（x1，y1，z1），
则，即，不妨令y1＝﹣3，则（3，﹣3，4），
同理可求得平面PBC的法向量（3，3，4）．
因为OH∥平面PAB，PH⊂PBC，
所以，解得H（x，4，3），
又，所以0≤x≤4，所以（x，4，﹣3x），
又OP⊥平面ABC，所以（0，0，1）是平面ABC的一个法向量，
设直线PH与平面ABC所成角为θ，
则sinθ＝|cos|，
令t1，t∈[1，2]，∈[，1]，
所以sinθ，
令f（）••1，
所以f（）∈[，1]．所以∈[1，]，
所以sinθ∈[，]，
所以直线PH与平面ABC所成角的正弦值的取值范围为[，]．
【点评】本题主要考查点到平面的距离的求法，直线与平面所成的角，考查转化思想与函数思想的应用，考查运算求解能力，属于难题．
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2021-2022学年福建省福州市八县（市）协作校高二（上）期中数学试卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（5分）抛物线y＝8x2的准线方程是（ ）
A．y＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x D．y
2．（5分）圆x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0与圆（x﹣1）2+（y+2）2＝9的位置关系为（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
3．（5分）已知直线mx﹣ny+1＝0平行于直线4x+3y+5＝0，且在y轴上的截距为，则m，n的值分别为（ ）
A．4和3 B．﹣4和3 C．﹣4和﹣3 D．4和﹣3
4．（5分）椭圆1（m＞0）的焦点为F1，F2，上顶点为A，若∠F1AF2，则m＝（ ）
A．1 B． C． D．2
5．（5分）设点A（1，3），B（3，2），若直线ax﹣y﹣2＝0与线段AB有交点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（5分）已知F为双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的渐近线方程为（ ）
A． B． C．y＝±2x D．
7．（5分）唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y2≤1，若将军从点A（3，0）处出发，河岸线所在直线方程为x+y＝4，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B．2 C． D．
8．（5分）椭圆1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF＝α，且α∈[，]，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）
A．[，1] B．[，] C．[，1） D．[，]
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。）
（多选）9．（5分）关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则直线l∥α
B．已知为空间的一个基底，若，则也是空间的基底
C．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
D．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
（多选）10．（5分）已知曲线C的方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．当k＝4时，曲线C为圆
B．当k＞2时，曲线C为焦点在x轴上的双曲线
C．若曲线C为椭圆，且焦距为，则k＝5
D．不存在实数k，使得曲线C为抛物线
（多选）11．（5分）在正方体ABCB﹣A1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC和棱CC1的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．异面直线QP与A1C1所成的角为45°
B．A1D⊥平面AQP
C．平面APQ截正方体所得截面为等腰梯形
D．点M在线段BC1上运动，则三棱锥A﹣MPQ的体积不变
（多选）12．（5分）数学中的很多符号具有简洁、对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素．如我们熟悉的∞符号，我们把形状类似∞的曲线称为“∞曲线”．在平面直角坐标系xOy中，把到定点F1（﹣a，0），F2（a，0）距离之积等于a2（a＞0）的点的轨迹称为“∞曲线”C．已知点P（x0，y0）是“∞曲线”C上一点，下列说法中正确的有（ ）
A．“∞曲线”C关于原点O中心对称
B．
C．“∞曲线”C上满足|PF1|＝|PF2|的点P有两个
D．|PO|的最大值为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．（5分）已知（1，1，0），（﹣1，3，2），且与垂直，则k的值为 ．
14．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）经过点P（2，y0），F为抛物线的焦点，且|PF|＝4，则y0的值为 ．
15．（5分）1765年欧拉在其著作《三角形的几何学》首次提出：三角形的重心、垂心、外心在同一条直线上，我们把这条直线称为该三角形的欧拉线，若△ABC的顶点都在圆x2+y2＝4上，边AB所在直线方程为x+3y＝1，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线方程为 ．
16．（5分）如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体的水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面CDD1C1有一个小孔E，E点到CD的距离为3，若该正方体水槽绕CD倾斜（CD始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面CDD1C1与桌面所成的角正切值为 ．
四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（10分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长和侧棱长都等于1，∠BAA1＝∠CAA1＝60°．
（1）设，，，用向量表示；
（2）求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值．
18．（12分）已知圆C经过点P（5，0）和点Q（1，4），且圆心在直线x+y＝1上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若过点（﹣1，4）的直线l与圆C相交于A，B两点，且∠ACB＝120°，求直线l的方程．
19．（12分）已知双曲线E：1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，离心率e＝2，虚轴长为2．
（1）求E的方程；
（2）过右焦点F，倾斜角为30°的直线交双曲线于A、B两点，求|AB|．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°．
（1）证明：平面PCD⊥平面PAD；
（2）若PD＝2，AD＝AB＝1，∠APD＝30°，求平面ABP与平面DBP所成角的余弦值．
21．（12分）设圆x2+y2﹣2x﹣21＝0的圆心为P，点Q（），点H为圆上动点，线段HQ的垂直平分线与线段HP交于点E，设点E的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）若直线l与曲线C交于点A，B，与圆O：x2+y2＝2切于点M，问：|MA|•|MB|是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由．
22．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，AC＝16，PA＝PC＝10，O为AC中点，H为△PBC内的动点（含边界）．
（1）求点O到平面PBC的距离；
（2）若OH∥平面PAB，求直线PH与平面ABC所成角的正弦值的取值范围．
2021-2022学年福建省福州市八县（市）协作校高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（5分）抛物线y＝8x2的准线方程是（ ）
A．y＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x D．y
【分析】先将抛物线的方程化为准线方程，进而根据抛物线的性质可求得答案．
【解答】解：因为抛物线y＝8x2，
可化为：x2y，
∴2p，
则线的准线方程为y．
故选：D．
【点评】本题主要考查抛物线的定义和性质，难度不大，属于基础题．
2．（5分）圆x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0与圆（x﹣1）2+（y+2）2＝9的位置关系为（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
【分析】把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据两圆的圆心距，与两个圆的半径和与差的关系，可得两个圆关系．
【解答】解：圆C1：x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0，即 （x﹣1）2+（y﹣2）2＝1，表示以C1（1，2）为圆心，半径等于1的圆，
圆C2：（x﹣1）2+（y+2）2＝9，表示以C2（1，﹣2）为圆心，半径等于3的圆，
∴两圆的圆心距d4，
∵4＝3+1，故两个圆相外切．
故选：C．
【点评】本题主要考查圆的标准方程，圆和圆的位置关系，圆的标准方程的求法，属于基础题．
3．（5分）已知直线mx﹣ny+1＝0平行于直线4x+3y+5＝0，且在y轴上的截距为，则m，n的值分别为（ ）
A．4和3 B．﹣4和3 C．﹣4和﹣3 D．4和﹣3
【分析】直接利用直线平行的充要条件的应用求出结果．
【解答】解：直线4x+3y+5＝0，整理得：，
直线mx﹣ny+1＝0，整理得：，
由于两直线平行，
所以，
由于在y轴上的截距为，
故n＝3，
所以m＝﹣4．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：直线平行的充要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
4．（5分）椭圆1（m＞0）的焦点为F1，F2，上顶点为A，若∠F1AF2，则m＝（ ）
A．1 B． C． D．2
【分析】由题意利用椭圆的性质可求c＝1，b＝m，可求∠F1AO，解三角形即可求解m的值．
【解答】解：由题意可得c1，b＝m，
又因为∠F1AF2，可得∠F1AO，
可得tan∠F1AO，解得m．
故选：C．
【点评】本题主要考查了椭圆的性质，考查了计算能力，属于基础题．
5．（5分）设点A（1，3），B（3，2），若直线ax﹣y﹣2＝0与线段AB有交点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先求出直线恒过定点，作出直线的图像，利用两个点的坐标求出直线的斜率取值范围．
【解答】解：∵直线ax﹣y﹣2＝0恒过定点P（0，﹣2），斜率为a，
画出图形，如图所示，
5，kPB，
∵直线ax﹣y﹣2＝0与线段AB有交点，
∴，
故选：A．
【点评】本题主要考查了直线恒过定点，考查了直线的斜率公式，同时考查了学生数形结合的数学思想，是基础题．
6．（5分）已知F为双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的渐近线方程为（ ）
A． B． C．y＝±2x D．
【分析】利用已知条件列出关系式，求出a、c关系，然后求解a、b关系，得到双曲线的渐近线方程．
【解答】解：F为双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，可得3，可得，解得c＝2a，
即a2+b2＝4a2，所以，
则C的渐近线方程为：yx．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，是基础题．
7．（5分）唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y2≤1，若将军从点A（3，0）处出发，河岸线所在直线方程为x+y＝4，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B．2 C． D．
【分析】设点A关于直线x+y＝4的对称性A'（a，b），军营所在区域的圆心为C，则A'C﹣1为最短总路程，再结合A与A’关于直线x+y＝4对称，求出A'的坐标，再结合两点之间的距离公式，即可求解．
【解答】解：设点A关于直线x+y＝4的对称性A'（a，b），军营所在区域的圆心为C，
则A'C﹣1为最短总路程，
AA'的中点为（），直线AA'的斜率为1，
故直线AA'为y＝x﹣3，
由，解得a＝4，b＝1，
所以A'C，即A'C．
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，考查计算能力，属于中档题．
8．（5分）椭圆1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF＝α，且α∈[，]，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）
A．[，1] B．[，] C．[，1） D．[，]
【分析】设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|＝2a，根据B和A关于原点对称可知|BF|＝|AF′|，推知|AF|+|BF|＝2a，又根据O是Rt△ABF的斜边中点可知|AB|＝2c，在Rt△ABF中用α和c分别表示出|AF|和|BF|代入|AF|+|BF|＝2a中即可表示出即离心率e，进而根据α的范围确定e的范围．
【解答】解：∵B和A关于原点对称
∴B也在椭圆上
设左焦点为F′
根据椭圆定义：|AF|+|AF′|＝2a
又∵|BF|＝|AF′|∴|AF|+|BF|＝2a …①
O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|＝2c
又|AF|＝2csinα …②
|BF|＝2ccosα …③
②③代入①2csinα+2ccosα＝2a
∴
即e
∵a∈[，]，
∴α+π/4
∴sin（α）≤1
∴e
故选：B．
【点评】本题主要考查了椭圆的性质．要特别利用好椭圆的定义．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。）
（多选）9．（5分）关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则直线l∥α
B．已知为空间的一个基底，若，则也是空间的基底
C．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
D．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
【分析】直接利用法向量，基底的定义，四点共面的充要条件的应用判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：对于A：若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，由于，则直线l∥α或l⊂α，故A错误；
对于B：已知为空间的一个基底，若，则也是空间的基底，故B正确；
对于C：若对空间中任意一点O，有，满足，则P，A，B，C四点共面，故C正确；
对于D：两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查的知识要点：法向量，基底的定义，四点共面的充要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
（多选）10．（5分）已知曲线C的方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．当k＝4时，曲线C为圆
B．当k＞2时，曲线C为焦点在x轴上的双曲线
C．若曲线C为椭圆，且焦距为，则k＝5
D．不存在实数k，使得曲线C为抛物线
【分析】通过k的取值，判断A、B的正误；利用焦距求解k判断C；方程的特征判断D即可．
【解答】解：曲线C的方程为，当k＝4时，曲线C为x2+y2＝2，表示圆，所以A正确；
当k＞6时，曲线C为焦点在x轴上的双曲线，所以B不正确；
曲线C为椭圆，且焦距为，焦点坐标在x轴时，k﹣2﹣6+k＝2，解得k＝5，
焦点坐标的y轴时，6﹣k﹣k+2＝2，解得k＝3，所以C不正确；
曲线C的方程为，不含一次项，所以曲线不可能是抛物线，所以D正确；
故选：AD．
【点评】本题考查曲线与方程的应用，圆锥曲线的性质的应用，是基础题．
（多选）11．（5分）在正方体ABCB﹣A1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC和棱CC1的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．异面直线QP与A1C1所成的角为45°
B．A1D⊥平面AQP
C．平面APQ截正方体所得截面为等腰梯形
D．点M在线段BC1上运动，则三棱锥A﹣MPQ的体积不变
【分析】根据题意画出对应的图形，结合图形对选项中的命题真假性判断即可．
【解答】解：对于A，连接A1B、BC1，如图1所示：
因为P，Q分别为棱BC和棱CC1的中点，所以PQ∥BC1，所以∠A1C1B是异面直线QP与A1C1所成的角，
又A1C1＝A1B＝BC1，所以∠A1C1B＝60°，即异面直线QP与A1C1所成的角为60°，选项A错误；
对于B，建立空间直角坐标系，如图2所示：
设正方体的棱长为1，则D（0，0，0），A（1，0，0），P（，1，0），A1（1，0，1），
所以（1，0，1），（，1，0），
所以•，所以与不垂直，即DA1与AP不垂直，
所以A1D与平面AQP不垂直，选项B错误；
对于C，连接AD1、D1Q，则四边形APQD1是平面APQ截正方体所得的截面，如图3所示：
连接BC1，则BC1∥AD1，且BC1＝AD1，
又PQ∥BC1，且PQBC1，所以PQ∥AD1，且PQAD1，
所以四边形APQD1是梯形，
又AP＝D1Q，所以四边形APQD1是等腰梯形，选项C正确；
对于D，如图4所示，
设正方体的棱长为a，因为PQ∥BC1，所以点M到PQ的距离为a，PQa，点A到平面MPQ的距离为a，
所以三棱锥A﹣MPQ的体积为Vaa×a，是定值，选项D正确．
故选：CD．
【点评】本题考查了空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用问题，也考查了空间想象能力与推理运算能力，是中档题．
（多选）12．（5分）数学中的很多符号具有简洁、对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素．如我们熟悉的∞符号，我们把形状类似∞的曲线称为“∞曲线”．在平面直角坐标系xOy中，把到定点F1（﹣a，0），F2（a，0）距离之积等于a2（a＞0）的点的轨迹称为“∞曲线”C．已知点P（x0，y0）是“∞曲线”C上一点，下列说法中正确的有（ ）
A．“∞曲线”C关于原点O中心对称
B．
C．“∞曲线”C上满足|PF1|＝|PF2|的点P有两个
D．|PO|的最大值为
【分析】对A，设动点C（x，y），求出轨迹方程判断A的正误；对B，通过三角形底面积转化求解推出，判断B的正误；对C，通过|PF1|＝|PF2|，则P（x0，y0）在F1F2的中垂线即y轴上．说明y0＝0，即P（0，0），仅有一个，判断C的正误；对D，因为∠POF1+∠POF2＝π，推出．
结合|PF1|﹣|PF2|≤|F1F2|＝2a，得，判断D的正误．
【解答】解：对A，设动点C（x，y），由题意可得C的轨迹方程为，把（x，y）关于原点对称的点（﹣x，﹣y）代入轨迹方程，显然成立；所以A正确；
对B，因为P（x0，y0），故，
又，所以a2sin∠F1PF2＝2a⋅|y0|，
即，故，故B正确；
对C，若|PF1|＝|PF2|，则P（x0，y0）在F1F2的中垂线即y轴上．
故此时x0＝0，代入，
可得y0＝0，即P（0，0），仅有一个，故C错误；
对D，因为∠POF1+∠POF2＝π，
故cos∠POF1+cos∠POF2＝0，，
因为|OF1|＝|OF2|＝a，，
故．
即，
所以．
又|PF1|﹣|PF2|≤|F1F2|＝2a，当且仅当P，F1，F2共线时取等号．
故，
即|OP|2≤2a2，解得，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，考查轨迹方程，余弦定理以及曲线与方程的应用，是难度比较大的题目．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．（5分）已知（1，1，0），（﹣1，3，2），且与垂直，则k的值为 5 ．
【分析】根据题意，求出与的坐标，由空间向量数量积的计算公式可得关于k的方程，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，（1，1，0），（﹣1，3，2），
k（k﹣1，k+3，2），2（3，﹣1，﹣2），
若与垂直，则（k）•（2）＝3（k﹣1）﹣（k+3）﹣4＝0，
解可得：k＝5；
故答案为：5．
【点评】本题考查空间向量数量积的计算，涉及空间向量垂直的判断，属于基础题．
14．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）经过点P（2，y0），F为抛物线的焦点，且|PF|＝4，则y0的值为 ±4 ．
【分析】根据已知条件，结合抛物线的定义，可得p＝4，即可得抛物线方程，将P的横坐标代入，即可求解．
【解答】解：∵点P（2，y0）为抛物线上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|＝4，
∴抛物线的定义，可得24，解得p＝4，
∴y2＝8x，
∵P的横坐标为2，
∴2×8＝16，解得y0＝±4．
故答案为：±4．
【点评】本题主要考查了抛物线的定义，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
15．（5分）1765年欧拉在其著作《三角形的几何学》首次提出：三角形的重心、垂心、外心在同一条直线上，我们把这条直线称为该三角形的欧拉线，若△ABC的顶点都在圆x2+y2＝4上，边AB所在直线方程为x+3y＝1，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线方程为 3x﹣y＝0 ．
【分析】由直线垂直求出△ABC的欧拉线方程的斜率，再利用直线过原点，即可得到直线方程．
【解答】解：由题意可得，△ABC的欧拉线过原点且与直线x+3y＝1垂直，
所以所求直线的斜率为3，
所以△ABC的欧拉线方程为3x﹣y＝0．
故答案为：3x﹣y＝0．
【点评】本题考查了直线方程的求法以及两条直线垂直时斜率之间的关系应用问题，正确理解题意，求出直线的斜率是解题的关键，是基础题．
16．（5分）如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体的水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面CDD1C1有一个小孔E，E点到CD的距离为3，若该正方体水槽绕CD倾斜（CD始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面CDD1C1与桌面所成的角正切值为 2 ．
【分析】由题意知，水的体积为32，设正方体水槽倾斜后，水面分别与棱AA1，BB1，CC1，DD1交于M，N，P，Q，则PC＝3，此时水的体积为SBCPN•CD，从而求得BN＝1；在平面BCC1B1内，过点C1作C1H∥NP，交BB1于H，侧面CDD1C1与桌面所成的角即侧面CDD1C1与水面MNPQ所成的角，即侧面CDD1C1与平面HC1D1所成的角，故∠HC1C即为所求，再在Rt△B1HC1中，由tan∠HC1C＝tan∠B1HC1 即可得解．
【解答】解：由题意知，水的体积为4×4×2＝32，
如图所示，设正方体水槽倾斜后，水面分别与棱AA1，BB1，CC1，DD1交于M，N，P，Q，则PC＝3，
水的体积为SBCPN•CD＝32，
∴•BC•CD＝32，即 4×4＝32，∴BN＝1．
在平面BCC1B1内，过点C1作C1H∥NP，交BB1于H，则四边形NPC1H是平行四边形，NH＝C1P＝1，
∴B1H＝BB1﹣NH﹣BN＝4﹣1﹣1＝2，
∵侧面CDD1C1与桌面所成的角即侧面CDD1C1与水面MNPQ所成的角，即侧面CDD1C1与平面HC1D1所成的角，
∴∠HC1C即为所求，而∠HC1C＝∠B1HC1，
在Rt△B1HC1中，tan∠B1HC12，
∴侧面CDD1C1与桌面所成角的正切值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查二面角的求法，将所求的角逐步转化为边长已知的直角三角形中的角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（10分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长和侧棱长都等于1，∠BAA1＝∠CAA1＝60°．
（1）设，，，用向量表示；
（2）求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值．
【分析】（1）利用空间向量的线性表示，即可用，，表示出、；
（2）利用空间向量的数量积求出、的夹角余弦值，即可求出异面直线AB1与BC1所成角的余弦值．
【解答】解：（1）因为，，，
所以，
；
（2）因为•（）•（）••12﹣12+1×1×cos60°+1×1×cos60°＝1，
2•12+2×1×1×cos60°+12＝3，所以||，
2•2•2•12+12+12﹣2×1×1×cos60°+2×1×1×cos60°﹣2×1×1×cos60°＝2，
所以||，计算cos，，
所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．
【点评】本题主要考查了空间向量基本定理，向量的数量积公式及应用问题，是基础题．
18．（12分）已知圆C经过点P（5，0）和点Q（1，4），且圆心在直线x+y＝1上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若过点（﹣1，4）的直线l与圆C相交于A，B两点，且∠ACB＝120°，求直线l的方程．
【分析】（1）由已知求出PQ的垂直平分线方程，与已知直线方程联立求得圆心C的坐标，进一步求出半径，则圆C的方程可求；
（2）由题意画出图形，可得圆心C到直线l的距离，然后分直线的斜率存在与不存在求解直线l的方程．
【解答】解：（1）∵P（5，0），Q（1，4），∴PQ的中点坐标为（3，2），
则kPQ1，则PQ的垂直平分线方程为y﹣2＝x﹣3，即x﹣y﹣1＝0．
联立，解得，
则圆C的圆心坐标为（1，0），半径为5﹣1＝4．
∴圆C的方程为（x﹣1）2+y2＝16；
（2）如图，∵圆C的半径为4，且∠ACB＝120°，过C作CD⊥AB，垂直为D，则CD＝2，
即圆心C到直线l的距离为2，
当直线l过点（﹣1，4），斜率不存在时，满足题意，此时直线l的方程为x＝﹣1；
当直线l的斜率存在时，设斜率为k，直线方程为y﹣4＝k（x+1），即kx﹣y+k+4＝0，
由2，解得k．
则直线方程为x﹣y0，即3x+4y﹣13＝0．
∴所求直线方程为x＝﹣1或3x+4y﹣13＝0．
【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
19．（12分）已知双曲线E：1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，离心率e＝2，虚轴长为2．
（1）求E的方程；
（2）过右焦点F，倾斜角为30°的直线交双曲线于A、B两点，求|AB|．
【分析】（1）由已知列关于a，b，c的方程组，求解a与b的值，则双曲线方程可求；
（2）写出直线l的方程，与双曲线方程联立，利用根与系数的关系及弦长公式求解．
【解答】解：（1）由题意，，解得．
∴E的方程为；
（2）由（1）得，F（2，0），又直线l的倾斜角为30°，∴斜率为．
则直线l的方程为y．
联立，得8x2+4x﹣13＝0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，．
∴|AB|3．
【点评】本题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°．
（1）证明：平面PCD⊥平面PAD；
（2）若PD＝2，AD＝AB＝1，∠APD＝30°，求平面ABP与平面DBP所成角的余弦值．
【分析】（1）推导出CD⊥AP，CD⊥DP，从而CD⊥平面PAD，由此能证明平面PCD⊥平面PAD．
（2）由余弦定理求出AP，从而AP⊥AD，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ABP与平面DBP所成角的余弦值．
【解答】解：（1）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°，
∴CD⊥AP，CD⊥DP，
∵AP∩DP＝P，∴CD⊥平面PAD，
∵CD⊂平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAD．
（2）设AP＝a，∵PD＝2，AD＝AB＝1，∠APD＝30°，
∴cos30°，解得a，∴AP，
∴AP2+AD2＝PD2，∴AP⊥AD，
以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
B（1，0，0），D（0，1，0），P（0，0，2），
（﹣1，1，0），（﹣1，0，2），
设平面BDP的法向量（x，y，z），
则，取x＝2，得（2，2，1），
平面ABP的法向量（0，1，0），
设平面ABP与平面DBP所成角为θ，
则平面ABP与平面DBP所成角的余弦值为：
cosθ．
【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
21．（12分）设圆x2+y2﹣2x﹣21＝0的圆心为P，点Q（），点H为圆上动点，线段HQ的垂直平分线与线段HP交于点E，设点E的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）若直线l与曲线C交于点A，B，与圆O：x2+y2＝2切于点M，问：|MA|•|MB|是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由．
【分析】（1）利用圆的方程求出圆心P和半径，根据线段垂直平分线的性质以及椭圆的定义，可得点E的轨迹是椭圆，求解方程即可；
（2）先考虑斜率不存在的情况，得到|MA|•|MB|为定值2，再考虑斜率存在的情况，将直线方程与椭圆联立，结合韦达定理进行求解，即可得到答案．
【解答】解：（1）由题意可得，半径，
又线段HQ的垂直平分线与线段HP交于点E，所以|EQ|＝|EH|，
则有|EQ|+|EP|＝|EH|+|EP|＝|HP|，
所以点E的轨迹是以P，Q为焦点，实轴长为的椭圆，
故轨迹方程为；
（2）①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，
由椭圆C的方程可知或，
则|MA|•|MB|；
②当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），
因为直线与圆O相切，所以，即m2＝2（1+k2），
联立直线l和椭圆的方程可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣6＝0，
则Δ＝（4km）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣6）＝8（4k2+1）＞0，
，
则
，
所以OA⊥OB，所以Rt△OAB中，|MA|•|MB|＝|OM|2＝2，
所以|MA|•|MB|为定值2．
【点评】本题考查了动点轨迹方程的求解，涉及了椭圆定义的应用、椭圆标准方程的求解以及直线与椭圆位置关系的应用，要掌握常见的求解轨迹的方法：直接法、定义法、代入法、交轨法、消元法等，属于中档题．
22．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，AC＝16，PA＝PC＝10，O为AC中点，H为△PBC内的动点（含边界）．
（1）求点O到平面PBC的距离；
（2）若OH∥平面PAB，求直线PH与平面ABC所成角的正弦值的取值范围．
【分析】（1）利用等体积法即可求得点O到平面PBC的距离；
（2）以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，求出平面PAB的法向量和平面PBC的法向量，由OH∥平面PAB，PH⊂PBC，可得H（x，4，3x），求出和平面ABC的法向量，求出直线PH与平面ABC所成角的正弦值，利用换元法及二次函数的性质即可求解直线PH与平面ABC所成角的正弦值的取值范围．
【解答】解：（1）在三棱锥P﹣ABC中，连接OB，OP，
因为△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，PA＝PC，O为AC中点，
所以OP⊥OC，OB⊥OC，
又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，OP⊂平面PAC，
所以OP⊥平面ABC，又OB⊂平面ABC，
所以OP⊥OB，所以OB，OC，OP两两垂直，
VO﹣PBC＝VP﹣OBC•PO•S△OBC（）2＝64．
又S△PBC•BC•88，
所以d，
所以点O到就平面PBC的距离为．
（2）在三棱锥P﹣ABC中，OB，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，
则O（0，0，0），P（0，0，6），A（0，﹣8，0），C（0，8，0），B（8，0，0），
设H（x，y，z），则（x，y，z），
（x，y，z﹣6），（0，﹣8，﹣6），（8，0，﹣6），（0，8，﹣6），
设平面PAB的法向量为（x1，y1，z1），
则，即，不妨令y1＝﹣3，则（3，﹣3，4），
同理可求得平面PBC的法向量（3，3，4）．
因为OH∥平面PAB，PH⊂PBC，
所以，解得H（x，4，3），
又，所以0≤x≤4，所以（x，4，﹣3x），
又OP⊥平面ABC，所以（0，0，1）是平面ABC的一个法向量，
设直线PH与平面ABC所成角为θ，
则sinθ＝|cos|，
令t1，t∈[1，2]，∈[，1]，
所以sinθ，
令f（）••1，
所以f（）∈[，1]．所以∈[1，]，
所以sinθ∈[，]，
所以直线PH与平面ABC所成角的正弦值的取值范围为[，]．
【点评】本题主要考查点到平面的距离的求法，直线与平面所成的角，考查转化思想与函数思想的应用，考查运算求解能力，属于难题．
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