2021-2022学年福建省福州市八县（市）一中高二（上）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年福建省福州市八县（市）一中高二（上）期中数学试卷，共22页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）直线l：x﹣3y+1＝0的倾斜角为（ ）
A．0B．C．D．
2．（5分）两圆x2+（y﹣2）2＝1和（x+2）2+（y+1）2＝16的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．内切D．外切
3．（5分）已知（1，﹣1，2），（﹣1，m，n），若λ，则实数m，n的值分别是（ ）
A．1，﹣2B．﹣1，﹣2C．1，2D．﹣1，2
4．（5分）已知直线l1：2x+ay+2＝0与直线l2：（a﹣1）x+3y+2＝0平行，则a＝（ ）
A．3B．﹣2C．﹣2或3D．5
5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为．过F1的直线L交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程（ ）
A．B．
C．D．
6．（5分）在各棱长均相等的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知M是BB1的中点，N是棱AC的中点，则异面直线A1M与BN所成角的正弦值为（ ）
A．B．1C．D．
7．（5分）过点P（1，2）引直线，使A（3，2），B（4，﹣5）两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（ ）
A．7x+y﹣9＝0B．7x+5y﹣17＝0
C．7x+y﹣9＝0或7x+5y﹣17＝0D．7x+y﹣9＝0或7x﹣5y+3＝0
8．（5分）直线x0经过椭圆的右焦点F，交椭圆1（a＞b＞0）于P，Q两点，交y轴于C点，若，则该椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，漏选得2分，错选得0分）
（多选）9．（5分）若{，，}是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（ ）
A．{，2，3}B．{，，}
C．{2，23，39}D．{，，}
（多选）10．（5分）下列结论正确的有（ ）
A．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，恰有一个黑球与至少有一个红球是互斥事件
B．在标准大气压下，水在4℃时结冰为随机事件
C．若一组数据1，a，2，4的众数是2，则这组数据的平均数为
D．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为400的样本进行调查．若该校一、二、三、四年级本科生人数之比为6：5：5：4，则应从四年级中抽取80名学生
（多选）11．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，给出下列命题，其中正确的命题为（ ）
A．若A＞B＞C，则sinA＞sinB＞sinC
B．若a＝40，b＝20，B＝25°，则满足条件的△ABC有两个
C．若0＜tanAtanB＜1，则△ABC是锐角三角形
D．存在角A，B，C，使得tanAtanBtanC＜tanA+tanB+tanC成立
（多选）12．（5分）如图①，矩形ABCD的边，设AD＝x，x＞0，三角形ABE为等边三角形，沿AB将三角形ABE折起，构成四棱立E﹣ABCD如图②，则下列说法正确的有（ ）
A．若M为AB中点，则在线段EB上存在点P，使得PC∥平面EDM
B．当时，则在翻折过程中，不存在某个位置满足平面ECD⊥平面ABCD
C．若使点E在平面ABCD内的射影落在线段DC上，则此时该四棱锥的体积最大值为
D．若，且当点E在平面ABCD内的射影点H落在线段DC上时，三棱锥E﹣HAD的外接球半径与内切球半径的比值为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．（5分）过点P（﹣1，3）且垂直于直线x﹣2y+3＝0的直线方程为 ．
14．（5分）已知向量，（2，n﹣4），m＞0，n＞0，若，则的最小值为 ．
15．（5分）已知F1，F2分别是椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右焦点，若椭圆外存在一点P，满足•0，则椭圆C的离心率e的取值范围是 ．
16．（5分）已知点P为棱长等于4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1内部一动点，且，则的值达到最小时，与夹角的余弦值为 ．
四、解答题（本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ccsB+bcsC＝3acsB．
（1）求csB的值；
（2）若2，△ABC的面积为，求边b．
18．（12分）已知直线l过点M（3，2）．
（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；
（2）若l与x轴正半轴的交点为A，与y轴正半轴的交点为B，求△AOB（O为坐标原点）面积的最小值．
19．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，△ABS是正三角形，四边形ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝120°，点E是BS的中点．
（1）求证：SD∥平面ACE；
（2）若平面ABS⊥平面ABCD，求点E到平面ASD的距离．
20．（12分）已知圆C：（x+2）2+y2＝5，直线l：mx﹣y+1+2m＝0，m∈R．
（1）判断直线与圆的位置关系，并说明理由；
（2）若直线l与圆C相交于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程．
21．（12分）如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC，PA＝PC＝AC＝2，BC＝4，E，F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l．
（Ⅰ）求证：直线l⊥平面PAC；
（Ⅱ）直线l上是否存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余？若存在，求出|AQ|的值；若不存在，请说明理由．
22．（12分）已知椭圆1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），离心率为，点M在椭圆上且位于第二象限，直线FM被圆x2+y2截得的线段的长为c，
（Ⅰ）求直线FM的斜率；
（Ⅱ）当|FM|时，
（1）求该椭圆的方程；
（2）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率小于，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围．
2021-2022学年福建省福州市八县（市）一中高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）直线l：x﹣3y+1＝0的倾斜角为（ ）
A．0B．C．D．
【分析】由两点式求出直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求得直线的倾斜角．
【解答】解：设直线l的倾斜角为α，
则由直线知，k．
所以tanα．
所以α．
故选：B．
【点评】本题考查了直线斜率的求法，考查了斜率和倾斜角的关系，是基础题．
2．（5分）两圆x2+（y﹣2）2＝1和（x+2）2+（y+1）2＝16的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．内切D．外切
【分析】根据题意，由两圆的方程分析圆的圆心以及半径，进而求出圆心距，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，圆x2+（y﹣2）2＝1，其圆心为（0，2），半径r1＝1；
圆（x+2）2+（y+1）2＝16，其圆心为（﹣2，﹣1），半径r2＝4；
则两圆的圆心距d，
有|r1﹣r2|＜d＜|r1+r2|，故两圆相交；
故选：B．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系的判断，属于基础题．
3．（5分）已知（1，﹣1，2），（﹣1，m，n），若λ，则实数m，n的值分别是（ ）
A．1，﹣2B．﹣1，﹣2C．1，2D．﹣1，2
【分析】根据空间向量共线的坐标表示，列方程求出m、n的值．
【解答】解：（1，﹣1，2），（﹣1，m，n），
若λ，则，
解得m＝1，n＝﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查了空间向量共线的坐标表示应用问题，是基础题．
4．（5分）已知直线l1：2x+ay+2＝0与直线l2：（a﹣1）x+3y+2＝0平行，则a＝（ ）
A．3B．﹣2C．﹣2或3D．5
【分析】直接利用两直线的位置关系的应用求出a 的值．
【解答】解：直线l1：2x+ay+2＝0与直线l2：（a﹣1）x+3y+2＝0平行，
则2•3﹣（a﹣1）a＝0，解得a＝﹣2或3，
当a＝3时，两直线重合，故舍去，
故a＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：两直线位置关系的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为．过F1的直线L交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据题意，设椭圆的标准方程为：1（a＞b＞0），由椭圆的离心率公式可得，又由△ABF2的周长为16，分析可得a的值，解可得c的值，由椭圆的几何性质可得b的值，将a、b的值代入椭圆方程即可得答案．
【解答】解：根据题意，设椭圆的标准方程为：1（a＞b＞0），
椭圆的离心率为，则有e，
又由△ABF2的周长为16，则有4a＝|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|＝16，即a＝4，
又由e，即 ，解可得c＝2，
则b2＝a2﹣c2＝42﹣（2）2＝4，
则椭圆的方程为：1．
故选：D．
【点评】本题考查椭圆的定义与简单的几何性质的应用，解题时注意△ABF2的周长即4a．
6．（5分）在各棱长均相等的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知M是BB1的中点，N是棱AC的中点，则异面直线A1M与BN所成角的正弦值为（ ）
A．B．1C．D．
【分析】设棱长为2，以A为坐标原点，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标，进而得到，的坐标，设异面直线A1M与BN所成角为θ，
再利用向量的数量积求出csθ，从而求出结果．
【解答】解：如图，在各棱长均相等的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，设棱长为2，以A为坐标原点，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则A1（0，0，2），M（，1，1），B（，1，0），N（0，1，0），
∴（，1，﹣1），（，0，0），
设异面直线A1M与BN所成角为θ，
则csθ，
∴sinθ，
故选：D．
【点评】本题主要考查了向量法求异面直线所成的角，是基础题．
7．（5分）过点P（1，2）引直线，使A（3，2），B（4，﹣5）两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（ ）
A．7x+y﹣9＝0B．7x+5y﹣17＝0
C．7x+y﹣9＝0或7x+5y﹣17＝0D．7x+y﹣9＝0或7x﹣5y+3＝0
【分析】当所求直线的斜率不存在时，直线方程为x＝1，不成立；当所求直线的斜率存在时，设所求直线方程为kx﹣y+2﹣k＝0，A（3，2），B（4，﹣5）两点到直线的距离相等，得，由此能求出所求直线方程．
【解答】解：当所求直线的斜率不存在时，直线方程为x＝1，不成立；
当所求直线的斜率存在时，设所求直线方程为y﹣2＝k（x﹣1），即kx﹣y+2﹣k＝0，
∵A（3，2），B（4，﹣5）两点到直线的距离相等，
∴，
整理得5k2+42k+49＝0，解得k＝﹣7或k．
∴所求直线方程为﹣7x﹣y+2+7＝0或0，
整理得7x+y﹣9＝0或7x+5y﹣17＝0．
故选：C．
【点评】本题考查直线方程的求法，考查直线方程、点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
8．（5分）直线x0经过椭圆的右焦点F，交椭圆1（a＞b＞0）于P，Q两点，交y轴于C点，若，则该椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】求出直线与x轴的交点得F（，0），y轴的交点C（0，﹣1），设A（x，y），由，求出P的坐标，再求出2a，可得离心率．
【解答】解：在直线x0中令y＝0，得x，
所以椭圆的c，F（，0），令x＝0，得y＝﹣1，所以C（0，﹣1），c，
设P（x，y），
因为，所以（x，y）＝3（x，y+1），
所以P（，），
所以2a3，
所以e，
故选：D．
【点评】本题考查直线与椭圆的关系，及求椭圆的离心率，属中档题．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，漏选得2分，错选得0分）
（多选）9．（5分）若{，，}是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（ ）
A．{，2，3}B．{，，}
C．{2，23，39}D．{，，}
【分析】利用空间中基底的含义，利用空间向量共面定理依次判断四个选项，即可得到答案．
【解答】解：因为{，，}是空间的一个基底，则，，不共面，
所以选项A中的三个向量，2，3不共面，
故选项A正确；
对于B，假设，，共面，则存在λ，μ使得λ（）+μ（），
整理可得（1﹣μ）（1﹣λ）（λ+μ），
所以1﹣μ＝1﹣λ＝λ+μ＝0，无解，
则，，不共面，
故选项B正确，
同理可得，选项D正确；
对于C，因为，
所以2，23，39共面，
则{2，23，39}不能构成空间的一个基底，
故选项C错误．
故选：ABD．
【点评】本题考查了空间向量基本定理的应用，基底的理解与应用，空间向量共面定理的理解与应用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．
（多选）10．（5分）下列结论正确的有（ ）
A．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，恰有一个黑球与至少有一个红球是互斥事件
B．在标准大气压下，水在4℃时结冰为随机事件
C．若一组数据1，a，2，4的众数是2，则这组数据的平均数为
D．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为400的样本进行调查．若该校一、二、三、四年级本科生人数之比为6：5：5：4，则应从四年级中抽取80名学生
【分析】对于A，结合互斥事件的定义，即可求解，对于B，结合随机事件，不可能事件的定义，即可求解，对于C，结合众数的定义，以及平均数公式，即可求解，对于D，结合分层抽样的定义，即可求解．
【解答】解：对于A，从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，
恰有1个黑球是：一黑一红，至少有一个红球是：一黑一红和两红，
两个事件可以同时发生，故不是互斥事件，故A错误，
对于B，在标准大气压下，水在4℃时结冰为不可能事件，故B错误，
对于C，若一组数据1，a，2，4的众数是2，则a＝2，
则这组数据的平均数为，故C正确，
对于D，∵该校一、二、三、四年级本科生人数之比为6：5：5：4，
∴应从四年级中抽取学生人数为，故D正确．
故选：CD．
【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，需要学生较强的综合能力，属于基础题．
（多选）11．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，给出下列命题，其中正确的命题为（ ）
A．若A＞B＞C，则sinA＞sinB＞sinC
B．若a＝40，b＝20，B＝25°，则满足条件的△ABC有两个
C．若0＜tanAtanB＜1，则△ABC是锐角三角形
D．存在角A，B，C，使得tanAtanBtanC＜tanA+tanB+tanC成立
【分析】利用正弦定理即可判断选项A；由40sin25°＜40sin30°＝20，可得满足条件的△ABC有两个，即可判断选项B；由0＜tanAtanB＜1 可得，A，B都是锐角，故tanA和tanB都是正数，可得 tan（A+B）＞0，故A+B为锐角，C为钝角，由此能判断C；当C时，﹣tanC＝tan（A+B），化简整理即可判断选项D．
【解答】解：对于A，若A＞B＞C，则a＞b＞c，
由正弦定理可得，则sinA＞sinB＞sinC，故A正确；
对于B，∵a＝40，b＝20，B＝25°，∴40sin25°＜40sin30°＝20，
∴满足条件的△ABC有两个，故B正确；
对于C，由△ABC中，A，B，C为三个内角，
若0＜tanAtanB＜1，可得A，B都是锐角，故tanA和tanB都是正数，
∴tan（A+B）0，故A+B为锐角．
由三角形内角和为180°可得C为钝角，故△ABC是钝角三角形，故C错误；
对于D，由于当C时，﹣tanC＝tan（A+B），
可得tanAtanBtanC＝tanA+tanB+tanC，故D错误．
故选：AB．
【点评】本题考查了命题真假的判断，正弦定理、余弦定理、两角和差的正切公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
（多选）12．（5分）如图①，矩形ABCD的边，设AD＝x，x＞0，三角形ABE为等边三角形，沿AB将三角形ABE折起，构成四棱立E﹣ABCD如图②，则下列说法正确的有（ ）
A．若M为AB中点，则在线段EB上存在点P，使得PC∥平面EDM
B．当时，则在翻折过程中，不存在某个位置满足平面ECD⊥平面ABCD
C．若使点E在平面ABCD内的射影落在线段DC上，则此时该四棱锥的体积最大值为
D．若，且当点E在平面ABCD内的射影点H落在线段DC上时，三棱锥E﹣HAD的外接球半径与内切球半径的比值为
【分析】对于A，延长DM交CB的延长线于点N，此时CP与EN必相交，对于B，取CD的中点H，表示出EH，验证当时无解，对于C，利用体积公式Vx结合基本不等式即可求出V的最大值，对于D，先确定外接球的球心位置，进而求出外接球的半径，再利用等体积法求出内切球的半径，即可求出比值．
【解答】解：对于选项A，如图，延长DM交CB的延长线于点N，
则平面EDM∩平面ECB＝EN，
此时CP与EN必有交点，则CP与平面EDM相交，故选项A错误，
对于选项B：取CD的中点H，连接EH，HM，EM，则EH⊥CD，
若平面ECD⊥平面ABCD，则有EH⊥平面ABCD，
∴EH⊥HM，∴EH，
当时，无解，
所以在翻折过程中，不存在某个位置满足平面ECD⊥平面ABCD，故选项B正确，
对于选项C：由题意可知，此时平面ECD⊥平面ABCD，由B可知x∈（0，3），
∴四棱锥的体积Vx3，
当且仅当x2＝9﹣x2即x时，等号成立，故选项C正确，
对于选项D：由题意可知，此时平面ECD⊥平面ABCD，且EH，
∵△DHA，△EHA都是直角三角形，
∴三棱锥E﹣HAD的外接球的球心为EA的中点P，∴外接球的半径R，
设三棱锥E﹣HAD的内切球的半径为r，由等体积法可得，
∴r，
∴，故选项D正确，
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了空间中线面和面面的位置关系，考查了利用基本不等式求最值，同时考查了三棱锥的外接球和内切球问题，综合性较强，属于中档题．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．（5分）过点P（﹣1，3）且垂直于直线x﹣2y+3＝0的直线方程为 2x+y﹣1＝0 ．
【分析】设与直线x﹣2y+3＝0垂直的直线的方程为 2x+y+c＝0，把点P（﹣1，3）的坐标代入求出c值，即得所求的直线的方程．
【解答】解：设所求的直线方程为2x+y+c＝0，把点P（﹣1，3）的坐标代入得﹣2+3+c＝0，
∴c＝﹣1，
故所求的直线的方程为2x+y﹣1＝0，
故答案为2x+y﹣1＝0．
【点评】本题考查利用待定系数法求直线的方程，与 ax+by+c＝0 垂直的直线的方程为 bx﹣ay+m＝0的形式．
14．（5分）已知向量，（2，n﹣4），m＞0，n＞0，若，则的最小值为 2 ．
【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，基本不等式，求得的最小值．
【解答】解：∵向量，（2，n﹣4），m＞0，n＞0，若，
则2m+n﹣4＝0，求得2m+n＝4，即1，
∴11+22，
当且仅当时，即n＝2m＝2时，等号成立，
故的最小值为 2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，基本不等式的应用，属于基础题．
15．（5分）已知F1，F2分别是椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右焦点，若椭圆外存在一点P，满足•0，则椭圆C的离心率e的取值范围是 （，1） ．
【分析】由题意可知：△PF1F2是以P为直角顶点的直角三角形，则丨丨2+丨丨2＝丨丨2，由（丨丨+丨丨）2≤2（丨丨2+丨丨2）＝2丨丨2＝8c2，e，由0＜e＜1，即可求得椭圆C的离心率e的取值范围．
【解答】解：椭圆上存在点使•0，
∴⊥，
∴△PF1F2是以P为直角顶点的直角三角形，
∵丨丨+丨丨＝2a，丨丨＝2c，
椭圆的离心率e，
由（丨丨+丨丨）2≤2（丨丨2+丨丨2）＝2丨丨2＝8c2，
∴e，
由0＜e＜1
∴该椭圆的离心率的取值范围是（，1），
故答案为（，1）．
【点评】本题考查椭圆的标准的标准方程及简单几何性质，考查基本不等式的应用，属于中档题．
16．（5分）已知点P为棱长等于4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1内部一动点，且，则的值达到最小时，与夹角的余弦值为 0 ．
【分析】以D为原点，DA、DC、DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设P（x，y，z），利用坐标表示|PAl＝4，则点P的轨迹是以A为球心，4为半径的球面一部分，计算的值，它表示点P到点M（0，2，4）的距离的平方再减去1，
从而求得的值达到最小时PM的值，根据因为PM，所以有PD1⊥PC1，即与夹角的余弦值为0．
【解答】解：以D为原点，DA、DC、DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
如图所示，
由棱长为4，得A（4，0，0），C1（0，4，4），D1（0，0，4），
设P（x，y，z），
由，
即（x﹣4）2+y2+z2＝16，（1），
所以点P的轨迹是以A为球心，以4为半径的球面的 一部分，
又，，
所以x2+（y﹣2）2+（z﹣4）2﹣4，（2）
它表示点P 到点M（0，2，4）的距离的平方再减去4，
由图形知，当P为AM与（1）所在的球面交点时，
的值达到最小，
此时AM＝6，AP＝4，
所以PM＝6﹣4＝2，
因为PM，
所以有PD1⊥PC1，
即与夹角的余弦值为0，
故答案为：0．
【点评】本题考查了空间直角坐标系与空间向量的应用问题，是较难的题目．
四、解答题（本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ccsB+bcsC＝3acsB．
（1）求csB的值；
（2）若2，△ABC的面积为，求边b．
【分析】（1）直接利用余弦定理的变换求出B的余弦值．
（2）利用（1）的结论首先求出sinB的值，进一步利用平面向量的模的运算求出c，再利用三角形的面积公式求出a，最后利用余弦定理的应用求出结果．
【解答】解：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ccsB+bcsC＝3acsB．
则：3a，
整理得：，
所以：；
（2）由于csB，B∈（0，π），
所以：sinB，
在△ABC中，由于：2，
则：，
即：c＝2．
由于△ABC的面积为2，
所以：，
解得：a＝3，
故：b2＝a2+c2﹣2accsB
＝4+99，
解得：b＝3．
【点评】本题考查的知识要点：平面向量的模的运算的应用，余弦定理和三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
18．（12分）已知直线l过点M（3，2）．
（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；
（2）若l与x轴正半轴的交点为A，与y轴正半轴的交点为B，求△AOB（O为坐标原点）面积的最小值．
【分析】（1）对截距分类讨论，利用点斜式与截距式即可得出直线l的方程．
（2）设A（a，0），B（0，b），a，b＞0，可得直线l的方程为：1，把点M（3，2）代入方程，利用基本不等式可得ab的最小值，进而得出△AOB面积的最小值．
【解答】解：（1）当直线l经过原点时，可得直线方程为：yx，即2x﹣3y＝0．
当直线l不经过原点时，可设直线方程为：x+y＝a，
把点M（3，2）代入可得：3+2＝a，解得a＝5，即方程为x+y﹣5＝0，
∴直线l的方程为：2x﹣3y＝0，或x+y﹣5＝0．
（2）设A（a，0），B（0，b），a，b＞0，
∴直线l的方程为：1，
把点M（3，2）代入方程可得：1，
∴1≥2，化为：ab≥24，当且仅当a＝6，b＝4时取等号．
∴△AOB（O为坐标原点）面积Sab24＝12．
∴△AOB（O为坐标原点）面积的最小值为12．
【点评】本题考查了点斜式与截距式、基本不等式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
19．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，△ABS是正三角形，四边形ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝120°，点E是BS的中点．
（1）求证：SD∥平面ACE；
（2）若平面ABS⊥平面ABCD，求点E到平面ASD的距离．
【分析】（1）连接BD交AC于F，利用中位线易得EF∥SD，进而利用线面平行的判定定理即可证明；
（2）取AB中点O，利用面面垂直得DO⊥平面ABS，从而可求得VD﹣AES，利用等体积法即可求解点E到平面ASD的距离．
【解答】（1）证明：在四棱锥S﹣ABCD中，连接BD交AC于F，则F为BD中点，
连接EF，又E为BS中点，∴EF∥SD，
又SD不在平面ACE内，EF⊂平面ACE，∴SD∥平面ACE．
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，且∠ABC＝120°，∴△ABD为正三角形，
取AB中点的O，连接OD，OS，则OD⊥AB，
∵平面ABS⊥平面ABCD，平面ABS⋂平面ABCD＝AB，∴OD⊥平面ABS，
∵△ABD，△ABS均是正三角形，AB＝2，易得，，
∴．
易得，由OD⊥OS，∴，
取DS的中点M，连接AM，因为AD＝AS＝2，∴AM⊥DS，
∴，可得，
设点E到平面ASD的距离为h，∴，
解得，即点E到平面ASD的距离为．
【点评】本题主要考查线面平行的证明，点面距离的计算，等体积法的应用等知识，属于中等题．
20．（12分）已知圆C：（x+2）2+y2＝5，直线l：mx﹣y+1+2m＝0，m∈R．
（1）判断直线与圆的位置关系，并说明理由；
（2）若直线l与圆C相交于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程．
【分析】（1）求出圆C的圆心和半径，运用点到直线的距离公式，结合不等式的性质，即可判断直线与圆的位置关系；
（2）设中点为M（x，y），讨论直线CM的斜率是否存在，运用垂径定理，即可得到中点M的轨迹方程．
【解答】解：（1）圆 C：（x+2）2+y2＝5 的圆心为 C（﹣2，0），半径为 ，
所以圆心C到直线l：mx﹣y+1+2m＝0 的距离
d，
所以直线l与圆C相交．
（2）设M点坐标为M（x，y），
因为直线l：mx﹣y+1+2m＝0 恒过定点 （﹣2，1），
当直线CM的斜率存在时，，又，
∵kAB•kAC＝﹣1，∴，
化简得①，
当直线CM的斜率不存在时，则直线CM的方程为x＝﹣2，
此时中点M（﹣2，1），满足①式，
所以弦AB的中点M的轨迹方程为（y≠0）．
【点评】本题考查轨迹方程的求法，直线和圆的位置关系，以及分类讨论思想方法，考查运算能力和推理能力，属于中档题．
21．（12分）如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC，PA＝PC＝AC＝2，BC＝4，E，F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l．
（Ⅰ）求证：直线l⊥平面PAC；
（Ⅱ）直线l上是否存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余？若存在，求出|AQ|的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（Ⅰ）利用三角形中位线定理推导出BC∥面EFA，从而得到BC∥l，再由已知条件推导出BC⊥面PAC，由此证明l⊥面PAC．
（2）以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，过C垂直于面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线l上存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余，|AQ|＝1．
【解答】（Ⅰ）证明：∵E，F分别是PB，PC的中点，∴BC∥EF，
又EF⊂平面EFA，BC不包含于平面EFA，
∴BC∥面EFA，
又BC⊂面ABC，面EFA∩面ABC＝l，
∴BC∥l，
又BC⊥AC，面PAC∩面ABC＝AC，
面PAC⊥面ABC，∴BC⊥面PAC，
∴l⊥面PAC．
（2）解：以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，
过C垂直于面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
A（2，0，0），B（0，4，0），P（1，0，），
E（），F（），
，，
设Q（2，y，0），面AEF的法向量为，
则，
取z，得，，
|cs|，
|cs|，
依题意，得|cs|＝|cs|，
∴y＝±1．
∴直线l上存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余，|AQ|＝1．
【点评】本题考查直线与平面垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
22．（12分）已知椭圆1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），离心率为，点M在椭圆上且位于第二象限，直线FM被圆x2+y2截得的线段的长为c，
（Ⅰ）求直线FM的斜率；
（Ⅱ）当|FM|时，
（1）求该椭圆的方程；
（2）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率小于，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围．
【分析】（Ⅰ）由已知可得，得到a2＝3c2，b2＝2c2，设直线FM的斜率为k（k＜0），则FM的方程为y＝k（x﹣c），利用点到直线的距离公式及垂径定理列式求解k；
（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）得椭圆方程为，直线FM的方程为y，联立求解M坐标，再由|FM|解得c，可得椭圆方程；
（2）设P（x，y），直线FP的斜率为t，得t，即y＝t（x﹣2）（x≠2），与椭圆方程联立求得t，解得0＜x＜2或2＜x＜3．设直线OP的斜率为m，得m，即y＝mx（x≠0），与椭圆方程联立可得，然后对x分段求解m的取值范围得答案．
【解答】解：（Ⅰ）由已知可得，，
又a2＝b2+c2，∴a2＝3c2，b2＝2c2，
设直线FM的斜率为k（k＜0），则FM的方程为y＝k（x﹣c），
由已知有，解得k；
（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）得椭圆方程为，直线FM的方程为y，
联立两个方程，可得3x2﹣2cx﹣5c2＝0，解得x或x＝﹣c．
∵点M在第二象限，可得M的坐标为（﹣c，），
由|FM|，解得c＝2．
∴椭圆方程为；
（2）设P（x，y），直线FP的斜率为t，得t，即y＝t（x﹣2）（x≠2）．
联立，得2x2+3t2（x﹣2）2＝24，
又由已知，得t，解得0＜x＜2或2＜x＜3．
设直线OP的斜率为m，得m，即y＝mx（x≠0），与椭圆方程联立，
整理可得，
当x∈（0，2）时，有y＝t（x﹣2）＞0，因此m＞0，于是m，
得m∈（，+∞）；
当x∈（2，3）时，有y＝t（x﹣2）＜0，因此m＜0，于是m，
得m∈．
综上所述，直线OP的斜率的取值范围是∪（，+∞）．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，属难题．
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