2021-2022学年福建省福州市八校联考高二（上）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年福建省福州市八校联考高二（上）期中数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）椭圆的焦距是2，则m的值为（ ）
A．6B．9C．6或4D．9或1
2．（5分）若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则（ ）
A．l∥αB．l⊥α
C．l⊂αD．l与α相交但不垂直
3．（5分）已知直线l1：（a﹣1）x+2y+1＝0与直线l2：3x+ay﹣1＝0平行，则a等于（ ）
A．3或﹣2B．﹣2C．3D．2
4．（5分）方程化简的结果是（ ）
A．B．
C．D．
5．（5分）圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝6截直线l：（a+1）x﹣y﹣a+1＝0的最短弦长为（ ）
A．2B．C．4D．8
6．（5分）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在地为点B（﹣2，3），若将军从点A（2，0）处出发，河岸线所在直线方程为x+y＝3，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）已知椭圆x2的左、右焦点分别为F1、F2，点M是椭圆上一点，点A是线段F1F2上一点，且∠F1MF2＝2∠F1MA，|MA|，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）已知圆M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线l：2x+y+2＝0，P为l上的动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B，则|PM||AB|的最小值为（ ）
A．4B．2C．3D．5
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
（多选）9．（5分）下列命题中，正确的有（ ）
A．分别是平面α，β的法向量，若α∥β，则
B．分别是平面α，β的法向量，若，则α⊥β
C．是平面α的法向量，是直线l的方向向量，若，则l∥α
D．是平面α的法向量，是直线l的方向向量，若，120°，则l与平面α所成角为60°
（多选）10．（5分）将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，则下列结论正确的是（ ）
A．AC⊥BD
B．△ACD是等边三角形
C．AB与平面BCD所成的角为90°
D．AB与CD所成的角为30°
（多选）11．（5分）下列结论错误的是（ ）
A．过点A（1，3），B（﹣3，1）的直线的倾斜角为30°
B．若直线2x﹣3y+6＝0与直线ax+y+2＝0垂直，则a
C．直线x+2y﹣4＝0与直线2x+4y+1＝0之间的距离是
D．已知A（2，3），B（﹣1，1），点P在x轴上，则|PA|+|PB|的最小值是5
（多选）12．（5分）已知O为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，长轴长为，焦距为2c，点P在椭圆C上且满足|OP|＝|OF1|＝|OF2|＝c，直线PF2与椭圆C交于另一个点Q，若，点M在圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为
B．△MF1F2面积的最大值为
C．
D．圆G在椭圆C的内部
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．（5分）已知两个不同平面的法向量分别是，，则这两个平面的位置关系是 ．
14．（5分）过点P（﹣1，3），与直线垂直的直线方程为 ．
15．（5分）设点P是直线3x﹣4y+7＝0上的动点，过点P引圆（x﹣1）2+y2＝r2（r＞0）的切线PA，PB（切点为AB），若∠APB的最大值为 ，则该圆的半径r等于 ．
16．（5分）已知椭圆C1：与圆C2：x2+y2＝9，若在圆x2+y2＝9上任意一点P作圆的切线交椭圆于A，B两点，使得（O为坐标原点），则椭圆C1的离心率的值是 ．
四、解答题（本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．在①过点；②椭圆长半轴为a，短半轴为b，且；③长轴长为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率，且_____．
（1）求椭圆的方程；
（2）过右焦点F的直线l交椭圆于P，Q两点．当直线l的倾斜角为时，求△POQ的面积．
18．已知圆C：x2+y2﹣8x+12＝0，直线l：x+ay+2a＝0．
（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；
（2）当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2时，求直线l的方程．
19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，△PAB为正三角形，ABCD为正方形，平面PAB⊥平面ABCD，E、F分别为AC、BP中点．
（1）证明：EF∥平面PCD；
（2）求直线BP与平面PAC所成角的正弦值．
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD，O为BD的中点，BD＝4，PB＝PC＝PD．
（1）证明：OP⊥平面ABCD；
（2）若BC＝CD，求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．
21．已知圆C经过点，及（3，0）．经过坐标原点O的斜率为k的直线l与圆C交于M，N两点．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若点P（﹣3，0），分别记直线PM、直线PN的斜率为k1，k2，求k1+k2的值．
22．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（2，1）．
（1）求C的方程；
（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
2021-2022学年福建省福州市八校联考高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）椭圆的焦距是2，则m的值为（ ）
A．6B．9C．6或4D．9或1
【分析】当焦点坐标在x轴时，，当焦点坐标在y轴时，c，由此能得到实数m的值．
【解答】解：∵2c＝2，∴c＝1．
当焦点坐标在x轴时，
，
∴m＝6．
当焦点坐标在y轴时，
c，
∴m＝4．
由此知，m＝4或6．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的性质和应用，解题时要注意公式的合理选用．
2．（5分）若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则（ ）
A．l∥αB．l⊥α
C．l⊂αD．l与α相交但不垂直
【分析】利用向量的坐标关系，得到，根据共线向量定理，可得∥，进一步得出结论．
【解答】解：因为直线l的方向向量为（1，﹣2，3），平面α的一个法向量为（﹣2，4，﹣6），
所以，故∥，所以l⊥α．
故选：B．
【点评】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，空间向量的坐标表示、空间向量共线定理的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．
3．（5分）已知直线l1：（a﹣1）x+2y+1＝0与直线l2：3x+ay﹣1＝0平行，则a等于（ ）
A．3或﹣2B．﹣2C．3D．2
【分析】由题意根据两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求得a的值．
【解答】解：∵直线l1：（a﹣1）x+2y+1＝0与直线l2：3x+ay﹣1＝0平行，
∴，求得a＝3，
故选：C．
【点评】本题主要考查两直线平行的性质，两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，属于基础题．
4．（5分）方程化简的结果是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据方程得出它表示的几何意义是椭圆，从而求出方程化简的结果是椭圆的标准方程．
【解答】解：∵方程，
表示平面内到定点F1（0，﹣2）、F2（0，2）的距离的和是常数10（10＞4）的点的轨迹，
∴它的轨迹是以F1、F2为焦点，长轴2a＝10，焦距2c＝4的椭圆；
∴a＝5，c＝2，b；
∴椭圆的方程是1，即为化简的结果．
故选：D．
【点评】本题考查了椭圆的定义问题，解题时应根据题意得出方程表示的几何意义是什么，从而得到化简的结果，是基础题．
5．（5分）圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝6截直线l：（a+1）x﹣y﹣a+1＝0的最短弦长为（ ）
A．2B．C．4D．8
【分析】首先确定直线过定点，然后结合圆的性质即可求得最短弦长．
【解答】解：直线方程即：a（x﹣1）+（x﹣y+1）＝0，
据此可知直线恒过定点P（1，2），
则，
结合圆的几何性质可知其最短弦长为：．
故选：C．
【点评】本题主要考查直线恒过定点，圆的几何性质，圆中的最短弦长等知识，属于中等题．
6．（5分）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在地为点B（﹣2，3），若将军从点A（2，0）处出发，河岸线所在直线方程为x+y＝3，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用点关于点的对称点的求法，求出点A关于直线x+y＝3的对称点A'，由三点共线取得最小值，结合两点间距离公式求解即可．
【解答】解：由题意可知，点A（2，0），
则点A（2，0）关于直线x+y＝3的对称点为A'（a，b），
则，解得a＝3，b＝1，
故A'（3，1），
又军营所在地为点B（﹣2，3），
所以“将军饮马”的最短总路程为|A'B|．
故选：C．
【点评】本题考查了直线在实际生活中的应用，点关于直线的对称点的求解，两点间斜率公式以及两点间距离公式的应用，两条直线垂直的充要条件的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
7．（5分）已知椭圆x2的左、右焦点分别为F1、F2，点M是椭圆上一点，点A是线段F1F2上一点，且∠F1MF2＝2∠F1MA，|MA|，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用余弦定理，结合三角形的面积转化求解椭圆的几何量，然后求解离心率即可．
【解答】解：设|MF1|＝r1，|MF2|＝r2，则r1+r2＝2a＝2，
由余弦定理得|F1F2|2＝|MF1|2+|MF2|2﹣2|MF1||MF2|cs，
即4c2r1r2＝（r1+r2）2﹣r1r2＝4﹣r1r2，
所以r1r2＝4﹣4c2，
因为，
所以r1r2sinr1⋅|MA|⋅sinr2⋅|MA|⋅sin，
整理得r1r2＝（r1+r2）⋅|MA|，即4﹣4c2＝2，整理得c2，
所以c，a＝1，e．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
8．（5分）已知圆M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线l：2x+y+2＝0，P为l上的动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B，则|PM||AB|的最小值为（ ）
A．4B．2C．3D．5
【分析】|PM||AB|最小值满足四边形PAMB的面积最小，可转化为动点P到点M的距离最小值，即可求解．
【解答】解：∵圆M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，
∴（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，即圆心为（1，1），半径为2，
如图所示，
连接AM，BM，四边形PAMB的面积为，
要使|PM||AB|最小，
则只需PAMB的面积最小，即只需△PAM的面积最小，
∵|AM|＝2，
∴只需|PA|最小，
|PM|，
所以只需直线2x+y+2＝0上的动点P到点M的距离最小，其最小值是圆心到直线的距离d，
此时PM⊥l，|PA|＝1，
则此时四边形PAMB的面积为2，即|PM||AB|的最小值为4．
故选：A．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的能力，属于中档题．
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
（多选）9．（5分）下列命题中，正确的有（ ）
A．分别是平面α，β的法向量，若α∥β，则
B．分别是平面α，β的法向量，若，则α⊥β
C．是平面α的法向量，是直线l的方向向量，若，则l∥α
D．是平面α的法向量，是直线l的方向向量，若，120°，则l与平面α所成角为60°
【分析】A根据直线与平面位置关系判断；B根据直线与平面位置关系判断；C举反例判断；D求直线与平面成角判断．
【解答】解：对于A，分别是平面α，β的法向量，
所以，又因为α∥β，所以，
又因为，所以，所以A对；
对于B，如图，过PA，PB作平面PAB交平面α与β的交线于O，
则∠AOB为平面α与β成角的二面角，
因为，所以PA⊥PB，所以四边形PAOB为矩形，
所以∠AOB＝90°，所以α⊥β，所以B对；
对于C，当l⊂α时，l∥α不成立，所以C错；
对于D，因为，120°，所以l与平面α所成角为30°，所以D错．
故选：AB．
【点评】本题以命题真假判断为载体，考查了向量的基本性质，属于基础题．
（多选）10．（5分）将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，则下列结论正确的是（ ）
A．AC⊥BD
B．△ACD是等边三角形
C．AB与平面BCD所成的角为90°
D．AB与CD所成的角为30°
【分析】取BD的中点O，连结AO，CO，AC，由AO⊥BD，CO⊥BD，由此能证明BD⊥平面AOC，从而AC⊥BD；ACAO＝AD＝CD，△ACD是等边三角形；AO⊥平面BCD，由此能∠ABD是AB与平面BCD所成角，且∠ABD＝45°；由，推导出60°，由此能求出AB与CD所成角．
【解答】解：如图，取BD的中点O，连结AO，CO，AC，
由AO⊥BD，CO⊥BD，
又AO∩CO＝O，∴BD⊥平面AOC，
又AC⊂平面AOC，∴AC⊥BD，故A正确；
∵ACAO＝AD＝CD，∴△ACD是等边三角形，故B正确；
∵AO⊥平面BCD，∴∠ABD是AB与平面BCD所成角，且∠ABD＝45°，故C错误；
，设AB＝1，
则（）2222，
∴1＝1+2+1+2（）+2（）+2cs，
∴cs，∴60°，
∴AB与CD所成角为60°，故D不正确．
故选：AB．
【点评】本题考查命命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
（多选）11．（5分）下列结论错误的是（ ）
A．过点A（1，3），B（﹣3，1）的直线的倾斜角为30°
B．若直线2x﹣3y+6＝0与直线ax+y+2＝0垂直，则a
C．直线x+2y﹣4＝0与直线2x+4y+1＝0之间的距离是
D．已知A（2，3），B（﹣1，1），点P在x轴上，则|PA|+|PB|的最小值是5
【分析】利用直线的斜率与倾斜角的关系判断选项A，由两条直线垂直的充要条件判断选项B，利用两条平行直线间的距离判断选项C，由三点共线，距离之和最小即可判断选项D．
【解答】解：过点A（1，3），B（﹣3，1）的直线的斜率为，
又直线倾斜角的取值范围为[0，π），
所以直线的倾斜角为arctan，
故选项A错误；
若直线2x﹣3y+6＝0与直线ax+y+2＝0垂直，
则2a﹣3＝0，解得a，
故选项B错误；
直线x+2y﹣4＝0，即2x+4y﹣8＝0，
所以直线x+2y﹣4＝0与直线2x+4y+1＝0之间的距离是，
故选项C错误；
因为点B（﹣1，1）关于x轴的对称点为B'（﹣1，﹣1），
则|PA|+|PB|＝|PA|+|PB'|≥|AB'|，
所以|PA|+|PB|的最小值是5，
故选项D正确．
故选：ABC．
【点评】本题考查了直线方程的综合应用，两点间斜率公式、两条平行直线间的距离公式的应用，直线的倾斜角与斜率关系的运用，两条直线垂直的充要条件，考查了逻辑推理能力，属于中档题．
（多选）12．（5分）已知O为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，长轴长为，焦距为2c，点P在椭圆C上且满足|OP|＝|OF1|＝|OF2|＝c，直线PF2与椭圆C交于另一个点Q，若，点M在圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为
B．△MF1F2面积的最大值为
C．
D．圆G在椭圆C的内部
【分析】利用|OP|＝|OF1|＝|OF2|，求得PF1⊥PF2，利用已知条件及椭圆定义求出a，b，c，再对选项进行验证得解
【解答】解：∵|OP|＝|OF1|＝|OF2|＝c，∴PF1⊥PF2，
∵，设|PQ|＝4m，|F1Q|＝5m 则|PF1|＝3m，
又|PQ|+|F1Q|+|PF1|＝4a，，∴，
∴，∴|F1F2|＝2，即，所以A不正确；
当点M在y轴上时三角形MF1F2面积的最大，
此时，所以B正确；
因为，所以，故C正确；
圆，∵，圆在椭圆内部，所以点M在椭圆内部，所以D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查椭圆离心率的求解，焦点三角形的面积，点与椭圆的位置关系等知识，属于中等题．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．（5分）已知两个不同平面的法向量分别是，，则这两个平面的位置关系是 平行 ．
【分析】根据两个向量的坐标能求出两个向量的数量关系，利用两个向量的倍数关系能判断两个平面的位置关系．
【解答】解：∵两个不同平面的法向量分别是，，
可得向量与的关系是，
所以两个平面的位置关系是平行．
故答案为：平行．
【点评】本题考查两个平面的法向量的数量关系和判断，进而考查两个平面的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14．（5分）过点P（﹣1，3），与直线垂直的直线方程为 x﹣y0 ．
【分析】设过点P（﹣1，3），与直线垂直的直线方程为x﹣y+c＝0．把P（﹣1，3）代入，能求出结果．
【解答】解：设过点P（﹣1，3），与直线垂直的直线方程为：
x﹣y+c＝0，
把P（﹣1，3）代入，得：3+c＝0，
解得c，
∴过点P（﹣1，3），与直线垂直的直线方程为x﹣y0．
故答案为：x﹣y0．
【点评】本题考查直线方程的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15．（5分）设点P是直线3x﹣4y+7＝0上的动点，过点P引圆（x﹣1）2+y2＝r2（r＞0）的切线PA，PB（切点为AB），若∠APB的最大值为 ，则该圆的半径r等于 1 ．
【分析】利用∠APB最大，则∠APC也最大，再利用直角三角形的边角关系得到，从而确定∠APC最大，则PC最小时，利用点C到直线3x﹣4y+7＝0的距离公式列式求解即可，
【解答】解：圆（x﹣1）2+y2＝r2（r＞0）的圆心为C（1，0），半径为r，
若∠APB最大时，则∠APB＝∠APC也最大，又，
故∠APC最大，则PC最小，
因为点P是直线3x﹣4y+7＝0上的动点，C为圆心，
故PC的最小值即为点C到直线3x﹣4y+7＝0的距离，
所以，故r＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，主要考查了与圆的切线相关的最值问题，点到直线距离公式的应用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．
16．（5分）已知椭圆C1：与圆C2：x2+y2＝9，若在圆x2+y2＝9上任意一点P作圆的切线交椭圆于A，B两点，使得（O为坐标原点），则椭圆C1的离心率的值是 ．
【分析】由题意画出图形，不妨取A为椭圆左顶点（﹣6，0），B为椭圆上顶点，由等面积法列式求解b，进一步求得c，则椭圆的离心率可求．
【解答】解：如图，
不妨取A为椭圆左顶点（﹣6，0），B为椭圆上顶点，
此时切点P为点M，连接OM，则OM⊥AB，且|OM|＝3，
|AO|＝6，|BO|＝b，|AB|，
由等面积法可得，6b，解得b＝2（0＜b＜6），
∴，
则e．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，由题意取特殊情况是关键，是基础题．
四、解答题（本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．在①过点；②椭圆长半轴为a，短半轴为b，且；③长轴长为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率，且_____．
（1）求椭圆的方程；
（2）过右焦点F的直线l交椭圆于P，Q两点．当直线l的倾斜角为时，求△POQ的面积．
【分析】（1）由题意可设椭圆方程为（a＞b＞0），又离心率e，然后分别选三个不同条件，列式求得a与b的值，即可求得椭圆方程；
（2）由（1）可得F（1，0），求出直线l的方程是y＝x﹣1，联立直线方程与椭圆方程，利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，能求出△POQ的面积．
【解答】解：（1）∵椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，
∴可设椭圆方程为（a＞b＞0），离心率e，
若选①，过点，则，又a2＝b2+c2，
解得a2＝2，b2＝1，c2＝1，
则椭圆方程为；
若选②，椭圆长半轴为a，短半轴为b，且，
又离心率e，∴a，c＝1，
则b2＝a2﹣c2＝1，
则椭圆的方程为；
若选③，长轴长为2，即a，又离心率e，∴c＝1，
则b2＝a2﹣c2＝1，
则椭圆的方程为；
（2）由（1）知，F（1，0），直线l的斜率为k＝tan1，
直线l的方程为y＝1×（x﹣1），即y＝x﹣1，
联立，得3y2+2y﹣1＝0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
Δ＝22﹣4×3×（﹣1）＝16＞0，，，
∴|y1﹣y2|．
∴|OF||y1﹣y2|1，
故△POQ的面积是．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，体现了“设而不求”的数学思想，是中档题．
18．已知圆C：x2+y2﹣8x+12＝0，直线l：x+ay+2a＝0．
（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；
（2）当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2时，求直线l的方程．
【分析】（1）根据题意，由圆的方程分析圆心与半径，结合直线与圆的位置关系可得2，解可得a的值，即可得答案；
（2）根据题意，设圆心C到直线l的距离为d，结合直线与圆的位置关系可得：（）2+d2＝r2，解可得d的值，由点到直线的距离公式可得d，解可得a的值，将a的值代入直线的方程即可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，圆C：x2+y2﹣8x+12＝0，则圆C的方程为（x﹣1）2+y2＝1，其圆心为（1，0），半径r＝2；
若直线l与圆C相切，则有2，
解可得a；
（2）设圆心C到直线l的距离为d，则有（）2+d2＝r2，即2+d2＝4，
解可得d，
则有d，
解可得a＝﹣1或7；
则直线l的方程为x﹣y﹣2＝0或x﹣7y﹣14＝0．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆相切、相交的性质，属于基础题．
19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，△PAB为正三角形，ABCD为正方形，平面PAB⊥平面ABCD，E、F分别为AC、BP中点．
（1）证明：EF∥平面PCD；
（2）求直线BP与平面PAC所成角的正弦值．
【分析】（1）连接BD，证明EF∥PD，即可证明EF∥平面PCD．
（2）建立如图所示空间直角坐标系O﹣xyz，设AB＝2，求出，平面PAC的法向量，设BP与平面PAC所成角为θ，利用空间向量的数量积求解即可．
【解答】（1）证明：连接BD，
∵ABCD是正方形，E是AC的中点，∴E是BD的中点，
∵F是BP的中点，∴EF∥PD，
∵EF⊄平面PCD，PD⊂平面PBD，∴EF∥平面PCD．
（2）解：建立如图所示空间直角坐标系O﹣xyz，设AB＝2，
则B（0，1，0），，A（0，﹣1，0），C（0，1，2），，，，
设平面PAC的法向量，则，
取得，
设BP与平面PAC所成角为θ，
则．
【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD，O为BD的中点，BD＝4，PB＝PC＝PD．
（1）证明：OP⊥平面ABCD；
（2）若BC＝CD，求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．
【分析】（1）连接OC，利用勾股定理证明OP⊥OC，又可证明OP⊥BD，根据线面垂直的判定定理证明即可；
（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面PBC和平面PAD的法向量，由向量的夹角公式求解即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
在Rt△BCD中，由BD＝4，可得OC＝2，
∵PB＝PD，OB＝OD＝2，
∴OP⊥BD，OP，
∵OP＝1，OC＝2，PC，
则PC2＝OP2+OC2，
故OP⊥OC，
∵OP⊥BD，BD∩OC＝O，BD，OC⊂平面ABCD，
∴OP⊥平面ABCD；
（2）解：由（1）可知，OC，OB，OP两两垂直，
以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则O（0，0，0），B（2，0，0），D（﹣2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，1），
∴（2，2，0），2（4，4，0），
则A（﹣2，﹣4，0），
又（﹣2，2，0），（﹣2，0，1），
设平面PBC的法向量为（x，y，z），
则，令x＝1，则y＝1，z＝2，
故（1，1，2），
设平面PAD的法向量为（a，b，c），
（2，0，1），（0，4，0），
则，令a＝1，则b＝0，c＝﹣2，
故（1，0，﹣2），
∴|cs|，
故平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为．
【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理的应用，二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．
21．已知圆C经过点，及（3，0）．经过坐标原点O的斜率为k的直线l与圆C交于M，N两点．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若点P（﹣3，0），分别记直线PM、直线PN的斜率为k1，k2，求k1+k2的值．
【分析】（1）设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，将对应的点代入上式，即可求解．
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线l为y＝kx，联立直线l与圆，化简整理可得，（k2+1）x2﹣2x﹣3＝0，再结合韦达定理，以及斜率公式，即可求解．
【解答】解：（1）设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
∵圆C经过点，及（3，0），
∴，解得，
故圆C的方程为x2+y2﹣2x﹣3＝0，即标准方程为（x﹣1）2+y2＝4．
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线l为y＝kx，
联立直线l与圆，化简整理可得，（k2+1）x2﹣2x﹣3＝0，
Δ＝12k2+16＞0，
由韦达定理定理可得，，，
∴k1+k2．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，属于基础题．
22．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（2，1）．
（1）求C的方程；
（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
【分析】（1）由题可知，，解出a2和b2的值即可；
（2）分两大类进行讨论：①当直线MN的斜率存在时，设其方程为y＝kx+m，与椭圆方程联立，消去y，写出韦达定理，结合0可得m＝1﹣2k或m，分别找出两种情形下直线MN所过的定点，并利用圆的几何性质可得点Q的坐标；②当直线MN的斜率不存在时，此时D为（，1），验证Q（，）是否符合题意即可．
【解答】解：（1）∵离心率，
∴ac，
又a2＝b2+c2，
∴b＝c，ab，
把点A（2，1）代入椭圆方程得，，解得b2＝3，
故椭圆C的方程为．
（2）①当直线MN的斜率存在时，设其方程为y＝kx+m，
联立，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣6＝0，
由Δ＝（4km）2﹣4（2k2+1）（2m2﹣6）＞0，知m2＜6k2+3，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2，x1x2，
∵AM⊥AN，∴（x1﹣2，y1﹣1）•（x2﹣2，y2﹣1）＝0，即（k2+1）x1x2+（km﹣k﹣2）（x1+x2）+m2﹣2m+5＝0，
∴（k2+1）•（km﹣k﹣2）（）+m2﹣2m+5＝0，化简整理得，4k2+8km+3m2﹣2m﹣1＝（2k+m﹣1）（2k+3m+1）＝0，
∴m＝1﹣2k或m，
当m＝1﹣2k时，y＝kx﹣2k+1，过定点A（2，1），不符合题意，舍去；
当m时，y＝kx，过定点B．
∵AD⊥MN，∴点D在以AB为直径的圆上，
故当点Q为AB的中点，即Q（，）时，|DQ|，为定值；
②当直线MN的斜率不存在时，设其方程为x＝t，M（t，s），N（t，﹣s），且，
∵AM⊥AN，∴（t﹣2，s﹣1）•（t﹣2，﹣s﹣1）＝t2﹣4t﹣s2+50，解得t或2（舍2），
∴D（，1），此时|DQ|，为定值．
综上所述，存在定点Q（，），使得|DQ|为定值，且该定值为．
【点评】本题考查椭圆方程的求法、直线与椭圆的位置关系中的定值问题，涉及分类讨论的思想和先猜后证的方法，有一定的计算量，考查学生的逻辑推理能力、转化与化归能力和运算能力，属于难题．
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