2022-2023学年九年级数学上学期期中解答压轴题

这是一份2022-2023学年九年级数学上学期期中解答压轴题，共92页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
 期中解答压轴题
一、解答题
1．（2022·江苏·九年级课时练习）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x2＋x＝0是“差1方程”．
(1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由；
①x2﹣5x﹣6＝0；
②x2﹣x＋1＝0；
(2)已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“差1方程”，求m的值；
(3)若关于x的方程ax2＋bx＋1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差1方程”，设t＝10a﹣b2，求t的最大值．
2．（2022·江苏·九年级期中）定义：在平面直角坐标系xOy中，称两个不同的点P（m，n）和Q（－n，－m）为“反换点”．如：点（一2，1）和（一1，2）是一对“反换点”．
(1)下列函数：①y＝﹣x＋2；②y＝﹣；③y＝﹣2x2，其中图象上至少存在一对“反换点”的是 　 　（只填序号）；
(2)直线y＝x﹣3与反比例函数y＝（k＞0）的图象在第一象限内交于点P，点P和点Q为一对“反换点”若S△OPQ＝6，求k的值；
(3)抛物线y＝﹣x2﹣4x上是否存在一对“反换点”？如果存在，请求出这一对“反换点”所连线段的中点坐标；如果不存在，请说明理由．
3．（2022·江苏·九年级课时练习）定义，若关于x的一元二次方程的两个实数根为（），分别以为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的的衍生点．
(1)若方程为，写出该方程的的衍生点M的坐标．
(2)若关于x的一元二次方程的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值．
(3)是否存在b，c，使得不论k（）为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图象上，若有请求出b，c的值，若没有说明理由．
4．（2022·江苏·九年级阶段练习）阅读材料：
材料1：若一元二次方程的两个根为，则，．
材料2：已知实数，满足，，且，求的值．
解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以
根据上述材料解决以下问题：
(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则___________，____________．
(2)类比探究：已知实数，满足，，且，求的值．
(3)思维拓展：已知实数、分别满足，，且．求的值．
5．（2021·江苏·泰州中学附属初中九年级阶段练习）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是2和4，则方程x2﹣6x+8＝0就是“倍根方程”．
（1）若一元二次方程x2﹣3x+c＝0是“倍根方程”，求c的值；
（2）若（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式4m2﹣5mn+n2的值；
（3）若点（p，q）在反比例函数y＝的图象上，请说明关于x的方程px2+3x+q＝0是“倍根方程”；
（4）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“倍根方程”，请说明2b2＝9ac．
6．（2021·江苏省锡山高级中学实验学校九年级阶段练习）
(1)如图是等边△ABC的外接圆，请你在图中作，并回答点P在________上；
(2)如图，已知矩形ABCD，AB=5，BC=6，点P为线段AD上任一点．若，请在图中用尺规作图画出符合要求的点P；（保留作图痕迹，不要求写做法）
(3)将（2）中矩形ABCD的“AB=5”改为“AB=m”，其它条件不变，若符合（2）中要求的点P必定存在，求m的取值范围．
7．（2020·江苏·西安交大苏州附中九年级阶段练习）【了解概念】
我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段MQ、QN组成折线段MQ．N若点P在折线段MQN上，MP＝PQ+QN，则称点P是折线段MQN的中点．

(1)【理解应用】如图2，⊙O的半径为2，PA是⊙O的切线，A为切点，点B是折线段POA的中点．若∠APO＝30°，则PB＝______；
(2)如图3，⊙O中，，D是上一点，AH⊥BD，垂足为H．求证：点H是折线段BDC的中点；
(3)【拓展提升】如图4，A，P，B，C是⊙O上的四个点，AB＝AC＝2，，求PB・PC的值．
8．（2022·江苏淮安·九年级期中）定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为偏等三角形．
(1)如图1，点是弧的中点，是弧所对的圆周角， 连接、 试说明与是偏等三角形．

(2)如图2，与是偏等三角形，其中 猜想结论：一对偏等三角形中，一组等边的对角相等，另一组等边的对角 ．请填写结论，并说明理由．(以与为例说明)；

(3)如图3，内接于 若点在上，且与是偏等三角形， 求的值．

9．（2022·江苏·九年级期中）如图1，C、D为半圆O上的两点，且点D是弧BC的中点．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．

(1)求证：CD＝ED；
(2)连接AD与OC、BC分别交于点F、H．
①若CF＝CH，如图2，求证：CH＝CE；
②若圆的半径为2，BD＝1，如图3，求AC的值．
10．（2022·江苏·九年级阶段练习）如图，内接于圆O，高AD、CE相交于点H，延长AH交圆O于点G．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接CO，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，延长CO交圆O于点N，连接GN、DE，若，，求DH的长．
11．（2022·江苏扬州·二模）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的“好角”．

(1)如图1，∠E是中∠A的“好角”，若，则______；（用含的代数式表示）
(2)如图2，四边形ABCD内接于，点D是优弧ACB的中点，直径弦AC，BF、CD的延长线于点G，延长BC到点E．求证：∠BGC是中∠BAC的“好角”．
(3)如图3，内接于，∠BGC是中∠A的“好角”，BG过圆心O交于点F，的直径为8，，求FG．
12．（2022·江苏扬州·二模）如图1，已知矩形中，，，点P是对角线AC的中点，点为射线CB上的一个动点，连接OP，以OP为半径作．

(1)如图2，当与AC相切时，求的半径长；
(2)当点运动到何处，的半径最小；
(3)若为等腰三角形，求OC的长；
(4)在点的运动过程中，与的三条边有四个交点，求OC的取值范围．
13．（2022·江苏盐城·一模）阅读理解：如图1，直线l与⊙O相离，P为直线l上一动点，过点P作⊙O的切线PM，切点为M，连接OM、OP，当PM最小时，称线段PM为直线l与⊙O的“极短切线”．

(1)如图2，⊙A的半径为1，A（0，2），分别过x轴上B、O、C三点作⊙A的切线BM、OP、CQ，切点分别是M、P、Q，则这三条切线中　 　是x轴与⊙A的“极短切线”，该“极短切线”的长度为　 　．

【应用】
(2)如图3，⊙A的半径为1，A（0，2），直线l: y＝kx-2与⊙A的“极短切线”的长度为，求k的值．

(3)保持（2）中求得的直线l不动，将⊙A沿着y轴向下平移，若直线l与⊙A的“极短切线”的长度小于，求点A的纵坐标y的取值范围．
14．（2022·江苏泰州·九年级专题练习）如图，已知⊙O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED＝EA．

(1)求证：ED是⊙O的切线；
(2)填空：
①当OA＝3，AE＝4时，则BC＝　　．
②连接OD，当∠ABC的度数为　　时，四边形AODE为正方形．
15．（2021·江苏扬州·九年级阶段练习）在一次数学探究活动中，王老师设计了一份活动单：已知线段，使用作图工具作，尝试操作后思考：这样的点A唯一吗？点A的位置有什么特征？你有什么感悟？
“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），…．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．

（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．
①该弧所在圆的半径长为__________；
②面积的最大值为__________；
（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形外部，我们记为，请你利用图1证明．
（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形的边长，，点P在直线CD的左侧，且，则线段PB长的最小值为__________．
16．（2021·江苏宿迁·九年级阶段练习）【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：如图①，点为坐标原点，的半径为1，点.动点B在上，连结AB，作等边（A，B，C为顺时针顺序），求OC的最大值．

【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接OB，以OB为边在OB的左侧作等边三角形BOE，连接AE．
（1）请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由；
（2）线段OC的最大值为_______．
【灵活运用】
（3）如图②，，点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以BD为边在BD的右侧作等边，求AC的最小值．
17．（2021·江苏·淮安市洪泽实验中学九年级期中）某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
【问题探究】如图1，AD，BD为⊙O的两条弦（AD＜BD），点C为的中点，过C作CE⊥BD、垂足为E．求证：BE＝DE+AD．
小明同学的思路是：如图2．在BE上截取BF＝AD，连接CA，CB，CD，CF…请你按照小明的思路完成上述问题的证明过程．
【结论运用】如图3，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D是上一点，∠ACD＝45°，连接BD，CD．过点A作AE⊥CD，垂足为E．若AB＝6，求△BCD的周长．
【变式探究】如图4，若将（问题探究）中“点C为的中点”改为“点C为优弧ACB的中点”，其他条件不变，请写出BE、AD、DE之间的等量关系，并加以证明．

18．（2021·江苏扬州·九年级阶段练习）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：
已知线段BC＝4，使用作图工具作∠BAC＝30°，尝试操作后思考：
（1）这样的点A唯一吗？
（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？

学习小组通过操作、观察、讨论后得到：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外）……小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．

（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．
①该弧所在圆的半径长为 ；
②ABC面积的最大值为 ；
（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为，请你利用图1证明＞30°；
（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形ABCD的边长为AB＝2，BC＝4，点P在直线CD的左侧，且∠DPC＝60°．
①线段PB长的最小值为 ；
②若＝，则线段PD长为 ．
19．（2021·江苏·常州市清潭中学九年级期中）某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
【问题发现】
（1）如图1，正方形ABCD的四个顶点在⊙O上，点E在弧AB上，连结AE、BE、DE．若在DE上截取一点F，使得DF＝BE：连结AF，发现△ADF与△ABE全等，请说明理由．

【变式探究】
（2）如图2，正方形ABCD的四个顶点在⊙O上，若点E在弧AD上，过点A作AG⊥BE，探究线段BE、DE、AG之间是否满足BE﹣DE＝2AG的关系，请说明理由．
【结论运用】
（3）如图3，在正方形ABCD中，AB＝2，若一点P满足PD＝2，并且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．
20．（2021·江苏·九年级专题练习）在平面直角坐标系xOy中，点P坐标为（2，3），点Q为图形M上一点．我们将线段PQ长度的最大值与最小值之间的差定义为点P视角下图形M的“宽度”．

（1）如图，⊙O半径为2，与x轴分别交于点A，B．
①在点P视角下，⊙O的“宽度”为 　 　，线段AB的“宽度”为 　 　．
②点G（m，0）为x轴上一点，若在点P视角下，线段AG的“宽度”为2，求m的取值范围．
（2）⊙C的圆心在x轴上，且半径为r（r＞1），一次函数y＝x＋1的图象与x轴，y轴分别交于点D，E．若线段DE上存在点K，使得在点K视角下，⊙C的“宽度”可以为2，求圆心C的横坐标xC的取值范围．
21．（2021·江苏·泗阳县实验初级中学九年级阶段练习）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上的两个动点，且，AE和BF相交于点P．
（1）探究AE、BF的关系，并说明理由；
（2）求证：A、D、F、P在同一个圆上；
（3）如图2，若正方形ABCD的边AB在y轴上，点A、B的坐标分别为、，点E、F分别是BC、CD上的两个点，且，AE和BF相交于点P，点M的坐标为，当点P落在以M为圆心1为半径的圆上．求a的取值范围．

22．（2021·江苏盐城·九年级阶段练习）【概念认识】自一点引出的两条射线分别经过已知线段的两端，则这两条射线所成的角称为该点对已知线段的视角，如图①，∠APB是点P对线段AB的视角．
数学理解，如图②，已知线段AB与直线l，在直线l上取一点P，使点P对线段AB的视角最大．
（1）过A、B两点，作⊙O使其与直线相切，切点为P，则点P对线段AB的视角最大，即∠APB最大，为了证明点P的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点Q，连接AQ，BQ，证明：∠APB＞∠AQB即可，请完成这个证明．
【问题解决】在足球电子游戏中，足球队球门的视角越大，越容易被踢进，如果一名球员沿直线带球前进，那么他应当在哪个地方射门，才能使进球的可能性最大？
（2）如图③，A、B是足球门的两端，线段AB是球门的宽，CD是球场边线，∠ADC是直角．
①若该球员沿边线CD带球前进，记足球所在的位置为点P，在图③中，用直尺和圆规在线段CD上求作点P，使点P对AB的视角最大（不写作法，保留作图痕迹）．
②若M是线段CD上一点，∠CMN＝60°，该球员沿射线MN带球前进（如图④），记足球所在的位置为点P，已知AB＝4，BD＝9，DM＝，求点P对AB的最大视角.

23．（2020·江苏南京·九年级期中）【提出问题】
（1）已知点P是⊙O外的一点，在⊙O上找一点A，使P、A两点间距离最短．
如图①，连接OP，OP与⊙O的交点A即为所求，此时线段PA最短．为了证明点A即为所求，不妨在⊙O上另外任取一点B，连接PB，OB，证明PB＞PA．请完成这个证明．

【变式探究】
（2）已知直线l与⊙O相离，在⊙O上找一点M，使点M到直线l的距离最短．
小明给出下列解答，请你补全小明的解答．
小明的解答
如图②，过点O作ON⊥l，垂足为N，ON与⊙O的交点M即为所求，此时线段MN最短．为了证明点M即为所求，不妨在⊙O上另外任取一点P，过点P作PQ⊥l，垂足为Q，连接OP，OQ，即证明PQ＞MN．
∵　　，OQ＞ON，∴OP+PQ＞ON．
又　　，∴OP+PQ＞OM+MN．
又OP＝OM，∴PQ＞MN．
【拓展研究】
（3）如图③，已知直线l和直线外一点A，线段MN的长度为1．请用直尺和圆规作出一个⊙O，使⊙O经过点A，且⊙O上的点到直线l的距离的最小值为1．（不写作法，保留作图痕迹）
（4）如图④，在△ABC中，AC＝8，BC＝12，∠C＝30°，⊙O经过点A，且⊙O上的点到直线BC的距离的最小值为2，距离最小值为2时所对应的⊙O上的点记为点P，若点P在△ABC的内部（不包括边界），则⊙O的半径r的取值范围是　　．
24．（2021·江苏扬州·九年级期中）如图1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P以3cm/s的速度从点A向点B运动，点Q以4cm/s的速度从点C向点B运动．点P、Q同时出发，运动时间为t秒（0＜t＜2），⊙M是△PQB的外接圆．
（1）当t＝1时，⊙M的半径是　 　cm，⊙M与直线CD的位置关系是　 　；
（2）在点P从点A向点B运动过程中．
①圆心M的运动路径长是　 　cm；
②当⊙M与直线AD相切时，求t的值．
（3）连接PD，交⊙M于点N，如图2，当∠APD＝∠NBQ时，求t的值．

25．（2021·江苏淮安·九年级期末）（1）问题背景
如图①，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AB＝AC，P为弧BmC上一动点（不与B，C重合），若PA＝4，求四边形ABPC的面积．
小明同学观察到图中自点A出发有三条线段AB，AP，AC，且AB＝AC，这就为旋转作了铺垫．于是，小明同学有如下思考过程：

第一步：将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB（如图②）；
第二步：证明Q，B，P三点共线，进而把求四边形ABPC的面积转化求为△PAQ的面积．
根据小明同学的思考过程可知：△PAQ的形状是　 　，四边形ABCP的面积为　 　．
（2）方法类比
如图3，P是等边三角形外一点，若∠APC＝30°，PA＝4，PC＝3，试求四边形PABC的面积．

（3）拓展延伸
如图④，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点，AB＝BC，AB⊥BC，垂足为A，则OC的最小值为　 　．
26．（2021·江苏镇江·九年级期末）[发现]
如图（1），AB为⊙O的一条弦，点C在弦AB所对的优弧上，根据圆周角性质，我们知道∠ACB的度数　 （填“变”或“不变”）；若∠AOB＝150°，则∠ACB＝　 °．爱动脑筋的小明猜想，如果平面内线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，那么点C是不是在某一个确定的圆上运动呢？

[研究]
为了解决这个问题，小明先从一个特殊的例子开始研究．如图（2），若AB＝2，直线AB上方一点C满足∠ACB＝45°，为了画出点C所在的圆，小明以AB为底边构造了一个等腰Rt△AOB，再以O为圆心，OA为半径画圆，则点C在⊙O上．请根据小明的思路在图（2）中完成作图（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并用2B铅笔或黑色水笔加黑加粗）．后来，小明通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论，即：若线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型．
[应用]
（1）如图（3），AB＝2，平面内一点C满足∠ACB＝60°，则△ABC面积的最大值为　 　．
（2）如图（4），已知正方形ABCD，以AB为腰向正方形内部作等腰△BAE，其中BE＝BA，过点E作EF⊥AB于点F，点P是△BEF的内心．
①∠BPE＝　 °，∠BPA＝　 °；
②连接CP，若正方形ABCD的边长为2，则CP的最小值为　 ．
27．（2022·江苏无锡·一模）某市民用水拟实行阶梯水价，每人每月用水量中不超过w吨的部分按4元/吨收费，超出w吨的部分按10元/吨收费，该市随机调查居民，获得了他们3月份的每人用水量数据，绘制出如图不完整的两张统计图表：请根据以下图表提供的信息，解答下列问题：
表1
组别
月用水量x吨/人
频数
频率
第一组

100
0.1
第二组


n
第三组

200
0.2
第四组

m
0.25
第五组

150
0.15
第六组

50
0.05
第七组

50
0.05
第八组

50
0.05

合计

1

(1)观察表1可知这次抽样调查的中位数落在第_______组，表1中m的值为_________，n的值为_______；表2扇形统计图中“用水量”部分的的圆心角为___________．
(2)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在3月份的每人用水价格为4元/吨，w至少定为多少吨？
(3)利用（2）的结论和表1中的数据，假设表1中同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，估计该市居民3月份的人均水费．
28．（2022·全国·九年级专题练习）某学校七年级数学兴趣小组组织一次数学活动．在一座有三道环形路的数字迷宫的每个进口处都标记着一个数，要求进入者把自己当作数“1”，进入时必须乘进口处的数，并将结果带到下一个进口，依次累乘下去，在通过最后一个进口时，只有乘积是5的倍数，才可以进入迷宫中心，现让一名5岁小朋友小军从最外环任一个进口进入．

(1)小军能进入迷宫中心的概率是多少？请画出树状图进行说明．
(2)小组两位组员小张和小李商量做一个小游戏，以猜测小军进迷宫的结果比胜负．游戏规则规完：小军如果能进入迷宫中心，小张和小李各得1分；小军如果不能进入迷宫中心，则他在最后一个进口处所得乘积是奇数时，小张得3分，所得乘积是偶数时，小李得3分，你认为这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请在第二道环进口处的两个数中改变其中一个数使游戏公平．
(3)在（2）的游戏规则下，让小军从最外环进口任意进入10次，最终小张和小李的总得分之和不超过28分，请问小军至少几次进入迷宫中心？


答案与解析
一、解答题
1．（2022·江苏·九年级课时练习）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x2＋x＝0是“差1方程”．
(1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由；
①x2﹣5x﹣6＝0；
②x2﹣x＋1＝0；
(2)已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“差1方程”，求m的值；
(3)若关于x的方程ax2＋bx＋1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差1方程”，设t＝10a﹣b2，求t的最大值．
【答案】(1)①不是“差1方程”，理由见解析；②是“差1方程”，理由见解析
(2)或
(3)时，的最大值为9
【分析】（1）根据解一元二次方程的方法解出已知方程的解，再比较两根的差是否为1，从而确定方程是否为“差1方程”；
（2）先解方程求得其根，再根据新定义列出的方程，注意有两种情况；
（3）根据新定义得方程的大根与小根的差为1，列出与的关系式，再由，得与的关系，从而得出最后结果．
（1）
解：①解方程得：，
或，
，
不是“差1方程”；
②，
∴，
，
是“差1方程”；
（2）
解：方程得：，
或，
方程是常数）是“差1方程”，
或，
或；
（3）
解：由题可得：
∴解方程得，
关于的方程、是常数，是“差1方程”，
，
，
，
，
，
时，的最大值为9．
【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“差1方程”的定义，本题属于中等题型．
2．（2022·江苏·九年级期中）定义：在平面直角坐标系xOy中，称两个不同的点P（m，n）和Q（－n，－m）为“反换点”．如：点（一2，1）和（一1，2）是一对“反换点”．
(1)下列函数：①y＝﹣x＋2；②y＝﹣；③y＝﹣2x2，其中图象上至少存在一对“反换点”的是 　 　（只填序号）；
(2)直线y＝x﹣3与反比例函数y＝（k＞0）的图象在第一象限内交于点P，点P和点Q为一对“反换点”若S△OPQ＝6，求k的值；
(3)抛物线y＝﹣x2﹣4x上是否存在一对“反换点”？如果存在，请求出这一对“反换点”所连线段的中点坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)②③
(2)
(3)

【分析】（1）设两个不同的点P（m，n）和Q（－n，－m）是一对 “反换点”；①假设图象上存在“反换点”，将P（m，n），Q（－n，－m）坐标分别代入解析式，计算两等式是否有解，若有解，则图象存在反换点；
（2）设，则，其中，由题意得，求出的值，进而得到点坐标，然后代入中计算求解即可；
（3）假设图象上存在“反换点”，则有，①+②式得，有即，将代入①中求解的值，的值，进而得到的点坐标，计算两点的中点坐标即可．
（1）
解：设两个不同的点P（m，n）和Q（－n，－m）是一对 “反换点”，且即
①假设图象上存在“反换点”，
将P（m，n）代入，则有即
将Q（－n，－m）代入，则有即
与矛盾
∴P（m，n）和Q（－n，－m）不能同时在图象上
∴图象上不存在“反换点”
故①不符合题意；
②假设图象上存在“反换点”，
将P（m，n）代入，则有 即
将Q（－n，－m）代入，则有即
与相同
∴P（m，n）和Q（－n，－m）均在图象上
∴图象上存在“反换点”
故②符合题意；
③假设图象上存在“反换点”，
将P（m，n）代入，则有①
将Q（－n，－m）代入，则有即②
将①代入②中得即
解得或（舍去）
∴存在使P（m，n）和Q（－n，－m）均在图象上
∴图象上存在“反换点”
故③符合题意；
故答案为：②③．
（2）
解：设，则，其中
∴
解得

∴
将代入得
解得
∴的值为．
（3）
解：假设图象上存在“反换点”
则有
①+②式得

∴或（舍去）

将代入①中得
解得或
当时，，此时，，两点的中点坐标为；
当时，，此时，，两点的中点坐标为；
∴存在“反换点”，线段中点坐标为．
【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，反比例函数与几何综合，解一元二次方程等知识．解题的关键在于理解题意并用适当的方法解方程．
3．（2022·江苏·九年级课时练习）定义，若关于x的一元二次方程的两个实数根为（），分别以为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的的衍生点．
(1)若方程为，写出该方程的的衍生点M的坐标．
(2)若关于x的一元二次方程的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值．
(3)是否存在b，c，使得不论k（）为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图象上，若有请求出b，c的值，若没有说明理由．
【答案】(1)M(0，3)
(2)
(3)，

【分析】（1）求出方程的两根，根据一元二次方程的衍生点即可解决问题；
（2）先整理一元二次方程为一般形式，再根据过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，可得原方程有两个相等的实数根或原方程的两个实数根互为相反数，从而可得答案；
（3）先证明过定点，求解定点的坐标即为的坐标，再利用根与系数的关系解决问题即可．
（1）
解：∵，
∴x（x-3）=0， 解得：，，
故方程x2-3x=0的衍生点为M（0，3）．
（2）
解：
整理得：
设方程的两根分别为、， 且
由于过点M向两坐标轴作垂线，两条垂线与x轴y轴恰好围成一个正方形，
当时，
，
整理得： 此时方程无解，
当时，则，
， 解得
（3）
解：存在． 理由如下：
直线
直线过定点，
∴x2+bx+c=0两个根为，
∴，，
∴，．
【点睛】本题考查一次函数过定点问题、一元二次方程根的判别式的应用、一元二次方程的根与系数的关系、正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
4．（2022·江苏·九年级阶段练习）阅读材料：
材料1：若一元二次方程的两个根为，则，．
材料2：已知实数，满足，，且，求的值．
解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以
根据上述材料解决以下问题：
(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则___________，____________．
(2)类比探究：已知实数，满足，，且，求的值．
(3)思维拓展：已知实数、分别满足，，且．求的值．
【答案】(1)；；
(2)；
(3)-1


【分析】（1）直接根据根与系数的关系可得答案；
（2）由题意得出、可看作方程，据此知，，将其代入计算可得；
（3）把变形为，据此可得实数和可看作方程的两根，继而知，，进一步代入计算可得．
（1）
，；
故答案为；；
（2）
，，且，
、可看作方程，
，，
；
（3）
把变形为，
实数和可看作方程的两根，
，，




．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值、根与系数的关系，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式的混合运算顺序和运算法则．
5．（2021·江苏·泰州中学附属初中九年级阶段练习）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是2和4，则方程x2﹣6x+8＝0就是“倍根方程”．
（1）若一元二次方程x2﹣3x+c＝0是“倍根方程”，求c的值；
（2）若（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式4m2﹣5mn+n2的值；
（3）若点（p，q）在反比例函数y＝的图象上，请说明关于x的方程px2+3x+q＝0是“倍根方程”；
（4）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“倍根方程”，请说明2b2＝9ac．
【答案】（1）c的值为2；（2）0；（3）详见解析；（4）详见解析．
【分析】（1）设出其中一个根，表示另一个根，根据根与系数的关系，求出方程的两个根，进而求出c的值，
（2）方程有一个根为2，由“倍根方程”的意义可知另一个根为1或4，当另一个根为1时代入方程可得m﹣n=0，当另一个根为4代入方程可得4m﹣n=0，而代数式4m2﹣5mn+n2可分解为（m﹣n）（4m﹣n），因此4m2﹣5mn+n2=（m﹣n）（4m﹣n）=0，
（3）点（p，q）在反比例函数y的图象上，可得pq=2，再根据求根公式求出方程的两个根为x1，x2，进而判断是“倍根方程”，
（4）设方程两根为x1，2x1，根据根与系数的关系得到：x1+2x1=，x1•2x1=，化简后可得结论．
【解析】（1）设一元二次方程x2﹣3x+c=0的一个根为x1，则另一个根为2x1，
由根与系数的关系得：x1+2x1=3，∴x1=1，即一个根为1，而另一个根为2，∴c=1×2=2，
答：c的值为2．
（2）方程（x﹣2）（mx﹣n）=0的一个根为2，则另一个根为1或4，
当另一个根为1时，则﹣1×（m﹣n）=0，∴m﹣n=0，
当另一个根为4时，则2×（4m﹣n）=0，∴4m﹣n=0，∴4m2﹣5mn+n2=（m﹣n）（4m﹣n）=0，
答：代数式4m2﹣5mn+n2的值为0．
（3）∵点（p，q）在反比例函数y的图象上，∴pq=2，
关于x的方程px2+3x+q=0的根为x，
即：x1，x2，∴x1=2x2，
因此是“倍根方程”．
（4）设方程两根为x1，2x1，根据根与系数的关系得到：x1+2x1=，x1•2x1=，∴x1=，，∴，∴2b2=9ac．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，以及新定义“倍根方程”的意义，掌握一元二次方程根与系数的关系和“倍根方程”的意义是解决问题的关键．
6．（2021·江苏省锡山高级中学实验学校九年级阶段练习）
(1)如图是等边△ABC的外接圆，请你在图中作，并回答点P在________上；
(2)如图，已知矩形ABCD，AB=5，BC=6，点P为线段AD上任一点．若，请在图中用尺规作图画出符合要求的点P；（保留作图痕迹，不要求写做法）
(3)将（2）中矩形ABCD的“AB=5”改为“AB=m”，其它条件不变，若符合（2）中要求的点P必定存在，求m的取值范围．
【答案】(1)作图见解析，；
(2)见解析
(3)m的取值范围是2≤m≤3．

【分析】（1）根据等边三角形的性质以及圆周角定理即可求解；
（2）先作等边三角形EBC，作△EBC的外接圆⊙O与AD的两个交点、即为所求；
（3）当点与点A重合时，m有最小值；当点与重合时，m有最大值；利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．
（1）
解：∠BPC如图所示：

点P在上，
故答案为：
（2）
解：如图，点、即为所求：
；
（3）
解：当点与点A重合时，则圆心O恰好是矩形的中心，如图，

此时∠ABC=90°，∠BAC=60°，∠ACB=30°，BC=6，AB=m，
∴AC=2m，
由勾股定理得m=2；
当点与重合时，即AD过等边三角形EBC的顶点E，如图，

此时，AB=m恰好是等边三角形EBC的高，
在Rt△ABE中，∠BAC=90°，∠ABE=30°，BE=BC=6，AB=m，
同理，AB=m=3；
∴m的取值范围是2≤m≤3．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图，等边三角形的性质，圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
7．（2020·江苏·西安交大苏州附中九年级阶段练习）【了解概念】
我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段MQ、QN组成折线段MQ．N若点P在折线段MQN上，MP＝PQ+QN，则称点P是折线段MQN的中点．

(1)【理解应用】如图2，⊙O的半径为2，PA是⊙O的切线，A为切点，点B是折线段POA的中点．若∠APO＝30°，则PB＝______；
(2)如图3，⊙O中，，D是上一点，AH⊥BD，垂足为H．求证：点H是折线段BDC的中点；
(3)【拓展提升】如图4，A，P，B，C是⊙O上的四个点，AB＝AC＝2，，求PB・PC的值．
【答案】(1)3
(2)证明见解析
(3)PB•PC＝7

【分析】（1）由切线的性质得出，由，，得出，再根据“折线段中点的定义”即可得到答案；
（2）先证明为等腰三角形，再证明为等腰三角形，继而得出，进一步即可证明结论；
（3）作于点，根据（2）的结论和勾股定理表示出和的长度，进一步计算即可得出的值．
（1）
解：是的切线，
，
，，
，
，
点是折线段的中点，
，
故答案为：3；
（2）
解：延长到使，连接、，如图所示：

，，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
点是折线段的中点；
（3）
作于点，如图所示：

由（2）可知为折线段中点，即，
，
在中，，
在中，，
，
，



．
【点睛】本题考查圆的综合知识，掌握切线的性质、“折线段中点的定义”、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识是解决问题的关键．
8．（2022·江苏淮安·九年级期中）定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为偏等三角形．
(1)如图1，点是弧的中点，是弧所对的圆周角， 连接、 试说明与是偏等三角形．

(2)如图2，与是偏等三角形，其中 猜想结论：一对偏等三角形中，一组等边的对角相等，另一组等边的对角 ．请填写结论，并说明理由．(以与为例说明)；

(3)如图3，内接于 若点在上，且与是偏等三角形， 求的值．

【答案】(1)见解析
(2)互补，理由见解析
(3)6或

【分析】（1）根据同弧或等弧所对圆周角相等可得出BC=CD，再由公共边AC即可证明与是偏等三角形；
（2）在线段DE上取点G，使DG=AB，连接FG．易证，得出，，从而得出，再根据等边对等角可知．最后由邻角互补即，可求出，即另一组等边的对角互补；
（3）分类讨论：①当BC=CD时和②当AB=CD时，再由圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理即可解答．
（1）
∵点是弧的中点，
∴BC=CD，．
又∵AC=AC，
∴与是偏等三角形；
（2）
如图，在线段DE上取点G，使DG=AB，连接FG．

由题意可知在和中，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，即另一组等边的对角互补．
故答案为：互补；
（3）
分类讨论：①当BC=CD时，如图，

∵BC=CD，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴AD>CD符合题意，
∴ AD=AC=6；
②当AB=CD时，如图，过点D作于点E，

∵AB=CD，，
∴，
∴，，
∴，
∴，符合题意．
设CE=x，则，
∵，即，
∴，
∴，
∴．
综上可知AD的值为6或．
【点睛】本题考查新定义，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质等知识．理解偏等三角形的定义是解题关键．
9．（2022·江苏·九年级期中）如图1，C、D为半圆O上的两点，且点D是弧BC的中点．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．

(1)求证：CD＝ED；
(2)连接AD与OC、BC分别交于点F、H．
①若CF＝CH，如图2，求证：CH＝CE；
②若圆的半径为2，BD＝1，如图3，求AC的值．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②

【分析】（1）如图1中，连接BC．想办法证明∠E=∠DCE即可；（2）①如图2中，根据等腰三角形的性质得到∠CFH=∠CHF，根据三角形外角的性质得到∠ACO=∠OBC，求得∠OCB=∠OBC，得到∠ACO=∠BCO=∠ACB=45°，推出AC=BC，根据全等三角形的性质即可得到结论；②连接OD交BC于G．设OG=x，则DG=2-x．利用勾股定理构建方程求解即可．
（1）
解：证明：如图1中，连接BC．∵点D是弧BC的中点．∴，
∴∠DCB=∠DBC，∵AB是直径，∴∠ACB=∠BCE=90°，∴∠E+∠DBC=90°，∠ECD+∠DCB=90°，∴∠E=∠DCE，∴CD=ED；
（2）
①证明：如图2中，∵CF=CH，∴∠CFH=∠CHF，∵∠CFH=∠CAF+∠ACF，∠CHA=∠BAH+∠ABH，∵∠CAD=∠BAH，∴∠ACO=∠OBC，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠ACO=∠BCO=∠ACB=45°，∴∠CAB=∠ABC=45°，∴AC=BC，∵∠ACH=∠BCE=90°，∠CAH=∠CBE，∴△ACH≌△BCE（ASA），∴CH=CE；
②解：如图3中，连接OD交BC于G．设OG=x，则DG=2-x．∵，
∴∠COD=∠BOD，∵OC=OB，∴OD⊥BC，CG=BG，在Rt△OCG和Rt△BGD中，则有22-x2=12-（2-x）2，∴x=，即OG=，
∵OA=OB，∴OG是△ABC的中位线，∴OG=AC，
∴AC=．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，弧，圆心角，弦之间的关系，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
10．（2022·江苏·九年级阶段练习）如图，内接于圆O，高AD、CE相交于点H，延长AH交圆O于点G．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接CO，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，延长CO交圆O于点N，连接GN、DE，若，，求DH的长．
【答案】(1)见祥解
(2)见祥解
(3)DH=

【分析】（1）连结GC，根据同弧所对圆周角性质得出∠BAG=∠BCG,然后证明△HCD≌△GCD（ASA）即可；
（2）延长CO交圆与N，连结BN，根据直径所对圆周角性质得出，∠NBC=90°=∠AEC，∠N=∠BAC，利用等角余角性质即可得解；
（3）延长CE交圆于K，连结GK，BK，AK，OB，OA，OK，OG，BG，AN，过G作GM⊥AC交延长线于M，先证A、E、D、C四点共圆，得出∠EAH=∠DCH，再证△AEH≌△AEK（ASA）得出EH=EK，再证△ANG≌△GBA（SAS），再证△AOB≌△GOK（SSS）根据四边形AKBG为圆内接四边形，得出∠GAK+∠GBK=180°，然后证明BG=AG，可证△GDC≌△GMC（AAS），Rt△BGD≌Rt△AGM（HL）然后利用勾股定理设AC=x，BD=AM=1+x，AB2-BD2=AD2=AC2-CD2，求出AC=4，BD=5，AD=即可．
（1）
证明：连结GC，
∵∠BAG，∠BCG是所对圆周角，
∴∠BAG=∠BCG，
∵CE⊥AB，AD⊥BC，
∴∠AEC=∠ADC=90°，
∵∠AHE=∠CHD，
∴∠HCD=∠BAD=∠DCG，
在△HCD和△GCD中，
，
∴△HCD≌△GCD（ASA），
∴DH=DG；

（2）
证明：延长CO交圆与N，连结BN，
∵CN为直径，
∴∠NBC=90°=∠AEC，
∵∠N与∠BAC是所对的圆周角，
∴∠N=∠BAC，
∴∠NCB=90°-∠N=90°-∠EAC=∠HCA；

（3）
解：延长CE交圆于K，连结GK，BK，AK，OB，OA，OK，OG，BG，AN，过G作GM⊥AC交延长线于M，
∵∠AEC =∠ADC=90°，
∴A、E、D、C四点共圆，
∴∠EAH=∠DCH，
∵，
∴∠BCK=∠BAK，
∴∠EAH=∠EAK，
∵AE=AE，
∴△AEH≌△AEK（ASA），
∴EH=EK，
∵DH=DG，
∴GK=2ED=，
∴GK=GN，
∵CN为直径，
∴∠NBC=90°=∠ADC，
∴BN∥AG，
∴，
∴AN=BG，∠NGA=∠BAG，AG=GA，
∴△ANG≌△GBA（SAS），
∴AB=GN=GK，
∵OA=OK=OB=OG，
∴△AOB≌△GOK（SSS），
∴∠AOB=∠GOK，
，
∴，
∴AG=KB，
∵四边形AKBG为圆内接四边形，
∴∠GAK+∠GBK=180°，
∵∠KAE=∠HAE，
∴∠HAE=90°-=90°-，
在△AGB中，∠BAG+∠ABG+∠AGB=180°，
∵∠GAB=90°-，
∴∠ABG=180°-∠AGB-（90°-）=90°-=∠CAB，
∴BG=AG，
∵四边形ABGC为圆内接四边形，
∴∠GCM=∠ABG=∠BAG=∠BCG，
∵∠CDG=∠CMG=90°，CG=CG，
∴△GDC≌△GMC（AAS），
∴GM=GD，CM=CD=1，
∵∠BDG=∠AMG=90°，
在Rt△BGD和Rt△AGM中，
∵GB=GA，GD=GM，
∴Rt△BGD≌Rt△AGM（HL），
∴BD=AM，
设AC=x，BD=AM=1+x，
∵AB2-BD2=AD2=AC2-CD2，
∴，
整理得，
解得（舍去），
∴AC=4，BD=5，
∴AD=，
设DG=y=DH，
∴BG=AG=，
在Rt△BGD中，即，
解得，
∵DH=DG，
∴DH=．

【点睛】本题考查同弧所对圆周角性质，三角形全等判定与性质；直径所对圆周角性质，四点共圆，勾股定理，一元二次方程解法，三角形中位线性质，利用辅助线画出准确图形是解题关键．
11．（2022·江苏扬州·二模）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的“好角”．

(1)如图1，∠E是中∠A的“好角”，若，则______；（用含的代数式表示）
(2)如图2，四边形ABCD内接于，点D是优弧ACB的中点，直径弦AC，BF、CD的延长线于点G，延长BC到点E．求证：∠BGC是中∠BAC的“好角”．
(3)如图3，内接于，∠BGC是中∠A的“好角”，BG过圆心O交于点F，的直径为8，，求FG．
【答案】(1)α
(2)见解析
(3)FG＝4

【分析】（1）根据角平分线的性质以及三角形外角定理，可知∠A=∠ACD-∠ABC，∠E=∠ECD-∠EBC=-，由此可知∠E==α；
（2）根据圆内接四边形的性质可知∠DCB＋∠BAD＝180°，可知∠BAD＝∠DCE，根据圆周角的定理可知∠ACD＝∠DCE，进而证得∠ABF＝∠CBF，根据“好角”的定义即可得出结论；
（3）连接CF，根据“好角”的定义可知∠G＝∠A，即∠G＝∠BFC，由外角定理可知∠G＝∠GCF，可知FG＝CF，利用三角函数求得CF即可求得结果．
（1）
解：由题意得，∠ABE=∠CBE=，∠ACE=∠ECD=，
∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠ECD=∠E+∠EBC，
∴∠A=∠ACD-∠ABC，∠E=∠ECD-∠EBC=-，
∴∠E==α；
（2）
如图，

∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠DCB＋∠BAD＝180°，
又∵∠DCB＋∠DCE＝180°，
∴∠BAD＝∠DCE，
∵点D是优弧ACB的中点，
∴，
∴∠ACD＝∠BAD，
∴∠ACD＝∠DCE，
∴CG是△ABC的外角平分线，
∵直径BF⊥弦AC，
∴，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴BG是∠ABC的平分线，
∴∠BGC是△ABC中∠BAC的“好角”；
（3）
如图3，连接CF，

∵∠A＝45°  ，  
∴∠BFC＝45°．
∵BG过圆心O   ，
∴∠BCF＝90°．
∵∠BGC是△ABC中∠A的“好角”  ，  
∴∠G＝∠A，   
∵ ∠A＝∠BFC；
∴∠G＝∠BFC，
∴∠G＝∠GCF ，
∴FG＝CF，
∵cos∠BFC＝，
∴CF＝cos45°×BF＝×8＝4，
∴FG＝4．
【点睛】本题考查的是圆的有关知识、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握圆周角定理、三角形外角性质、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
12．（2022·江苏扬州·二模）如图1，已知矩形中，，，点P是对角线AC的中点，点为射线CB上的一个动点，连接OP，以OP为半径作．

(1)如图2，当与AC相切时，求的半径长；
(2)当点运动到何处，的半径最小；
(3)若为等腰三角形，求OC的长；
(4)在点的运动过程中，与的三条边有四个交点，求OC的取值范围．
【答案】(1)
(2)的中点（或）时
(3)或或
(4)或

【分析】（1）根据勾股定理算得AC的长，再运用三角函数的定义，求得，进而求得的半径长；
（2）定点与射线上动点的所有连线中，垂线段最短。由此可以得出当OP⊥BC时，的半径最小；
（3）分三种情况进行讨论，分别求出PC=OC时，PO=ＰC时，PO=OC时，OC的长；
（4）找到与的三条边有三个交点时，OC的长，从而得出符合题意的OC的范围．
（1）
解：由题意得，当与AC相切时，P为切点，
∵矩形，
∴，
又∵，，
∴，
，
∵点P是对角线AC的中点，
∴，
∵，
∴，
故的半径为；
（2）
解：∵点P是对角线AC的中点，点为射线CB上的一个动点，
∴当OP⊥BC时，的半径最小，
∵矩形，
∴，
∵OP⊥BC，
∴，
∵点P是对角线AC的中点，
∴点O是对角线BC的中点，
故当点O是的中点时，的半径最小；
（3）
解：分三种情况进行讨论，
①当PC=OC时，为等腰三角形，
此时OC=PC=5cm，
②当PO=ＰC时，为等腰三角形，
如图，过P点作PE⊥BC，

∵，，
∴，
∴，
∵PO=OC，PE⊥BC，
∴．
②当PO=OC时，为等腰三角形，
如图，过P点作PE⊥BC，

∵，，
∴，
同理，，
设，则，
在中，
，
即，，
解得，，
故，
综上，或或；
（4）
解：当过点C时，如图1，与的三条边有三个交点，此时由（3）可知， ，

如图2，当与AC相切时，与的三条边有三个交点，此时，

如图3，当过点A时，与的三条边有三个交点，

连接OA，OP，过O点作OE⊥AP，
则OA=OP，
∵，OA=OP，OE⊥AP，
∴，
∴，
∵，
∴．
综上，当或．
【点睛】本题考查了圆相关的综合问题，充分运用圆的性质、结合勾股定理、三角函数的定义等知识进行线段长度的计算是解题的关键．
13．（2022·江苏盐城·一模）阅读理解：如图1，直线l与⊙O相离，P为直线l上一动点，过点P作⊙O的切线PM，切点为M，连接OM、OP，当PM最小时，称线段PM为直线l与⊙O的“极短切线”．

(1)如图2，⊙A的半径为1，A（0，2），分别过x轴上B、O、C三点作⊙A的切线BM、OP、CQ，切点分别是M、P、Q，则这三条切线中　 　是x轴与⊙A的“极短切线”，该“极短切线”的长度为　 　．

【应用】
(2)如图3，⊙A的半径为1，A（0，2），直线l: y＝kx-2与⊙A的“极短切线”的长度为，求k的值．

(3)保持（2）中求得的直线l不动，将⊙A沿着y轴向下平移，若直线l与⊙A的“极短切线”的长度小于，求点A的纵坐标y的取值范围．
【答案】(1)OP，
(2)
(3)-6＜y＜-4或0＜y＜2

【分析】时间来不及，请退回
(1)
(2)
(3)

14．（2022·江苏泰州·九年级专题练习）如图，已知⊙O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED＝EA．

(1)求证：ED是⊙O的切线；
(2)填空：
①当OA＝3，AE＝4时，则BC＝　　．
②连接OD，当∠ABC的度数为　　时，四边形AODE为正方形．
【答案】(1)见解析
(2)①10；②45°

【分析】(1)连接OD，通过证明△AOE≌△DOE得到∠OAE=∠ODE=90°，易证得结论；
(2)①利用圆周角定理和垂径定理推知OEBC，所以根据平行线分线段成比例求得BC的长度即可；
②由OB=OD，得到∠ODB=∠ABC=45°，根据三角形内角和得到∠AOD=90°，于是得到∠OAD=∠ODA=45°，∠EAD=90°−45°=45°，根据切线长定理得到EA=ED，由等腰三角形的性质推出∠EDA=∠EAD=45°，推出∠ODE=90°，根据矩形的判定得到四边形AODE是矩形，由OA=OD推出矩形AODE为正方形．
（1）
证明：如图，连接OD．

∵AC⊥AB，
∴∠BAC＝90°，即∠OAE＝90°．
在△AOE与△DOE中，
，
∴△AOE≌△DOE（SSS），
∴∠OAE＝∠ODE＝90°，即OD⊥ED．
又∵OD是⊙O的半径，
∴ED是⊙O的切线；
（2）
解：①在△OAE中，∠OAE＝90°，OA＝3，AE＝4，
∴由勾股定理易求OE＝5．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC．
又∵由（1）知，△AOE≌△DOE，
∴∠AEO＝∠DEO，
又∵AE＝DE，
∴OE⊥AD，
∴OEBC，
∴，
BC＝2OE＝10，即BC的长度是10
故答案为：10；
②当∠ABC的度数为45°时，四边形AODE为正方形；
理由如下：
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠ABC＝45°，
∴∠BOD＝90°，
∴∠AOD＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝45°，
∵OA⊥AB于点A，OA是⊙O的半径，
∴EA是⊙O的切线，∠EAD＝90°﹣45°＝45°，
由（1）知，ED是⊙O的切线，
∴EA＝ED，
∴∠EDA＝∠EAD＝45°，
∴∠ODE＝∠ODA+∠EDA＝45°+45°＝90°，
∴∠ODE＝∠AOD＝∠OAE＝90°，
∴四边形AODE是矩形，
∵OA＝OD，
∴矩形AODE为正方形，
故答案为：45°．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的切线的判定和性质、等腰三角形的性质、全等的性质和判定、正方形的判定等知识，正确判断圆中角的关系是解题的关键．
15．（2021·江苏扬州·九年级阶段练习）在一次数学探究活动中，王老师设计了一份活动单：已知线段，使用作图工具作，尝试操作后思考：这样的点A唯一吗？点A的位置有什么特征？你有什么感悟？
“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），…．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．

（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．
①该弧所在圆的半径长为__________；
②面积的最大值为__________；
（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形外部，我们记为，请你利用图1证明．
（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形的边长，，点P在直线CD的左侧，且，则线段PB长的最小值为__________．
【答案】（1）①4，②；（2）见解析；（3）
【分析】（1）①设圆心为，连接，，可得是等边三角形，则；②当时，最大，求出的长即可；
（2）设交于，由圆周角定理知，由是△的外角，则；
（3）作等腰，使，以为圆心，为半径作圆，则点在优弧上，连接交于，此时最小，过作于，于，利用勾股定理求出的长即可．
【解析】解：（1）①设圆心为，连接，，

，
，
是等边三角形，
，
故答案为：4；
②当时，以为底时，高最高；
最大，

此时，
，
，
故答案为：；
（2）设交于，

由圆周角定理知，
是△的外角，
，
；
（3）如图，作等腰，使，以为圆心，为半径作圆，则点在优弧上，连接交于，此时最小，
过作于，于，

，
，
在中，，
，，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，三角形外角的性质，等边三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是运用定弦对定角构造辅助圆．
16．（2021·江苏宿迁·九年级阶段练习）【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：如图①，点为坐标原点，的半径为1，点.动点B在上，连结AB，作等边（A，B，C为顺时针顺序），求OC的最大值．

【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接OB，以OB为边在OB的左侧作等边三角形BOE，连接AE．
（1）请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由；
（2）线段OC的最大值为_______．
【灵活运用】
（3）如图②，，点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以BD为边在BD的右侧作等边，求AC的最小值．
【答案】（1），理由见解析；（2）OC的最大值为3；（3）AC的最小值为．
【分析】（1）只要证明△CBO≌△ABE即可；
（2）当E、O、A共线，AE有最大值，此时OC有最大值，据此求解即可；
（3）以为边向上作等边，连接DM，证明，得到，则当D在BC的上方且时，DM的值最小，即为，由此求解即可．
【解析】解：（1）如图①中，结论：，

理由：∵，都是等边三角形，
∴，，，
∴∠CBA+∠OBA=∠OBE+∠OBA，，
∴，
∴；
（2）∵A点坐标为（2，0），
∴OA=2，
∴，
∴当E、O、A共线，AE有最大值，AE的最大值为3，
∴OC的最大值为3；
（3）以为边向上作等边，连接DM，
∵，都是等边三角形，
∴，，
∴∠MBD+∠ABM=∠CBA+∠ABM，即
∴
∴，
∴当D在BC的上方且时，DM的值最小，即为
连接MO，
∴，
∴
.
∴的最小值为．

【点睛】本题考查与圆有关的动点问题，等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，学会用转化的思想思考问题．
17．（2021·江苏·淮安市洪泽实验中学九年级期中）某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
【问题探究】如图1，AD，BD为⊙O的两条弦（AD＜BD），点C为的中点，过C作CE⊥BD、垂足为E．求证：BE＝DE+AD．
小明同学的思路是：如图2．在BE上截取BF＝AD，连接CA，CB，CD，CF…请你按照小明的思路完成上述问题的证明过程．
【结论运用】如图3，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D是上一点，∠ACD＝45°，连接BD，CD．过点A作AE⊥CD，垂足为E．若AB＝6，求△BCD的周长．
【变式探究】如图4，若将（问题探究）中“点C为的中点”改为“点C为优弧ACB的中点”，其他条件不变，请写出BE、AD、DE之间的等量关系，并加以证明．

【答案】问题探究：见解析；结论应用：12+6；变式探究：BE+AD＝DE，理由见解析
【分析】【问题探究】在BE上截取BF＝AD，连接CA，CB，CD，CF，证明△DAC≌△FBC，根据全等三角形的性质得到CD＝CF，根据等腰三角形的三线合一、结合图形证明结论；
【结论运用】连接AD，在CE上截取CF＝AD，连接AF，证明△DAB≌△FAC，得到DB+DC＝2EC，根据等腰直角三角形的性质求出EC，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
【变式探究】在线段DE上截取DF＝AD，连接CB、CF、CD、CA，证明△ADC≌△FDC，根据全等三角形的性质、等腰三角形的性质解答即可．
【解析】【问题探究】证明：如图2，在BE上截取BF＝AD，连接CA，CB，CD，CF，
∵点C为的中点，
∴＝，
∴AC＝BC，
由圆周角定理得，∠DAC＝∠DBC，
在△DAC和△FBC中，
，
∴△DAC≌△FBC（SAS）
∴CD＝CF，又CE⊥BD，
∴DE＝EF，
∴BE＝EF+BF＝DE+AD；
【结论运用】∵△ABC是⊙O的内接等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝6，
连接AD，在CE上截取CF＝BD，连接AF，
由【问题探究】可知，△DAB≌△FAC，
∴BD＝CF，AD＝AF，
∵AE⊥CD，
∴DE＝EF，
∴EC＝EF+CF＝DE+BD，
∴DB+DC＝2EC，
在Rt△AEC中，∠ACE＝45°，
∴EC＝AC＝6，
∴△BCD的周长＝DB+DC+BC＝12+6；   

【变式探究】BE+AD＝DE，
理由如下：在线段DE上截取DF＝AD，连接CB、CF、CD、CA，

∵点C为优弧ACB的中点，
∴＝，
∴AC＝CB，∠ADC＝∠BDC，
在△ADC和△FDC中，
，
∴△ADC≌△FDC（SAS），
∴CA＝CF，
∵CA＝CB，
∴CF＝CB，
又∵CE⊥BD，
∴BE＝EF，
∴DE＝DF+EF＝BE+AD．      .
【点睛】本题主要考查的是圆的综合题型，解题过程中涉及了圆心角、弦、弧之间的关系、圆周角定理、全等三角形的判定和性质等知识，掌握圆周角定理、正确作出辅助线是解题的关键．
18．（2021·江苏扬州·九年级阶段练习）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：
已知线段BC＝4，使用作图工具作∠BAC＝30°，尝试操作后思考：
（1）这样的点A唯一吗？
（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？

学习小组通过操作、观察、讨论后得到：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外）……小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．

（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．
①该弧所在圆的半径长为 ；
②ABC面积的最大值为 ；
（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为，请你利用图1证明＞30°；
（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形ABCD的边长为AB＝2，BC＝4，点P在直线CD的左侧，且∠DPC＝60°．
①线段PB长的最小值为 ；
②若＝，则线段PD长为 ．
【答案】（1）①4；②；（2）见解析；（3）①；②
【分析】（1）①设O为圆心，连接BO，CO，根据圆周角定理得到∠BOC＝60°，证明△OBC是等边三角形，可得半径；
②过点O作BC的垂线，垂足为E，延长EO，交圆于D，以BC为底，则当A与D重合时，△ABC的面积最大，求出OE，根据三角形面积公式计算即可；
（2）延长BA′，交圆于点D，连接CD，利用三角形外角的性质和圆周角定理证明即可；
（3）①根据，连接PD，设点Q为PD中点，以点Q为圆心，PD为半径画圆，可得点P在优弧CPD上，连接BQ，与圆Q交于P′，可得BP′即为BP的最小值，再计算出BQ和圆Q的半径，相减即可得到BP′；
②根据AD，CD和S△PCDS△PAD推出，可得点P在∠ADC的平分线上，从而找到点P的位置，过点C作CF⊥PD，垂足为F，解直角三角形即可求出DP．
【解析】（1）解：①设O为圆心，连接BO，CO，
∵∠BCA＝30°，
∴∠BOC＝60°，又OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝OC＝BC＝4，即半径为4，
故答案为：4；
②∵△ABC以BC为底边，BC＝4，
∴当点A到BC的距离最大时，△ABC的面积最大，
如图，过点O作BC的垂线，垂足为E，延长EO，交圆于D，以BC为底，则当A与D重合时，△ABC的面积最大，

∴BE＝CE＝2，DO＝BO＝4，
∴OE2，
∴DE＝DO+OE＝4+2，
∴△ABC的最大面积为4×（4+2，
故答案为：8+4；
（2）证明：如图，延长BA′，交圆于点D，连接CD，

∵点D在圆上，
∴∠BDC＝∠BAC＝30°，
∵∠BA′C＝∠BDC+∠A′CD，
∴∠BA′C＞∠BDC，
∴∠BA′C＞∠BAC，即∠BA′C＞30°；
（3）解：①如图，当点P在BC上，且PC＝2时，

∵∠PCD＝90°，AB＝CD＝2，AD＝BC＝4，
∴PD4，∠DPC＝60°，为定值，
连接PD，设点Q为PD中点，以点Q为圆心，PD为半径画圆，
∴当点P在优弧CPD上时，∠DPC＝60°，连接BQ，与圆Q交于P′，
此时BP′即为BP的最小值，过点Q作QE⊥BE，垂足为E，
∵点Q是PD中点，
∴点E为PC中点，即QECD，PE＝CEPC＝1，
∴BE＝BC﹣CE＝4﹣1＝3，
∴BQ2，
∵PD＝4，
∴圆Q的半径为2，
∴BP′＝BQ﹣P′Q＝22，即BP的最小值为22，
故答案为：22；
②∵AD＝4，CD＝2，S△PCDS△PAD，
∴，
∴△PAD中AD边上的高＝△PCD中CD边上的高，
即点P到AD的距离和点P到CD的距离相等，
∴点P在∠ADC的平分线上，
如图，过点C作CF⊥PD，垂足为F，

∵PD平分∠ADC，
∴∠ADP＝∠CDP＝45°，
∴△CDF为等腰直角三角形，又CD＝2，
∴CF＝DF，
∵∠DPC＝60°，
∴PF，
∴PD＝DF+PF．
故答案为：．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，三角形的面积，等边三角形的判定和性质，最值问题，解直角三角形，三角形外角的性质，勾股定理，知识点较多，难度较大，解题时要根据已知条件找到点P的轨迹．
19．（2021·江苏·常州市清潭中学九年级期中）某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
【问题发现】
（1）如图1，正方形ABCD的四个顶点在⊙O上，点E在弧AB上，连结AE、BE、DE．若在DE上截取一点F，使得DF＝BE：连结AF，发现△ADF与△ABE全等，请说明理由．

【变式探究】
（2）如图2，正方形ABCD的四个顶点在⊙O上，若点E在弧AD上，过点A作AG⊥BE，探究线段BE、DE、AG之间是否满足BE﹣DE＝2AG的关系，请说明理由．
【结论运用】
（3）如图3，在正方形ABCD中，AB＝2，若一点P满足PD＝2，并且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．
【答案】（1）见解析；（2）满足BE﹣DE＝2AG，理由见解析；（3）或
【分析】（1）中易证AD＝AB，EB＝DF，所以只需证明∠ADF＝∠ABE，利用同弧所对的圆周角相等不难得出，从而证明全等；
（2）中易证△AEF是等腰直角三角形，所以AF＝AE，因为AG⊥BE，所以FG＝GE＝AG，EF＝2AG，EF＝BE−BF＝BE−DE，得出结论；
（3）由PD＝2可得：点P在以点D为圆心，2为半径的圆上；由∠BPD＝90°可得：点P在以BD为直径的圆上．显然，点P是这两个圆的交点，由于两圆有两个交点，接下来需对两个位置分别进行讨论．然后，添加适当的辅助线，借助（2）中结论，即可解决问题．
【解析】解：（1）在正方形ABCD中，AB＝AD，
∠ABE与∠ADE都对应弧AE，
∴∠ABE＝∠ADE，
在△ADF和△ABE中，

∴△ADF≌△ABE（SAS）；
（2）满足BE﹣DE＝2AG，理由如下：
在BE上取点F，使BF＝DE，连接AF，

由（1）△ADE≌△ABF，
∴BF＝DE，AE＝AF，∠DAE＝∠BAF，
在正方形ABCD中，∠BAD＝90°，
∴∠BAF＋∠DAF＝90°，
∴∠DAE＋∠DAF＝90°，
∴∠EAF＝90°，
∴△EAF是等腰直角三角形三角形，
∵AG⊥BE，
∴FG＝GE＝AG，
∴EF＝2AG，
∵EF＝BE−BF＝BE−DE，
∴BE−DE＝2AG；
（3）解：点A到BP的距离是或，
∵PD＝2，
∴点P在以点D为圆心，2为半径的圆上，
∵∠BPD＝90°，
∴点P在以BD为直径的圆上，
∴点P是这两圆的交点，
当点P在如图3①所示位置时，连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，
过点A作AE⊥AP，交BP于点E，如图3①，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB＝45°．AB＝AD＝DC＝BC＝，∠BAD＝90°，
∴BD＝4．
∵DP＝2，
∴BP＝，
∵∠BPD＝∠BAD＝90°，
∴A、P、D、B在以BD为直径的圆上，
∴∠APB＝∠ADB＝45°，
∴△PAE是等腰直角三角形，
又∵△BAD是等腰直角三角形，点B、E、P共线，AH⊥BP，
∴由（2）中的结论可得：BP＝2AH＋PD，
＝2AH＋2，
∴AH＝；
②当点P在如图3②所示位置时，
连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，
过点A作AE⊥AP，交PB的延长线于点E，如图3②，

同理可得：BP＝2AH−PD，
＝2AH−2，
∴AH＝，
综上所述：点A到BP的距离为或．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、圆周角定理、三角形全等的判定与性质等知识，考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力，而通过添加适当的辅助线从而能用（2）中的结论解决问题是解决第（3）的关键．
20．（2021·江苏·九年级专题练习）在平面直角坐标系xOy中，点P坐标为（2，3），点Q为图形M上一点．我们将线段PQ长度的最大值与最小值之间的差定义为点P视角下图形M的“宽度”．

（1）如图，⊙O半径为2，与x轴分别交于点A，B．
①在点P视角下，⊙O的“宽度”为 　 　，线段AB的“宽度”为 　 　．
②点G（m，0）为x轴上一点，若在点P视角下，线段AG的“宽度”为2，求m的取值范围．
（2）⊙C的圆心在x轴上，且半径为r（r＞1），一次函数y＝x＋1的图象与x轴，y轴分别交于点D，E．若线段DE上存在点K，使得在点K视角下，⊙C的“宽度”可以为2，求圆心C的横坐标xC的取值范围．
【答案】（1）①4；2；②m的范围为2≤m≤6或m=2-；（2）-2≤xC≤．
【分析】（1）①连结PO并延长，交⊙O于Q1，Q2，找到最小值为PQ1，最大值PQ2，作差PQ2-PQ1=Q1Q2=4，根据⊙O的半径为2，求出点A（-2，0），点B（2，0），点P（2，3），由点B与点P的横坐标相同，可得PB⊥x轴，求出最小值PB =3，最大值PA=，AB的“宽度”为AP-BP=5-3=2即可，；
②当点G在点A的右边，AG的“宽度”为2，最小值PB=3，最大值PG=3+2=5，根据勾股定理BG=，分情况讨论当-2≤m＜2时，PA-PG＜2，当m＞6时， PG-PB＞2，不满足条件，可得2≤m≤6，PG最大-PB=2，当点G在点A左侧，只有一点；
（2）根据⊙C的“宽度”可以为2，r＞1，2r＞2，可得点K在⊙C内部，由点K在DE上，可以看作以点C为圆心，以1为半径的圆与线段DE有交点的心轨迹，当点K与点D重合时，可得xC=-2,，当以点C为圆心，1为半径的圆与DE相切时,切点为K，DK=CK=1，根据勾股定理可求DC=，再求出此时xC=即可．
【解析】解：（1）①连结PO并延长，交⊙O于Q1，Q2，
最小值为PQ1，最大值PQ2，
∴PQ2-PQ1=Q1Q2=4，
∵⊙O的半径为2，
∴点A（-2，0），点B（2，0），点P（2，3），
∵点B与点P的横坐标相同，
∴PB⊥x轴，
最小值PB =3，最大值PA=，
∴AP-BP=5-3=2，
故答案为4；2；

②当点G在点A的右边，AG的“宽度”为2，
∵最小值PB=3，最大值PG=3+2=5，
根据勾股定理BG=，
当-2≤m＜2时，PA-PG＜2，
当m＞6时，PG＞PA，PG-PB＞2，
∴2≤m≤6，PG最大-PB=2，
当点G在点A左侧，
最小值PA=5，AG的“宽度”为2，最大值PG=5+2=7，
在Rt△PBG中，BG=，
∴点G（2-，0），
∴m=2-，
综合m的范围为2≤m≤6或m=2-；

（2）∵一次函数y＝x＋1的图象与x轴，y轴分别交于点D，E．
∴当x=0时，y=1，当y=0时，x=-1，
点D（-1，0），点E（0，1），
∵OD=OE=1，
∴∠DEO=∠EDO=45°，
∵⊙C的“宽度”可以为2，r＞1，2r＞2，
∴点K在⊙C内部，点K在DE上，以点C为圆心以1为半径的圆与线段DE有交点，

当点K与点D重合时，xC=-2,
当以点C为圆心，1为半径的圆与DE相切时,切点为K，CK⊥DE，
∴∠KCD=180°-∠DKC-∠KDC=180°-90°-45°=45°=∠KDC，
∴DK=CK=1，
∴DC=，
此时xC=，
∴在点K的视角下，⊙C的“宽度”可以为2，圆心C的横坐标xC的取值范围为:
-2≤xC≤．
【点睛】本题考查新定义“宽度”，点与圆的最大距离与最小距离，勾股定理，直线与圆相切的性质，等腰直角三角形判定与性质，掌握新定义“宽度”，点与圆的最大距离与最小距离，勾股定理，直线与圆相切的性质是解题关键．
21．（2021·江苏·泗阳县实验初级中学九年级阶段练习）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上的两个动点，且，AE和BF相交于点P．
（1）探究AE、BF的关系，并说明理由；
（2）求证：A、D、F、P在同一个圆上；
（3）如图2，若正方形ABCD的边AB在y轴上，点A、B的坐标分别为、，点E、F分别是BC、CD上的两个点，且，AE和BF相交于点P，点M的坐标为，当点P落在以M为圆心1为半径的圆上．求a的取值范围．

【答案】（1）AE=BF，且AEBF，见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）证明，得AE=BF，，再根据三角形内角和定理和等量代换即可得；
（2）由得到，再利用同角的余角相等，解得，最后90°角所对的弦是直径解答即可；
（3）如图，先计算AB=2a，由 可得在以为圆心，半径为的圆上，再确定点落在上的两个临界点，即两圆外切与两圆内切时，从而可得答案．
【解析】解：（1）在正方形ABCD中，
AB=BC, ，
在和中，


AE=BF，

∵，
，
∴，
AEBF
AE=BF，且AEBF；
（2）由（1）知，



A、D、F、P在以AF为直径的同一个圆上；
（3）

的中点的坐标为：
如图， 结合（1）可得：
在以为圆心，半径为的圆上，

要在以为圆心，半径为的圆上，
当外切时，过作于
则 而




如图，当内切时，过作于
则

同理可得：



所以：当点P落在以M为圆心1为半径的圆上．a的取值范围为：
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用，90°所对的弦是直径、两圆的外切与内切的性质，四点共圆的知识，解题的关键是判断两圆外切与内切是解题的临界位置．
22．（2021·江苏盐城·九年级阶段练习）【概念认识】自一点引出的两条射线分别经过已知线段的两端，则这两条射线所成的角称为该点对已知线段的视角，如图①，∠APB是点P对线段AB的视角．
数学理解，如图②，已知线段AB与直线l，在直线l上取一点P，使点P对线段AB的视角最大．
（1）过A、B两点，作⊙O使其与直线相切，切点为P，则点P对线段AB的视角最大，即∠APB最大，为了证明点P的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点Q，连接AQ，BQ，证明：∠APB＞∠AQB即可，请完成这个证明．
【问题解决】在足球电子游戏中，足球队球门的视角越大，越容易被踢进，如果一名球员沿直线带球前进，那么他应当在哪个地方射门，才能使进球的可能性最大？
（2）如图③，A、B是足球门的两端，线段AB是球门的宽，CD是球场边线，∠ADC是直角．
①若该球员沿边线CD带球前进，记足球所在的位置为点P，在图③中，用直尺和圆规在线段CD上求作点P，使点P对AB的视角最大（不写作法，保留作图痕迹）．
②若M是线段CD上一点，∠CMN＝60°，该球员沿射线MN带球前进（如图④），记足球所在的位置为点P，已知AB＝4，BD＝9，DM＝，求点P对AB的最大视角.

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；（3）
【分析】（1）如图1，设直线交⊙于点，连接，，由此即可得证；
（2）①如图2，作的中垂线交于点，以点为圆心，以直线和直线的距离长度为半径作弧交于点，由此即可求解；
②延长交的延长线于点，由①知，过点、的圆与相切时，点对的视角最大，进而求解．
【解析】（1）证明：如图1，设直线交⊙于点，连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①如图2，作的中垂线交于点，

以点为圆心，以直线和直线的距离长度为半径作弧交于点，
作⊙交于点，连接、，则即为所求角；
②延长交的延长线于点，由①知，过点、的圆与相切时，点对的视角最大，
如图，作的中垂线交于点，则点在线段上，

，
在中，，则，
又∵，
∴，
∴，
在中，，
∴设，则，
又∵，，
∴，
解得：（舍负），
∴，
设⊙的半径为，
在中，，则，
∴，
又∵，，
∴，
解得：（舍负），
在中，，，，
∵，
∴，
解得（舍去），4，
∴，
故为等边三角形，
连接AP，BP，

则，
即点对的最大视角为．
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，直线和圆相切，含30°的直角三角形的性质以及勾股定理的应用等相关知识，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．
23．（2020·江苏南京·九年级期中）【提出问题】
（1）已知点P是⊙O外的一点，在⊙O上找一点A，使P、A两点间距离最短．
如图①，连接OP，OP与⊙O的交点A即为所求，此时线段PA最短．为了证明点A即为所求，不妨在⊙O上另外任取一点B，连接PB，OB，证明PB＞PA．请完成这个证明．

【变式探究】
（2）已知直线l与⊙O相离，在⊙O上找一点M，使点M到直线l的距离最短．
小明给出下列解答，请你补全小明的解答．
小明的解答
如图②，过点O作ON⊥l，垂足为N，ON与⊙O的交点M即为所求，此时线段MN最短．为了证明点M即为所求，不妨在⊙O上另外任取一点P，过点P作PQ⊥l，垂足为Q，连接OP，OQ，即证明PQ＞MN．
∵　　，OQ＞ON，∴OP+PQ＞ON．
又　　，∴OP+PQ＞OM+MN．
又OP＝OM，∴PQ＞MN．
【拓展研究】
（3）如图③，已知直线l和直线外一点A，线段MN的长度为1．请用直尺和圆规作出一个⊙O，使⊙O经过点A，且⊙O上的点到直线l的距离的最小值为1．（不写作法，保留作图痕迹）
（4）如图④，在△ABC中，AC＝8，BC＝12，∠C＝30°，⊙O经过点A，且⊙O上的点到直线BC的距离的最小值为2，距离最小值为2时所对应的⊙O上的点记为点P，若点P在△ABC的内部（不包括边界），则⊙O的半径r的取值范围是　　．
【答案】（1）见解析；（2）OP+PQ＞OQ，ON＝OM+MN；（3）见解析；（4）1≤r＜4．
【分析】（1）根据三角形的三边关系以及同圆的半径相等即可得出结论；
（2）根据三角形的三边关系以及同圆的半径相等即可得出结论；
（3）作直线l的垂线垂足为P，在垂线上与点A同侧截取PT＝MN＝1，连接AT，作AT的垂直平分线交直线PT于点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O即为所求；
（4）作到直线BC距离为2的直线l，则l∥BC，当P点在AC边上时，此时r最大，作AP的垂直平分线、并过P作l的垂线，与垂直平分线交于点O，以O为圆心，OA长度为半径作圆，设OA＝r，过A作AH⊥OP于点H，AE⊥BC于点E，证明△OAP为等边三角形，根据等边三角形的性质可得OA＝4，当A、O、P三点共线时，此时r最小，求出r的最小值，即可得⊙O的半径r的取值范围．
【解析】解：（1）证明：在⊙O上另外任取一点B，连接PB，OB，
∵OA、OB是⊙O的半径，
∴OA＝OB，
在△OPB中，PB＞OP﹣OB，
∴PB＞OP﹣OA，即PB＞PA，
∴点A即为⊙O上使P、A两点间距离最短的点；
（2）证明：在⊙O上另外任取一点P，过点P作PQ⊥l，垂足为Q，连接OP，OQ，
∵OP+PQ＞OQ，OQ＞ON，
∴OP+PQ＞ON．
又 ON＝OM+MN，
∴OP+PQ＞OM+MN．
又OP＝OM，
∴PQ＞MN．
故答案为：OP+PQ＞OQ，ON＝OM+MN；
（3）作图不唯一，如图：

（4）如图，作到直线BC距离为2的直线l，则l∥BC，

∵P点到BC的距离为2，
∴P点在直线l上，
又∵点P为⊙O上到BC的距离最小的点，
∴OP⊥l，
∴点P为⊙O与直线l的切点，
∴圆心O在过点P且垂直于BC的直线上，
当P点在AC边上时，此时r最大，作AP的垂直平分线、并过P作l的垂线，与垂直平分线交于点O，以O为圆心，OA长度为半径作圆，设OA＝r，过A作AH⊥OP于点H，AE⊥BC于点E，
∵AH⊥OH，OH⊥BC．
∴AH∥BC，
∴∠HAP＝∠C＝30°，∠APH＝60°，
∵OA＝OP，
∴△OAP为等边三角形，
∴OA＝AP，
∵AC＝8，∠C＝30°，AE⊥BC，EF＝2，
∴AE＝4，AF＝2，
∵l∥BC，
∴AP＝AC＝4，
∴OA＝4，
即r最大为4，
当A、O、P三点共线时，此时r最小，如图：

∵A、O、P三点共线，
∴AP为⊙O的直径，
∴r＝1，
∵P在△ABC内部，
∴半径的取值范围是1≤r＜4．
故答案为：1≤r＜4．
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的相关性质，切线的性质，三角形三边的关系，等边三角形的性质与判定等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
24．（2021·江苏扬州·九年级期中）如图1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P以3cm/s的速度从点A向点B运动，点Q以4cm/s的速度从点C向点B运动．点P、Q同时出发，运动时间为t秒（0＜t＜2），⊙M是△PQB的外接圆．
（1）当t＝1时，⊙M的半径是　 　cm，⊙M与直线CD的位置关系是　 　；
（2）在点P从点A向点B运动过程中．
①圆心M的运动路径长是　 　cm；
②当⊙M与直线AD相切时，求t的值．
（3）连接PD，交⊙M于点N，如图2，当∠APD＝∠NBQ时，求t的值．

【答案】（1），相离；（2）①5；②t＝；（3）t＝
【分析】（1）首先作出辅助线，利用矩形的性质得到PQ为的直径，再通过勾股定理即可求出的半径；然后利用中位线定理求出圆心到直线的距离，即可判断与与直线的关系.
（2）首先得到圆心M的运动路径为,再根据勾股定理和矩形的性质即可求出的长，利用直线与圆相切的性质将和用含有t的式子表示出来，再通过即可求解出t的值；
（3）先作出辅助线，利用直角三角形的全等的判定定理HL证明，再根据勾股定理得到，即可求解出t的值．
【解析】解：（1）如图1，过M作于，交于，
∵四边形ABCD是矩形，

∴，，
∴的直径是PQ，，
当t＝1时，AP＝3，AQ＝4，
∵AB＝6，BC＝8，
∴PB＝6﹣3＝3，BQ＝8﹣4＝4，
∴PQ＝＝5，
∴的半径为，
∵，M是PQ的中点，
∴PN＝BN，
∴MN是的中位线，
∴，
∴，
∴⊙M与直线CD的位置关系是相离；
故答案为：，相离；
（2）①如图2，由P、Q运动速度与AB，BC的比相等，

∴圆心M在对角线BD上，
由图可知：P和Q两点在t＝2时在点B重合，
当t＝0时，直径为对角线AC，M是AC的中点，
故M运动路径为，
由勾股定理得：，
则圆心M的运动路径长是5cm；
故答案为：5；
②如图3，当⊙M与AD相切时，设切点为F，连接FM并延长交BC于E，则，，

则BQ＝8﹣4t，PB＝6﹣3t，
∴PQ＝10﹣5t，
∴，
中，，
∵，
∴，
解得：；
（3）如图4，过D作DG⊥PQ，交PQ的延长线于点G，连接DQ，

∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵PD＝PD，
∴（HL），
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
，
解得：（舍），．
【点睛】本题主要考查三角形、矩形、圆的性质的综合应用，需要对于图形的几何关系熟练的掌握和应用，属于较难的综合类题型.
25．（2021·江苏淮安·九年级期末）（1）问题背景
如图①，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AB＝AC，P为弧BmC上一动点（不与B，C重合），若PA＝4，求四边形ABPC的面积．
小明同学观察到图中自点A出发有三条线段AB，AP，AC，且AB＝AC，这就为旋转作了铺垫．于是，小明同学有如下思考过程：

第一步：将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB（如图②）；
第二步：证明Q，B，P三点共线，进而把求四边形ABPC的面积转化求为△PAQ的面积．
根据小明同学的思考过程可知：△PAQ的形状是　 　，四边形ABCP的面积为　 　．
（2）方法类比
如图3，P是等边三角形外一点，若∠APC＝30°，PA＝4，PC＝3，试求四边形PABC的面积．

（3）拓展延伸
如图④，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点，AB＝BC，AB⊥BC，垂足为A，则OC的最小值为　 　．
【答案】（1）等腰直角三角形，8；（2），（3）．
【分析】（1）根据全等三角形的性质可以得结论；
（2）连接BP，将△BCP绕点A逆时针旋转60°，得到△BAD,连接DP，过点B作BE⊥DF，垂足为E，四边形的面积就是等边三角形BPD的面积减去△ADP的面积；
（3）连接OB、OA，作BF⊥OB，截取BF=4，连接OF、AF，类似于（2）构造相似三角形，得出AF与OC的关系，求AF最小值即可．
【解析】解：由旋转可知，AQ=AP，∠ACP=∠ABQ，∠PAQ=90°，
∵∠ACP+∠ABP=180°，
∴∠ABQ+∠ABP=180°，
∴Q，B，P三点共线，
∴△PAQ的形状是等腰直角三角形，
∵PA＝4，
∴四边形ABCP的面积=△PAQ的面积=×4×4=8，
故答案为：等腰直角三角形，8；
（2）连接BP，将△BCP绕点A逆时针旋转60°，得到△BAD,连接DP，过点B作BE⊥DF，垂足为E，
由旋转可知，△BDP是等边三角形，∠BCP=∠BAD,AD=CP=3，
∵∠ABC=60°，∠ACP=30°，
∴∠BCP+∠BAP=270°，
∴∠BAD +∠BAP=270°，
∴∠DAP=90°，
∵PA＝4，PC＝AD=3，
∴BP=DP=，
∵BE⊥DF，
∴EP=DP=,
BE=，
，
，
，
．
．
=．

（3）连接OB、OA，作BF⊥OB，截取BF=4，连接OF、AF，
∵∠ABC=∠FBO=90°，
∴∠OBC=∠FBA，
∵，
∴△OBC∽△FBA，
∴，
OF=，OA=3，
∵AF≥OF-OA，
∴AF最小值为2，
∴OC最小值为2×．
故答案为：．

【点睛】本题考查了旋转与圆、相似、全等的综合，解题关键是理解题目所给的信息，恰当的作辅助线，综合利用全等、相似等知识进行证明或计算．
26．（2021·江苏镇江·九年级期末）[发现]
如图（1），AB为⊙O的一条弦，点C在弦AB所对的优弧上，根据圆周角性质，我们知道∠ACB的度数　 （填“变”或“不变”）；若∠AOB＝150°，则∠ACB＝　 °．爱动脑筋的小明猜想，如果平面内线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，那么点C是不是在某一个确定的圆上运动呢？

[研究]
为了解决这个问题，小明先从一个特殊的例子开始研究．如图（2），若AB＝2，直线AB上方一点C满足∠ACB＝45°，为了画出点C所在的圆，小明以AB为底边构造了一个等腰Rt△AOB，再以O为圆心，OA为半径画圆，则点C在⊙O上．请根据小明的思路在图（2）中完成作图（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并用2B铅笔或黑色水笔加黑加粗）．后来，小明通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论，即：若线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型．
[应用]
（1）如图（3），AB＝2，平面内一点C满足∠ACB＝60°，则△ABC面积的最大值为　 　．
（2）如图（4），已知正方形ABCD，以AB为腰向正方形内部作等腰△BAE，其中BE＝BA，过点E作EF⊥AB于点F，点P是△BEF的内心．
①∠BPE＝　 °，∠BPA＝　 °；
②连接CP，若正方形ABCD的边长为2，则CP的最小值为　 ．
【答案】[发现]不变，75；[研究]补全图形如图1所示，见解析；[应用]（1）3；（2）①135，135；②．
【分析】[发现]根据题意，直接得出答案，利用圆周角定理求出∠ACB；
[研究]先作出AB的垂直平分线，再以垂足为圆心，AB的一半为半径确定出圆心O，即可得出结论；
[应用]（1）先确定出△ABC的外接圆的半径，再判断出点C到AB的最大距离为3，即可得出结论；
（2）①先确定出∠BFE=90°，再判断出∠BEP=∠BEF，∠EBP=∠ABE，最后用三角形的内角和定理，即可得出结论；
②先作出△ABP的外接圆，进而求出外接圆的半径，进而判断出CP最小时，点P的位置，最后构造直角三角形，即可得出结论．
【解析】解：[发现]根据圆周角性质，∠ACB的度数不变，
∵∠AOB＝150°，
∴∠ACB＝∠AOB＝75°，
故答案为：不变，75°；
[研究]补全图形如图1所示，

[应用]（1）如图2，

记△ABC的外接圆的圆心为O，连接OA，OB，
∵∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝30°，
过点O作OH⊥AB于H，
∴AH＝AB＝，
在Rt△AHO中，设⊙O的半径为2r，则OH＝r，
根据勾股定理得，（2r）2﹣r2＝3，
∴r＝1（舍去负数），
∴OA＝2，OH＝1，
∵点C到AB的最大距离h为r+OH＝2+1＝3，
∴S△ABC最大＝AB•h＝×2×3＝3，
故答案为：3；
（2）①∵EF⊥AB，
∴∠EFB＝90°，
∴∠BEF+∠EBF＝90°，
∵点P是△BEF的内心，
∴PE，PB分别是∠BEF和∠EBF的角平分线，
∴∠BEP＝∠BEF，∠EBP＝∠ABP＝∠ABE，
∴∠BPE＝180°﹣（∠BEP+∠EBP）＝180°﹣（∠BEF+∠EBF）＝180°﹣×90°＝135°；
在△BPE和△BPA中，
，
∴△BPE≌△BPA（SAS）．
∴∠BPA＝∠BPE＝135°，
故答案为：135°，135°；
②如图3，
作△ABP的外接圆，圆心记作点O，连接OA，OB，在优弧AB上取一点Q，连接AQ，BQ，
则四边形APBQ是⊙O的圆内接四边形，
∴∠AQB＝180°-∠BPA＝45°，
∴∠AOB＝2∠AQB＝90°，
∴OA＝OB＝AB＝，
连接OC，与⊙O相交于点P'此时，CP'是CP的最小值，
过点O作OM⊥AB于M，ON⊥CB，交CB的延长线于N，
则四边形OMBN是正方形，
∴ON＝BN＝BM＝AB＝1，
∴CN＝BC+BN＝3，
在Rt△ONC中，OC＝＝，
∴CP的最小值＝CP'＝OC﹣OP'＝﹣，
故答案为：﹣．

【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质，内心，构造出圆是解本题的关键．
27．（2022·江苏无锡·一模）某市民用水拟实行阶梯水价，每人每月用水量中不超过w吨的部分按4元/吨收费，超出w吨的部分按10元/吨收费，该市随机调查居民，获得了他们3月份的每人用水量数据，绘制出如图不完整的两张统计图表：请根据以下图表提供的信息，解答下列问题：
表1
组别
月用水量x吨/人
频数
频率
第一组

100
0.1
第二组


n
第三组

200
0.2
第四组

m
0.25
第五组

150
0.15
第六组

50
0.05
第七组

50
0.05
第八组

50
0.05

合计

1

(1)观察表1可知这次抽样调查的中位数落在第_______组，表1中m的值为_________，n的值为_______；表2扇形统计图中“用水量”部分的的圆心角为___________．
(2)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在3月份的每人用水价格为4元/吨，w至少定为多少吨？
(3)利用（2）的结论和表1中的数据，假设表1中同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，估计该市居民3月份的人均水费．
【答案】(1)四##0.15##250##72°
(2)3
(3)8.8元

【分析】（1）用1减去其余七个小组的频率得到n值为0.15；用第一组的频数与频率求出这次随机抽查总人数为1000人，用总人数1000乘0.25求出m值为250人；用1000乘n值0.15得到第二组人数为150人，根据前三组人数和与前四组人数和推出中位数落在第四组；
（2）前五组人数和超过80%，w值确定在第五组最高值3吨；
（3）总水费等于除以总人数1000得到人均水费，总水费为4元/吨的部分总水费与10元/吨的部分总水费的和，每部分总水费等于水总吨数乘以单价，每部分水总吨数等于各组人均吨数乘以人数．
（1）n=1-(0.1+0.2+0.25+0.15+0.05+0.05+0.05)=0.15，（人），（人），（人），∵100+150+200=450501，∴第500与第501个数在第四组，中位数落在第四组；故答案为，四；0.15；250；72°；
（2）∵0.1+0.15+0.2+0.25+0.15=0.85=85%>80%，∴为使80%以上居民在3月份的每人用水价格为4元/吨，w至少定为3吨；
（3）（元）．答：估计该市居民3月份的人均水费为8.8元．
【点睛】本题考查了阶梯计费，频数与频率，中位数，熟练掌握分段阶梯计费意义，超出部分意义，频数与频率的定义中位数定义和算法，是解决此类问题的关键．
28．（2022·全国·九年级专题练习）某学校七年级数学兴趣小组组织一次数学活动．在一座有三道环形路的数字迷宫的每个进口处都标记着一个数，要求进入者把自己当作数“1”，进入时必须乘进口处的数，并将结果带到下一个进口，依次累乘下去，在通过最后一个进口时，只有乘积是5的倍数，才可以进入迷宫中心，现让一名5岁小朋友小军从最外环任一个进口进入．

(1)小军能进入迷宫中心的概率是多少？请画出树状图进行说明．
(2)小组两位组员小张和小李商量做一个小游戏，以猜测小军进迷宫的结果比胜负．游戏规则规完：小军如果能进入迷宫中心，小张和小李各得1分；小军如果不能进入迷宫中心，则他在最后一个进口处所得乘积是奇数时，小张得3分，所得乘积是偶数时，小李得3分，你认为这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请在第二道环进口处的两个数中改变其中一个数使游戏公平．
(3)在（2）的游戏规则下，让小军从最外环进口任意进入10次，最终小张和小李的总得分之和不超过28分，请问小军至少几次进入迷宫中心？
【答案】(1)，树状图见详解；
(2)不公平，可将第二道环上的数4改为任一奇数；
(3)2次．

【分析】（1）根据题意，绘制树状图，分析可知小军行动路线共有12种可能情况，可进入中心的有4种可能情况，进而计算进入迷宫中心的概率．
（2）游戏是否公平，关键要看是否游戏双方赢的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．
（3）可设小军次进入迷宫中心，根据题意设不等式，解不等式即可．
（1）
树状图如下：

由树状图可知，进入者可能有12种结果，可进入迷宫中心的结果有4种，故小军能进入迷宫中心的概率为．
（2）
不公平，理由如下：
方法一：由树状图可知，，
，．
所以不公平．
方法二：从（1）中树状图得知，不是5的倍数时，结果是奇数的有2种情况，而结果是偶数的有6种情况，显然小李胜面大，所以不公平．
方法三：由于积是5的倍数时两人得分相同，所以可直接比较积不是5的倍数时，奇数、偶数的概率．
，，
所以不公平．
要想游戏公平，可将第二道环上的数4改为任一奇数．
（3）
设小军次进入迷宫中心，则，
解之得．
所以小军至少2次进入迷宫中心．
【点睛】本题主要考查了列举法求概率的运用，准确绘制树状图并加以分析是解题关键．