湖南省多所学校2022-2023学年高一数学上学期第一次联考试卷（Word版附解析）

高一数学试卷

一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据集合的交并补运算，即可求解.

【详解】解：，，

故选：C.

2. 已知命题，．则（    ）

A. p为真命题，， B. p为假命题，，

C. p为真命题，， D. p为假命题，，

【答案】B

【解析】

【分析】利用根的判别式即可判断命题的真假，再根据存在量词命题的否定为全称量词命题，即可得出答案.

详解】解：对于方程，即，

，所以方程无解，

故p为假命题，

，.

故选：B.

3. “”是“”的（    ）

A. 必要不充分条件 B. 充要条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解.

【详解】解：因为不能推出，且可以推出，

所以“”是“”的必要不充分条件，

故选：A

4. 给出下列关系：

（1）；（2）；（3）；（4）．其中不正确的个数为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】根据集合的性质，逐项分析，即可.

【详解】解：空集是任何集合的子集，故（1）正确，

是一个点集,而0是一个数，所以（2）错误，

，所以（3）正确

，所以（4）错误.

故选：B.

5. 若，且，则下列不等式中不恒成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】用特殊值判断B,根据基本不等式，判断ACD.

【详解】解： ，即，故A对，

取，此时，故B错，

因，所以，所以，故C对，

因为，所以，所以，故D对，

故选：ACD

6. 若命题“，”是假命题，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据特称命题的否定，结合函数性质解决恒成立问题，分类讨论，可得答案.

【详解】由题意，命题“”时真命题，令，

当时，可得显然成立，符合题意；

当时，由二次函数的性质，可得，则，解得，

综上，.

故选：A.

7. 甲、乙两人解关于x的不等式，甲写错了常数b，得到的解集为；乙写错了常数c，得到的解集为．那么原不等式的解集为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据韦达定理即可求解.

【详解】解：根据韦达定理得，，原不等式的两根满足，解得：，

故解集为：，

故选：D.

8. 若，且M中至少含有一个质数，则满足要求的M的个数为（    ）

A. 16 B. 20 C. 24 D. 32

【答案】C

【解析】

【分析】由题意，才有列举法，将符合题意的集合一一列举出来，可得答案.

【详解】由题意，可以取的所有值有，其中质数有，

当且中只有一个质数时，集合有，，，，，，，；

当且中只有一个质数时，集合有，，，，，，，；

当时，集合有，，，，，，，；

故总个数为个.

故选：C.

二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】解一元二次不等式求得两集合，再根据交集和补集的定义即可判断AB，根据补集的定义和集合间的关系即可判断CD.

【详解】解：或，

，

则，故A错误；

，故B正确；

，故C正确，D错误.

故选：BC.

10. 已知实数a，b，c，若，则下列不等式一定成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】易得，且，再根据不等式的性质逐一判断即可.

【详解】解：因为，则，且，

所以，，故A，C正确；

当时，，故B错误；

因为，所以，

所以，故D正确.

故选：ACD.

11. 成立的一个充分不必要条件可以是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AB

【解析】

【分析】先因式分解，即可求解，再根据充分不必要条件的判断，即可求出答案.

【详解】解：原式可化为，解得或，

故选：AB.

12. 已知关于x的不等式的解集为，且，若，是方程的两个不等实根，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】由题意可以判断A错误；根据图像的平移变换，可得变换前后对称轴不变，即，变形后可判断B正确；根据,亦可判断C正确，通过举反例，即可判断D错误.

【详解】解：由题意得,故A错误，

因为将二次函数的图像上的所有点向上平移1个单位长度，得到二次函数的图像，所以,即，B正确，

如图，又，所以，C正确，

当时，，，

所以，D错误.

故选：BC.

三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13. 已知，，则ab的最小值为______，最大值为______．

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】由，得，再根据不等式同向可乘性这一性质即可得出答案.

【详解】解：因为，所以，

又，

所以，所以，

所以ab的最小值为，最大值为.

故答案为：；.

14. 某年级先后举办了数学和音乐讲座，其中参加数学讲座的人数是参加音乐讲座的人数的，只参加数学讲座的人数是只参加音乐讲座的人数的，有20人同时参加数学、音乐讲座，则参加讲座的人数为______．

【答案】120

【解析】

【分析】根据集合交集、并集的性质进行求解即可.

【详解】解：设参加数学讲座的学生的集合为A, 参加音乐讲座的学生的集合为B，

则，

解得：,又，

所以,

则参加讲座的人数为120,

故答案为：120.

15. 设，，若，则最大值为______．

【答案】

【解析】

【分析】利用基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的最大值.

【详解】因为，

所以，，可得，

当且仅当时，取最大值.

故答案为：.

16. 已知集合恰有8个子集，则a的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】先分解因式，再根据二次函数有两解，由即可求解.

【详解】解：集合恰有8个子集，故集合中有3个元素，

即有三个不同的解，

即有两个不为0的解,

即，且，

解得且，，

所以.

故答案为：

四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知表示不超过的最大整数，称为高斯取整函数，例如，，方程的解集为，不等式的解集为．

（1）求；

（2）已知，正数a，b满足，求的最小值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）首先根据取整函数的定义解不等式求出集合，再解一元二次不等式求出集合，最后根据并集的定义计算可得；

（2）依题意可得，再由乘“1”法及基本不等式计算可得.

【小问1详解】

解：由，则，解得，即，

由，即，解得，所以，

所以.

【小问2详解】

解：因为，所以，

又，，所以

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为；

18. 已知，，．

（1）若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围；

（2）若是r的必要条件，求m的最大值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）设集合为命题对应的集合，为命题对应的集合，由题意可得集合是集合的真子集，从而可得出答案；

（2）设集合为命题对应的集合，为命题对应的集合，由题意可得，从而可得出答案.

【小问1详解】

解：由，即或，

设，，

因为p是q的必要不充分条件，

所以集合是集合的真子集，

所以；

【小问2详解】

解：由，即，

，

设，

因为是r的必要条件，

所以，

所以，解得，

所以m的最大值为.

19. 设集合，，．已知．

（1）求A；

（2）若，求所有满足条件的a的取值集合．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据，即可求解.

(2)对集合B分类讨论即可求解.

【小问1详解】

解：，

又，所以，所以

【小问2详解】

解：因为，所以

①时，，

②时，，

所以时，，时，，

综上，

20. 如图，直角三角形是一个展览厅的俯视图，矩形是中心舞台，已知，．

（1）要使中心舞台的面积大于，求的取值范围．

（2）当的长度为多少时，中心舞台的面积最大？并求出最大的面积．

【答案】（1）   

（2）时，中心舞台的面积最大，最大的面积为

【解析】

【分析】（1）设，根据三角形相似表示出，再根据即可表示出矩形的面积，从而得到不等式，解得即可；

（2）根据二次函数的性质计算可得.

【小问1详解】

解：在直角三角形中，，所以，

设，依题意可得，

所以，所以，，

又，即，所以，

所以，

所以，解得，所以的取值范围为.

【小问2详解】

解：因为，

所以当，即时，中心舞台的面积最大，最大的面积为；

21. （1）若的解集为，求实数a，b的值；

（2）已知，求关于x的不等式的解集．

【答案】(1) ;(2) ①时，解集为，

②时，解集为，

③时，解集为.

【解析】

【分析】（1）根据韦达定理即可求解；

（2）分解因式，再分类讨论的大小，即可求解.

【详解】解：（1）由题意得，为的两个根，且，

由韦达定理得：,  ②式除①式，整理得，，

解得或，所以或(舍去).

(2) 整理得，即，

①时，即，所以解集为，

②时，即，所以解集为，

③时，即，所以解集为.

22. （1）已知x，y为正实数．证明：．

（2）对任意的正实数x，y，均有成立，求k的取值范围．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】（1）由，应用基本不等式求范围，即可证结论；

（2）应用柯西不等式有，结合恒成立，即可求范围.

【详解】（1）由x，y为正实数，

，

当且仅当，即等号成立，

所以得证.

（2）由柯西不等式有，则，

当且仅当时等号成立，又x，y为正实数，

所以，而恒成立，

所以