吉林省白城市通榆县毓才高级中学2022-2023学年高二数学上学期第一次月考试题（Word版附解析）

通榆县毓才高级中学 高二上学期第一次月考

数学试卷

命题：高二数学组

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：选择性必修第一册人教A版第一章、第二章2.2之前.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.

1. 直线经过点，且倾斜角，则直线的方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 向量，若，则的值为（    ）

A. 2 B. 1 C.  D.

3. 直线的倾斜角为（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 直线恒过定点（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在四面体中，点在棱上，且满足，点，分别是线段，的中点，则用向量，，表示向量应为（    ）

A.  B.

C.  D.

7. 已知直线，.当时，的值为（    ）

A. 1 B.  C. 或1 D.

8. 在正方体中，分别为，中点，为侧面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为　　

A.  B.  C.  D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 若直线过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程可能为（    ）

A.  B.

C.  D.

10. 已知点P是平行四边形所在的平面外一点，如果，下列结论正确的有（    ）

A.  B.

C. 是平面的一个法向量 D.

11. 已知的三个顶点、、，则下列说法正确的是（    ）

A. 直线的斜率为

B. 直线的倾斜角为钝角

C. 边的中点坐标为

D. 边上的中线所在的直线方程为

12. 直线l过点且斜率为k，若与连接两点，线段有公共点，则k的取值可以为（    ）

A.  B. 1 C. 2 D. 4

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13. 在空间直角坐标系中，点和点间的距离是__________．

14. 已知点P(－，1)，点Q在y轴上，直线PQ的倾斜角为120°，则点Q的坐标为_____．

15. 经过点，且在轴上截距等于在轴上的截距的3倍的直线的方程的一    

般式为__________．

16. 如图所示，在正方体中，M为棱的中点，则异面线与AM所成角的余弦值为________.

四．解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 求直线L方程：

（1）求过点P（1，2）且与直线3x-2y+5=0平行的直线方程；

（2）求过点P（1，-1）且与直线2x+3y+1=0垂直的直线方程.

18. 已知直线l经过点，其倾斜角为.

(1)求直线l的方程；

(2)求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积.

19. 如图，在正四棱柱中，已知，，E，F分别为，上的点，且．

（1）求证：平面ACF：

（2）求点B到平面ACF的距离．

20. 已知三角形三个顶点的坐标分别是､､.

（1）求BC边所在直线的方程；

（2）求BC边上的中线所在直线的方程.

21. 如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为中点，F为中点，．

（1）证明：∥平面；

（2）求点到面的距离．

22. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5.

（1）求证：AA1⊥平面ABC；

（2）求二面角A1-BC1-B1的余弦值.

通榆县毓才高级中学 高二上学期第一次月考

数学试卷

命题：高二数学组

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：选择性必修第一册人教A版第一章、第二章2.2之前.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.

1. 直线经过点，且倾斜角，则直线的方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用直线的点斜式方程求解.

【详解】解：因为直线的倾斜角，

所以直线的斜率为1，

又直线经过点，

所以直线的方程为，

即，

故选：B

2. 向量，若，则的值为（    ）

A. 2 B. 1 C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据空间向量平行的坐标公式即可求出结果.

【详解】由题意可得知，则，因此，所以，

故选：C.

3. 直线倾斜角为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据倾斜角和斜率的关系求解.

【详解】由已知得，

故直线斜率

由于倾斜的范围是，

则倾斜角为.

故选：B.

4. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先根据空间直角坐标系对称点的特征，点，，关于轴的对称点的坐标为只须将横坐标、竖坐标变成原来的相反数即可，即可得对称点的坐标．

【详解】解：在空间直角坐标系中，

点，，关于轴的对称点的坐标为：，，，

点关于轴的对称点的坐标为：．

故选：．

5. 直线恒过定点（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】将直线方程变形得，再根据方程即可得答案.

【详解】解：由得到：，

∴直线恒过定点．

故选：A

6. 如图，在四面体中，点在棱上，且满足，点，分别是线段，的中点，则用向量，，表示向量应为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用空间向量基本定理以及空间向量的线性运算进行求解即可．

【详解】解：因为，所以，

因为点，分别是线段，的中点，

所以，

所以．

故选：A．

7. 已知直线，.当时，的值为（    ）

A. 1 B.  C. 或1 D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用两直线平行的充要条件即得.

【详解】由直线，，

∴，得.

故选：B

8. 在正方体中，分别为，的中点，为侧面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为　　

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，求出的坐标，由数量积求夹角公式求解．

【详解】如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系． 设正方体的棱长为，则， ∴． 则． ∴异面直线与所成角的余弦值为 ,故选A．

【点睛】本题考查利用空间向量求解异面直线所成角，关键是正确标出所用点的坐标，是中档题．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 若直线过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程可能为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】将点坐标代入各方程判断是否在直线上，再求直线在x、y轴上的截距，即可得答案.

【详解】A：显然在上，且在x、y轴上的截距均为1，符合；

B：显然在上，且在x、y轴上的截距均为3，符合；

C：显然在上，且在x、y轴上的截距均为0，符合；

D：不在上，不符合.

故选：ABC

10. 已知点P是平行四边形所在的平面外一点，如果，下列结论正确的有（    ）

A  B.

C. 是平面的一个法向量 D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】由，可判定A正确；由，可判定B正确；由且，可判定C正确；由是平面的一个法向量，得到，可判定D不正确.

【详解】由题意，向量，

对于A中，由，可得，所以A正确；

对于B中，由，所以，所以B正确；

对于C中，由且，可得向量是平面的一个法向量，所以C正确；

对于D中，由是平面的一个法向量，可得，所以D不正确.

故选：ABC

11. 已知的三个顶点、、，则下列说法正确的是（    ）

A. 直线的斜率为

B. 直线的倾斜角为钝角

C. 边的中点坐标为

D. 边上的中线所在的直线方程为

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用直线的斜率公式可判断A选项；利用直线斜率与倾斜角的关系可判断B选项；利用中点坐标可判断C选项；利用直线的两点式方程可判断D选项.

【详解】对于A，直线的斜率为，故A错误；

对于B，直线的斜率为，所以直线的倾斜角为钝角，故B正确；

对于C，设边的中点为，则，，即点，故C正确；

对于D，边上的中线所在的直线方程为，整理得，故D正确.

故选：BCD.

12. 直线l过点且斜率为k，若与连接两点，的线段有公共点，则k的取值可以为（    ）

A.  B. 1 C. 2 D. 4

【答案】AD

【解析】

【分析】要使直线l与线段AB有公共点，则需或，根据两点的斜率公式计算可得选项.

【详解】解：要使直线l与线段AB有公共点，则需或，

而，，所以或，

所以k的取值可以为或4，

故选：AD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13. 在空间直角坐标系中，点和点间的距离是__________．

【答案】

【解析】

【分析】利用空间两点间的距离公式即得．

【详解】∵点和点，

∴点和点间的距离是.

故答案为：.

14. 已知点P(－，1)，点Q在y轴上，直线PQ的倾斜角为120°，则点Q的坐标为_____．

【答案】(0，－2)

【解析】

【分析】设点坐标为，利用斜率与倾斜角的关系可知，解得即可.

【详解】因为在轴上，所以可设点坐标为，

又因为，

则，解得，

因此，故答案为.

【点睛】本题主要考查了直线的斜率计算公式与倾斜角的正切之间的关系，属于基础题.

15. 经过点，且在轴上的截距等于在轴上的截距的3倍的直线的方程的一    

般式为__________．

【答案】或

【解析】

【详解】当截距为0时，设直线方程为y=kx，

则4k=2，∴

∴直线方程为

当截距不为0时，设直线方程为

由题意，，∴a=．

∴．

综上，或．

16. 如图所示，在正方体中，M为棱的中点，则异面线与AM所成角的余弦值为________.

【答案】

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，不妨设正方体的棱长为1，则异面线与AM所成角的余弦值，转化为求向量的夹角的余弦值，利用向量夹角公式即得.

【详解】分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则，可得，则，即异面直线与AM所成角的余弦值为.

故答案为：

【点睛】本题考查利用空间向量求异面直线的夹角，运用了向量夹角公式.

四．解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 求直线L的方程：

（1）求过点P（1，2）且与直线3x-2y+5=0平行的直线方程；

（2）求过点P（1，-1）且与直线2x+3y+1=0垂直的直线方程.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）设该直线为，代入求出得出所求直线方程；

（2）设所求直线方程为，代入点即可求得结果.

【小问1详解】

设该直线为，因为该直线过点，所以，解得.

即所求直线为

【小问2详解】

设与直线垂直的直线方程为：，

代入得：，解得：

所求直线方程为：.

18. 已知直线l经过点，其倾斜角为.

(1)求直线l的方程；

(2)求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积.

【答案】(1) (2)

【解析】

【详解】（1）因为直线的倾斜角为60°，所以直线的斜率为，

因为直线过点（0，-2），根据直线方程的斜截式或点斜式可知直线方程为

（2）在直线方程中令，令，

根据三角形的面积公式可知

考点：本小题主要考查直线方程的求解和应用.

点评：直线方程有五种形式，利用时要根据条件灵活选择，还要注意各种直线方程的适用条件.

19. 如图，在正四棱柱中，已知，，E，F分别为，上的点，且．

（1）求证：平面ACF：

（2）求点B到平面ACF的距离．

【答案】（1）证明见详解.   

（2）.

【解析】

【分析】（1）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系通过证明与平面的一个法向量重合来证明平面.

（2）利用点面距离公式即可计算出点到平面的距离.

【小问1详解】

以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：

则,

设面的一个法向量为，，

可得，即，不妨令则,

平面.

【小问2详解】

，则点到平面的距离为.

20. 已知三角形的三个顶点的坐标分别是､､.

（1）求BC边所在直线的方程；

（2）求BC边上的中线所在直线的方程.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）首先根据斜率公式求出，再由点斜式求出直线方程；

（2）首先求出的中点的坐标，从而求出，最后由点斜式求出直线方程；

【小问1详解】

解：因为､，所以，

所以直线的方程为，即；

【小问2详解】

解：因为，､，所以的中点为，

所以，所以中线的方程为，即；

21. 如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为中点，F为中点，．

（1）证明：∥平面；

（2）求点到面的距离．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）取的中点，连接，由三角形中位线定理结合矩形的性质可得四边形为平行四边形，则∥，再由线面平行的判定定理可证得结论，

（2）由已知可得两两垂直，所以以点为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量， 利用空间向量求解即可.

小问1详解】

证明：取的中点，连接,

因为F为中点，

所以∥，，

因为为中点，

所以，

因为∥，，

所以∥，，

所以四边形为平行四边形，

所以∥，

因为平面，平面，

所以∥平面；

【小问2详解】

因为平面，平面，

所以，

因为四边形为矩形，所以，

所以两两垂直，

所以以点为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，

则，

因为为中点，F为中点，

所以，

所以，，

设平面的法向量为，则

，令，则，

所以点到平面的距离为

.

22. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5.

（1）求证：AA1⊥平面ABC；

（2）求二面角A1-BC1-B1的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明平面；

（2）建立坐标系求出平面的法向量即可求二面角的余弦值.

【详解】（1）因为AA1C1C为正方形，所以AA1⊥AC.

因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，

所以AA1⊥平面ABC；

（2）由（1）知，，．

由题意知，，，

所以．

如图，以为原点建立空间直角坐标系，

则，3，，，0，，，3，，，0，．

设平面的法向量为，，，

则，即．

令，则，，

所以．

同理可得，平面的法向量为．

所以．

由题知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．