北京交大附中2022-2023期中练习高二数学

北京交大附中2022－2023学年第一学期期中练习

高 二  数 学

命题人：李运秋     审题人：陈蕾                             2022.11

说明：本试卷共8页，共120分。考试时长90分钟。

1.设，则在复平面内对应的点位于 (　　)

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【解析】∵，∴，对应坐标，是第三象限．

2．若过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　)

A．1　　 B．4  C．1或3　　 D．1或4

答案　A

解析　由题意得＝1，解得m＝1.

3．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心坐标和半径分别为(　　)

A．(4，－6)，16   B．(2，－3)，4

C．(－2,3)，4   D．(2，－3)，16

答案　C

解析　将圆的一般方程化为标准方程得(x＋2)2＋(y－3)2＝16，则圆心坐标为(－2,3)，半径为4.

4.已知a＝(1，0，1)，b＝(x，1，2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为(　　)

  A. B.   C.     D.

答案　D

解析　因为a·b＝x＋2＝3，所以x＝1，

所以b＝(1，1，2)，

所以cos〈a，b〉＝＝＝，

又因为〈a，b〉∈[0，π]，所以a与b的夹角为.

5. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为(　　)

A.－ B.   C.   D. －

答案　B

解析　建立如图空间直角坐标系D－xyz，

设DA＝1，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，

则＝(－1，1，0)，＝，设异面直线DE与AC所成的角为θ，

则cos θ＝|cos〈，〉|＝.

6. 已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是(　　)

A．k≥　　 B．k≤－2

C．k≥或k≤－2　　 D．－2≤k≤

答案　D

解析　直线l：y＝k(x－2)＋1经过定点P(2,1)，

∵kPA＝＝－2，kPB＝＝，

又直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，

∴－2≤k≤.

7.已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0(a∈R)，则“ea＝”是“l1∥l2”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　当l1∥l2时，解得a＝－1或a＝2.而由ea＝，解得a＝－1，

所以“ea＝”是“l1∥l2”的充分不必要条件

8. 已知直线是圆的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则（   ）.

A. 2                 B.             C.6             D.

答案C

 解析  易知圆的标准方程，圆心为.

 又因为直线是圆的对称轴，则该直线一定经过圆心，

得知，．又因为直线与圆相切，则为直角三角形,

,,．

 9. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△ABC的顶点A(2,0)，B(1,2)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为(　　)

A．x－2y－4＝0   B．2x＋y－4＝0

C．4x＋2y＋1＝0   D．2x－4y＋1＝0

答案　D

解析　由题设，可得kAB＝＝－2，

且AB的中点为，

∴AB垂直平分线的斜率k＝－＝，

故AB的垂直平分线方程为y＝＋1＝＋，

∵AC＝BC，则△ABC的外心、重心、垂心都在AB的垂直平分线上，

∴△ABC的欧拉线的方程为2x－4y＋1＝0.

即4x＋3y－6＝0.

10.在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则　　

A．             B．与平面所成的角为 

C．                 D．与平面所成的角为

【解答】解：如图所示，连接，，不妨令，

在长方体中，面，面，

所以和分别为与平面和平面所成的角，

即，

所以在中，，，

在中，，，

所以，，，

故选项，错误，

由图易知，在平面上的射影在上，

所以为与平面所成的角，

在中，，

故选项错误，

如图，连接，

则在平面上的射影为，

所以为与平面所成的角，

在△中，，所以，

所以选项正确，

故选：．

11. 已知直线l经过点(1，－1)，且与直线2x－y－5＝0垂直，则直线l的方程为(　　)

答案　x＋2y＋1＝0 

解析　∵直线l与直线2x－y－5＝0垂直，

∴设直线l的方程为x＋2y＋c＝0，

∵直线l经过点(1，－1)，

∴1－2＋c＝0，即c＝1.

直线l的方程为x＋2y＋1＝0.

12. 在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为     4      ．

13.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为________.

答案　

解析　如图，以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则D1(0，0，1)，E(1，1，0)，A(1，0，0)，C(0，2，0).

则＝(1，1，－1)，＝(－1，2，0)，＝(－1，0，1).

设平面ACD1的法向量为n＝(a，b，c)，

则取a＝2，得n＝(2，1，2)，

∴点E到平面ACD1的距离h＝＝＝.

14.已知直线l：3x＋4y＋m＝0，圆C：x2＋y2－4x＋2＝0，则圆C的半径r＝________；若在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得∠APB＝90°，则实数m的取值范围是______．

答案　　　　

解析　圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝2，圆心为C(2,0)，半径为r＝，

若在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得∠APB＝90°，过P作圆的两条切线PM，PN(M，N为切点)，则由题意得，∠MPN≥90°，而当CP⊥l时，∠MPN最大，只要此最大角≥90°即可，此时圆心C到直线l的距离为

d＝|CP|＝.

15. 已知实数、、、满足：，，，设，，则             ，   的最大值为__________.

解析 ，由得，.

设，，则.令，显然表示点，到直线的距离之和，如图所示，当点，所在直线与直线平行时，取最大值，此时为等边三角形.且点，到直线的距离为点到直线和直线的距离之和，所以

.

16.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，点在线段上，且.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

解：（Ⅰ）因为平面，平面，

所以.

因为，，

所以，.

所以.

所以，

所以.

又因为，，

所以平面. ………………5分

（Ⅱ）因为平面，平面，平面，

所以，.

又因为是矩形，，

所以两两垂直，如图建立空间直角坐标系，

则，，，

所以，.

设平面的一个法向量为，则

    即

令，则，.

于是.

因为平面，

取平面的法向量为.

则.

由图可知二面角为锐角，

所以二面角的余弦值是. ………………13分

17.已知圆E经过点A(0,0)，B(1,1)，从下列3个条件选取一个：

①过点C(2,0)；②圆E恒被直线mx－y－m＝0(m∈R)平分；③与y轴相切．

(1)求圆E的方程；

(2)过点P(2，3)的直线l与圆E相切，求直线l方程．

解　(1)选①，设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，

由题意可得解得

则圆E的方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1.

选②，直线mx－y－m＝0恒过(1,0)，

而圆E恒被直线mx－y－m＝0(m∈R)平分，

所以mx－y－m＝0恒过圆心，

所以圆心为(1,0)，可设圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝r2，

由圆E经过点A(0,0)，得r2＝1，

则圆E的方程为(x－1)2＋y2＝1.

选③，设圆E的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，

由题意可得

解得

则圆E的方程为(x－1)2＋y2＝1.

(2)

18.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O是AC与BD的交点，点E是线段OD1上的一点.

(1)若点E为OD1的中点，求直线OD1与平面CDE所成角的正弦值.

(2)是否存在点E，使得平面CDE⊥平面CD1O？若存在，请指出点E的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由

解　(1)不妨设正方体的棱长为2.

以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，

则D(0，0，0)，D1(0，0，2)，C(0，2，0)，O(1，1，0).

因为E为OD1的中点，

所以E.

则＝(－1，－1，2)，＝，＝(0，2，0).

设p＝(x0，y0，z0)是平面CDE的法向量，

则即

取x0＝2，则y0＝0，z0＝－1，

所以p＝(2，0，－1)为平面CDE的一个法向量.

设直线OD1与平面CDE所成角为θ，

所以sin θ＝|cos〈，p〉|＝

＝＝，

即直线OD1与平面CDE所成角的正弦值为.

(2)存在，且点E为线段OD1上靠近点O的三等分点.理由如下.

假设存在点E，使得平面CDE⊥平面CD1O.

同第(1)问建立空间直角坐标系，易知点E不与点O重合，

设＝λ，λ∈[0，＋∞)，＝(－1，1，0)，＝(－1，－1，2).

设m＝(x1，y1，z1)是平面CD1O的法向量，

则即

取x1＝1，则y1＝1，z1＝1，

所以m＝(1，1，1)为平面CD1O的一个法向量.

因为＝λ，所以点E的坐标为，

所以＝.

设n＝(x2，y2，z2)是平面CDE的法向量，

则即

取x2＝1，则y2＝0，z2＝－，

所以n＝为平面CDE的一个法向量.

因为平面CDE⊥平面CD1O，所以m⊥n.

则m·n＝0，所以1－＝0，解得λ＝2.

所以当＝2，即点E为线段OD1上靠近点O的三等分点时，平面CDE⊥平面CD1O.

19.如图所示，在平面直角坐标系xoy中，已知以M为圆心的圆M:及其上一点.

（1）设平行于的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程；

（2）设点满足：存在圆上的两点和，使得，求实数的取值范围．

.解析  （1）因为在直线上，设，因为与轴相切，则圆为，.又圆与圆外切，圆，则，解得，

即圆的标准方程为.

（2）由题意得，，设，则圆心到直线的距离，

则，解得或，即或.

（3）解法一：不妨设，，又因为，，

由，所以，因为点在圆上，因此满足

，

故有，又点在圆上，

故点既在圆上，也在圆上，

所以只需两圆有公共点即可，所以，

解得．所以实数的取值范围为．

评注  对于第（3）问，尝试将向量进行组合运算可以得到．

解法二：，即.则有必要条件.

因为，又，即，解得.

下论证充分性，即存在两点可使.

对于任意，欲使，此时，

只需要作直线的平行线，使圆心到直线的距离为，必然与圆交于两点，此时，且有，因此对于任意，均满足题意，综上实数的取值范围为.

20．已知，

记，用表示有限集合X的元素个数。

（Ⅰ）若，，求；

（Ⅱ）若，则对于任意的A，是否都存在T，使得？说明理由；

（Ⅲ）若，对于任意的A，都存在T，使得，求的最小值。

解：记，则，.

（I）因为，，

所以，，，，

又因为，即.

所以或..                           ……5分

（II）不是都存在.                                         ……6分

因为，，令，

则，，，，，，.

所以对于任意的，都有

所以当时，不存在T，使得.           ……10分

（Ⅲ）显然.

不妨设，记

因为，，所以.

因为.

所以.

依题意，对于任意的，都存在，使得.

又因为，的取值范围是，

所对于任意的A，都存在，，

即对于任意的A，均为的真子集.

（1）当时，存在，使得，含.

当时，存在，使得，含.

当时，存在，使得，含.

当时，存在，使得，含.

当时，存在，使得，含.

当时，存在，使得，含.

（2）当时，假设存在A，使得不是的真子集，则.

另一方面，因为，所以至多有个元素.

设，其中.

则.

所以恰有10个元素，这些元素之和为1＋2＋...＋10＝55，也等于

.

由于55是奇数，是偶数，矛盾.所以假设不成立.

所以对于任意的A，均为的真子集.

即对于任意的A，都存在，使得.

即对于任意的A，都存在T，使得.

综上所述，的最小值为11.                         ……15分