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云南省曲靖市泽县城区八校期中联考2022—2023学年上学期期中考试九年级数学试卷(含答案)
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这是一份云南省曲靖市泽县城区八校期中联考2022—2023学年上学期期中考试九年级数学试卷(含答案)，共30页。
2022年秋季学期会泽县城区八校期中联考九年级数学试卷
（满分100分，考试用时120分钟）
班级 姓名
一选择题（本大题共有12个小题，每个小题3分，满分36分）
1.下列分别是绿色食品，节水，节能和回收标志，是中心对称图形的是（ ）
2.用配方法解方程x2-4x+1=0,配方后所得的方程是（ ）
A.x-22=3 B. x+22=3 C. x-22=-3 D. x+22=-3
3.把抛物线y=2x+32-5的图象通过怎样平移可以得到抛物线y=2x2的图象（ ）
A.先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度
B.先向下平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度
C.先向上平移5个单位长度，再向右平移3个单位长度
D.先向上平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度
4.如图，点A，B，C再☉O上，∠AOB=72°，则∠ACB等于（ ）
A. 28° B. 54° C. 18° D. 36°
5.已知m是方程x2-2x-2022=0的一个根，则2m2-4m的值是（ ）
A. -4044 B. 4044 C. -202 D. 2022
6.如图，再△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DCE，点D恰好落在边AB上，则∠ACD的度数是（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
7.对于二次函数y=x-12+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A. 开口向下 B. 对称轴是直线x=-1
C. 顶点坐标是（-1，2） D. 当x<1时，y随x的增大而减少
8.如图，一个圆柱形的玻璃水杯，降其横放，截面是个半径为5cm的圆，杯内水面深度AB=8，则水深CD是（ ）
A. 3cm B. 2cm D. 2cm C. 3cm
9.某农机厂四月份生产零件60万个，设该厂第二季度平均每月增长率为x，如果第二季度共生产零件y万个，那么y与x满足的函数关系式是（ ）
A. y=601+x2 B. y=60+601+x+601+x2
C. y=601+x+601+x2 D. y=60+601+x2
10.如图，AB为☉O的直径，点C，D在☉O上。若∠ADC=130°，则∠BAC的度数为（ ）
A. 25° B. 30° C. 40° D. 50°
11.已知☉O的半径是一元二次方程x2-5x-6=0的一个根，圆心O到直线l的距离d=5，则直线l与☉O的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 平行
12.抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
小聪观察上表，得出下面的结论：①抛物线与x 轴的一个交点为（3,0）②函数y=ax2+bx+c的最大值为6 ③抛物线的对称轴是x=12 ④ 在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，其中正确的有（ ）
A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①③④
二．填空题（本大题共6个小题，每个小题3分，满分18分）
13．在平面直角坐标系中，已知点P（﹣3，5）与点Q（3，a﹣2）关于原点对称，则a＝ ．
14．若函数y＝（m﹣2）x|m|+1（m是常数）是二次函数，则m的值是 ．
15．如图，△AOB绕点O逆时针旋转65°得到△COD，若∠COD＝30°，则∠BOC的度数是 ．
16．如图，已知二次函数y＝x2﹣2x+k的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0的一个解为x1＝3，则另一个解x2＝ ．
17．如图，AB是⊙O的直径，，∠BOC＝40°，则∠AOE的度数是 度．
18．如图，矩形ABCD的两边BC、CD分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点A（﹣1，2），将矩形ABCD沿x轴向右翻滚，经过一次翻滚点A对应点记为A1，经过第二次翻滚点A对应点记为A2…依此类推，经过2022次翻滚后点A对应点A2022的坐标为 ．
三．解答题（本大题共6小题，满分46分）
19．用适当的方法解下列方程：
（1）x2＝2x； （2）x（3x+4）＝2
20．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，4），B（﹣4，0），C（﹣1，0）．
（1）△A1B1C1与△ABC关于原点O对称，画出△A1B1C1并写出点A1的坐标；
（2）△A2B2C2是△ABC绕原点О顺时针旋转90°得到的，画出△A2B2C2并写出点A2的坐标．
21．用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为18m．
（1）设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为 m（用含x的代数式表示）；
（2）若菜园的面积为100m2，求x的值
22．因疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y（桶）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利润＝销售价﹣进价）
23．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AC平分∠BAD，且AD⊥CD于点D．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，CD＝2，求⊙O的半径．
24．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一点，连接AC、BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接OP，BP，若S△BOP＝2S△AOC，求点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得∠QBA＝75°？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、B、D中图形都不是中心对称图形，
C中图形是中心对称图形，
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2．用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，配方后所得的方程是（ ）
A．（x﹣2）2＝3 B．（x+2）2＝3 C．（x﹣2）2＝﹣3 D．（x+2）2＝﹣3
【分析】根据配方法可以解答本题．
【解答】解：x2﹣4x+1＝0，
（x﹣2）2﹣4+1＝0
（x﹣2）2＝3，
故选：A．
【点评】本题考查解一元二次方程﹣配方法，解答本题的关键是解一元二次方程的方法．
3．把抛物线y＝2（x+3）2﹣5的图象通过怎样平移可以得到抛物线y＝2x2的图象（ ）
A．先向上平移3个单位，再向右平移5个单位
B．先向下平移3个单位，再向左平移5个单位
C．先向上平移5个单位，再向右平移3个单位
D．先向下平移5个单位，再向左平移3个单位
【分析】根据抛物线顶点的变换规律作出正确的选项．
【解答】解：抛物线y＝2x2的顶点坐标是（0，0），抛物线线y＝2（x+3）2﹣5的顶点坐标是（﹣3，﹣5），
所以将顶点（﹣3，﹣5）向右平移3个单位，再向上平移5个单位得到顶点（0，0），
即将抛物线y＝2（x+3）2﹣5向右平移3个单位，再向上平移5个单位得到二次函数y＝2x2的图象．
故选：C．
【点评】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
4．如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝72°，则∠ACB等于（ ）
A．28° B．54° C．18° D．36°
【分析】根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于同弧所对圆心角的一半即可求解．
【解答】解：根据圆周角定理可知，
∠AOB＝2∠ACB＝72°，
即∠ACB＝36°，
故选：D．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，正确认识∠ACB与∠AOB的位置关系是解题关键．
5．已知m是方程x2﹣2x﹣2022＝0的一个根，则2m2﹣4m的值为（ ）
A．﹣4044 B．4044 C．﹣2022 D．2022
【分析】直接把x＝m代入方程中，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
把x＝m代入方程x2﹣2x﹣2022＝0中，
则m2﹣2m﹣2022＝0，
∴m2﹣2m＝2022，
∴2m2﹣4m＝4044，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DCE，点D落在AB边上，则∠ACD的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】根据三角形的内角和定理得到∠A＝60°，根据旋转的性质得到AC＝CD，得到△ACD是等边三角形，求得∠ACD＝60°．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∵将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DCE，
∴AC＝CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
7．对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝﹣1
C．顶点坐标是（﹣1，2）
D．当x＜1时，y随x的增大而减小
【分析】根据题目中的函数解析式，利用二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确．
【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣1）2+2，
∴该函数的图象开口向上，故选项A的说法错误，
对称轴是直线x＝1，故选项B中的说法错误；
顶点坐标为（1，2），故选项C中的说法错误；
当x＜1时，y随x的增大而减小，故选项D中的说法正确；
故选：D．
【点评】本题考查抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
8．如图，一个圆柱形的玻璃水杯，将其横放，截面是个半径为5cm的圆，杯内水面宽AB＝8cm，则水深CD是（ ）
A．3cm B．2cm C． D．
【分析】连接OA、OC，先由垂径定理可得AC长，再由勾股定理得OD长，从而求出CD长．
【解答】解：如图，连接OA、OC，
则OC⊥AB，
∴AC＝AB＝4（cm），
在Rt△OAD中，OD＝＝＝3（cm），
∴CD＝5﹣3＝2（cm）．
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
9．某农机厂四月份生产零件60万个，设该厂第二季度平均每月的增长率为x，如果第二季度共生产零件y万个，那么y与x满足的函数关系式是（ ）
A．y＝60（1+x）2
B．y＝60+60（1+x）+60（1+x）2
C．y＝60（1+x）+60（1+x）2
D．y＝60+60（1+x）
【分析】设该厂第二季度平均每月的增长率为x，则五月份生产零件60（1+x）万个，六月份生产零件60（1+x）2万个，根据第二季度共生产零件y万个，即可找出y与x之间的函数关系式．
【解答】解：设该厂第二季度平均每月的增长率为x，则五月份生产零件60（1+x）万个，六月份生产零件60（1+x）2万个，
依题意得：y＝60+60（1+x）+60（1+x）2．
故选：B．
【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数关系式是解题的关键．
10．如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠ADC＝130°，则∠BAC的度数为（ ）
A．25° B．30° C．40° D．50°
【分析】根据圆周角定理，由AB是⊙O的直径，可证∠ACB＝90°，由圆内接四边形的对角互补可求∠B＝180°﹣∠D＝50°，即可求∠BAC＝90°﹣∠B＝40°．
【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠B＝180°，
∵∠ADC＝130°，
∴∠B＝180°﹣130°＝50°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝40°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质并灵活运用．
11．已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝5，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．平行
【分析】先求方程的根，可得r的值，由直线与圆的位置关系的判断方法可求解．
【解答】解：∵x2﹣5x﹣6＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝6，
∵⊙O的半径为一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的根，
∴r＝6，
∵d＜r，
∴直线l与⊙O的位置关系是相交，
故选：A．
【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．
12．抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
小聪观察上表，得出下面结论：①抛物线与x轴的一个交点为（3，0）； ②函数y＝ax2+bx+c的最大值为6；③抛物线的对称轴是直线x＝；④在对称轴左侧，y随x增大而增大．其中正确有（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④
【分析】根据表中数据和抛物线的对称形，可得到抛物线的开口向下，当x＝3时，y＝0，即抛物线与x轴的交点为（﹣2，0）和（3，0）；因此可得抛物线的对称轴是直线x＝3﹣＝，再根据抛物线的性质即可进行判断．
【解答】解：根据图表，当x＝﹣2，y＝0，根据抛物线的对称形，当x＝3时，y＝0，即抛物线与x轴的交点为（﹣2，0）和（3，0）；
∴抛物线的对称轴是直线x＝3﹣＝，
根据表中数据得到抛物线的开口向下，
∴当x＝时，函数有最大值，而不是x＝0，或1对应的函数值6，
并且在直线x＝的左侧，y随x增大而增大．
所以①③④正确，②错．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线y＝ax2+bx+c的性质：抛物线是轴对称图形，它与x轴的两个交点是对称点，对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点；a＜0时，函数有最大值，在对称轴左侧，y随x增大而增大．
二．填空题（共12小题）
13．在平面直角坐标系中，已知点P（﹣3，5）与点Q（3，a﹣2）关于原点对称，则a＝ ﹣3 ．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即求关于原点的对称点时，横、纵坐标都变成原数的相反数．
【解答】解：根据两个点关于原点对称，则横、纵坐标都是原数的相反数，
得a﹣2＝﹣5，
∴a＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点的对称点时，横、纵坐标都变成原数的相反数，难度适中．
14．若函数y＝（m﹣2）x|m|+1（m是常数）是二次函数，则m的值是 ﹣2 ．
【分析】利用二次函数定义可得：|m|＝2，且m﹣2≠0，再计算出m的值即可．
【解答】解：由题意得：|m|＝2，且m﹣2≠0，
解得：m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
15．如图，△AOB绕点O逆时针旋转65°得到△COD，若∠COD＝30°，则∠BOC的度数是 35° ．
【分析】由旋转的性质可得∠BOD＝65°，由∠COD＝30°，即可求∠BOC的度数．
【解答】解：∵△AOB绕点O逆时针旋转65°得到△COD，
∴∠BOD＝65°，
∵∠COD＝30°
∴∠BOC＝∠BOD﹣∠COD＝65°﹣30°＝35°，
故答案为：35°．
【点评】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
16．已知二次函数y＝x2﹣2x+k的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0的一个解为x1＝3，则另一个解x2＝ ﹣1 ．
【分析】函数的对称轴为：x＝1，则另外一个交点在：（﹣1，0），即可求解．
【解答】解：函数的对称轴为：x＝1，则另外一个交点在：（﹣1，0），
故答案为：﹣1；
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
17．如图，AB是⊙O的直径，，∠BOC＝40°，则∠AOE的度数是 60 度．
【分析】由在同圆中等弧对的圆心角相等得，∠BOC＝∠COD＝∠EOD＝40°从而求得∠AOE的度数．
【解答】解：∵，∠BOC＝40°
∴∠BOC＝∠COD＝∠EOD＝40°
∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝60°．
【点评】本题利用了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等．
18．如图，矩形ABCD的两边BC、CD分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点A（﹣1，2），将矩形ABCD沿x轴向右翻滚，经过一次翻滚点A对应点记为A1，经过第二次翻滚点A对应点记为A2…依此类推，经过2022次翻滚后点A对应点A2022的坐标为 （3033，0） ．
【分析】观察图形即可得到经过4次翻滚后点A对应点一循环，先求出2022÷4的商，从而解答本题．
【解答】解：如图所示：
A的坐标为（﹣1，2），
观察图形可得经过4次翻滚后点A对应点一循环，
2022÷4＝505•••••2，
∵点A（﹣1，2），长方形的周长为：2（1+2）＝6，
∴经过505次翻滚后点A对应点A2022的坐标为（6×505+4﹣1，0），即（3033，0）．
故答案为：（﹣1，2），（3033，0）．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，规律型﹣点的坐标等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
三．解答题（共7小题）
19．用适当的方法解下列方程：
（1）x2＝2x；
（2）x（3x+4）＝2
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）x2＝2x，
x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝0，x2＝2；
（2）x（3x+4）＝2，
3x2+4x﹣2＝0，
Δ＝42﹣4×3×（﹣2）＝40＞0，
x＝＝，
所以x1＝，x2＝；
【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法．
20．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，4），B（﹣4，0），C（﹣1，0）．
（1）△A1B1C1与△ABC关于原点O对称，画出△A1B1C1并写出点A1的坐标；
（2）△A2B2C2是△ABC绕原点О顺时针旋转90°得到的，画出△A2B2C2并写出点A2的坐标．
【分析】（1）根据中心对称的性质作图，即可得出答案．
（2）根据旋转的性质作图，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
点A1的坐标为（1，﹣4）．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
点A2的坐标为（4，1）．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转和中心对称的性质是解答本题的关键．
21．用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为18m．
（1）设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为 30﹣2x m（用含x的代数式表示）；
（2）若菜园的面积为100m2，求x的值．
【分析】（1）根据图形直接可得答案；
（2）由矩形面积公式列方程即可解得答案．
【解答】解：（1）由图可得：平行于墙的一边长为（30﹣2x）m，
故答案为：30﹣2x；
（2）根据题意得：
x•（30﹣2x）＝100，
∴x2﹣15x+50＝0，
解得x＝5或x＝10，
当x＝5时，30﹣2x＝20＞18，
∴x＝5不合题意，舍去，
∴x＝10，
答：x的值为10m．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是数形结合列方程．
22．因疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y（桶）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利润＝销售价﹣进价）
【分析】（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b，将点（60，100）、（70，80）代入一次函数表达式，即可求解；
（2）根据利润等于每桶的利润乘以销售量得w关于x的二次函数，根据二次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y＝kx+b，
将点（60，100）、（70，80）代入一次函数表达式得：，
解得：，
故函数的表达式为：y＝﹣2x+220；
（2）设药店每天获得的利润为w元，由题意得：
w＝（x﹣50）（﹣2x+220）＝﹣2（x﹣80）2+1800，
∵﹣2＜0，函数有最大值，
∴当x＝80时，w有最大值，此时最大值是1800，
故销售单价定为80元时，该药店每天获得的利润最大，最大利润1800元．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用以及用待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量×每件的利润＝w得出函数关系式是解题关键．
23．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AC平分∠BAD，且AD⊥CD于点D．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，CD＝2，求⊙O的半径．
【分析】（1）如图1中，连接OC．只要证明AD∥OC，由AD⊥CD，即可推出OC⊥CD；
（2）过点O作OE⊥AD于点E，得矩形OEDC，然后利用勾股定理即可求出半径的长．
【解答】（1）证明：如图中，连接OC．
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB＝∠ACO，
∴AD∥OC，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥DC，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：如图，过点O作OE⊥AD于点E，
得矩形OEDC，
∴OE＝CD＝2，DE＝OC，
∴AE＝AD﹣DE＝4﹣OC＝4﹣OA，
在Rt△AEO中，根据勾股定理，得
OA2＝AE2+OE2，
∴OA2＝（4﹣OA）2+22，
解得OA＝．
∴⊙O的半径为．
【点评】此题主要考查了切线的性质与判定，解决本题的关键是掌握切线的判定．
24．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一点，连接AC、BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接OP，BP，若S△BOP＝2S△AOC，求点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得∠QBA＝75°？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；应用意识．
【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；
（2）（﹣5，﹣6）或（6，﹣6）；
（3）存在，（，7+）或（，﹣7﹣）．
【分析】（1）将A（﹣3，0），B（4，0）两点代入y＝﹣x2+bx+c，即可求解；
（2）先求出S△OAC＝6，则S△BOP＝12，设P（t，﹣t2+t+4），可得×4×|﹣t2+t+4|＝12，即可求P点坐标；
（3）在对称轴上取点M使QM＝MB，则∠EMB＝30°，可得MB＝2BE，再由BE＝，分别求出BM＝QM＝7，ME＝，可求Q（，7+），Q点关于x轴对称的点为（，﹣7﹣）．
【解答】解：（1）将A（﹣3，0），B（4，0）两点代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+x+4；
（2）令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4），
∴OC＝4，
∵A（﹣3，0），
∴OA＝3，
∴S△OAC＝×3×4＝6，
∵S△BOP＝2S△AOC，
∴S△BOP＝12，
设P（t，﹣t2+t+4），
∵B（4，0），
∴OB＝4，
∴×4×|﹣t2+t+4|＝12，
解得t＝6或t＝﹣5，
∴P（﹣5，﹣6）或（6，﹣6）；
（3）存在点Q，使得∠QBA＝75°，理由如下：
∵y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣）2+，
∴抛物线的对称轴为x＝，
在对称轴上取点M使QM＝MB，
∴∠EMB＝2∠MQB，
∵∠QBA＝75°，
∴∠MQB＝15°，
∴∠EMB＝30°，
∴MB＝2BE，
∵B（4，0），E（，0），
∴BE＝，
∴BM＝QM＝7，ME＝，
∴QE＝7+，
∴Q（，7+）；
Q点关于x轴对称的点为（，﹣7﹣）；
综上所述：点Q的坐标为（，7+）或（，﹣7﹣）．
【点评】本题考查的是二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，根据题意能够构造等腰三角形是解题的关键．
2022年秋季学期会泽县城区八校期中联考九年级数学试卷
（满分100分，考试用时120分钟）
班级 姓名
一选择题（本大题共有12个小题，每个小题3分，满分36分）
1.下列分别是绿色食品，节水，节能和回收标志，是中心对称图形的是（ ）
2.用配方法解方程x2-4x+1=0,配方后所得的方程是（ ）
A.x-22=3 B. x+22=3 C. x-22=-3 D. x+22=-3
3.把抛物线y=2x+32-5的图象通过怎样平移可以得到抛物线y=2x2的图象（ ）
A.先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度
B.先向下平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度
C.先向上平移5个单位长度，再向右平移3个单位长度
D.先向上平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度
4.如图，点A，B，C再☉O上，∠AOB=72°，则∠ACB等于（ ）
A. 28° B. 54° C. 18° D. 36°
5.已知m是方程x2-2x-2022=0的一个根，则2m2-4m的值是（ ）
A. -4044 B. 4044 C. -202 D. 2022
6.如图，再△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DCE，点D恰好落在边AB上，则∠ACD的度数是（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
7.对于二次函数y=x-12+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A. 开口向下 B. 对称轴是直线x=-1
C. 顶点坐标是（-1，2） D. 当x<1时，y随x的增大而减少
8.如图，一个圆柱形的玻璃水杯，降其横放，截面是个半径为5cm的圆，杯内水面深度AB=8，则水深CD是（ ）
A. 3cm B. 2cm D. 2cm C. 3cm
9.某农机厂四月份生产零件60万个，设该厂第二季度平均每月增长率为x，如果第二季度共生产零件y万个，那么y与x满足的函数关系式是（ ）
A. y=601+x2 B. y=60+601+x+601+x2
C. y=601+x+601+x2 D. y=60+601+x2
10.如图，AB为☉O的直径，点C，D在☉O上。若∠ADC=130°，则∠BAC的度数为（ ）
A. 25° B. 30° C. 40° D. 50°
11.已知☉O的半径是一元二次方程x2-5x-6=0的一个根，圆心O到直线l的距离d=5，则直线l与☉O的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 平行
12.抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
小聪观察上表，得出下面的结论：①抛物线与x 轴的一个交点为（3,0）②函数y=ax2+bx+c的最大值为6 ③抛物线的对称轴是x=12 ④ 在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，其中正确的有（ ）
A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①③④
二．填空题（本大题共6个小题，每个小题3分，满分18分）
13．在平面直角坐标系中，已知点P（﹣3，5）与点Q（3，a﹣2）关于原点对称，则a＝ ．
14．若函数y＝（m﹣2）x|m|+1（m是常数）是二次函数，则m的值是 ．
15．如图，△AOB绕点O逆时针旋转65°得到△COD，若∠COD＝30°，则∠BOC的度数是 ．
16．如图，已知二次函数y＝x2﹣2x+k的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0的一个解为x1＝3，则另一个解x2＝ ．
17．如图，AB是⊙O的直径，，∠BOC＝40°，则∠AOE的度数是 度．
18．如图，矩形ABCD的两边BC、CD分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点A（﹣1，2），将矩形ABCD沿x轴向右翻滚，经过一次翻滚点A对应点记为A1，经过第二次翻滚点A对应点记为A2…依此类推，经过2022次翻滚后点A对应点A2022的坐标为 ．
三．解答题（本大题共6小题，满分46分）
19．用适当的方法解下列方程：
（1）x2＝2x； （2）x（3x+4）＝2
20．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，4），B（﹣4，0），C（﹣1，0）．
（1）△A1B1C1与△ABC关于原点O对称，画出△A1B1C1并写出点A1的坐标；
（2）△A2B2C2是△ABC绕原点О顺时针旋转90°得到的，画出△A2B2C2并写出点A2的坐标．
21．用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为18m．
（1）设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为 m（用含x的代数式表示）；
（2）若菜园的面积为100m2，求x的值
22．因疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y（桶）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利润＝销售价﹣进价）
23．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AC平分∠BAD，且AD⊥CD于点D．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，CD＝2，求⊙O的半径．
24．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一点，连接AC、BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接OP，BP，若S△BOP＝2S△AOC，求点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得∠QBA＝75°？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、B、D中图形都不是中心对称图形，
C中图形是中心对称图形，
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2．用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，配方后所得的方程是（ ）
A．（x﹣2）2＝3 B．（x+2）2＝3 C．（x﹣2）2＝﹣3 D．（x+2）2＝﹣3
【分析】根据配方法可以解答本题．
【解答】解：x2﹣4x+1＝0，
（x﹣2）2﹣4+1＝0
（x﹣2）2＝3，
故选：A．
【点评】本题考查解一元二次方程﹣配方法，解答本题的关键是解一元二次方程的方法．
3．把抛物线y＝2（x+3）2﹣5的图象通过怎样平移可以得到抛物线y＝2x2的图象（ ）
A．先向上平移3个单位，再向右平移5个单位
B．先向下平移3个单位，再向左平移5个单位
C．先向上平移5个单位，再向右平移3个单位
D．先向下平移5个单位，再向左平移3个单位
【分析】根据抛物线顶点的变换规律作出正确的选项．
【解答】解：抛物线y＝2x2的顶点坐标是（0，0），抛物线线y＝2（x+3）2﹣5的顶点坐标是（﹣3，﹣5），
所以将顶点（﹣3，﹣5）向右平移3个单位，再向上平移5个单位得到顶点（0，0），
即将抛物线y＝2（x+3）2﹣5向右平移3个单位，再向上平移5个单位得到二次函数y＝2x2的图象．
故选：C．
【点评】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
4．如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝72°，则∠ACB等于（ ）
A．28° B．54° C．18° D．36°
【分析】根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于同弧所对圆心角的一半即可求解．
【解答】解：根据圆周角定理可知，
∠AOB＝2∠ACB＝72°，
即∠ACB＝36°，
故选：D．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，正确认识∠ACB与∠AOB的位置关系是解题关键．
5．已知m是方程x2﹣2x﹣2022＝0的一个根，则2m2﹣4m的值为（ ）
A．﹣4044 B．4044 C．﹣2022 D．2022
【分析】直接把x＝m代入方程中，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
把x＝m代入方程x2﹣2x﹣2022＝0中，
则m2﹣2m﹣2022＝0，
∴m2﹣2m＝2022，
∴2m2﹣4m＝4044，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DCE，点D落在AB边上，则∠ACD的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】根据三角形的内角和定理得到∠A＝60°，根据旋转的性质得到AC＝CD，得到△ACD是等边三角形，求得∠ACD＝60°．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∵将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DCE，
∴AC＝CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
7．对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝﹣1
C．顶点坐标是（﹣1，2）
D．当x＜1时，y随x的增大而减小
【分析】根据题目中的函数解析式，利用二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确．
【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣1）2+2，
∴该函数的图象开口向上，故选项A的说法错误，
对称轴是直线x＝1，故选项B中的说法错误；
顶点坐标为（1，2），故选项C中的说法错误；
当x＜1时，y随x的增大而减小，故选项D中的说法正确；
故选：D．
【点评】本题考查抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
8．如图，一个圆柱形的玻璃水杯，将其横放，截面是个半径为5cm的圆，杯内水面宽AB＝8cm，则水深CD是（ ）
A．3cm B．2cm C． D．
【分析】连接OA、OC，先由垂径定理可得AC长，再由勾股定理得OD长，从而求出CD长．
【解答】解：如图，连接OA、OC，
则OC⊥AB，
∴AC＝AB＝4（cm），
在Rt△OAD中，OD＝＝＝3（cm），
∴CD＝5﹣3＝2（cm）．
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
9．某农机厂四月份生产零件60万个，设该厂第二季度平均每月的增长率为x，如果第二季度共生产零件y万个，那么y与x满足的函数关系式是（ ）
A．y＝60（1+x）2
B．y＝60+60（1+x）+60（1+x）2
C．y＝60（1+x）+60（1+x）2
D．y＝60+60（1+x）
【分析】设该厂第二季度平均每月的增长率为x，则五月份生产零件60（1+x）万个，六月份生产零件60（1+x）2万个，根据第二季度共生产零件y万个，即可找出y与x之间的函数关系式．
【解答】解：设该厂第二季度平均每月的增长率为x，则五月份生产零件60（1+x）万个，六月份生产零件60（1+x）2万个，
依题意得：y＝60+60（1+x）+60（1+x）2．
故选：B．
【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数关系式是解题的关键．
10．如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠ADC＝130°，则∠BAC的度数为（ ）
A．25° B．30° C．40° D．50°
【分析】根据圆周角定理，由AB是⊙O的直径，可证∠ACB＝90°，由圆内接四边形的对角互补可求∠B＝180°﹣∠D＝50°，即可求∠BAC＝90°﹣∠B＝40°．
【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠B＝180°，
∵∠ADC＝130°，
∴∠B＝180°﹣130°＝50°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝40°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质并灵活运用．
11．已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝5，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．平行
【分析】先求方程的根，可得r的值，由直线与圆的位置关系的判断方法可求解．
【解答】解：∵x2﹣5x﹣6＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝6，
∵⊙O的半径为一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的根，
∴r＝6，
∵d＜r，
∴直线l与⊙O的位置关系是相交，
故选：A．
【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．
12．抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
小聪观察上表，得出下面结论：①抛物线与x轴的一个交点为（3，0）； ②函数y＝ax2+bx+c的最大值为6；③抛物线的对称轴是直线x＝；④在对称轴左侧，y随x增大而增大．其中正确有（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④
【分析】根据表中数据和抛物线的对称形，可得到抛物线的开口向下，当x＝3时，y＝0，即抛物线与x轴的交点为（﹣2，0）和（3，0）；因此可得抛物线的对称轴是直线x＝3﹣＝，再根据抛物线的性质即可进行判断．
【解答】解：根据图表，当x＝﹣2，y＝0，根据抛物线的对称形，当x＝3时，y＝0，即抛物线与x轴的交点为（﹣2，0）和（3，0）；
∴抛物线的对称轴是直线x＝3﹣＝，
根据表中数据得到抛物线的开口向下，
∴当x＝时，函数有最大值，而不是x＝0，或1对应的函数值6，
并且在直线x＝的左侧，y随x增大而增大．
所以①③④正确，②错．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线y＝ax2+bx+c的性质：抛物线是轴对称图形，它与x轴的两个交点是对称点，对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点；a＜0时，函数有最大值，在对称轴左侧，y随x增大而增大．
二．填空题（共12小题）
13．在平面直角坐标系中，已知点P（﹣3，5）与点Q（3，a﹣2）关于原点对称，则a＝ ﹣3 ．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即求关于原点的对称点时，横、纵坐标都变成原数的相反数．
【解答】解：根据两个点关于原点对称，则横、纵坐标都是原数的相反数，
得a﹣2＝﹣5，
∴a＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点的对称点时，横、纵坐标都变成原数的相反数，难度适中．
14．若函数y＝（m﹣2）x|m|+1（m是常数）是二次函数，则m的值是 ﹣2 ．
【分析】利用二次函数定义可得：|m|＝2，且m﹣2≠0，再计算出m的值即可．
【解答】解：由题意得：|m|＝2，且m﹣2≠0，
解得：m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
15．如图，△AOB绕点O逆时针旋转65°得到△COD，若∠COD＝30°，则∠BOC的度数是 35° ．
【分析】由旋转的性质可得∠BOD＝65°，由∠COD＝30°，即可求∠BOC的度数．
【解答】解：∵△AOB绕点O逆时针旋转65°得到△COD，
∴∠BOD＝65°，
∵∠COD＝30°
∴∠BOC＝∠BOD﹣∠COD＝65°﹣30°＝35°，
故答案为：35°．
【点评】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
16．已知二次函数y＝x2﹣2x+k的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0的一个解为x1＝3，则另一个解x2＝ ﹣1 ．
【分析】函数的对称轴为：x＝1，则另外一个交点在：（﹣1，0），即可求解．
【解答】解：函数的对称轴为：x＝1，则另外一个交点在：（﹣1，0），
故答案为：﹣1；
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
17．如图，AB是⊙O的直径，，∠BOC＝40°，则∠AOE的度数是 60 度．
【分析】由在同圆中等弧对的圆心角相等得，∠BOC＝∠COD＝∠EOD＝40°从而求得∠AOE的度数．
【解答】解：∵，∠BOC＝40°
∴∠BOC＝∠COD＝∠EOD＝40°
∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝60°．
【点评】本题利用了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等．
18．如图，矩形ABCD的两边BC、CD分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点A（﹣1，2），将矩形ABCD沿x轴向右翻滚，经过一次翻滚点A对应点记为A1，经过第二次翻滚点A对应点记为A2…依此类推，经过2022次翻滚后点A对应点A2022的坐标为 （3033，0） ．
【分析】观察图形即可得到经过4次翻滚后点A对应点一循环，先求出2022÷4的商，从而解答本题．
【解答】解：如图所示：
A的坐标为（﹣1，2），
观察图形可得经过4次翻滚后点A对应点一循环，
2022÷4＝505•••••2，
∵点A（﹣1，2），长方形的周长为：2（1+2）＝6，
∴经过505次翻滚后点A对应点A2022的坐标为（6×505+4﹣1，0），即（3033，0）．
故答案为：（﹣1，2），（3033，0）．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，规律型﹣点的坐标等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
三．解答题（共7小题）
19．用适当的方法解下列方程：
（1）x2＝2x；
（2）x（3x+4）＝2
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）x2＝2x，
x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝0，x2＝2；
（2）x（3x+4）＝2，
3x2+4x﹣2＝0，
Δ＝42﹣4×3×（﹣2）＝40＞0，
x＝＝，
所以x1＝，x2＝；
【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法．
20．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，4），B（﹣4，0），C（﹣1，0）．
（1）△A1B1C1与△ABC关于原点O对称，画出△A1B1C1并写出点A1的坐标；
（2）△A2B2C2是△ABC绕原点О顺时针旋转90°得到的，画出△A2B2C2并写出点A2的坐标．
【分析】（1）根据中心对称的性质作图，即可得出答案．
（2）根据旋转的性质作图，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
点A1的坐标为（1，﹣4）．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
点A2的坐标为（4，1）．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转和中心对称的性质是解答本题的关键．
21．用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为18m．
（1）设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为 30﹣2x m（用含x的代数式表示）；
（2）若菜园的面积为100m2，求x的值．
【分析】（1）根据图形直接可得答案；
（2）由矩形面积公式列方程即可解得答案．
【解答】解：（1）由图可得：平行于墙的一边长为（30﹣2x）m，
故答案为：30﹣2x；
（2）根据题意得：
x•（30﹣2x）＝100，
∴x2﹣15x+50＝0，
解得x＝5或x＝10，
当x＝5时，30﹣2x＝20＞18，
∴x＝5不合题意，舍去，
∴x＝10，
答：x的值为10m．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是数形结合列方程．
22．因疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y（桶）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利润＝销售价﹣进价）
【分析】（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b，将点（60，100）、（70，80）代入一次函数表达式，即可求解；
（2）根据利润等于每桶的利润乘以销售量得w关于x的二次函数，根据二次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y＝kx+b，
将点（60，100）、（70，80）代入一次函数表达式得：，
解得：，
故函数的表达式为：y＝﹣2x+220；
（2）设药店每天获得的利润为w元，由题意得：
w＝（x﹣50）（﹣2x+220）＝﹣2（x﹣80）2+1800，
∵﹣2＜0，函数有最大值，
∴当x＝80时，w有最大值，此时最大值是1800，
故销售单价定为80元时，该药店每天获得的利润最大，最大利润1800元．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用以及用待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量×每件的利润＝w得出函数关系式是解题关键．
23．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AC平分∠BAD，且AD⊥CD于点D．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，CD＝2，求⊙O的半径．
【分析】（1）如图1中，连接OC．只要证明AD∥OC，由AD⊥CD，即可推出OC⊥CD；
（2）过点O作OE⊥AD于点E，得矩形OEDC，然后利用勾股定理即可求出半径的长．
【解答】（1）证明：如图中，连接OC．
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB＝∠ACO，
∴AD∥OC，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥DC，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：如图，过点O作OE⊥AD于点E，
得矩形OEDC，
∴OE＝CD＝2，DE＝OC，
∴AE＝AD﹣DE＝4﹣OC＝4﹣OA，
在Rt△AEO中，根据勾股定理，得
OA2＝AE2+OE2，
∴OA2＝（4﹣OA）2+22，
解得OA＝．
∴⊙O的半径为．
【点评】此题主要考查了切线的性质与判定，解决本题的关键是掌握切线的判定．
24．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一点，连接AC、BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接OP，BP，若S△BOP＝2S△AOC，求点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得∠QBA＝75°？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；应用意识．
【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；
（2）（﹣5，﹣6）或（6，﹣6）；
（3）存在，（，7+）或（，﹣7﹣）．
【分析】（1）将A（﹣3，0），B（4，0）两点代入y＝﹣x2+bx+c，即可求解；
（2）先求出S△OAC＝6，则S△BOP＝12，设P（t，﹣t2+t+4），可得×4×|﹣t2+t+4|＝12，即可求P点坐标；
（3）在对称轴上取点M使QM＝MB，则∠EMB＝30°，可得MB＝2BE，再由BE＝，分别求出BM＝QM＝7，ME＝，可求Q（，7+），Q点关于x轴对称的点为（，﹣7﹣）．
【解答】解：（1）将A（﹣3，0），B（4，0）两点代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+x+4；
（2）令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4），
∴OC＝4，
∵A（﹣3，0），
∴OA＝3，
∴S△OAC＝×3×4＝6，
∵S△BOP＝2S△AOC，
∴S△BOP＝12，
设P（t，﹣t2+t+4），
∵B（4，0），
∴OB＝4，
∴×4×|﹣t2+t+4|＝12，
解得t＝6或t＝﹣5，
∴P（﹣5，﹣6）或（6，﹣6）；
（3）存在点Q，使得∠QBA＝75°，理由如下：
∵y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣）2+，
∴抛物线的对称轴为x＝，
在对称轴上取点M使QM＝MB，
∴∠EMB＝2∠MQB，
∵∠QBA＝75°，
∴∠MQB＝15°，
∴∠EMB＝30°，
∴MB＝2BE，
∵B（4，0），E（，0），
∴BE＝，
∴BM＝QM＝7，ME＝，
∴QE＝7+，
∴Q（，7+）；
Q点关于x轴对称的点为（，﹣7﹣）；
综上所述：点Q的坐标为（，7+）或（，﹣7﹣）．
【点评】本题考查的是二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，根据题意能够构造等腰三角形是解题的关键．
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