2022喀什六中高三上学期期中考试数学试题含答案

喀什第六中学2021-2022学年度第一学期期中考试

高三数学试卷

2021年11月

一、 单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1}，N＝{x∈R|x（x﹣2）≤0}，则M∩N＝（　　）

A．{﹣1，0，1} B．{0，1}

C．{﹣2，﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0}

2．已知，，则“”的一个充分不必要条件是（    ）

A． B．

C． D．

3．已知函数是R上的偶函数.若对于都有，且当时，，则的值为（    ）

A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2

4．设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

5．等比数列｛an｝的前n项和为Sn，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，则a1=（    ）

A． B． C． D．

6．如图，在正方体中，是棱上的动点.下列说法正确的是（    ）

A．对任意动点，在平面内不存在与平面平行的直线

B．当点从运动到的过程中，二面角的大小不变

C．对任意动点，在平面ABCD内存在与平面垂直的直线

D．当点从运动到的过程中，点到平面的距离逐渐变大

7．已知为坐标原点，点的坐标为，点的坐标满足，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

8．已知曲线在点处的切线与曲线相切，则a=（    ）

A．4 B．8 C．2 D．1

9．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，.已知，则函数的值域为（    ）

A． B．， C．，， D．，0，

10．对，取第1象限的点，使，，，，成等差数列，而，，，，，成等比数列.则各点、、、与射线的关系为（    ）.

A．各点均在射线的上方 B．各点均在射线上

C．各点均在射线的下方 D．不能确定

11．正四面体内放入一个可以自动充气的球，当球和四面体的面相切时，球的半径与该正四面体的高的比值为（    ）

A． B． C． D．

12．已知△的内角所对的边分别为若，且△内切圆面积为，则△面积的最小值为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题(共20分)

13．已知，，则的最大值为___________．

14．已知，分别为圆：与：的直径，则的取值范围为________．

15．已知，，是三个不同的平面，a，b两条不同的直线，下列命题中正确的是___________.

①若，，则

②若，，则

③若，，则

④若，，则

16．已知数列的前n项和为，则______．

三、解答题(共70分)

17．已知函数，．

（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；

（2）求函数在上的取值范围．

18．已知正项数列的前n项和为，且，，，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列前n项积为，证明：，．

19．如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：

（1）PA⊥底面ABCD；

（2）BE∥平面PAD；

（3）平面BEF⊥平面PCD.

20．已知各项均为正数的数列满足：，且

（1）设，求数列的通项公式

（2）设，求，并确定最小正整数，使得为整数．

21．已知函数.

（1）求f(x)的单调递增区间；

（2）若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围.

22．已知函数，．

（1）当时，

①求的极值；

②若对任意的都有，，求的最大值；

（2）若函数有且只有两个不同的零点，，求证：．

参考答案

1．B 2．A 3．C 4．D 5．C 6．B 7．B 8．B 9．B 10．C 11．C 12．D

13．

14．

15．④

16．

17．

（1）

解：因为，

所以最小正周期是，

因为，所以，，

所以函数的递增区间是，；

（2）

解：因为，

所以，所以，

所以．

18．

（1）

当时，，

∵，

∴，即，

∵数列各项为正，

∴，即，则数列为首项，公差的等差数列，

∴，即，

∴当时，，经检验成立，

∴．

（2）

∵，数列前n项积为

∴

∵，

∴，

∴．

19．

证明　（1）∵平面PAD⊥底面ABCD，

且PA垂直于这两个平面的交线AD，PA⊂平面PAD，

∴PA⊥底面ABCD.

（2）∵AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，∴AB∥DE，且AB＝DE.

∴四边形ABED为平行四边形.∴BE∥AD.

又∵BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD.

（3）∵AB⊥AD，而且ABED为平行四边形.∴BE⊥CD，AD⊥CD，

由（1）知PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，

∴PA⊥CD，且PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，

∴CD⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴CD⊥PD.

∵E和F分别是CD和PC的中点，∴PD∥EF.∴CD⊥EF，又BE⊥CD且EF∩BE＝E，

∴CD⊥平面BEF，又CD⊂平面PCD，

∴平面BEF⊥平面PCD.

20．

（1）

是公比为2的等比数列，

，

（2）

若为整数，因为  ，即

能被整除

所以可得时，能被整除

的最小值是

21．

（1）由，得到.

因此f(x)在上的增区间为，k∈Z且，解得.

（2）因为|f(x)-m|<2在上恒成立，所以.

又，其中，所以，故.

22．（1）①时，，则，

令，解得：，令，解得：，

∴在递减，在,递增，故的极小值是，没有极大值；

②对任意都有，即恒成立，

由，有，故，

由①知，在,单调递增，故，可得，即，

当时，的最小值是，故的最大值是；

（2）证明：要证，只需证明即可，

由题意，、是方程的两个不相等的实数根，又，

∴，消去，整理得：，

不妨设，令，则，故只需证明当时，，即证明，

设，则，

∴在单调递增，从而，

故，即得证．