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【高考大一轮单元复习】高考数学单元复习讲义与检测-专题11《圆锥曲线》讲义（新高考专用）
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这是一份【高考大一轮单元复习】高考数学单元复习讲义与检测-专题11《圆锥曲线》讲义（新高考专用），文件包含高考大一轮单元复习高考数学单元复习讲义与检测-专题11《圆锥曲线》讲义新高考专用解析版docx、高考大一轮单元复习高考数学单元复习讲义与检测-专题11《圆锥曲线》讲义新高考专用原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共99页， 欢迎下载使用。
专题11 圆锥曲线
知识回顾
一、椭圆的定义及相关性质：
椭圆
定义
1.到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹
2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0
方
程
标准方程
(>0)
(>0)
范围
─a£x£a，─b£y£b
─a£x£a，─b£y£b
中心
原点O（0，0）
原点O（0，0）
顶点
(a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b)
(0, a), (0,─a), (b ,0) , (─b ,0)
对称轴
x轴，y轴；
长轴长2a,短轴长2b
x轴，y轴；
长轴长2a,短轴长2b
焦点
F1(c,0), F2(─c,0)
F1(0,─c), F2 (0 ,c)
焦距
2c （其中c=）
2c （其中c=）
离心率
准线
x=
x=
焦半径
通径
a,b,c
关系
二.双曲线的定义及相关性质
定义
平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.
这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：
(1)若a
(3)若a>c，则集合P为空集.
标准方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
图 形
性 质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
【温馨提示】要点诠释
1．等轴双曲线
定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线
等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率
等轴双曲线可以设为：，当时交点在x轴，当时焦点在y轴上
2．共渐近线的双曲线系
如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程就一定是：或写成
3．双曲线的草图
具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线
4．离心率
双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率 范围：
双曲线形状与e的关系：，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔
5．共轭双曲线
以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 区别：三量a,b,c中a,b不同（互换）c相同
共用一对渐近线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上
确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1
共用同一对渐近线的双曲线的方程具有什么样的特征：可设为，当时交点在x轴，当时焦点在y轴上
三. 抛物线的定义及相关性质
抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（其中定点F不在定直线l上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．
抛物线的数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).
设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：
方程
图形
焦点
准线
范围
对称轴
轴
轴
顶点
（0，0）
离心率
焦半径
抛物线上的点
【温馨提示】
1.抛物线的过焦点的弦：
①，；
②， ，过焦点的所有弦中弦长最短为通径（过焦点垂直于对称轴的弦）。
③焦半径为半径的圆：以为圆心、为半径的圆必与准线相切。所有这样的圆过定点、准线是公切线。
④焦半径为直径的圆：以焦半径 FP为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。所有这样的圆过定点F，过顶点垂直于轴的直线是公切线。
⑤焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ为直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的公切线是准线。
⑥平行于抛物线轴的直线与抛物线只有一个交点. 但它不是抛物线的切线.
2．抛物线和椭圆、双曲线的比较
（1）抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大.它的离心率等于1；它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它无中心，也没有渐近线.
（2）.椭圆、双曲线都有中心，它们均可称为有心圆锥曲线.抛物线没有中心，称为无心圆锥曲线.
四.有关圆锥曲线的常见求解问题的提示：
1.有关圆锥曲线弦长问题的求解方法：涉及弦长的问题中， 应熟练的利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．
2.处理中点弦问题常用的求解方法：
(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．
(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解．
(3)解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意：如果点A，B关于直线l对称，则l垂直直线AB且A，B的中点在直线l上的应用．
3.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面：
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
4.处理圆锥曲线最值问题的求解方法：
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．
5.圆锥曲线中定点问题的两种解法：
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．
(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．
6.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略：
(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值；
(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；
(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．
7.解决探索性问题的注意事项：
探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．
(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；
(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法．
【温馨提示】椭圆与双曲线的离心率的求法：
对于椭圆，有；
对于双曲线：，有防止记混．
常考题型
1.椭圆的标准方程：
【例题1-1】（多选题）在平面直角坐标系中，下列方程表示的曲线是椭圆的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】
根据椭圆定义，由AB选项中的式子，可判断AB的正误；对于CD选项，将式子化简整理，即可判断出CD的正误.
【详解】
A选项，表示动点到定点和的距离等于，即，所以点的轨迹是线段，故A错；
B选项，表示动点到定点和的距离等于，即，满足椭圆定义，所以表示焦点在轴上，焦距为，长轴长为的椭圆，故B正确；
C选项，由可得，整理得显然表示椭圆，故C正确；
D选项，由可得，则，显然不表示椭圆，故D错.
故选：BC.
【自我提升】，则“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】求得方程表示椭圆的条件，从而确定正确选项.
【详解】方程表示椭圆，则，
所以“”是“方程表示椭圆”的充分不必要条件.故选：B
【例题1-2】写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P到两焦点的距离
之和等于10；
⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（,）
【解析】（1）因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为：
所以所求椭圆标准方程为
⑵ 因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为
由椭圆的定义知，
＋
又
所以所求标准方程为
另法：∵
∴可设所求方程，后将点（,）的坐标代入可求出，从而求出椭圆方程
【点睛】题（１）根据定义求 若将焦点改为(0,-4)、（0，4）其结果如何；
题（２）由学生的思考与练习，总结有两种求法：其一由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是由已知焦距，求出长轴与短轴的关系，设出椭圆方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方程
【自我提升】已知椭圆的焦点在坐标轴上，且经过和两点，则椭圆的标准方程为_______.
【答案】
【分析】
设所求椭圆方程为：(，，)将和的坐标代入方程，即可得到答案；
【详解】设所求椭圆方程为：(，，)将和的坐标代入方程得：，解得，所求椭圆的标准方程为：.
故答案为：.
【例题1-3】已知，皆为曲线上的点，为曲线上异于，的任意一点，且满足直线的斜率和直线的斜率之积为.
（1）求曲线的方程；
（2）斜率不为零的直线过点且与曲线交两点，点，若，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据斜率公式直接求解即可；
（2）设出直线的方程与曲线方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合线段垂直平分线的性质进行求解即可.
【详解】（1）设为曲线上异于的任意一点；
∵，∴.
∴
又，皆为曲线上的点，所以曲线的方程为；
（2）设直线的斜率为，则的方程为：，
又设，，联立
消去得，
由韦达定理得，
此时线段的中点为
若，则在的中垂线上，
与中点的连线与垂直
∴化简得，
解得，
所以直线的方程为，即.
【点睛】关键点睛：利用线段垂直平分线的性质是解题的关键.
【自我提升1】已知椭圆上的一点到焦点的距离为，点是的中点，为坐标原点，则等于（ ）
A．2 B．4 C．7 D．
【答案】C
【分析】利用椭圆的定义和三角形中位线定理即可求解.
【详解】如图所示，设椭圆的另一焦点为，因为O、M分别是F1F2和PF1的中点，所以,
而由椭圆的方程得a=10，2a=20，所以,
所以=7，
故选：.
【自我提升2】已知，皆为曲线上的点，为曲线上异于，的任意一点，且满足直线的斜率和直线的斜率之积为．
（1）求曲线的方程；
（2）直线过点且与曲线交于，两点，求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）4.
【分析】
（1）设，由斜率公式结合得出曲线的方程；
（2）设直线为，并与曲线的方程联立，由韦达定理以及三角形面积公式得出，令结合基本不等式得出面积的最大值.
【详解】
解（1）设为曲线上异于，的任意一点；
，
，，，
又，皆为曲线上的点，所以曲线的方程为；
（2）设的方程为：，又设，
联立消去得，
，
由，可得，
由韦达定理，
令，则，且，
当且仅当，即时“＝”成立，所以面积的最大值为.
2.椭圆的简单几何性质：
【例题2-1】求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．
【解析】把已知方程化成标准方程 ，
所以，，
因此，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为，离心率，两个焦点分别为，椭圆的四个顶点是，将已知方程变形为，根据，在的范围内算出几个点的坐标：
0
1
2
3
4
5
4
3.9
3.7
3.2
2.4
0
先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆：
【自我提升】过点(，－)，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为_______．
【答案】
【分析】由题设条件设出椭圆方程，再列出关于a2与b2的方程组即可作答.
【详解】所求椭圆与椭圆的焦点相同，则其焦点在y轴上，半焦距c有c2=25-9=16，
设它的标准方程为 (a＞b＞0)，于是得a2-b2=16，又点(，－)在所求椭圆上，即，
联立两个方程得，即，解得b2=4，则a2=20，所以所求椭圆的标准方程为.故答案为：
【例题2-2】设，分别是椭圆E：的左､右焦点，若椭圆E上存在点P满足，则椭圆E离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先设，根据P在椭圆上得到，由，得到的范围，即为离心率的范围.
【详解】由椭圆的方程可得，，设，
由，则，即，
由P在椭圆上可得，所以，代入可得
所以，由，所以，整理可得：，
消去 得：所以，即，可得：.故选：D.
【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a、b、c的关系，消去b，构造离心率e的方程或（不等式）即可求出离心率．
【例题2-3】已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，与椭圆交于两点，求弦的长.
【解析】解法一：∵直线过椭圆的右焦点，又直线的斜率为，
∴直线的方程为，即，
由方程组，得交点．
则.
解法二：设，则的坐标是方程组的公共解，
对方程组消得.则.
∴.
3.双曲线的标准方程：
【例题3-1】已知双曲线的焦点在轴上，中心在原点，且点，，在此双曲线上，求双曲线的标准方程
【分析】由于已知焦点在轴上，中心在原点，所以双曲线的标准方程可用设出来，进行求解 本题是用待定系数法来解的，得到的关于待定系数的一个分式方程组，并且分母的次数是2，解这种方程组时利用换元法可将它化为二元二次方程组；也可将的倒数作为未知数，直接看作二元一次方程组
【解析】因为双曲线的焦点在轴上，中心在原点，所以设所求双曲线的标准方程为
（）
则有 ，即
解关于的二元一次方程组，得
所以，所求双曲线的标准方程为
【自我提升1】与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是_______.
【答案】
【分析】设出双曲线方程，由题意可得关于的方程组，即可求解.
【详解】由椭圆方程可知，焦点坐标是，
设双曲线方程是，所以，解得：，，
所以双曲线方程是.故答案为：
【自我提升2】（多选题）已知点A的坐标为，点B的坐标为，直线AP与BP相交于点P，且它们的斜率之积为非零常数m，那么下列说法中正确的有（ ）
A．当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在x轴上的椭圆
B．当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是圆心在原点的圆
C．当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在y轴上的椭圆
D．当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在x轴上的双曲线
【答案】BD
【分析】
设设点P的坐标为，根据已知条件，求得轨迹方程，然后根据平方项的系数的正负，同号异号，同号时相等与否分类讨论.
【详解】
设点P的坐标为，则，所以.
当时，，即，表示焦点在y轴上的椭圆，故A错误.
当时，，表示圆心在原点的圆，故B正确.
当时，，表示焦点在x轴上的椭圆，故C错误.
当时，，表示焦点在x轴上的双曲线，故D正确.
故选：BD
【例题3-2】一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s．
(1)爆炸点应在什么样的曲线上？
(2)已知A、B两地相距800m，并且此时声速为340 m／s，求曲线的方程．
【分析】解应用题的关键是建立数学模型 根据本题设和结论，注意到在A处听到爆炸声的时间比B处晚2s,这里声速取同一个值
【解析】(1)由声速及A、B两处听到爆炸声的时间差，可知A、B两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上
因为爆炸点离A处比离B处更远，所以爆炸点应在靠近B处的一支上．
(2)如图，建立直角坐标系，使A、B两点在轴上，并且点O与线段AB的中点重合
设爆炸点P的坐标为，则 |PA|－|PB|=340×2=680，即 2＝680，＝340．
又|AB|=800， ∴ 2c=800，c=400，＝44400
∵ |PA|－|PB|＝680＞0，∴ ＞0
所求双曲线的方程为 （＞0）
【点睛】利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，但不能确定爆炸点的准确位置．如果再增设一个观测点C，利用B、C(或A、C)两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置．这是双曲线的一个重要应用
【想一想】如果A、B两处同时听到爆炸声，那么爆炸点应在什么样的曲线上．（爆炸点应在线段AB的中垂线上）
【点评】本例是培养学生应用双曲线知识解决实际问题的一道典型题目，安排在此非常有利于强化学生“应用数学”的意识，后面对“想一想”的教学处理，有利于调动学生的学习主动性和积极性，培养他们的发散思维能力
【自我提升】A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B的正东，相距6 km，C在B的北偏西30°方向上，相距4 km，P为敌炮阵地.某时刻A发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此4秒后，B、C才同时发现这一信号（该项信号的传播速度为每秒1 km）.A若炮击P地，求炮击的方位角.
【解析】以AB的中点为原点，BA所在的直线为x轴建立直角坐标系，则A（3，0），
B（-3，0），C（-5，2）.∵|PB|-|PA|=4，∴点P在以A、B为焦点的双曲线的右支上，该双曲线右支的方程是(x≥2). ①
又∵|PB|=|PC|，∴点P在线段BC的垂直平分线上，该直线的方程为
x-y+7=0. ②
将②代入①得11x2-56x-256=0，得x=8或x=-（舍）.于是可得P（8，5）.
又kPA=tanα=，∴α=60°.
故点P在点A的北偏东30°方向上，即A炮击P地的方位角是北偏东30°.
4.双曲线的简单几何性质：
【例题4-1】求与双曲线共渐近线且过的双曲线的方程
【分析】因所求的双曲线与已知双曲线共渐近线，故可先设出双曲线系，再把已知点代入，求得K的值即可
【解析】设与共渐近线且过的双曲线的方程为
则 ，从而有所求双曲线的方程为
【自我提升1】顶点间的距离为6，渐近线方程为的双曲线的标准方程为________.
【答案】或.
【解析】
【分析】先确定a的值，再分类讨论，求出b的值，即可得到双曲线的标准方程．
【详解】由题意2a=6，∴a=3．
当焦点在x轴上时，∵双曲线的渐近线方程为,
∴∴方程为；
当焦点在y轴上时，∵双曲线的渐近线方程为，
∴∴方程为．
故双曲线的标准方程为：或.
【例题4-2】如图8—8，已知梯形ABCD中，｜AB｜＝2｜CD｜，点E分有向线段所成的比为λ，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当≤λ≤时，求双曲线离心率e的取值范围.
【解析】 建立如图所示的直角坐标系，设双曲线方程为＝1.
∵双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称.
依题意，记A（－c，0），C（，ｈ），Ｅ（x0，y0），其中c=|AB|，h是梯形的高.
由定比分点坐标公式得x0＝，y0＝
∵点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和e=代入双曲线方程得：
＝1 ①
=1 ②
由①得：代入②并整理得：λ＝
又,得：，
解得≤e≤
∴双曲线离心率的取值范围为［，］
【点睛】 λ＝也可整理为e2＝＝，观察知≤e≤.
【自我提升】若双曲线与直线没有公共点，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据双曲线的渐近线与直线的位置关系即可得解.
【详解】双曲线的渐近线，
双曲线与直线没有公共点，则.
又因为双曲线离心率大于1，所以C选项符合题意.故选：C
【例题4-2】双曲线=1与直线y=kx－1只有一个公共点，求k的值.
【解析】 直线y=kx－1过(0，－1)点，若使直线与双曲线只有一个公共点，必须直线与双曲线的渐近线平行或直线与双曲线相切.
当直线与渐近线平行时，双曲线的渐近线方程是y=±x.∴k=±.
当直线与双曲线相切时，（4－9k2）x2＋18kx－45＝0
∴Δ＝0即(18k）2＋4·（4－9k2)·45＝0解得：k＝±.
综上可知：k＝±或k＝±.
【自我提升1】若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线与双曲线渐近线平行时，直线与双曲线的左支或右支只有一个交点，然后由直线与双曲线的左、右两支各有一个交点利用数形结合法求解.
【详解】当直线与双曲线的渐近线平行时，，
此时直线与双曲线的左支或右支只有一个交点，如图所示：
因为直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，
所以的取值范围为，故选：D.
【自我提升2】一对共轭双曲线的离心率分别是e1和e2，则e1+e2的最小值为 （ ）
A. B.2 C.2 D.4
【答案】C
【解析】设这对共轭双曲线的方程为和(a＞0,b＞0)，
∴e1=,e2=，
∴(e1+e2)2= ≥2+2+2×2=8
当且仅当a=b时，等号成立.从而当a=b时，e1+e2取得最小值，而且最小值为2.
5.抛物线的标准方程：
【例题5-1】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.
（1）过点（3，-4）；
（2）焦点在直线x+3y+15=0上.
（3）已知抛物线的焦点为(3，3)，准线为x轴，求抛物线的方程.
（4）点M与点F(0，－2)的距离比它到直线l:y－3=0的距离小1,求点M的轨迹方程.
【解析】（1）∵点（3，-4）在第四象限，∴抛物线的标准方程为y2=2px(p>0)或x2=-2p1y(p1>0).把点（3，-4）的坐标分别代入y2=2px和x2=-2p1y，得(-4)2=2p·3，32=-2p1·(-4)，
即2p=，2p1=.∴所求抛物线的方程为y2=x或x2=-y.
（2）令x=0得y=-5；令y=0得x=-15.∴抛物线的焦点为（0，-5）或（-15，0）.
∴所求抛物线的标准方程为y2=-60x或x2=-20y.
（3）设M(x,y)为抛物线上的任意一点，则由抛物线的定义得=|y|，
平方整理，得y=x2－x+3为所求抛物线的方程.
（4）设点M的坐标为(x,y).由已知条件可知，点M与点F的距离等于它到直线y－2=0的距离.根据抛物线的定义，点M的轨迹是以F(0，－2)为焦点的抛物线.
∵=2,∴p=4.
∵焦点在y轴的负半轴上，∴点M的轨迹方程x2=－8y.
【点睛】求抛物线的标准方程需要；（1）求p；（2）判断焦点所在坐标轴的位置.
（3）若将条件化为｜MF｜＋1＝｜y－3｜，其中｜MF｜用两点间的距离公式表示，再化简得方程.过程将非常繁琐.
【自我提升】已知抛物线过点（-11，13），则抛物线的标准方程是（ ）
A.y2=x B.y2=-x C.y2=-x或x2=y D.x2=-y
【答案】C
【解析】∵点（-11，13）在第二象限，∴抛物线的张口向左或向上.当抛物线的张口向左时，设抛物线的方程为y2=-2px，把点（-11，13）的坐标代入得132=-2p·(-11)，∴2p=..∴抛物线的标准方程为y2=-x.当抛物线的张口向上时，设抛线的方程为x2=2p1y，把点（-11，13）的坐标代入得(-11)2=2p·13，∴2p=.∴抛物线的方程为x2=y.
【例题5-2】如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽．当水位上升后，水面宽是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立直角坐标系，设出抛物线方程，代入即可求解.
【详解】建立如图所示的直角坐标系：
设抛物线方程为，由题意知：在抛物线上，即，解得：，，
当水位上升后，即将代入，即，解得：，∴水面宽为.故选：C.
【自我提升1】如图，在底面半径和高均为4的圆锥中，AB、CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，若过直径CD与点E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为 ．
【答案】
【分析】
根据圆锥的性质，建立坐标系,确定抛物线的方程，计算出的长度，结合直角三角形的关系进行求解即可.
【详解】
如图所示，过点作,垂足为，
母线的中点，圆锥的底面半径和高均为4 ,，
在平面内建立直角坐标系如图，
设抛物线的方程为，为抛物线的焦点，，
，解得，即，
，该抛物线的焦点到圆锥顶点的距离为：
，故答案为.
【点睛】本题考查了圆锥的性质、抛物线的标准方程与性质，考查空间想象能力以及转化与划归思想、数形结合思想的应用,建立平面坐标系，求出抛物线的方程以及焦点坐标是解决本题的关键，属于难题.
【自我提升2】设抛物线：的焦点为，为坐标原点，是上一点.若，则（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】A
【分析】
根据，利用抛物线的定义求得点的坐标，然后利用两点间距离公式求解.
【详解】
由可得，准线为，
设，因为，
由抛物线的定义得，
解得：，所以，
所以，
故选：A.
【自我提升3】如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为（ ）
A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝x
【答案】C
【分析】过点A，B分别作准线的垂线，交准线于点E，D，设|BF|＝a，利用抛物线的定义和平行线的性质、直角三角形求解．
【详解】如图，过点A，B分别作准线的垂线，交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由抛物线定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，2|AE|＝|AC|，所以3＋3a＝6，从而得a＝1，|FC|＝3a＝3，所以p＝|FG|＝|FC|＝，因此抛物线的方程为
y2＝3x，故选：C.
6.抛物线的简单几何性质：
【例题6-1】已知A，B是抛物线两点，O为坐标原点．若，且的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB的方程为________．
【答案】
【分析】
由抛物线的性质知关于轴对称,设出坐标，利用三角形垂心的性质，结合斜率之积为，求出坐标即可求解.
【详解】由抛物线的性质知关于轴对称,
设，则，焦点为.
由题意知，，
所以，即.
因为，所以，即，所以直线AB的方程为.
故答案为：
【点睛】本题考查抛物线的性质，三角形垂心的性质，解题的关键是利用三角形垂心的性质得到，再利用斜率的关系求得坐标，考查学生的运算求解能力，属于中档题.
【自我提升】直线与抛物线：交于，两点，若，则，两点到抛物线的准线的距离之和为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
直线与抛物线：联立，可得，，再利用两点之间的距离公式求得，再利用抛物线的性质即可得解.
【详解】
联立，整理得：，解得：
即直线与抛物线交于，两点，且
由，得，解得：或（舍）
所以抛物线方程为，准线方程为
故，两点到抛物线的准线的距离之和为，
故选：C.
【点睛】解题的关键是熟悉抛物线的性质.
【例题6-2】在直角坐标系中，已知定点，定直线，动点到直线的距离比动点到点的距离大.记动点的轨迹为曲线.
（1）求的方程，并说明是什么曲线？
（2）设在上，不过点的动直线与交于，两点，若，证明：直线恒过定点.
【答案】（1）动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，且曲线的方程为；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据抛物线的定义即可得求出结果；
（2）设出直线的方程，与抛物线联立，借助韦达定理以及题中信息得到，进而可以求出结果.
【详解】
（1）解：由题意可知，动点到的距离比到的距离大，
则动点到直线的距离与到的距离相等，
所以动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，
且曲线的方程为，
（2）证明：由题意可知，，且的斜率存在，
设的方程为，，
由得，
则，
且，
显然直线的斜率均存在，由，得，
因为，，
所以，整理得，
所以，即，且满足，
所以的方程为，
故直线恒过定点.
【自我提升】已知抛物线：的焦点到其准线的距离为4，经过点的直线与该抛物线交于，两点．
（1）求抛物线的方程；
（2）求的最小值．
【答案】（1）；（2）20．
【分析】
（1）由焦点到其准线的距离可得焦参数，从而得抛物线方程；
（2）设直线方程为，代入抛物线方程，设，应用韦达定理得，计算，再由函数性质得最小值．
【详解】
（1）由题意，所以抛物线方程为；
（2）由（1）得焦点为，直线的斜率不为0，设方程为，设，
由得，所以，
，所以时，取得最小值．
7.圆锥曲线的定点、定值问题：
【例题7-1】已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为，过点M(2，0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若B点关于x轴的对称点是N，证明：直线AN恒过一定点.
【解析】(1) 由题意知b＝1，e＝＝，得a2＝2c2＝2a2－2b2，故a2＝2.故所求椭圆C的方程为：＋y2＝1.
(2)证明： 设直线l的方程为y＝k(x－2)，则由
得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0.
设A(x1 ，y1)，B(x2 ，y2)，则x1＋x2＝，x1·x2＝.
由对称性可知N(x2，－y2)，定点在x轴上，直线AN：y－y1＝(x－x1).
令y＝0得：x＝x1－＝ ＝＝
＝＝1，故直线AN恒过定点(1，0).
【例题7-2】已知双曲线的方程为，椭圆的方程为，双曲线右焦点到双曲线渐近线的距离为，椭圆的焦点为，，短轴端点为，．
（1）求双曲线的方程与椭圆的方程；
（2）过点作椭圆的两条互相垂直的弦，，证明：过两弦，中点的直线恒过定点．
【答案】（1）双曲线的方程为，椭圆的方程为；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据双曲线右焦点到双曲线渐近线的距离为求得，在椭圆中由求得，进而求得双曲线方程和椭圆方程；
（2）设出直线的方程，可得直线的方程，结合韦达定理可求得直线的方程，进而可求得结果.
【详解】
（1）因为双曲线的右焦点为到双曲线渐近线的距离为，不妨设渐近线方程为，所以.
在椭圆中，因为，则，又，所以，
所以双曲线的方程为，椭圆的方程为．
（2）根据题意可得当直线与直线的斜率存在且不为0时，
设直线的方程为，则直线的方程设为，
联立，消去，可得，
则．
设，，则，，
所以的中点．同理可得的中点，
所以直线的斜率，
所以直线的方程为，整理可得，
所以直线恒过定点；
当直线的斜率不存在时，弦的中点，的中点，
此时过弦，的中点的直线为，经过定点．
综上可得，过两弦，中点的直线恒过定点．
【例题7-3】已知抛物线上一点，过点作抛物线的两条弦，，且，则直线经过定点为________．
【答案】
【分析】设，，应用直线方程的两点式并整理得直线为，再由确定的关系，即可知的定点坐标.
【详解】由题设，令，，则直线为，又且均不为1，
∴：，整理得，
又，即，得，
∴为，即经过定点.故答案为：
【点睛】通过设的坐标，利用两点式化简整理出直线的方程，再由垂直关系有确定参数关系，并代入所得的方程，即可确定定点坐标.
【例题7-4】已知椭圆过点，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线（不经过点）交椭圆于点，试问直线与直线的斜率之和是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）；（2）直线与的斜率之和为定值.
【分析】
（1）依题意得到方程组，解得即可；
（2）由题可知的斜率一定存在，故设：联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，即可得到，，再计算可得；
【详解】
解：（1）由题意得，∴
∴椭圆的方程为.
（2）由题可知的斜率一定存在，故设：
由得
由，解得，
设则，
又点，∴，，
∴
.
直线与的斜率之和为定值.
【自我提升】设椭圆＝1的右焦点为F，直线y＝m（0＜m＜）与椭圆交于A，B两点，现给出下述结论：
①|AF|+|BF|为定值；
②△ABF的周长的取值范围是[6，12]
③当m＝时，△ABF为直角三角形；
④当m＝1时，△ABF的面积为．
其中所有正确结论的序号是__．
【答案】①③④
【分析】
由对称性及椭圆定义计算判断①②，代入椭圆方程求得坐标，再计算判断③④即可得结论．
【详解】对于①：设椭圆的左焦点为，则，可得为定值6，故①正确；
对于②：△ABF的周长为，∵|AF|+|BF|为定值6，可知的范围是（0，6），∴△ABF的周长的范围是（6，12），故②错误；
将y＝与椭圆方程联立，可解得A（﹣，），B（，），
又知F（，0），
则＝，所以AF⊥BF，故③正确；
将y＝1与椭圆方程联立，解得A（，1），B（，1），∴S△ABF＝＝，故④正确．
故答案为：①③④．
【例题7-5】设点为双曲线上任意一点，双曲线的离心率为，右焦点与椭圆的右焦点重合．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点作双曲线两条渐近线的平行线，分别与两渐近线交于点，，求证：平行四边形的面积为定值，并求出此定值．
【答案】（1）；（2）证明见解析；定值为．
【分析】
（1）根据题意得到，解方程组即可求出结果；
（2）设点点坐标为，然后分别表示出两条与渐近线平行的直线，然后分别与相交的渐近线联立求出两点的坐标，以及的正弦值，借助于的面积，进而表示出平行四边形的面积，化简整理即可确认是否为定值.
【详解】
（1）
则，，．
所以双曲线的标准方程为：．
（2）设点坐标为，过与渐近线平行的直线分别为，，
方程分别为，，
联立方程：，得，
同理可得：，得，
又渐近线方程为，则，
，
又点在双曲线上，则，
所以，即平行四边形的面积为定值，且此定值为．
【点睛】
双曲线的渐近线方程为，而双曲线的渐近线方程为(即)，应注意其区别与联系.
【例题7-6】A、B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，满足OA⊥OB（O为坐标原点）.求证：
（1）A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值；
（2）直线AB经过一个定点.
【证明】（1）设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则y12=2px1、y22=2px2.
∴OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0，y12y22=4p2x1x2=4p2·(-y1y2).
∴y1y2=-4p2，从而x1x2=4p2也为定值.
（2）∵y12-y22=2p(x1-x2)，∴.∴直线AB的方程为y-y1=(x-x1),
即y=x-·+y1，y=x+，
亦即y=(x-2p).∴直线AB经过定点（2p，0）.
【点睛】本例的证明还可以设OA的方程为y=kx，OB的方程为y=-x，由OA的方程与抛物线的方程联立求得A点的坐标，再由OB的方程与抛物线的方程联立求得B点的坐标，利用A、B的坐标证明.
【自我提升】已知抛物线C：y2＝2px过点P(1，1):
①点P到抛物线焦点的距离为
②过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则△OPQ的面积为
③过点P与抛物线相切的直线方程为x－2y＋1＝0
④过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M，N两点，则直线MN的斜率为定值
其中正确的是________.
【答案】②③④
【分析】由抛物线过点可得抛物线的方程，求出焦点的坐标及准线方程，由抛物线的性质可判断①；
求出直线的方程与抛物线联立切线的坐标，进而求出三角形的面积，判断②；
设直线方程为y－1＝k(x－1)，与y2＝x联立求得斜率，进而可得在处的切线方程，从而判断③；
设直线的方程为抛物线联立求出的坐标，同理求出的坐标，进而求出直线的斜率，从而可判断④．
【详解】由抛物线过点，所以，所以，所以抛物线的方程为：；
可得抛物线的焦点的坐标为：，，准线方程为：，
对于①，由抛物线的性质可得到焦点的距离为，故①错误；
对于②，可得直线的斜率，所以直线的方程为：，
代入抛物线的方程可得：，解得，
所以，故②正确；
对于③，依题意斜率存在，设直线方程为y－1＝k(x－1)，与y2＝x联立，得：ky2－y＋1－k＝0，
＝1－4k(1－k)＝0，4k2－4k＋1＝0，解得k＝，所以切线方程为x－2y＋1＝0，故③正确；
对于④，设直线的方程为：，与抛物线联立可得，所以，
所以，代入直线中可得，即，，
直线的方程为：，代入抛物线的方程，可得，
代入直线的方程可得，所以，，
所以为定值，故④正确．故答案为：②③④.
8.圆锥曲线的中点弦问题：
中点弦问题：解决中点弦问题的常用方法：中点弦问题求解的关键是充分利用好“中点”这一条件，善于把斜率与中点联系起来，会灵活运用中点坐标公式和一元二次方程根与系数的关系.
（1）通过方程组转化为一元二次方程，结合一元二次方程根与系数关系及中点坐标公式进行求解.
（2）点差法：设出弦的两端点的坐标，代入方程，得到两个等式，两式相减即得弦中点与斜率的关系.
例如：是椭圆 上的两个不同的点是弦的中点，则，所以 ，变形得 ，
即 .
（3）中点转移法：先设出一个端点的坐标，再借助中点得出另一个端点的坐标，然后消去二次项.
【例题8-1】椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是________．
【答案】
【解析】设弦的两个端点为，
∵在椭圆上，∴，
两式相减整理得：
，
又因为，即，
即直线的斜率为.
∴直线的方程为，即.
【例题8-2】在直角坐标系中，过动点的直线与直线垂直，垂足为，点满足．
（1）求点的轨迹方程；
（2）直线与（1）中的轨迹交于两点，如果线段的中点为，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）根据列出满足的方程式，再化简即可；
（2）（法一）设的方程，再联立（1）中所得的抛物线方程，利用韦达定理求解即可
（法二）设，利用点差法求解即可
【详解】
解：（1）因为，故
由，
得，
即，
整理得，此即点的轨迹方程；
（2）（法一）显然直线的斜率存在，设的方程为，
联立方程组，得，
设，
由韦达定理，，
依题意，，
直线的方程为，化简得．
（法二）显然直线的斜率存在，设，
依题意，，
且
点在曲线上，故，
两式相减，得
即，即，
直线的方程为．
【例题8-3】已知双曲线上存在两点关于直线对称，且的中点在抛物线上，则实数的值为________．
【答案】或
【解析】设，的中点，
则
前两个式子相减得，
显然∴，即，
∵关于直线对称，∴，
∴，又∵，
∴，代入抛物线方程得，
解得或，经检验都符合．
【自我提升】已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于两点．若，= .
【答案】2
【解析】利用点差法进行计算即可。
设，则，所以，所以.
取AB中点,分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为，因为,
，因为为AB中点，所以平行于x轴
因为，所以，则即，故答案为2.
【例题8-4】设A，B为曲线C：y=上两点，A与B的横坐标之和为4．
（1）求直线AB的斜率；
（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程．
【解析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，，x1+x2=4，
于是直线AB的斜率．
（2）由，得．设M（x3，y3），由题设知，解得，
于是M（2，1）．
设直线AB的方程为，故线段AB的中点为N（2，2+m），|MN|=|m+1|．
将代入得．当，即时，．
从而．由题设知，即，解得．
所以直线AB的方程为．
【答案】（1）1；（2）．
9.圆锥曲线的弦长问题：
【例题9-1】如图，设椭圆（a＞1）.
（I）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a、k表示）；
（II）若任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.
【分析】（I）先联立和，可得，，再利用弦长公式
可得直线被椭圆截得的线段长；（II）先假设圆与椭圆的公共点有个，再利用对称性及已知条件可得任意以点为圆心的圆与椭圆至多有个公共点时，的取值范围，进而可得椭圆离心率的取值范围．本题考点：弦长；圆与椭圆的位置关系；椭圆的离心率．
【解析】（I）设直线被椭圆截得的线段为AP，由得
，故，．因此．
（II）假设圆与椭圆的公共点有个，由对称性可设轴左侧的椭圆上有两个不同的点，，满足．记直线，的斜率分别为，，且，，．由（I）知，，，故，
所以．
由于，，得，
因此， ①
因为①式关于，的方程有解的充要条件是，所以．
因此，任意以点为圆心的圆与椭圆至多有个公共点的充要条件为，由得，所求离心率的取值范围为．
【答案】（I）；（II）．
【自我提升】已知椭圆的离心率为，右焦点为，斜率为的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为．
(1)求椭圆的方程；
(2)求的面积
【解析】(1)由已知得，解得，又，
所以椭圆的方程为.
(2)设直线的方程为，
由，消去得①
设的坐标分别为，中点为，
则，
因为是等腰的底边，所以，
所以的斜率，解得，
此时方程①为，解得，
所以，所以，
又点到直线的距离，
所以的面积.
【例题9-2】已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，与直线交于A，B两点，若，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设出双曲线方程，联立直线，求出交点坐标，即可求解
【详解】由题意可设双曲线方程为，，
由得，则，，不妨假设，则，
由图象的对称性可知，可化为，即，解得，
故双曲线方程为：，故选：C
【例题9-3】斜率为的直线经过抛物线的焦点且与抛物线交于、两点，则线段的长为________．
【答案】
【分析】先根据抛物线的焦点坐标得出抛物线的标准方程，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理结合抛物线的焦点弦长公式可计算出线段的长.
【详解】由于抛物线的焦点为，则，
所以，抛物线的方程为，设点、，
直线的方程为，联立，消去得，
，．故答案为：.
【自我提升】已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为，抛物线的方程 .
【答案】
【解析】设抛物线的方程为，则消去得，
.由弦长公式可得：
，
则
【例题9-4】已知双曲线C的离心率为，点在双曲线上，且抛物线的焦点F与双曲线的一个焦点重合.
（1）求双曲线和抛物线的标准方程；
（2）过焦点F作一条直线l交抛物线于A，B两点，当直线l的斜率为时，求线段的长度.
【答案】（1）；；（2）.
【分析】（1）设双曲线的方程为（，），根据双曲线C的离心率为和点在双曲线上，得到关于，的方程组解方程组可求双曲线的方程，则抛物线的焦点可求，其方程易解.
（2）联立直线l和抛物线方程，得到两根之和，根据抛物线的焦半径公式易求线段的长度.
【解析】（1）设双曲线的方程为（，），由题设
所以①，又点在双曲线上，所以②
由①②解得，，故双曲线标准方程为；
设双曲线的焦距为，因为，得，
所以抛物线焦点为，
即，所以抛物线的标准方程为.
（2）设直线交抛物线于，，
联立，得，故，
由抛物线定义知，，
所以.
【自我提升】抛物线y2=12x中，一条焦点弦的长为16，求此焦点弦所在直线的倾斜角.
【解析】抛物线的焦点坐标是(3，0)，
设焦点弦所在的直线方程是y=k(x－3).由方程组得y2－y－36=0.
∴直线被抛物线截得的弦长为.
∵焦点弦长为16，∴由12(1+)=16得，k=±.
∴焦点弦所在直线的倾斜角为60°或120°.
10. 直线与圆锥曲线的位置关系问题：
【例题10-1】已知以F1(-2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为________.
【答案】.
【分析】联立直线方程和椭圆方程，利用列方程求出b2=3，最后计算长轴长..
【详解】根据题意设椭圆方程为,
则将代入椭圆方程，得,
因为椭圆与直线有且仅有一个交点，所以，
即，所以b2=3，长轴长为.故答案为：.
【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
【自我提升】椭圆的离心率是，斜率为1的直线过M(b，0)且与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若，则椭圆的标准方程是___________．
【答案】
【分析】由椭圆的离心率可得a，b的值，由题意可得直线l的方程，联立直线与椭圆的方程，求出交点A，B的坐标，求出数量积的表达式，由数量积的运算可得∠AOB的余弦值，进而求出其正切值，由题意可得b的值，进而求出椭圆的方程．
【详解】由题意，，
可得，所以椭圆的方程为：，．
由题意可得直线的方程为：，
联立，解得或，
所以设，，
，
所以.
因为，所以.
所以，所以椭圆的方程为：．故答案为：
【例题10-2】在平面直角坐标系xOy中，过点F（2，0）的动圆恒与y轴相切，FP为该圆的直径，设点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点A（2，4）的任意直线l与曲线C交于点M，B为AM的中点，过点B作x轴的平行线交曲线C于点D，B关于点D的对称点为N，除M以外，直线MN与C是否有其它公共点？说明理由．
【答案】（1）y2＝8x；（2）没有，理由见解析.
【分析】
（1）过P作y轴的垂线，垂足为H，交直线于点，由题意可得，再由抛物线的定义求解即可；
（2）分直线的斜率存在和不存在两种情况结合二次方程的判别式进行讨论，即可求解
【详解】
（1）如图，过P作y轴的垂线，垂足为H，交直线于点，
设动圆的圆心为E，半径为r，则E到y轴的距离为r，在梯形OFPH中，由中位线性质可得，
所以，又，所以，
由抛物线的定义知，点是以为焦点，以直线为准线的抛物线，所以曲线C的方程为：；
（2）由可得A在求出C上，
当直线l的斜率存在时，设，，则，
AM的中点，即，
在方程中，令，得，所以，
设，由中点坐标公式可得，
又，代入化简，所以，
直线MN的斜率为：，
所以直线MN的方程为： ①，
将代入①化简可得：②，
将代入②式整理可得，
，所以直线MN与抛物线相切，
所以除M点外，直线MN与C没有其他的公共点．
当直线MN的斜率不存在时，，，，，
直线MN的方程为：代入抛物线的方程可得，，
所以除M点外，直线MN与C没有其他的公共点．
综上所述，除M点外直线MN与C没有其他的公共点．
【自我提升】已知抛物线的准线为，是抛物线上一点，．
（1）求抛物线的方程；
（2）设与轴的交点为，直线过定点且与抛物线交于两点．记直线的斜率分别为，若，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）根据抛物线定义即可求出，得到抛物线的方程；
（2）当直线的斜率不存在时，与题意不符，直线的方程为，设，，联立直线方程与抛物线方程可得，代入，即可解出，从而得解．
【详解】
（1）根据抛物线定义，，得，抛物线的方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，与题意不符，
所以直线的斜率一定存在，设直线的方程为，代入到中，得，
设，，则，
，，
所以直线的方程为．
11.轨迹问题：
【例题11-1】已知B，C是两个定点，｜BC｜＝6，且的周长等于16，求顶点A的轨迹方程
【解析】以BC所在直线为轴，BC中垂线为轴建立直角坐标系，设顶点，根据已知条件得|AB|+|AC|=10再根据椭圆定义得.
所以顶点A的轨迹方程为 （≠0）（特别强调检验)
因为A为△ABC的顶点，故点A不在轴上，所以方程中要注明≠0的条件.
【例题11-2】知的底边BC长为12，且底边固定，顶点A是动点，使，求点A的轨迹
【分析】首先建立坐标系，由于点A的运动规律不易用坐标表示，注意条件的运用，可利用正弦定理将其化为边的关系，注意有关限制条件
【解析】以底边BC 为轴，底边BC的中点为原点建立坐标系，这时，由得
,即
所以，点A的轨迹是以为焦点，2=6的双曲线的左支 其方程为：
【例题11-3】如图所示，已知定圆：，定圆：，动圆与定圆，都外切，求动圆圆心的轨迹方程．
【答案】
【分析】动圆的半径为，则有，，从而可得，，再由双曲线的定义即可求解.
【详解】圆：，圆心，半径；
圆：，圆心，半径．
设动圆的半径为，
则有，，∴．
∴点的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支，
且，，于是．
∴动圆圆心的轨迹方程为．
【例题11-4】已知点到点的距离比它到直线的距离小，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分析可知点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，进而可求得点的轨迹方程.
【详解】由题意，点到点的距离等于它到直线的距离，
则点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，则点的轨迹方程为，故选：B .
12. 最值问题：
【例题12-1】已知椭圆的左、右焦点分别是F1、F2，上、右顶点分别是A、B，满足∠F1AF2＝120°，．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)与圆x2+y2＝1相切的直线l交椭圆C于P、Q两点，求|PQ|的最大值及此时直线l的斜率．
【答案】(1)；(2)|PQ|max＝2；直线l的斜率为．
【分析】
(1)由焦点得出的关系，解得得椭圆标准方程；
(2)设直线方程为x＝ty+m，由直线与圆相切得关系，直线方程代入椭圆方程，计算出，设设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由韦达定理得，求得，得弦长，设换元后用基本不等式得最值及直线斜率．
【详解】 (1)因为，，得，，
又a2＝b2+c2，所以，a2＝4b2，5b2＝5，解得b＝1，a＝2，
椭圆的标准方程为；
(2)由题意知直线l不能平行于x轴，所以设为x＝ty+m，
由已知得(0，0)到x﹣ty﹣m＝0的距离为1，即，所以m2＝t2+1，
联立直线和椭圆得(ty+m)2+4y2＝4，即(t2+4)y2+2tmy+m2﹣4＝0，
得△＝(2tm)2﹣4(t2+4)(m2﹣4)＝﹣4(4m2﹣4t2﹣16)＝16(t2﹣m2+4)＝16×3，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则|y2﹣y1|，|y2﹣y1|＝，
设，则n≥1，，
当，即时，得|PQ|max＝2，
此时，直线l的斜率为．
【自我提升】已知椭圆C：的左､右焦点分别为F1，F2，点M在椭圆C上，当△MF1F2的面积最大时，△MF1F2内切圆半径为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】由面积最大得的位置，从而可求出三角形的三条边，通过，即可求出内切圆的半径.
【详解】因为椭圆为，所以a=5，b=3，；
当△MF1F2的面积最大时，点M在椭圆C的短轴顶点，不妨设点M为椭圆C的上顶点，
点O为坐标原点，△MF1F2内切圆半径为r，则|MF1|=|MF2|=a=5，|F1F2|=2c=8，|OM|=b=3，
，所以，
故选:D.
【点睛】本题的关键是结合三角形面积的两种求法，得关于内切圆半径的方程，从而求出半径.
【例题12-2】已知是双曲线的右焦点，是双曲线左支上的一点，且点的坐标为，则的周长最小为_________，此时其面积为___________．
【答案】
【解析】
【分析】作出图形，由双曲线的定义可得，再由、、三点共线可求得周长的最小值；求得直线的方程，将该直线的方程与双曲线的方程，求得点的坐标，由此可求得的面积.
【详解】设双曲线的左焦点为，
由双曲线方程可知，，故、.
当点在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知，所以，从而的周长为．
因为为定值，
所以当最小时，的周长最小．
由图可知，此时点为线段与双曲线的交点，
则的周长为．
由题意可知直线的方程为．
由消去，得，解得或（舍去），
所以．故答案为：；.
【例题12-3】已知为抛物线上的任意一点，为抛物线的焦点，点坐标为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】作出图形，过点作抛物线准线的垂线，由抛物线的定义得，从而得出，再由、、三点共线时，取最小值得解.
【详解】如下图所示：
过点作抛物线准线的垂线，由抛物线的定义得，
，当且仅当、、三点共线时，等号成立，
因此，的最小值为.故选：A.
【自我提升1】已知抛物线方程为，点在此抛物线上运动，则点与点之间的距离的最小值为______________.
【答案】
【分析】由于点在抛物线上运动，所以设，则，然后整理配方可求得结果.
【详解】不妨设（），则.
当时，取得最小值，故答案为：.
【自我提升2】已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】
利用抛物线的定义进行转化，结合图像可知当三点共线时即可得出答案．
【详解】
解：如图所示，
设此抛物线的焦点为，准线．
过点作，垂足为．
则，到轴的距离，
则点到点的距离与到轴的距离之和为
设，因此当、、三点共线时，取得最小值．
．
即的最小值为，
所以则点到点的距离与到轴的距离之和为.
故选：A.
13.圆锥曲线的综合问题：
【例题13-1】抛物线y2＝－12x的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等于________.
【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线、双曲线的方程，写出抛物线的准线方程、双曲线的渐近线方程，联立方程可求准线与两条渐近线的交点坐标，进而可求三角形的底边长和高，即可求三角形的面积。
【详解】
由抛物线的方程y2＝－12x可知准线方程为，由双曲线的方程可得两条渐近线的方程分别为，由，可得，同理可得，由图可知弦长AB＝，三角形的高为3，∴面积为S＝.
【自我提升】若抛物线的准线与椭圆相切，则a＝（ ）
A．﹣4或4 B．4 C．﹣8或8 D．8
【答案】A
【解析】
【分析】先写出抛物线的准线方程，再利用已知条件得到，即可得出结果.
【详解】因为抛物线的准线方程为，若抛物线的准线与椭圆相切，
则.
【例题13-2】已知命题有两个不等的实根；命题q方程表示双曲线，若为假命题，为真命题，求m的取值范围．
【答案】或．
【分析】
因为为假，为真，则命题p和命题q其中一真一假，当p真q假，p假q真时，可以得到m的不等式，求出m的范围.
【详解】
由题知有两个不等的实根
则
或，
因为命题q：方程表示双曲线
则，
或，
又因为为假，为真，所以p和q一真一假，
p真q假时，；p假q真时，．
综上所述，p的取值范围为或．
【点睛】
关键点点睛：
有两个不相等实根时，其；有两个相等的实根时；没有实根时.
方程表示双曲线时，则.
【例题13-3】已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1交于A、B两点，(1)若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值；(2)是否存在这样的实数a，使A、B两点关于直线y=x对称?若存在，请求出a的值，若不存在，说明理由.
【解析】 (1)由
消去y得（3－a2）x2－2ax－2＝0 ①
依题意,即－＜a＜且a≠± ②
③ ④
设A(x1，y1)，B（x2，y2）则
∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB，∴x1x2＋y1y2＝0，
但y1y2＝a2x1x2＋a（x1＋x2）＋1
由③、④x1＋x2＝，x1x2＝
∴（a2＋1）·＋a·＋1＝0
解得a＝±1且满足②.
(2)假设存在实数a，使A、B关于y＝x对称，则直线y＝ax＋1与y＝x垂直，
∴a·=－1,即a＝－2,直线l的方程为y＝－2x＋1
将a=－2代入③得x1＋x2＝4
∴AB中点横坐标为2，纵坐标为y＝－2×2＋1＝－3
但AB中点(2，－3)不在直线y＝x上
即不存在实数a使A、B关于直线y＝x对称.
【例题13-4】2021年5月，在美丽的崇明岛举办第十届中国花卉博览会，主办方准备举行花车巡游活动，巡游花车必须通过一个抛物线型的拱门，已知拱圈最高点距地面6米，拱圈两最低点的距离为12米，花车的设计宽度和高度分别为8米和2米，现主办方准备在花车上搭建一个和花车同宽度的舞台供演员表演，求所搭建舞台的最大高度.
【答案】米.
【分析】
以 AB 中点为原点建立平面直角坐标系，设该抛物线的解析式为 y＝ax2+c，将 A，C 点坐标代入求得解析式即可.
【详解】
如图所示，以 AB 中点为原点建立平面直角坐标系，
由题意得 A（﹣6，0），B（6，0），C（0，6），
设该抛物线的解析式为 y＝ax2+c，
代入 A，C 点坐标得 ，
解得 故该抛物线解析式为 ，
令 x＝4，解得 ，又 .故所搭舞台的最大高度为 米.
【例题13-5】已知抛物线：经过点.
（1）求抛物线的方程及其准线方程；
（2）设过点的直线与抛物线交于，两点，若，轴.垂足为，求证：.
【答案】（1）抛物线的方程为，其准线方程为；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据抛物线经过的点求得，由此求得抛物线的方程及其准线方程.
（2）设直线的方程为，联立直线的方程和抛物线方程，化简写出根与系数关系，求得、点的坐标，利用向量法证得.
【详解】
（1）由抛物线经过点，得，即.
所以抛物线的方程为，其准线方程为.
（2）由题意知，直线的斜率不为0，设直线的方程为.
将代入，消去得，
显然，设，，
则，.
∵，∴是线段的中点，设，
则，，
∴，又轴，所以垂足的坐标为.
则，，
所以，所以.
【点睛】
解析几何中，要证明两条直线垂直，可以利用数量积为零或斜率相乘等于来证明.
【例题13-6】已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，两条曲线在第一象限内的交点满足.
（1）求椭圆以及抛物线的标准方程；
（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，过椭圆的左焦点作的垂线与直线交于点，求证：点在定直线上，并求出定直线的方程.
【答案】（1）；；（2）证明见解析，.
【分析】
（1）根据椭圆的一个焦点与抛物线焦点重合，可得，的关系，又根据联立椭圆与抛物线可得第一象限交点的横坐标，进而可得关于的方程，解方程求的值，进而可得椭圆和抛物线的方程；
（2）联立直线方程和椭圆方程，消去得到，由直线与椭圆相切可得其判别式等于0，整理得，代入求得的坐标，然后写出直线的方程为，联立方程组，求得，则说明点在定直线上.
【详解】
（1）∵椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，
∴，解得，∴椭圆方程为，
，解得，，
∵点在第一象限，∴点的横坐标为，
又∵，∴，解得.
∴椭圆，抛物线；
（2）由①，
由直线与椭圆相切可得且，
整理得，
将代入①式得，
即，解得，∴，
又，∴，则，
∴直线的方程为，
联立得.
∴点在定直线上.
【点睛】
解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.
【自我提升】已知是抛物线的焦点，若直线过点，且与抛物线交于，两点，以为直径作圆，圆心为，设圆与轴交于点，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设， 的中点，直线：与 联立可得，由韦达定理计算，，再求以为直径作圆的半径，求出圆心点横坐标，设的中点为，则，由圆的性质可得并求出其范围，进而可得的范围，再讨论斜率不存在时的值，即可求解.
【详解】由抛物线可知，焦点，设， 的中点设直线：代入可得，所以 ，
，，
所以，以为直径作圆的半径，
圆心为的中点，
设的中点为，则，则 ，
且，所以，
当不存在时，，此时，，，，
所以，可得，所以的取值范围是.故选：B
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是联立直线与抛物线的方程，求出圆的半径和圆心坐标，由圆的性质知圆心与弦中点的连线与弦垂直可求出的范围，进而可计算的范围.
1. 已知椭圆过点和点，则此椭圆的标准方程是（ ）
A． B．或
C． D．以上都不对
【答案】A
【分析】设经过两点和点的椭圆标准方程为，利用待定系数法能求出椭圆方程．
【详解】
设经过两点和点的椭圆标准方程为
，
代入A、B得， ，解得 ，∴所求椭圆方程为．
故选：A．
2. 已知椭圆上一动点P到两个焦点F1，F2的距离之积为q，则q取最大值时，的面积为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】
根据椭圆定义，结合基本不等式求出，进而求出面积.
【详解】
根据椭圆定义，，则，当且仅当时取“=”，
此时三角形是等腰三角形，易知，所以的面积为
故选：B.
3. 某椭圆或双曲线的标准方程对应的图形经过点，，则关于该图形判断正确的是（ ）
A．焦点在x轴上的双曲线 B．焦点在y轴上的双曲线
C．焦点在x轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的椭圆
【答案】B
【分析】
根据椭圆与双曲线的标准方程，设出方程，求得相应的的值，结合圆锥曲线的标准方程，即可判定，得到答案.
【详解】
由题意，椭圆或双曲线的标准方程对应的图形经过点，，
当对应的图形为椭圆时，可设椭圆的方程为，
可得，解得，不符合题意；
当对应的图形为双曲线时，可设双曲线的方程为，
可得，解得，即，表示焦点在y轴上的双曲线.
故选：B.
4. 若斜率为的直线与双曲线，恒有两个公共点，则双曲线的离心率的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由斜率为的直线与双曲线恒有两个公共点可得渐近线的斜率大于，由此可求离心率的范围.
【详解】∵ 斜率为的直线与双曲线恒有两个公共点，∴ ，
∴ ，∴ 双曲线的离心率的取值范围是，故选：D.
5. 设为椭圆的离心率，若，且抛物线的准线方程为，则抛物线的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先解方程，结合，求出的值，从而可得抛物线的准线方程，进而可求得抛物线的标准方程
【详解】由，解得．
又，所以．于是，抛物线的准线方程为，
所以抛物线的标准方程是．故选：A
6. 已知抛物线，以为圆心，半径为5的圆与抛物线交于两点，若，则（ ）
A．4 B．8 C．10 D．16
【答案】B
【分析】由圆和抛物线的对称性及|AB|的长，可以得到点A,B的纵坐标，代入抛物线方程得到其横坐标关于p的函数表达式，再代入圆的方程求得p的值.
【详解】以为圆心，半径为5的圆的方程为,
由抛物线，得到抛物线关于x轴对称，
又∵上面的圆的圆心在x轴上，∴圆的图形也关于x轴对称，∴它们的交点A,B关于x轴对称，
因为|AB|=8，∴A,B点的纵坐标的绝对值都是4，
∵它们在抛物线上，于是A点的横坐标的值,不妨设A在x轴上方，则A点的坐标为,又∵A在圆上，∴,解得,故选：B.
【点睛】本题考查抛物线的方程和几何性质，涉及圆的方程和性质，关键是利用抛物线和圆的对称性，结合弦长求得A,B的纵坐标，进而得到其横坐标，代入圆的方程求得p的值.
7. 一条倾斜角为的直线与执物线交于不同的两点，设弦的中点为过作平行于轴的直线交抛物线于点，则以为切点的抛物线的切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设弦所在直线的方程为，，联立方程得，进而得，再根据导数的几何意义求解.
【详解】设弦所在直线的方程为，，
所以联立方程得，
所以，解得，
，
所以，所以点的坐标为，
所以联立方程得，此时点在轴上方，抛物线对应的函数为，故求导得，所以点的切线的斜率为.故选：C
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，导数的几何意义，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于设弦所在直线的方程为，进而与抛物线联立计算得，进一步计算得，最后根据导数的几何意义求解.
8. 已知斜率为的直线过椭圆的右焦点交椭圆于两点，则弦的长为______________.
【解析】 右焦点，直线的方程为.
由，得.
设，则，.
【答案】
9. 过点作抛物线的两条切线，切点分别为，若线段的中点的纵坐标为，则的值是________
【答案】1或2
【解析】设点，依题意，得，切线的方程是，即，又点位于直线上，于是有，即；同理有，因此是方程的两根，则.由线段的中点的纵坐标是，得，即，解得或.
10.已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的焦距为4，直线l：y＝2x与椭圆C相交于点A、B，点P是椭圆C上异于点A、B的动点，直线PA、PB的斜率分别为k1、k2，且k1•k2＝，则椭圆C的标准方程是__．
【答案】＝1
【分析】设P（x0，y0），A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），代入作差法表示出k1•k2＝，与联立，即可求出椭圆的标准方程.
【详解】
设P（x0，y0），A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），则，，
两式作差得．
因为直线PA，PB的斜率都存在，所以≠0．
所以＝﹣＝﹣＝﹣k1•k2＝，则，
又因为焦距为4，则，联立两式可得
所以该椭圆的方程为：＝1，故答案为：＝1.
11.设是椭圆的不垂直于对称轴的弦，为的中点，为坐标原点，
则____________。
【答案】
【解析】 设，则中点，得
，，
得即
12.过椭圆上一点作圆的两条切线，切点为，过的直线与轴和轴分别交于，则面积的最小值为__________.
【答案】
【分析】设出点坐标，根据相切关系分析得到的直线方程，由此表示出的坐标并表示出的面积，再根据在椭圆上结合基本不等式求解出面积的最小值.
【详解】设，点坐标为，点坐标为，
因为，
所以化简可得，所以是方程的两个解，
所以直线的方程为，所以且，
所以的面积，且，
所以，所以，取等号时，即或，
综上可知：面积的最小值为，故答案为：.
【点睛】
结论点睛：和圆的切线有关的结论如下：
（1）过圆上一点作圆的切线，则切线方程为；
（2）过圆外一点作圆的切线，切点为，则直线的方程为.
13. 已知动圆与两圆，中的一个内切，另一个外切，则动圆的圆心的轨迹方程为_______.
【答案】
【分析】
根据题意利用两圆相切的性质，分类讨论求出圆的圆心轨迹的方程.
【详解】
解：设，的圆心分别为，圆的半径为.
当圆与圆内切，与圆外切时，
这时有，圆的圆心轨迹是以为焦点的双曲线的左支；
当圆与圆外切，与圆内切时，
这时有，圆的圆心轨迹是以为焦点的双曲线的右支，因此圆的圆心轨迹是以为焦点的双曲线，
，
所以方程为：.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了利用双曲线的定义求双曲线的标准方程，考查了圆与圆相切的性质，考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力.本题解题的关键是由已知条件分类讨论得，进而得圆的圆心轨迹是以为焦点的双曲线即可得方程.
14.如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向轴作垂线段PPˊ，求线段PPˊ的中点M的轨迹（若M分 PPˊ之比为，求点M的轨迹）
【解析】（1）当M是线段PPˊ的中点时，设动点的坐标为，则的坐标为
因为点在圆心为坐标原点半径为2的圆上，
所以有 ，即
所以点的轨迹是椭圆，方程是
（2）当M分 PPˊ之比为时，设动点的坐标为，则的坐标为
因为点在圆心为坐标原点半径为2的圆上，
所以有 ，即
所以点的轨迹是椭圆，方程是 .
15.已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)
（1）求此双曲线方程；
（2）若直线系kx－y－3k+m=0(其中k为参数)所过定点M恰在双曲线上，求证：F1M⊥F2M.
【解析】 (1)e2＝
∴＝1
可设双曲线方程为x2－y2＝λ，∵点(4，－)
在双曲线上，∴λ＝42－10＝6
因此所求双曲线方程为x2－y2＝6.
（2）直线系k(x－3)+(m－y)=0过定点M(3，m)在双曲线上，∴32－ｍ2＝6，
∴ｍ＝±.∴M(3,±)
又双曲线焦点F1（－2，0）、F2（2，0），
∴＝－1，∴F1M⊥F2M.
16.已知抛物线上的一点到焦点的距离等于3．
（1）求抛物线的方程；
（2）若过点的直线与抛物线相交于，两点，求面积的最小值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的定义得出到准线的距离为3，列方程解出；
（2）设方程为，与抛物线方程联立方程组得出，两点纵坐标的关系，得出的面积关于的函数，求出最小值即可．
【详解】
（1）抛物线的准线方程为，
到焦点的距离为，
．抛物线方程为．
（2）设的方程为．联立方程组，得．
设，，，，则，．
．
．
时，取得最小值．
【点睛】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
17.已知抛物线的焦点为，点在上，且（为坐标原点）．
（1）求的方程；
（2）若是上的两个动点，且两点的横坐标之和为．
（ⅰ）设线段的中垂线为，证明：恒过定点．
（ⅱ）设（ⅰ）中定点为，当取最大值时，且，位于直线两侧时，求四边形的面积．
【答案】（1）；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）.
【分析】
（1）根据题意得，，进而解方程即可得答案；
（2）（ⅰ）设中点为，则，，进而分和两种情况求解直线方程，以证明直线过定点；
（ⅱ）直线与抛物线联立方程消去，根据韦达定理与弦长公式求得当且仅当时等号成立，进而得直线，再讨论，位于直线两侧时得，进而根据点到直线的距离求解点到直线的距离以求解四边形的面积.
【详解】（1）由抛物线的性质得，
所以根据抛物线的定义得：，解得，所以的标准方程为．
（2）设，且．
（ⅰ）证明：设中点为，则，，
当时，；
当时，，则，，
令，得，故直线过定点，综上，恒过定点．
（ⅱ）由（ⅰ）知直线，即，
所以直线与抛物线联立方程消去，整理得，
由，得，，
，
当且仅当时等号成立，所以的最大值为10，
此时直线的方程为．
对于直线，，
所以点在同侧，不合题意，
对于直线，满足，位于直线两侧，
所以直线，
点到直线的距离，
点到直线的距离，
所以．
18.已知斜率为的直线与椭圆交于两点，线段AB的中点为．
（1）证明：；
（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：成等差数列，并求该数列的公差．
【解析】解决第一个问题要设而不求，利用点差法进行证明.第二个问题要先解出m的值，再求点P的坐标，得到，再由两点间距离公式表示出，得到直线的方程，将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理进行求解.
（1）设，则.两式相减，并由得.由题设知，于是①；由题设得，故.
（2）由题意得，设，则.
由（1）及题设得.又点P在C上，所以，从而，.于是.同理.所以.故，即成等差数列.
设该数列的公差为d，则.②
将代入①得.所以l的方程为，代入C的方程，并整理得.
故，代入②解得.所以该数列的公差为或.
专题11 圆锥曲线
知识回顾
一、椭圆的定义及相关性质：
椭圆
定义
1.到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹
2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0
方
程
标准方程
(>0)
(>0)
范围
─a£x£a，─b£y£b
─a£x£a，─b£y£b
中心
原点O（0，0）
原点O（0，0）
顶点
(a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b)
(0, a), (0,─a), (b ,0) , (─b ,0)
对称轴
x轴，y轴；
长轴长2a,短轴长2b
x轴，y轴；
长轴长2a,短轴长2b
焦点
F1(c,0), F2(─c,0)
F1(0,─c), F2 (0 ,c)
焦距
2c （其中c=）
2c （其中c=）
离心率
准线
x=
x=
焦半径
通径
a,b,c
关系
二.双曲线的定义及相关性质
定义
平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.
这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：
(1)若a
(3)若a>c，则集合P为空集.
标准方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
图 形
性 质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
【温馨提示】要点诠释
1．等轴双曲线
定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线
等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率
等轴双曲线可以设为：，当时交点在x轴，当时焦点在y轴上
2．共渐近线的双曲线系
如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程就一定是：或写成
3．双曲线的草图
具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线
4．离心率
双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率 范围：
双曲线形状与e的关系：，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔
5．共轭双曲线
以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 区别：三量a,b,c中a,b不同（互换）c相同
共用一对渐近线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上
确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1
共用同一对渐近线的双曲线的方程具有什么样的特征：可设为，当时交点在x轴，当时焦点在y轴上
三. 抛物线的定义及相关性质
抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（其中定点F不在定直线l上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．
抛物线的数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).
设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：
方程
图形
焦点
准线
范围
对称轴
轴
轴
顶点
（0，0）
离心率
焦半径
抛物线上的点
【温馨提示】
1.抛物线的过焦点的弦：
①，；
②， ，过焦点的所有弦中弦长最短为通径（过焦点垂直于对称轴的弦）。
③焦半径为半径的圆：以为圆心、为半径的圆必与准线相切。所有这样的圆过定点、准线是公切线。
④焦半径为直径的圆：以焦半径 FP为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。所有这样的圆过定点F，过顶点垂直于轴的直线是公切线。
⑤焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ为直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的公切线是准线。
⑥平行于抛物线轴的直线与抛物线只有一个交点. 但它不是抛物线的切线.
2．抛物线和椭圆、双曲线的比较
（1）抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大.它的离心率等于1；它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它无中心，也没有渐近线.
（2）.椭圆、双曲线都有中心，它们均可称为有心圆锥曲线.抛物线没有中心，称为无心圆锥曲线.
四.有关圆锥曲线的常见求解问题的提示：
1.有关圆锥曲线弦长问题的求解方法：涉及弦长的问题中， 应熟练的利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．
2.处理中点弦问题常用的求解方法：
(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．
(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解．
(3)解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意：如果点A，B关于直线l对称，则l垂直直线AB且A，B的中点在直线l上的应用．
3.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面：
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
4.处理圆锥曲线最值问题的求解方法：
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．
5.圆锥曲线中定点问题的两种解法：
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．
(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．
6.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略：
(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值；
(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；
(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．
7.解决探索性问题的注意事项：
探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．
(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；
(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法．
【温馨提示】椭圆与双曲线的离心率的求法：
对于椭圆，有；
对于双曲线：，有防止记混．
常考题型
1.椭圆的标准方程：
【例题1-1】（多选题）在平面直角坐标系中，下列方程表示的曲线是椭圆的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】
根据椭圆定义，由AB选项中的式子，可判断AB的正误；对于CD选项，将式子化简整理，即可判断出CD的正误.
【详解】
A选项，表示动点到定点和的距离等于，即，所以点的轨迹是线段，故A错；
B选项，表示动点到定点和的距离等于，即，满足椭圆定义，所以表示焦点在轴上，焦距为，长轴长为的椭圆，故B正确；
C选项，由可得，整理得显然表示椭圆，故C正确；
D选项，由可得，则，显然不表示椭圆，故D错.
故选：BC.
【自我提升】，则“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】求得方程表示椭圆的条件，从而确定正确选项.
【详解】方程表示椭圆，则，
所以“”是“方程表示椭圆”的充分不必要条件.故选：B
【例题1-2】写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P到两焦点的距离
之和等于10；
⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（,）
【解析】（1）因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为：
所以所求椭圆标准方程为
⑵ 因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为
由椭圆的定义知，
＋
又
所以所求标准方程为
另法：∵
∴可设所求方程，后将点（,）的坐标代入可求出，从而求出椭圆方程
【点睛】题（１）根据定义求 若将焦点改为(0,-4)、（0，4）其结果如何；
题（２）由学生的思考与练习，总结有两种求法：其一由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是由已知焦距，求出长轴与短轴的关系，设出椭圆方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方程
【自我提升】已知椭圆的焦点在坐标轴上，且经过和两点，则椭圆的标准方程为_______.
【答案】
【分析】
设所求椭圆方程为：(，，)将和的坐标代入方程，即可得到答案；
【详解】设所求椭圆方程为：(，，)将和的坐标代入方程得：，解得，所求椭圆的标准方程为：.
故答案为：.
【例题1-3】已知，皆为曲线上的点，为曲线上异于，的任意一点，且满足直线的斜率和直线的斜率之积为.
（1）求曲线的方程；
（2）斜率不为零的直线过点且与曲线交两点，点，若，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据斜率公式直接求解即可；
（2）设出直线的方程与曲线方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合线段垂直平分线的性质进行求解即可.
【详解】（1）设为曲线上异于的任意一点；
∵，∴.
∴
又，皆为曲线上的点，所以曲线的方程为；
（2）设直线的斜率为，则的方程为：，
又设，，联立
消去得，
由韦达定理得，
此时线段的中点为
若，则在的中垂线上，
与中点的连线与垂直
∴化简得，
解得，
所以直线的方程为，即.
【点睛】关键点睛：利用线段垂直平分线的性质是解题的关键.
【自我提升1】已知椭圆上的一点到焦点的距离为，点是的中点，为坐标原点，则等于（ ）
A．2 B．4 C．7 D．
【答案】C
【分析】利用椭圆的定义和三角形中位线定理即可求解.
【详解】如图所示，设椭圆的另一焦点为，因为O、M分别是F1F2和PF1的中点，所以,
而由椭圆的方程得a=10，2a=20，所以,
所以=7，
故选：.
【自我提升2】已知，皆为曲线上的点，为曲线上异于，的任意一点，且满足直线的斜率和直线的斜率之积为．
（1）求曲线的方程；
（2）直线过点且与曲线交于，两点，求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）4.
【分析】
（1）设，由斜率公式结合得出曲线的方程；
（2）设直线为，并与曲线的方程联立，由韦达定理以及三角形面积公式得出，令结合基本不等式得出面积的最大值.
【详解】
解（1）设为曲线上异于，的任意一点；
，
，，，
又，皆为曲线上的点，所以曲线的方程为；
（2）设的方程为：，又设，
联立消去得，
，
由，可得，
由韦达定理，
令，则，且，
当且仅当，即时“＝”成立，所以面积的最大值为.
2.椭圆的简单几何性质：
【例题2-1】求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．
【解析】把已知方程化成标准方程 ，
所以，，
因此，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为，离心率，两个焦点分别为，椭圆的四个顶点是，将已知方程变形为，根据，在的范围内算出几个点的坐标：
0
1
2
3
4
5
4
3.9
3.7
3.2
2.4
0
先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆：
【自我提升】过点(，－)，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为_______．
【答案】
【分析】由题设条件设出椭圆方程，再列出关于a2与b2的方程组即可作答.
【详解】所求椭圆与椭圆的焦点相同，则其焦点在y轴上，半焦距c有c2=25-9=16，
设它的标准方程为 (a＞b＞0)，于是得a2-b2=16，又点(，－)在所求椭圆上，即，
联立两个方程得，即，解得b2=4，则a2=20，所以所求椭圆的标准方程为.故答案为：
【例题2-2】设，分别是椭圆E：的左､右焦点，若椭圆E上存在点P满足，则椭圆E离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先设，根据P在椭圆上得到，由，得到的范围，即为离心率的范围.
【详解】由椭圆的方程可得，，设，
由，则，即，
由P在椭圆上可得，所以，代入可得
所以，由，所以，整理可得：，
消去 得：所以，即，可得：.故选：D.
【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a、b、c的关系，消去b，构造离心率e的方程或（不等式）即可求出离心率．
【例题2-3】已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，与椭圆交于两点，求弦的长.
【解析】解法一：∵直线过椭圆的右焦点，又直线的斜率为，
∴直线的方程为，即，
由方程组，得交点．
则.
解法二：设，则的坐标是方程组的公共解，
对方程组消得.则.
∴.
3.双曲线的标准方程：
【例题3-1】已知双曲线的焦点在轴上，中心在原点，且点，，在此双曲线上，求双曲线的标准方程
【分析】由于已知焦点在轴上，中心在原点，所以双曲线的标准方程可用设出来，进行求解 本题是用待定系数法来解的，得到的关于待定系数的一个分式方程组，并且分母的次数是2，解这种方程组时利用换元法可将它化为二元二次方程组；也可将的倒数作为未知数，直接看作二元一次方程组
【解析】因为双曲线的焦点在轴上，中心在原点，所以设所求双曲线的标准方程为
（）
则有 ，即
解关于的二元一次方程组，得
所以，所求双曲线的标准方程为
【自我提升1】与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是_______.
【答案】
【分析】设出双曲线方程，由题意可得关于的方程组，即可求解.
【详解】由椭圆方程可知，焦点坐标是，
设双曲线方程是，所以，解得：，，
所以双曲线方程是.故答案为：
【自我提升2】（多选题）已知点A的坐标为，点B的坐标为，直线AP与BP相交于点P，且它们的斜率之积为非零常数m，那么下列说法中正确的有（ ）
A．当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在x轴上的椭圆
B．当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是圆心在原点的圆
C．当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在y轴上的椭圆
D．当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在x轴上的双曲线
【答案】BD
【分析】
设设点P的坐标为，根据已知条件，求得轨迹方程，然后根据平方项的系数的正负，同号异号，同号时相等与否分类讨论.
【详解】
设点P的坐标为，则，所以.
当时，，即，表示焦点在y轴上的椭圆，故A错误.
当时，，表示圆心在原点的圆，故B正确.
当时，，表示焦点在x轴上的椭圆，故C错误.
当时，，表示焦点在x轴上的双曲线，故D正确.
故选：BD
【例题3-2】一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s．
(1)爆炸点应在什么样的曲线上？
(2)已知A、B两地相距800m，并且此时声速为340 m／s，求曲线的方程．
【分析】解应用题的关键是建立数学模型 根据本题设和结论，注意到在A处听到爆炸声的时间比B处晚2s,这里声速取同一个值
【解析】(1)由声速及A、B两处听到爆炸声的时间差，可知A、B两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上
因为爆炸点离A处比离B处更远，所以爆炸点应在靠近B处的一支上．
(2)如图，建立直角坐标系，使A、B两点在轴上，并且点O与线段AB的中点重合
设爆炸点P的坐标为，则 |PA|－|PB|=340×2=680，即 2＝680，＝340．
又|AB|=800， ∴ 2c=800，c=400，＝44400
∵ |PA|－|PB|＝680＞0，∴ ＞0
所求双曲线的方程为 （＞0）
【点睛】利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，但不能确定爆炸点的准确位置．如果再增设一个观测点C，利用B、C(或A、C)两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置．这是双曲线的一个重要应用
【想一想】如果A、B两处同时听到爆炸声，那么爆炸点应在什么样的曲线上．（爆炸点应在线段AB的中垂线上）
【点评】本例是培养学生应用双曲线知识解决实际问题的一道典型题目，安排在此非常有利于强化学生“应用数学”的意识，后面对“想一想”的教学处理，有利于调动学生的学习主动性和积极性，培养他们的发散思维能力
【自我提升】A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B的正东，相距6 km，C在B的北偏西30°方向上，相距4 km，P为敌炮阵地.某时刻A发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此4秒后，B、C才同时发现这一信号（该项信号的传播速度为每秒1 km）.A若炮击P地，求炮击的方位角.
【解析】以AB的中点为原点，BA所在的直线为x轴建立直角坐标系，则A（3，0），
B（-3，0），C（-5，2）.∵|PB|-|PA|=4，∴点P在以A、B为焦点的双曲线的右支上，该双曲线右支的方程是(x≥2). ①
又∵|PB|=|PC|，∴点P在线段BC的垂直平分线上，该直线的方程为
x-y+7=0. ②
将②代入①得11x2-56x-256=0，得x=8或x=-（舍）.于是可得P（8，5）.
又kPA=tanα=，∴α=60°.
故点P在点A的北偏东30°方向上，即A炮击P地的方位角是北偏东30°.
4.双曲线的简单几何性质：
【例题4-1】求与双曲线共渐近线且过的双曲线的方程
【分析】因所求的双曲线与已知双曲线共渐近线，故可先设出双曲线系，再把已知点代入，求得K的值即可
【解析】设与共渐近线且过的双曲线的方程为
则 ，从而有所求双曲线的方程为
【自我提升1】顶点间的距离为6，渐近线方程为的双曲线的标准方程为________.
【答案】或.
【解析】
【分析】先确定a的值，再分类讨论，求出b的值，即可得到双曲线的标准方程．
【详解】由题意2a=6，∴a=3．
当焦点在x轴上时，∵双曲线的渐近线方程为,
∴∴方程为；
当焦点在y轴上时，∵双曲线的渐近线方程为，
∴∴方程为．
故双曲线的标准方程为：或.
【例题4-2】如图8—8，已知梯形ABCD中，｜AB｜＝2｜CD｜，点E分有向线段所成的比为λ，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当≤λ≤时，求双曲线离心率e的取值范围.
【解析】 建立如图所示的直角坐标系，设双曲线方程为＝1.
∵双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称.
依题意，记A（－c，0），C（，ｈ），Ｅ（x0，y0），其中c=|AB|，h是梯形的高.
由定比分点坐标公式得x0＝，y0＝
∵点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和e=代入双曲线方程得：
＝1 ①
=1 ②
由①得：代入②并整理得：λ＝
又,得：，
解得≤e≤
∴双曲线离心率的取值范围为［，］
【点睛】 λ＝也可整理为e2＝＝，观察知≤e≤.
【自我提升】若双曲线与直线没有公共点，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据双曲线的渐近线与直线的位置关系即可得解.
【详解】双曲线的渐近线，
双曲线与直线没有公共点，则.
又因为双曲线离心率大于1，所以C选项符合题意.故选：C
【例题4-2】双曲线=1与直线y=kx－1只有一个公共点，求k的值.
【解析】 直线y=kx－1过(0，－1)点，若使直线与双曲线只有一个公共点，必须直线与双曲线的渐近线平行或直线与双曲线相切.
当直线与渐近线平行时，双曲线的渐近线方程是y=±x.∴k=±.
当直线与双曲线相切时，（4－9k2）x2＋18kx－45＝0
∴Δ＝0即(18k）2＋4·（4－9k2)·45＝0解得：k＝±.
综上可知：k＝±或k＝±.
【自我提升1】若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线与双曲线渐近线平行时，直线与双曲线的左支或右支只有一个交点，然后由直线与双曲线的左、右两支各有一个交点利用数形结合法求解.
【详解】当直线与双曲线的渐近线平行时，，
此时直线与双曲线的左支或右支只有一个交点，如图所示：
因为直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，
所以的取值范围为，故选：D.
【自我提升2】一对共轭双曲线的离心率分别是e1和e2，则e1+e2的最小值为 （ ）
A. B.2 C.2 D.4
【答案】C
【解析】设这对共轭双曲线的方程为和(a＞0,b＞0)，
∴e1=,e2=，
∴(e1+e2)2= ≥2+2+2×2=8
当且仅当a=b时，等号成立.从而当a=b时，e1+e2取得最小值，而且最小值为2.
5.抛物线的标准方程：
【例题5-1】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.
（1）过点（3，-4）；
（2）焦点在直线x+3y+15=0上.
（3）已知抛物线的焦点为(3，3)，准线为x轴，求抛物线的方程.
（4）点M与点F(0，－2)的距离比它到直线l:y－3=0的距离小1,求点M的轨迹方程.
【解析】（1）∵点（3，-4）在第四象限，∴抛物线的标准方程为y2=2px(p>0)或x2=-2p1y(p1>0).把点（3，-4）的坐标分别代入y2=2px和x2=-2p1y，得(-4)2=2p·3，32=-2p1·(-4)，
即2p=，2p1=.∴所求抛物线的方程为y2=x或x2=-y.
（2）令x=0得y=-5；令y=0得x=-15.∴抛物线的焦点为（0，-5）或（-15，0）.
∴所求抛物线的标准方程为y2=-60x或x2=-20y.
（3）设M(x,y)为抛物线上的任意一点，则由抛物线的定义得=|y|，
平方整理，得y=x2－x+3为所求抛物线的方程.
（4）设点M的坐标为(x,y).由已知条件可知，点M与点F的距离等于它到直线y－2=0的距离.根据抛物线的定义，点M的轨迹是以F(0，－2)为焦点的抛物线.
∵=2,∴p=4.
∵焦点在y轴的负半轴上，∴点M的轨迹方程x2=－8y.
【点睛】求抛物线的标准方程需要；（1）求p；（2）判断焦点所在坐标轴的位置.
（3）若将条件化为｜MF｜＋1＝｜y－3｜，其中｜MF｜用两点间的距离公式表示，再化简得方程.过程将非常繁琐.
【自我提升】已知抛物线过点（-11，13），则抛物线的标准方程是（ ）
A.y2=x B.y2=-x C.y2=-x或x2=y D.x2=-y
【答案】C
【解析】∵点（-11，13）在第二象限，∴抛物线的张口向左或向上.当抛物线的张口向左时，设抛物线的方程为y2=-2px，把点（-11，13）的坐标代入得132=-2p·(-11)，∴2p=..∴抛物线的标准方程为y2=-x.当抛物线的张口向上时，设抛线的方程为x2=2p1y，把点（-11，13）的坐标代入得(-11)2=2p·13，∴2p=.∴抛物线的方程为x2=y.
【例题5-2】如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽．当水位上升后，水面宽是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立直角坐标系，设出抛物线方程，代入即可求解.
【详解】建立如图所示的直角坐标系：
设抛物线方程为，由题意知：在抛物线上，即，解得：，，
当水位上升后，即将代入，即，解得：，∴水面宽为.故选：C.
【自我提升1】如图，在底面半径和高均为4的圆锥中，AB、CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，若过直径CD与点E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为 ．
【答案】
【分析】
根据圆锥的性质，建立坐标系,确定抛物线的方程，计算出的长度，结合直角三角形的关系进行求解即可.
【详解】
如图所示，过点作,垂足为，
母线的中点，圆锥的底面半径和高均为4 ,，
在平面内建立直角坐标系如图，
设抛物线的方程为，为抛物线的焦点，，
，解得，即，
，该抛物线的焦点到圆锥顶点的距离为：
，故答案为.
【点睛】本题考查了圆锥的性质、抛物线的标准方程与性质，考查空间想象能力以及转化与划归思想、数形结合思想的应用,建立平面坐标系，求出抛物线的方程以及焦点坐标是解决本题的关键，属于难题.
【自我提升2】设抛物线：的焦点为，为坐标原点，是上一点.若，则（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】A
【分析】
根据，利用抛物线的定义求得点的坐标，然后利用两点间距离公式求解.
【详解】
由可得，准线为，
设，因为，
由抛物线的定义得，
解得：，所以，
所以，
故选：A.
【自我提升3】如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为（ ）
A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝x
【答案】C
【分析】过点A，B分别作准线的垂线，交准线于点E，D，设|BF|＝a，利用抛物线的定义和平行线的性质、直角三角形求解．
【详解】如图，过点A，B分别作准线的垂线，交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由抛物线定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，2|AE|＝|AC|，所以3＋3a＝6，从而得a＝1，|FC|＝3a＝3，所以p＝|FG|＝|FC|＝，因此抛物线的方程为
y2＝3x，故选：C.
6.抛物线的简单几何性质：
【例题6-1】已知A，B是抛物线两点，O为坐标原点．若，且的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB的方程为________．
【答案】
【分析】
由抛物线的性质知关于轴对称,设出坐标，利用三角形垂心的性质，结合斜率之积为，求出坐标即可求解.
【详解】由抛物线的性质知关于轴对称,
设，则，焦点为.
由题意知，，
所以，即.
因为，所以，即，所以直线AB的方程为.
故答案为：
【点睛】本题考查抛物线的性质，三角形垂心的性质，解题的关键是利用三角形垂心的性质得到，再利用斜率的关系求得坐标，考查学生的运算求解能力，属于中档题.
【自我提升】直线与抛物线：交于，两点，若，则，两点到抛物线的准线的距离之和为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
直线与抛物线：联立，可得，，再利用两点之间的距离公式求得，再利用抛物线的性质即可得解.
【详解】
联立，整理得：，解得：
即直线与抛物线交于，两点，且
由，得，解得：或（舍）
所以抛物线方程为，准线方程为
故，两点到抛物线的准线的距离之和为，
故选：C.
【点睛】解题的关键是熟悉抛物线的性质.
【例题6-2】在直角坐标系中，已知定点，定直线，动点到直线的距离比动点到点的距离大.记动点的轨迹为曲线.
（1）求的方程，并说明是什么曲线？
（2）设在上，不过点的动直线与交于，两点，若，证明：直线恒过定点.
【答案】（1）动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，且曲线的方程为；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据抛物线的定义即可得求出结果；
（2）设出直线的方程，与抛物线联立，借助韦达定理以及题中信息得到，进而可以求出结果.
【详解】
（1）解：由题意可知，动点到的距离比到的距离大，
则动点到直线的距离与到的距离相等，
所以动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，
且曲线的方程为，
（2）证明：由题意可知，，且的斜率存在，
设的方程为，，
由得，
则，
且，
显然直线的斜率均存在，由，得，
因为，，
所以，整理得，
所以，即，且满足，
所以的方程为，
故直线恒过定点.
【自我提升】已知抛物线：的焦点到其准线的距离为4，经过点的直线与该抛物线交于，两点．
（1）求抛物线的方程；
（2）求的最小值．
【答案】（1）；（2）20．
【分析】
（1）由焦点到其准线的距离可得焦参数，从而得抛物线方程；
（2）设直线方程为，代入抛物线方程，设，应用韦达定理得，计算，再由函数性质得最小值．
【详解】
（1）由题意，所以抛物线方程为；
（2）由（1）得焦点为，直线的斜率不为0，设方程为，设，
由得，所以，
，所以时，取得最小值．
7.圆锥曲线的定点、定值问题：
【例题7-1】已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为，过点M(2，0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若B点关于x轴的对称点是N，证明：直线AN恒过一定点.
【解析】(1) 由题意知b＝1，e＝＝，得a2＝2c2＝2a2－2b2，故a2＝2.故所求椭圆C的方程为：＋y2＝1.
(2)证明： 设直线l的方程为y＝k(x－2)，则由
得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0.
设A(x1 ，y1)，B(x2 ，y2)，则x1＋x2＝，x1·x2＝.
由对称性可知N(x2，－y2)，定点在x轴上，直线AN：y－y1＝(x－x1).
令y＝0得：x＝x1－＝ ＝＝
＝＝1，故直线AN恒过定点(1，0).
【例题7-2】已知双曲线的方程为，椭圆的方程为，双曲线右焦点到双曲线渐近线的距离为，椭圆的焦点为，，短轴端点为，．
（1）求双曲线的方程与椭圆的方程；
（2）过点作椭圆的两条互相垂直的弦，，证明：过两弦，中点的直线恒过定点．
【答案】（1）双曲线的方程为，椭圆的方程为；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据双曲线右焦点到双曲线渐近线的距离为求得，在椭圆中由求得，进而求得双曲线方程和椭圆方程；
（2）设出直线的方程，可得直线的方程，结合韦达定理可求得直线的方程，进而可求得结果.
【详解】
（1）因为双曲线的右焦点为到双曲线渐近线的距离为，不妨设渐近线方程为，所以.
在椭圆中，因为，则，又，所以，
所以双曲线的方程为，椭圆的方程为．
（2）根据题意可得当直线与直线的斜率存在且不为0时，
设直线的方程为，则直线的方程设为，
联立，消去，可得，
则．
设，，则，，
所以的中点．同理可得的中点，
所以直线的斜率，
所以直线的方程为，整理可得，
所以直线恒过定点；
当直线的斜率不存在时，弦的中点，的中点，
此时过弦，的中点的直线为，经过定点．
综上可得，过两弦，中点的直线恒过定点．
【例题7-3】已知抛物线上一点，过点作抛物线的两条弦，，且，则直线经过定点为________．
【答案】
【分析】设，，应用直线方程的两点式并整理得直线为，再由确定的关系，即可知的定点坐标.
【详解】由题设，令，，则直线为，又且均不为1，
∴：，整理得，
又，即，得，
∴为，即经过定点.故答案为：
【点睛】通过设的坐标，利用两点式化简整理出直线的方程，再由垂直关系有确定参数关系，并代入所得的方程，即可确定定点坐标.
【例题7-4】已知椭圆过点，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线（不经过点）交椭圆于点，试问直线与直线的斜率之和是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）；（2）直线与的斜率之和为定值.
【分析】
（1）依题意得到方程组，解得即可；
（2）由题可知的斜率一定存在，故设：联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，即可得到，，再计算可得；
【详解】
解：（1）由题意得，∴
∴椭圆的方程为.
（2）由题可知的斜率一定存在，故设：
由得
由，解得，
设则，
又点，∴，，
∴
.
直线与的斜率之和为定值.
【自我提升】设椭圆＝1的右焦点为F，直线y＝m（0＜m＜）与椭圆交于A，B两点，现给出下述结论：
①|AF|+|BF|为定值；
②△ABF的周长的取值范围是[6，12]
③当m＝时，△ABF为直角三角形；
④当m＝1时，△ABF的面积为．
其中所有正确结论的序号是__．
【答案】①③④
【分析】
由对称性及椭圆定义计算判断①②，代入椭圆方程求得坐标，再计算判断③④即可得结论．
【详解】对于①：设椭圆的左焦点为，则，可得为定值6，故①正确；
对于②：△ABF的周长为，∵|AF|+|BF|为定值6，可知的范围是（0，6），∴△ABF的周长的范围是（6，12），故②错误；
将y＝与椭圆方程联立，可解得A（﹣，），B（，），
又知F（，0），
则＝，所以AF⊥BF，故③正确；
将y＝1与椭圆方程联立，解得A（，1），B（，1），∴S△ABF＝＝，故④正确．
故答案为：①③④．
【例题7-5】设点为双曲线上任意一点，双曲线的离心率为，右焦点与椭圆的右焦点重合．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点作双曲线两条渐近线的平行线，分别与两渐近线交于点，，求证：平行四边形的面积为定值，并求出此定值．
【答案】（1）；（2）证明见解析；定值为．
【分析】
（1）根据题意得到，解方程组即可求出结果；
（2）设点点坐标为，然后分别表示出两条与渐近线平行的直线，然后分别与相交的渐近线联立求出两点的坐标，以及的正弦值，借助于的面积，进而表示出平行四边形的面积，化简整理即可确认是否为定值.
【详解】
（1）
则，，．
所以双曲线的标准方程为：．
（2）设点坐标为，过与渐近线平行的直线分别为，，
方程分别为，，
联立方程：，得，
同理可得：，得，
又渐近线方程为，则，
，
又点在双曲线上，则，
所以，即平行四边形的面积为定值，且此定值为．
【点睛】
双曲线的渐近线方程为，而双曲线的渐近线方程为(即)，应注意其区别与联系.
【例题7-6】A、B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，满足OA⊥OB（O为坐标原点）.求证：
（1）A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值；
（2）直线AB经过一个定点.
【证明】（1）设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则y12=2px1、y22=2px2.
∴OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0，y12y22=4p2x1x2=4p2·(-y1y2).
∴y1y2=-4p2，从而x1x2=4p2也为定值.
（2）∵y12-y22=2p(x1-x2)，∴.∴直线AB的方程为y-y1=(x-x1),
即y=x-·+y1，y=x+，
亦即y=(x-2p).∴直线AB经过定点（2p，0）.
【点睛】本例的证明还可以设OA的方程为y=kx，OB的方程为y=-x，由OA的方程与抛物线的方程联立求得A点的坐标，再由OB的方程与抛物线的方程联立求得B点的坐标，利用A、B的坐标证明.
【自我提升】已知抛物线C：y2＝2px过点P(1，1):
①点P到抛物线焦点的距离为
②过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则△OPQ的面积为
③过点P与抛物线相切的直线方程为x－2y＋1＝0
④过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M，N两点，则直线MN的斜率为定值
其中正确的是________.
【答案】②③④
【分析】由抛物线过点可得抛物线的方程，求出焦点的坐标及准线方程，由抛物线的性质可判断①；
求出直线的方程与抛物线联立切线的坐标，进而求出三角形的面积，判断②；
设直线方程为y－1＝k(x－1)，与y2＝x联立求得斜率，进而可得在处的切线方程，从而判断③；
设直线的方程为抛物线联立求出的坐标，同理求出的坐标，进而求出直线的斜率，从而可判断④．
【详解】由抛物线过点，所以，所以，所以抛物线的方程为：；
可得抛物线的焦点的坐标为：，，准线方程为：，
对于①，由抛物线的性质可得到焦点的距离为，故①错误；
对于②，可得直线的斜率，所以直线的方程为：，
代入抛物线的方程可得：，解得，
所以，故②正确；
对于③，依题意斜率存在，设直线方程为y－1＝k(x－1)，与y2＝x联立，得：ky2－y＋1－k＝0，
＝1－4k(1－k)＝0，4k2－4k＋1＝0，解得k＝，所以切线方程为x－2y＋1＝0，故③正确；
对于④，设直线的方程为：，与抛物线联立可得，所以，
所以，代入直线中可得，即，，
直线的方程为：，代入抛物线的方程，可得，
代入直线的方程可得，所以，，
所以为定值，故④正确．故答案为：②③④.
8.圆锥曲线的中点弦问题：
中点弦问题：解决中点弦问题的常用方法：中点弦问题求解的关键是充分利用好“中点”这一条件，善于把斜率与中点联系起来，会灵活运用中点坐标公式和一元二次方程根与系数的关系.
（1）通过方程组转化为一元二次方程，结合一元二次方程根与系数关系及中点坐标公式进行求解.
（2）点差法：设出弦的两端点的坐标，代入方程，得到两个等式，两式相减即得弦中点与斜率的关系.
例如：是椭圆 上的两个不同的点是弦的中点，则，所以 ，变形得 ，
即 .
（3）中点转移法：先设出一个端点的坐标，再借助中点得出另一个端点的坐标，然后消去二次项.
【例题8-1】椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是________．
【答案】
【解析】设弦的两个端点为，
∵在椭圆上，∴，
两式相减整理得：
，
又因为，即，
即直线的斜率为.
∴直线的方程为，即.
【例题8-2】在直角坐标系中，过动点的直线与直线垂直，垂足为，点满足．
（1）求点的轨迹方程；
（2）直线与（1）中的轨迹交于两点，如果线段的中点为，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）根据列出满足的方程式，再化简即可；
（2）（法一）设的方程，再联立（1）中所得的抛物线方程，利用韦达定理求解即可
（法二）设，利用点差法求解即可
【详解】
解：（1）因为，故
由，
得，
即，
整理得，此即点的轨迹方程；
（2）（法一）显然直线的斜率存在，设的方程为，
联立方程组，得，
设，
由韦达定理，，
依题意，，
直线的方程为，化简得．
（法二）显然直线的斜率存在，设，
依题意，，
且
点在曲线上，故，
两式相减，得
即，即，
直线的方程为．
【例题8-3】已知双曲线上存在两点关于直线对称，且的中点在抛物线上，则实数的值为________．
【答案】或
【解析】设，的中点，
则
前两个式子相减得，
显然∴，即，
∵关于直线对称，∴，
∴，又∵，
∴，代入抛物线方程得，
解得或，经检验都符合．
【自我提升】已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于两点．若，= .
【答案】2
【解析】利用点差法进行计算即可。
设，则，所以，所以.
取AB中点,分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为，因为,
，因为为AB中点，所以平行于x轴
因为，所以，则即，故答案为2.
【例题8-4】设A，B为曲线C：y=上两点，A与B的横坐标之和为4．
（1）求直线AB的斜率；
（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程．
【解析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，，x1+x2=4，
于是直线AB的斜率．
（2）由，得．设M（x3，y3），由题设知，解得，
于是M（2，1）．
设直线AB的方程为，故线段AB的中点为N（2，2+m），|MN|=|m+1|．
将代入得．当，即时，．
从而．由题设知，即，解得．
所以直线AB的方程为．
【答案】（1）1；（2）．
9.圆锥曲线的弦长问题：
【例题9-1】如图，设椭圆（a＞1）.
（I）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a、k表示）；
（II）若任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.
【分析】（I）先联立和，可得，，再利用弦长公式
可得直线被椭圆截得的线段长；（II）先假设圆与椭圆的公共点有个，再利用对称性及已知条件可得任意以点为圆心的圆与椭圆至多有个公共点时，的取值范围，进而可得椭圆离心率的取值范围．本题考点：弦长；圆与椭圆的位置关系；椭圆的离心率．
【解析】（I）设直线被椭圆截得的线段为AP，由得
，故，．因此．
（II）假设圆与椭圆的公共点有个，由对称性可设轴左侧的椭圆上有两个不同的点，，满足．记直线，的斜率分别为，，且，，．由（I）知，，，故，
所以．
由于，，得，
因此， ①
因为①式关于，的方程有解的充要条件是，所以．
因此，任意以点为圆心的圆与椭圆至多有个公共点的充要条件为，由得，所求离心率的取值范围为．
【答案】（I）；（II）．
【自我提升】已知椭圆的离心率为，右焦点为，斜率为的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为．
(1)求椭圆的方程；
(2)求的面积
【解析】(1)由已知得，解得，又，
所以椭圆的方程为.
(2)设直线的方程为，
由，消去得①
设的坐标分别为，中点为，
则，
因为是等腰的底边，所以，
所以的斜率，解得，
此时方程①为，解得，
所以，所以，
又点到直线的距离，
所以的面积.
【例题9-2】已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，与直线交于A，B两点，若，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设出双曲线方程，联立直线，求出交点坐标，即可求解
【详解】由题意可设双曲线方程为，，
由得，则，，不妨假设，则，
由图象的对称性可知，可化为，即，解得，
故双曲线方程为：，故选：C
【例题9-3】斜率为的直线经过抛物线的焦点且与抛物线交于、两点，则线段的长为________．
【答案】
【分析】先根据抛物线的焦点坐标得出抛物线的标准方程，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理结合抛物线的焦点弦长公式可计算出线段的长.
【详解】由于抛物线的焦点为，则，
所以，抛物线的方程为，设点、，
直线的方程为，联立，消去得，
，．故答案为：.
【自我提升】已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为，抛物线的方程 .
【答案】
【解析】设抛物线的方程为，则消去得，
.由弦长公式可得：
，
则
【例题9-4】已知双曲线C的离心率为，点在双曲线上，且抛物线的焦点F与双曲线的一个焦点重合.
（1）求双曲线和抛物线的标准方程；
（2）过焦点F作一条直线l交抛物线于A，B两点，当直线l的斜率为时，求线段的长度.
【答案】（1）；；（2）.
【分析】（1）设双曲线的方程为（，），根据双曲线C的离心率为和点在双曲线上，得到关于，的方程组解方程组可求双曲线的方程，则抛物线的焦点可求，其方程易解.
（2）联立直线l和抛物线方程，得到两根之和，根据抛物线的焦半径公式易求线段的长度.
【解析】（1）设双曲线的方程为（，），由题设
所以①，又点在双曲线上，所以②
由①②解得，，故双曲线标准方程为；
设双曲线的焦距为，因为，得，
所以抛物线焦点为，
即，所以抛物线的标准方程为.
（2）设直线交抛物线于，，
联立，得，故，
由抛物线定义知，，
所以.
【自我提升】抛物线y2=12x中，一条焦点弦的长为16，求此焦点弦所在直线的倾斜角.
【解析】抛物线的焦点坐标是(3，0)，
设焦点弦所在的直线方程是y=k(x－3).由方程组得y2－y－36=0.
∴直线被抛物线截得的弦长为.
∵焦点弦长为16，∴由12(1+)=16得，k=±.
∴焦点弦所在直线的倾斜角为60°或120°.
10. 直线与圆锥曲线的位置关系问题：
【例题10-1】已知以F1(-2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为________.
【答案】.
【分析】联立直线方程和椭圆方程，利用列方程求出b2=3，最后计算长轴长..
【详解】根据题意设椭圆方程为,
则将代入椭圆方程，得,
因为椭圆与直线有且仅有一个交点，所以，
即，所以b2=3，长轴长为.故答案为：.
【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
【自我提升】椭圆的离心率是，斜率为1的直线过M(b，0)且与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若，则椭圆的标准方程是___________．
【答案】
【分析】由椭圆的离心率可得a，b的值，由题意可得直线l的方程，联立直线与椭圆的方程，求出交点A，B的坐标，求出数量积的表达式，由数量积的运算可得∠AOB的余弦值，进而求出其正切值，由题意可得b的值，进而求出椭圆的方程．
【详解】由题意，，
可得，所以椭圆的方程为：，．
由题意可得直线的方程为：，
联立，解得或，
所以设，，
，
所以.
因为，所以.
所以，所以椭圆的方程为：．故答案为：
【例题10-2】在平面直角坐标系xOy中，过点F（2，0）的动圆恒与y轴相切，FP为该圆的直径，设点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点A（2，4）的任意直线l与曲线C交于点M，B为AM的中点，过点B作x轴的平行线交曲线C于点D，B关于点D的对称点为N，除M以外，直线MN与C是否有其它公共点？说明理由．
【答案】（1）y2＝8x；（2）没有，理由见解析.
【分析】
（1）过P作y轴的垂线，垂足为H，交直线于点，由题意可得，再由抛物线的定义求解即可；
（2）分直线的斜率存在和不存在两种情况结合二次方程的判别式进行讨论，即可求解
【详解】
（1）如图，过P作y轴的垂线，垂足为H，交直线于点，
设动圆的圆心为E，半径为r，则E到y轴的距离为r，在梯形OFPH中，由中位线性质可得，
所以，又，所以，
由抛物线的定义知，点是以为焦点，以直线为准线的抛物线，所以曲线C的方程为：；
（2）由可得A在求出C上，
当直线l的斜率存在时，设，，则，
AM的中点，即，
在方程中，令，得，所以，
设，由中点坐标公式可得，
又，代入化简，所以，
直线MN的斜率为：，
所以直线MN的方程为： ①，
将代入①化简可得：②，
将代入②式整理可得，
，所以直线MN与抛物线相切，
所以除M点外，直线MN与C没有其他的公共点．
当直线MN的斜率不存在时，，，，，
直线MN的方程为：代入抛物线的方程可得，，
所以除M点外，直线MN与C没有其他的公共点．
综上所述，除M点外直线MN与C没有其他的公共点．
【自我提升】已知抛物线的准线为，是抛物线上一点，．
（1）求抛物线的方程；
（2）设与轴的交点为，直线过定点且与抛物线交于两点．记直线的斜率分别为，若，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）根据抛物线定义即可求出，得到抛物线的方程；
（2）当直线的斜率不存在时，与题意不符，直线的方程为，设，，联立直线方程与抛物线方程可得，代入，即可解出，从而得解．
【详解】
（1）根据抛物线定义，，得，抛物线的方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，与题意不符，
所以直线的斜率一定存在，设直线的方程为，代入到中，得，
设，，则，
，，
所以直线的方程为．
11.轨迹问题：
【例题11-1】已知B，C是两个定点，｜BC｜＝6，且的周长等于16，求顶点A的轨迹方程
【解析】以BC所在直线为轴，BC中垂线为轴建立直角坐标系，设顶点，根据已知条件得|AB|+|AC|=10再根据椭圆定义得.
所以顶点A的轨迹方程为 （≠0）（特别强调检验)
因为A为△ABC的顶点，故点A不在轴上，所以方程中要注明≠0的条件.
【例题11-2】知的底边BC长为12，且底边固定，顶点A是动点，使，求点A的轨迹
【分析】首先建立坐标系，由于点A的运动规律不易用坐标表示，注意条件的运用，可利用正弦定理将其化为边的关系，注意有关限制条件
【解析】以底边BC 为轴，底边BC的中点为原点建立坐标系，这时，由得
,即
所以，点A的轨迹是以为焦点，2=6的双曲线的左支 其方程为：
【例题11-3】如图所示，已知定圆：，定圆：，动圆与定圆，都外切，求动圆圆心的轨迹方程．
【答案】
【分析】动圆的半径为，则有，，从而可得，，再由双曲线的定义即可求解.
【详解】圆：，圆心，半径；
圆：，圆心，半径．
设动圆的半径为，
则有，，∴．
∴点的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支，
且，，于是．
∴动圆圆心的轨迹方程为．
【例题11-4】已知点到点的距离比它到直线的距离小，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分析可知点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，进而可求得点的轨迹方程.
【详解】由题意，点到点的距离等于它到直线的距离，
则点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，则点的轨迹方程为，故选：B .
12. 最值问题：
【例题12-1】已知椭圆的左、右焦点分别是F1、F2，上、右顶点分别是A、B，满足∠F1AF2＝120°，．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)与圆x2+y2＝1相切的直线l交椭圆C于P、Q两点，求|PQ|的最大值及此时直线l的斜率．
【答案】(1)；(2)|PQ|max＝2；直线l的斜率为．
【分析】
(1)由焦点得出的关系，解得得椭圆标准方程；
(2)设直线方程为x＝ty+m，由直线与圆相切得关系，直线方程代入椭圆方程，计算出，设设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由韦达定理得，求得，得弦长，设换元后用基本不等式得最值及直线斜率．
【详解】 (1)因为，，得，，
又a2＝b2+c2，所以，a2＝4b2，5b2＝5，解得b＝1，a＝2，
椭圆的标准方程为；
(2)由题意知直线l不能平行于x轴，所以设为x＝ty+m，
由已知得(0，0)到x﹣ty﹣m＝0的距离为1，即，所以m2＝t2+1，
联立直线和椭圆得(ty+m)2+4y2＝4，即(t2+4)y2+2tmy+m2﹣4＝0，
得△＝(2tm)2﹣4(t2+4)(m2﹣4)＝﹣4(4m2﹣4t2﹣16)＝16(t2﹣m2+4)＝16×3，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则|y2﹣y1|，|y2﹣y1|＝，
设，则n≥1，，
当，即时，得|PQ|max＝2，
此时，直线l的斜率为．
【自我提升】已知椭圆C：的左､右焦点分别为F1，F2，点M在椭圆C上，当△MF1F2的面积最大时，△MF1F2内切圆半径为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】由面积最大得的位置，从而可求出三角形的三条边，通过，即可求出内切圆的半径.
【详解】因为椭圆为，所以a=5，b=3，；
当△MF1F2的面积最大时，点M在椭圆C的短轴顶点，不妨设点M为椭圆C的上顶点，
点O为坐标原点，△MF1F2内切圆半径为r，则|MF1|=|MF2|=a=5，|F1F2|=2c=8，|OM|=b=3，
，所以，
故选:D.
【点睛】本题的关键是结合三角形面积的两种求法，得关于内切圆半径的方程，从而求出半径.
【例题12-2】已知是双曲线的右焦点，是双曲线左支上的一点，且点的坐标为，则的周长最小为_________，此时其面积为___________．
【答案】
【解析】
【分析】作出图形，由双曲线的定义可得，再由、、三点共线可求得周长的最小值；求得直线的方程，将该直线的方程与双曲线的方程，求得点的坐标，由此可求得的面积.
【详解】设双曲线的左焦点为，
由双曲线方程可知，，故、.
当点在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知，所以，从而的周长为．
因为为定值，
所以当最小时，的周长最小．
由图可知，此时点为线段与双曲线的交点，
则的周长为．
由题意可知直线的方程为．
由消去，得，解得或（舍去），
所以．故答案为：；.
【例题12-3】已知为抛物线上的任意一点，为抛物线的焦点，点坐标为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】作出图形，过点作抛物线准线的垂线，由抛物线的定义得，从而得出，再由、、三点共线时，取最小值得解.
【详解】如下图所示：
过点作抛物线准线的垂线，由抛物线的定义得，
，当且仅当、、三点共线时，等号成立，
因此，的最小值为.故选：A.
【自我提升1】已知抛物线方程为，点在此抛物线上运动，则点与点之间的距离的最小值为______________.
【答案】
【分析】由于点在抛物线上运动，所以设，则，然后整理配方可求得结果.
【详解】不妨设（），则.
当时，取得最小值，故答案为：.
【自我提升2】已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】
利用抛物线的定义进行转化，结合图像可知当三点共线时即可得出答案．
【详解】
解：如图所示，
设此抛物线的焦点为，准线．
过点作，垂足为．
则，到轴的距离，
则点到点的距离与到轴的距离之和为
设，因此当、、三点共线时，取得最小值．
．
即的最小值为，
所以则点到点的距离与到轴的距离之和为.
故选：A.
13.圆锥曲线的综合问题：
【例题13-1】抛物线y2＝－12x的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等于________.
【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线、双曲线的方程，写出抛物线的准线方程、双曲线的渐近线方程，联立方程可求准线与两条渐近线的交点坐标，进而可求三角形的底边长和高，即可求三角形的面积。
【详解】
由抛物线的方程y2＝－12x可知准线方程为，由双曲线的方程可得两条渐近线的方程分别为，由，可得，同理可得，由图可知弦长AB＝，三角形的高为3，∴面积为S＝.
【自我提升】若抛物线的准线与椭圆相切，则a＝（ ）
A．﹣4或4 B．4 C．﹣8或8 D．8
【答案】A
【解析】
【分析】先写出抛物线的准线方程，再利用已知条件得到，即可得出结果.
【详解】因为抛物线的准线方程为，若抛物线的准线与椭圆相切，
则.
【例题13-2】已知命题有两个不等的实根；命题q方程表示双曲线，若为假命题，为真命题，求m的取值范围．
【答案】或．
【分析】
因为为假，为真，则命题p和命题q其中一真一假，当p真q假，p假q真时，可以得到m的不等式，求出m的范围.
【详解】
由题知有两个不等的实根
则
或，
因为命题q：方程表示双曲线
则，
或，
又因为为假，为真，所以p和q一真一假，
p真q假时，；p假q真时，．
综上所述，p的取值范围为或．
【点睛】
关键点点睛：
有两个不相等实根时，其；有两个相等的实根时；没有实根时.
方程表示双曲线时，则.
【例题13-3】已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1交于A、B两点，(1)若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值；(2)是否存在这样的实数a，使A、B两点关于直线y=x对称?若存在，请求出a的值，若不存在，说明理由.
【解析】 (1)由
消去y得（3－a2）x2－2ax－2＝0 ①
依题意,即－＜a＜且a≠± ②
③ ④
设A(x1，y1)，B（x2，y2）则
∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB，∴x1x2＋y1y2＝0，
但y1y2＝a2x1x2＋a（x1＋x2）＋1
由③、④x1＋x2＝，x1x2＝
∴（a2＋1）·＋a·＋1＝0
解得a＝±1且满足②.
(2)假设存在实数a，使A、B关于y＝x对称，则直线y＝ax＋1与y＝x垂直，
∴a·=－1,即a＝－2,直线l的方程为y＝－2x＋1
将a=－2代入③得x1＋x2＝4
∴AB中点横坐标为2，纵坐标为y＝－2×2＋1＝－3
但AB中点(2，－3)不在直线y＝x上
即不存在实数a使A、B关于直线y＝x对称.
【例题13-4】2021年5月，在美丽的崇明岛举办第十届中国花卉博览会，主办方准备举行花车巡游活动，巡游花车必须通过一个抛物线型的拱门，已知拱圈最高点距地面6米，拱圈两最低点的距离为12米，花车的设计宽度和高度分别为8米和2米，现主办方准备在花车上搭建一个和花车同宽度的舞台供演员表演，求所搭建舞台的最大高度.
【答案】米.
【分析】
以 AB 中点为原点建立平面直角坐标系，设该抛物线的解析式为 y＝ax2+c，将 A，C 点坐标代入求得解析式即可.
【详解】
如图所示，以 AB 中点为原点建立平面直角坐标系，
由题意得 A（﹣6，0），B（6，0），C（0，6），
设该抛物线的解析式为 y＝ax2+c，
代入 A，C 点坐标得 ，
解得 故该抛物线解析式为 ，
令 x＝4，解得 ，又 .故所搭舞台的最大高度为 米.
【例题13-5】已知抛物线：经过点.
（1）求抛物线的方程及其准线方程；
（2）设过点的直线与抛物线交于，两点，若，轴.垂足为，求证：.
【答案】（1）抛物线的方程为，其准线方程为；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据抛物线经过的点求得，由此求得抛物线的方程及其准线方程.
（2）设直线的方程为，联立直线的方程和抛物线方程，化简写出根与系数关系，求得、点的坐标，利用向量法证得.
【详解】
（1）由抛物线经过点，得，即.
所以抛物线的方程为，其准线方程为.
（2）由题意知，直线的斜率不为0，设直线的方程为.
将代入，消去得，
显然，设，，
则，.
∵，∴是线段的中点，设，
则，，
∴，又轴，所以垂足的坐标为.
则，，
所以，所以.
【点睛】
解析几何中，要证明两条直线垂直，可以利用数量积为零或斜率相乘等于来证明.
【例题13-6】已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，两条曲线在第一象限内的交点满足.
（1）求椭圆以及抛物线的标准方程；
（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，过椭圆的左焦点作的垂线与直线交于点，求证：点在定直线上，并求出定直线的方程.
【答案】（1）；；（2）证明见解析，.
【分析】
（1）根据椭圆的一个焦点与抛物线焦点重合，可得，的关系，又根据联立椭圆与抛物线可得第一象限交点的横坐标，进而可得关于的方程，解方程求的值，进而可得椭圆和抛物线的方程；
（2）联立直线方程和椭圆方程，消去得到，由直线与椭圆相切可得其判别式等于0，整理得，代入求得的坐标，然后写出直线的方程为，联立方程组，求得，则说明点在定直线上.
【详解】
（1）∵椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，
∴，解得，∴椭圆方程为，
，解得，，
∵点在第一象限，∴点的横坐标为，
又∵，∴，解得.
∴椭圆，抛物线；
（2）由①，
由直线与椭圆相切可得且，
整理得，
将代入①式得，
即，解得，∴，
又，∴，则，
∴直线的方程为，
联立得.
∴点在定直线上.
【点睛】
解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.
【自我提升】已知是抛物线的焦点，若直线过点，且与抛物线交于，两点，以为直径作圆，圆心为，设圆与轴交于点，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设， 的中点，直线：与 联立可得，由韦达定理计算，，再求以为直径作圆的半径，求出圆心点横坐标，设的中点为，则，由圆的性质可得并求出其范围，进而可得的范围，再讨论斜率不存在时的值，即可求解.
【详解】由抛物线可知，焦点，设， 的中点设直线：代入可得，所以 ，
，，
所以，以为直径作圆的半径，
圆心为的中点，
设的中点为，则，则 ，
且，所以，
当不存在时，，此时，，，，
所以，可得，所以的取值范围是.故选：B
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是联立直线与抛物线的方程，求出圆的半径和圆心坐标，由圆的性质知圆心与弦中点的连线与弦垂直可求出的范围，进而可计算的范围.
1. 已知椭圆过点和点，则此椭圆的标准方程是（ ）
A． B．或
C． D．以上都不对
【答案】A
【分析】设经过两点和点的椭圆标准方程为，利用待定系数法能求出椭圆方程．
【详解】
设经过两点和点的椭圆标准方程为
，
代入A、B得， ，解得 ，∴所求椭圆方程为．
故选：A．
2. 已知椭圆上一动点P到两个焦点F1，F2的距离之积为q，则q取最大值时，的面积为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】
根据椭圆定义，结合基本不等式求出，进而求出面积.
【详解】
根据椭圆定义，，则，当且仅当时取“=”，
此时三角形是等腰三角形，易知，所以的面积为
故选：B.
3. 某椭圆或双曲线的标准方程对应的图形经过点，，则关于该图形判断正确的是（ ）
A．焦点在x轴上的双曲线 B．焦点在y轴上的双曲线
C．焦点在x轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的椭圆
【答案】B
【分析】
根据椭圆与双曲线的标准方程，设出方程，求得相应的的值，结合圆锥曲线的标准方程，即可判定，得到答案.
【详解】
由题意，椭圆或双曲线的标准方程对应的图形经过点，，
当对应的图形为椭圆时，可设椭圆的方程为，
可得，解得，不符合题意；
当对应的图形为双曲线时，可设双曲线的方程为，
可得，解得，即，表示焦点在y轴上的双曲线.
故选：B.
4. 若斜率为的直线与双曲线，恒有两个公共点，则双曲线的离心率的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由斜率为的直线与双曲线恒有两个公共点可得渐近线的斜率大于，由此可求离心率的范围.
【详解】∵ 斜率为的直线与双曲线恒有两个公共点，∴ ，
∴ ，∴ 双曲线的离心率的取值范围是，故选：D.
5. 设为椭圆的离心率，若，且抛物线的准线方程为，则抛物线的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先解方程，结合，求出的值，从而可得抛物线的准线方程，进而可求得抛物线的标准方程
【详解】由，解得．
又，所以．于是，抛物线的准线方程为，
所以抛物线的标准方程是．故选：A
6. 已知抛物线，以为圆心，半径为5的圆与抛物线交于两点，若，则（ ）
A．4 B．8 C．10 D．16
【答案】B
【分析】由圆和抛物线的对称性及|AB|的长，可以得到点A,B的纵坐标，代入抛物线方程得到其横坐标关于p的函数表达式，再代入圆的方程求得p的值.
【详解】以为圆心，半径为5的圆的方程为,
由抛物线，得到抛物线关于x轴对称，
又∵上面的圆的圆心在x轴上，∴圆的图形也关于x轴对称，∴它们的交点A,B关于x轴对称，
因为|AB|=8，∴A,B点的纵坐标的绝对值都是4，
∵它们在抛物线上，于是A点的横坐标的值,不妨设A在x轴上方，则A点的坐标为,又∵A在圆上，∴,解得,故选：B.
【点睛】本题考查抛物线的方程和几何性质，涉及圆的方程和性质，关键是利用抛物线和圆的对称性，结合弦长求得A,B的纵坐标，进而得到其横坐标，代入圆的方程求得p的值.
7. 一条倾斜角为的直线与执物线交于不同的两点，设弦的中点为过作平行于轴的直线交抛物线于点，则以为切点的抛物线的切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设弦所在直线的方程为，，联立方程得，进而得，再根据导数的几何意义求解.
【详解】设弦所在直线的方程为，，
所以联立方程得，
所以，解得，
，
所以，所以点的坐标为，
所以联立方程得，此时点在轴上方，抛物线对应的函数为，故求导得，所以点的切线的斜率为.故选：C
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，导数的几何意义，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于设弦所在直线的方程为，进而与抛物线联立计算得，进一步计算得，最后根据导数的几何意义求解.
8. 已知斜率为的直线过椭圆的右焦点交椭圆于两点，则弦的长为______________.
【解析】 右焦点，直线的方程为.
由，得.
设，则，.
【答案】
9. 过点作抛物线的两条切线，切点分别为，若线段的中点的纵坐标为，则的值是________
【答案】1或2
【解析】设点，依题意，得，切线的方程是，即，又点位于直线上，于是有，即；同理有，因此是方程的两根，则.由线段的中点的纵坐标是，得，即，解得或.
10.已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的焦距为4，直线l：y＝2x与椭圆C相交于点A、B，点P是椭圆C上异于点A、B的动点，直线PA、PB的斜率分别为k1、k2，且k1•k2＝，则椭圆C的标准方程是__．
【答案】＝1
【分析】设P（x0，y0），A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），代入作差法表示出k1•k2＝，与联立，即可求出椭圆的标准方程.
【详解】
设P（x0，y0），A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），则，，
两式作差得．
因为直线PA，PB的斜率都存在，所以≠0．
所以＝﹣＝﹣＝﹣k1•k2＝，则，
又因为焦距为4，则，联立两式可得
所以该椭圆的方程为：＝1，故答案为：＝1.
11.设是椭圆的不垂直于对称轴的弦，为的中点，为坐标原点，
则____________。
【答案】
【解析】 设，则中点，得
，，
得即
12.过椭圆上一点作圆的两条切线，切点为，过的直线与轴和轴分别交于，则面积的最小值为__________.
【答案】
【分析】设出点坐标，根据相切关系分析得到的直线方程，由此表示出的坐标并表示出的面积，再根据在椭圆上结合基本不等式求解出面积的最小值.
【详解】设，点坐标为，点坐标为，
因为，
所以化简可得，所以是方程的两个解，
所以直线的方程为，所以且，
所以的面积，且，
所以，所以，取等号时，即或，
综上可知：面积的最小值为，故答案为：.
【点睛】
结论点睛：和圆的切线有关的结论如下：
（1）过圆上一点作圆的切线，则切线方程为；
（2）过圆外一点作圆的切线，切点为，则直线的方程为.
13. 已知动圆与两圆，中的一个内切，另一个外切，则动圆的圆心的轨迹方程为_______.
【答案】
【分析】
根据题意利用两圆相切的性质，分类讨论求出圆的圆心轨迹的方程.
【详解】
解：设，的圆心分别为，圆的半径为.
当圆与圆内切，与圆外切时，
这时有，圆的圆心轨迹是以为焦点的双曲线的左支；
当圆与圆外切，与圆内切时，
这时有，圆的圆心轨迹是以为焦点的双曲线的右支，因此圆的圆心轨迹是以为焦点的双曲线，
，
所以方程为：.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了利用双曲线的定义求双曲线的标准方程，考查了圆与圆相切的性质，考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力.本题解题的关键是由已知条件分类讨论得，进而得圆的圆心轨迹是以为焦点的双曲线即可得方程.
14.如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向轴作垂线段PPˊ，求线段PPˊ的中点M的轨迹（若M分 PPˊ之比为，求点M的轨迹）
【解析】（1）当M是线段PPˊ的中点时，设动点的坐标为，则的坐标为
因为点在圆心为坐标原点半径为2的圆上，
所以有 ，即
所以点的轨迹是椭圆，方程是
（2）当M分 PPˊ之比为时，设动点的坐标为，则的坐标为
因为点在圆心为坐标原点半径为2的圆上，
所以有 ，即
所以点的轨迹是椭圆，方程是 .
15.已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)
（1）求此双曲线方程；
（2）若直线系kx－y－3k+m=0(其中k为参数)所过定点M恰在双曲线上，求证：F1M⊥F2M.
【解析】 (1)e2＝
∴＝1
可设双曲线方程为x2－y2＝λ，∵点(4，－)
在双曲线上，∴λ＝42－10＝6
因此所求双曲线方程为x2－y2＝6.
（2）直线系k(x－3)+(m－y)=0过定点M(3，m)在双曲线上，∴32－ｍ2＝6，
∴ｍ＝±.∴M(3,±)
又双曲线焦点F1（－2，0）、F2（2，0），
∴＝－1，∴F1M⊥F2M.
16.已知抛物线上的一点到焦点的距离等于3．
（1）求抛物线的方程；
（2）若过点的直线与抛物线相交于，两点，求面积的最小值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的定义得出到准线的距离为3，列方程解出；
（2）设方程为，与抛物线方程联立方程组得出，两点纵坐标的关系，得出的面积关于的函数，求出最小值即可．
【详解】
（1）抛物线的准线方程为，
到焦点的距离为，
．抛物线方程为．
（2）设的方程为．联立方程组，得．
设，，，，则，．
．
．
时，取得最小值．
【点睛】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
17.已知抛物线的焦点为，点在上，且（为坐标原点）．
（1）求的方程；
（2）若是上的两个动点，且两点的横坐标之和为．
（ⅰ）设线段的中垂线为，证明：恒过定点．
（ⅱ）设（ⅰ）中定点为，当取最大值时，且，位于直线两侧时，求四边形的面积．
【答案】（1）；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）.
【分析】
（1）根据题意得，，进而解方程即可得答案；
（2）（ⅰ）设中点为，则，，进而分和两种情况求解直线方程，以证明直线过定点；
（ⅱ）直线与抛物线联立方程消去，根据韦达定理与弦长公式求得当且仅当时等号成立，进而得直线，再讨论，位于直线两侧时得，进而根据点到直线的距离求解点到直线的距离以求解四边形的面积.
【详解】（1）由抛物线的性质得，
所以根据抛物线的定义得：，解得，所以的标准方程为．
（2）设，且．
（ⅰ）证明：设中点为，则，，
当时，；
当时，，则，，
令，得，故直线过定点，综上，恒过定点．
（ⅱ）由（ⅰ）知直线，即，
所以直线与抛物线联立方程消去，整理得，
由，得，，
，
当且仅当时等号成立，所以的最大值为10，
此时直线的方程为．
对于直线，，
所以点在同侧，不合题意，
对于直线，满足，位于直线两侧，
所以直线，
点到直线的距离，
点到直线的距离，
所以．
18.已知斜率为的直线与椭圆交于两点，线段AB的中点为．
（1）证明：；
（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：成等差数列，并求该数列的公差．
【解析】解决第一个问题要设而不求，利用点差法进行证明.第二个问题要先解出m的值，再求点P的坐标，得到，再由两点间距离公式表示出，得到直线的方程，将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理进行求解.
（1）设，则.两式相减，并由得.由题设知，于是①；由题设得，故.
（2）由题意得，设，则.
由（1）及题设得.又点P在C上，所以，从而，.于是.同理.所以.故，即成等差数列.
设该数列的公差为d，则.②
将代入①得.所以l的方程为，代入C的方程，并整理得.
故，代入②解得.所以该数列的公差为或.
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