安徽省安庆市第四中学2022-2023学年上学期九年级数学期中考试试卷(含答案)

这是一份安徽省安庆市第四中学2022-2023学年上学期九年级数学期中考试试卷(含答案)，共28页。

安庆四中2022—2023学年度第一学期
九年级数学期中考试试卷
一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）下列函数中，是二次函数的为（　　）
A．y＝8x2+1 B．y＝8x+1 C．y＝ D．y＝
2．（4分）如图所示的三个三角形中，相似的是（　　）

A．（1）和（2） B．（2）和（3） C．（1）和（3） D．（1）和（2）和（3）
3．（4分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝b（x﹣a）2的图象大致为（　　）
4．（4分）已知：（x，y，z均不为零），则＝（　　）
A．3 B． C． D．4
5．（4分）若反比例函数y＝的图象经过点（3，1），则它的图象也一定经过的点是（　　）
A．（﹣3，1） B．（3，﹣1） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3）
6．（4分）鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是AB的黄金分割点（AP＞BP），若线段AB的长为6cm，则AP的长约为（　　）

A．3.71cm B．4.14cm C．4.32cm D．4.86cm

7．（4分）将抛物线先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度后，所得抛物线的函数表达式为y＝（x﹣3）2﹣4，则原抛物线的函数表达式为（　　）
A．y＝x2 B．y＝（x﹣1）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣6 D．y＝（x﹣4）2﹣2
8．（4分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴的两个交点分别是（n，0）和（﹣n+4，0），且抛物线还经过点（﹣4，y1）和（4，y2），则下列关于y1、y2的大小关系判断正确的是（　　）
A．y2＝y1 B．y2＜y1 C．y1＜y2 D．y1≤y2
9．（4分）如图，点P是等腰△ABC的腰AB上的一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似．满足这样条件的直线最多有（　　）

A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
10．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝ax2+bx+c的图象与对称轴直线x＝m交于点A，与x，y轴交于B，C，D三点，下列命题正确的是（　　）
①abc＞0；
②若OD＝OC，则ac+b+1＝0；
③对于任意x0（x0≠m），始终有ax02+bx0＞am2+bm；
④若B的坐标为（﹣m，0），则C的坐标为（3m，0）．

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）


11．（5分）如图，△ABC∽△CBD，AB＝9，BD＝25，则BC＝　 　．

12．（5分）已知点（2，y1），（1，y2），（﹣2，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为 　 　．（用“＜”连接）
13．（5分）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆．衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的 　 　倍．

14．（5分）设二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），如表列出了x、y的部分对应值．
则不等式ax2+bx+c＜0的解集是 　 　，方程ax2+bx+c＝m的解是 　 　．
三．解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）如图，已知AB∥DC，点E、F在线段BD上，AB＝2DC，BE＝2DF．
（1）求证：△ABE∽△CDF；
（2）若BD＝8，DF＝2，求EF的长．

16．（8分）已知二次函数y＝x2﹣8x﹣9．
（1）用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣9化成y＝a（x﹣h）2+k的形式：
（2）写出这个函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．




四．解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，△ABC的顶点都在格点上．
（1）以点O为位似中心，画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使△ABC与△A1B1C1的位似比为1：2．
（2）以点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，若点M（a，b）在线段AC上，请直接写出点M经过（1）的位似变换后的对应点M'的坐标．

18．（8分）平行于x轴的直线与函数y＝（k1＞0，x＞0）交于点A，与y轴交于点C．
（1）若k1＝10，点C的坐标为（0，5），求点A的坐标；
（2）若该直线与函数y＝（k2＞0，x＞0）交于点B，如图所示，且△ABO的面积为4，求k1﹣k2的值．

五．解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）为了测量学校旗杆的高度AB，数学兴趣小组带着标杆和皮尺来到操场进行测量，测量方案如下：如图，首先，小红在C处放置一平面镜，她从点C沿BC后退，当退行1.8米到D处时，恰好在镜子中看到旗杆顶点A的像，此时测得小红眼睛到地面的距离ED为1.5米；然后，小明在F处竖立了一根高1.6米的标杆FG，发现地面上的点H、标杆顶点G和旗杆顶点A在一条直线上，此时测得FH为2.4米，DF为3.3米，已知AB⊥BH，ED⊥BH，GF⊥BH，点B、C、D、F、H在一条直线上．
（1）直接写出＝　 　；
（2）请根据以上所测数据，计算学校旗杆AB的高度．





20．（10分）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（﹣1，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当a≤x≤a+1时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值．



六．解答题（本题12分）
21．（12分）如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线与直线y＝x+m只有一个交点，求m的值；
（3）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．





七．解答题（本题12分）
22．（12分）某水果店销售一种新鲜水果，平均每天可售出120箱，每箱盈利60元，为了扩大销售减少库存，水果店决定采取适当的降价措施，经调查发现，每箱水果每降价5元，水果店平均每天可多售出20箱．设每箱水果降价x元．
（1）当x＝10时，每箱利润 　 　元，平均每天可售出 　 　箱水果；
（2）设每天销售该水果的总利润为w元．
①求w与x之间的函数解析式；
②试判断w能否达到8200元，如果能达到，求出此时x的值；如果不能达到，求出w的最大值．




八．解答题（本题14分）
23．（14分）[初步尝试]
（1）如图①，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AM与BM的数量关系为 　 　；
[思考说理]
（2）如图②，在三角形纸片ABC中，AC＝BC＝6，AB＝10，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，求的值；
[拓展延伸]
（3）如图③，在三角形纸片ABC中，AB＝9，BC＝6，∠ACB＝2∠A，将△ABC沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边AC上的点B′处，折痕为CM．
①求线段AC的长；
②若点O是边AC的中点，点P为线段OB′上的一个动点，将△APM沿PM折叠得到△A′PM，点A的对应点为点A′，A′M与CP交于点F，求的取值范围．












安庆四中2022—2023学年度第一学期九年级数学期中考试试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）下列函数中，是二次函数的为（　　）
A．y＝8x2+1 B．y＝8x+1 C．y＝ D．y＝
【分析】根据二次函数的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、y＝8x2+1是二次函数，故本选项正确；
B、y＝8x+1是一次函数，故本选项错误；
C、y＝是反比例函数，故本选项错误；
D、y＝是反比例函数，故本选项错误．
故选：A．
2．（4分）2．（4分）如图所示的三个三角形中，相似的是（　　）

A．（1）和（2） B．（2）和（3） C．（1）和（3） D．（1）和（2）和（3）
【分析】根据相似三角形的判定方法，结合图形，各选项一一分析，排除错误答案．
【解答】解：对应角相等的两个三角形相似．
故（1）（2）相似，
故选：A．
3．（4分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝b（x﹣a）2的图象大致为（　　）
【分析】本题可先由一次函数y＝ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝b（x﹣a）2的图象相比较看是否一致．
【解答】解：A、由抛物线可知，图象经过一、二、三象限，a＞0，b＞0，由抛物线可知，开口向上，对称轴在y轴的右侧，b＞0，a＞0一致，故此选项正确；
B、由抛物线可知，图象经过一、二、四象限，a＜0，b＞0，由抛物线可知，开口向上，对称轴在y轴的右侧，b＞0，a＞0，不一致，故此选项错误；
C、由抛物线可知，图象经过二、三、四象限，a＜0，b＜0，由抛物线可知，开口向上，对称轴在y轴的右侧，b＞0，a＞0，不一致，故此选项错误；
D、由抛物线可知，图象经过一、三、四象限，a＞0，b＜0，由抛物线可知，开口向下，对称轴在y轴的左侧，b＜0，a＜0，不一致，故此选项错误；
故选：A．
4．（4分）已知：（x，y，z均不为零），则＝（　　）
A．3 B． C． D．4
【分析】根据已知条件可设x＝6k，则y＝4k，z＝3k，将其代入所求分式，计算即可．
【解答】解：∵，
∴设x＝6k，则y＝4k，z＝3k，
∴则＝＝＝3．
故选：A．
5．（4分）若反比例函数y＝的图象经过点（3，1），则它的图象也一定经过的点是（　　）
A．（﹣3，1） B．（3，﹣1） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3）
【分析】由反比例函数y＝的图象经过点（3，1），可求反比例函数解析式，把点代入解析式即可求解．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点（3，1），∴y＝，
把点一一代入，发现只有（﹣1，﹣3）符合．
故选：D．
6．（4分）鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是AB的黄金分割点（AP＞BP），若线段AB的长为6cm，则AP的长约为（　　）

A．3.71cm B．4.14cm C．4.32cm D．4.86cm
【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可解答．
【解答】解：∵P是AB的黄金分割点（AP＞BP），线段AB的长为6cm，
∴≈0.618，
∴AP＝0.618×6≈3.71（cm），
故选：A．
7．（4分）将抛物线先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度后，所得抛物线的函数表达式为y＝x2+6x+5，则原抛物线的函数表达式为（　　）
A．y＝x2 B．y＝（x﹣1）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣6 D．y＝（x﹣4）2﹣2
【分析】利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
【解答】解：将抛物线y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的抛物线对应的函数表达式为：y＝（x﹣3﹣1）2﹣4+2，即y＝（x﹣4）2﹣2．
故选：D．
8．（4分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴的两个交点分别是（n，0）和（﹣n+4，0），且抛物线还经过点（﹣4，y1）和（4，y2），则下列关于y1、y2的大小关系判断正确的是（　　）
A．y2＝y1 B．y2＜y1 C．y1＜y2 D．y1≤y2
【分析】先由点（n，0）和（﹣n+4，0）求得二次函数的对称轴，然后根据两点代对称轴的结论即可判断y1、y2的大小．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴的两个交点分别是（n，0）和（﹣n+4，0），
∴对称轴为直线x＝＝2，
∵抛物线经过点（﹣4，y1）和（4，y2），
∴点（﹣4，y1）到对称轴的距离大于点（4，y2）到对称轴的距离，
∵抛物线开口向上，
∴y1＞y2，
故选：B．
9．（4分）如图，点P是等腰△ABC的腰AB上的一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似．满足这样条件的直线最多有（　　）

A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【分析】根据相似三角形的判定，过点P分别BC，AC的平行线即可得到与原三角形相似的三角形，过点P作以点P为顶点的角与∠A相等的角也可以得到原三角形相似的三角形．
【解答】解：∵BA＝BC，
∴∠A＝∠C，
①作PE∥BC，可得△APE∽△ABC．
②作PF∥AC，可得△BPF∽△BAC．
③作∠APG＝∠A，可得△AGP∽△ABC，
故选：B．

10．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝ax2+bx+c的图象与对称轴直线x＝m交于点A，与x，y轴交于B，C，D三点，下列命题正确的是（　　）
①abc＞0；
②若OD＝OC，则ac+b+1＝0；
③对于任意x0（x0≠m），始终有ax02+bx0＞am2+bm；
④若B的坐标为（﹣m，0），则C的坐标为（3m，0）．

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【分析】根据二次函数的性质和图象得出信息进行判断即可．
【解答】解：由图象得：a＞0，b＜0，c＜0，故①正确；
∵OD＝OC，
∴xc＝﹣c，
∴a（﹣c）2+b（﹣c）+c＝0，
∴ac﹣b+1＝0，故②错误，
∵a＞0，
∴对于任意x0（x0≠m），始终有，故③正确，
∵对称轴为直线x＝m，
∴，
∴xc＝3m，故④正确，
故选：C．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）如图，△ABC∽△CBD，AB＝9，BD＝25，则BC＝　15　．


【分析】利用相似三角形的性质求解．
【解答】解：∵△ABC∽△CBD，
∴＝，
∴CB2＝AB•BD＝225，
∵CB＞0，
∴BC＝15，
故答案为：15．
12．（5分）已知点（2，y1），（1，y2），（﹣2，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为 　y2＜y1＜y3　．（用“＜”连接）
【分析】分别把点（2，y1），（1，y2），（﹣2，y3）代入反比例函数y＝﹣，求出y1，y2，y3的值，再比较出其大小即可．
【解答】解：∵点（2，y1），（1，y2），（﹣2，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴y1＝﹣＝﹣1，y2＝﹣＝﹣2，y3＝﹣＝1，
∴y2＜y1＜y3．
故答案为：y2＜y1＜y3．
13．（5分）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆．衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的 　1.2　倍．

【分析】根据比例的性质解决此题．
【解答】解：由题意得，5m被称物＝6m砝码．
∴m被称物：m砝码＝6：5＝1.2．
故答案为：1.2．
14．（5分）设二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），如表列出了x、y的部分对应值．
则不等式ax2+bx+c＜0的解集是 　﹣6＜x＜2　，方程ax2+bx+c＝m的解是 　x＝﹣3或x＝﹣1　．
【分析】抛物线经过点（﹣5，﹣2.79），（1，﹣2.79）可知对称轴为直线x＝﹣2，然后利用二次函数的性质可判断不等式ax2+bx+c＜0的解集是﹣6＜x＜2，方程ax2+bx+c＝m的解是x＝﹣3或x＝﹣1．
【解答】解：∵抛物线经过点（﹣5，﹣2.79），（1，﹣2.79），
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣2，
∴点（2，0）关于直线x＝﹣2的对称点是（﹣6，0），点（﹣3，m）关于直线x＝﹣2的对称点是（﹣1，m），
∵抛物线开口向上，
∴不等式ax2+bx+c＜0的解集是﹣6＜x＜2，方程ax2+bx+c＝m的解是x＝﹣3或x＝﹣1，
故答案为：﹣6＜x＜2，x＝﹣3或x＝﹣1．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）如图，已知AB∥DC，点E、F在线段BD上，AB＝2DC，BE＝2DF．
（1）求证：△ABE∽△CDF；
（2）若BD＝8，DF＝2，求EF的长．

【分析】（1）由AB∥DC，可得∠B＝∠D，又由AB＝2DC，BE＝2DF，即可证得：△ABE∽△CDF；
（2）由BE＝2DF，DF＝2，即可求得BE的长，继而求得答案．
【解答】（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠B＝∠D，
∵AB＝2DC，BE＝2DF，
∴AB：DC＝BE：DF＝2，
∴△ABE∽△CDF；

（2）解：∵BE＝2DF，DF＝2，
∴BE＝4，
∵BD＝8，
∴EF＝BD﹣DF﹣BE＝2．
16．（8分）已知二次函数y＝x2﹣8x﹣9．
（1）用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣9化成y＝a（x﹣h）2+k的形式：
（2）写出这个函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．
【分析】（1）根据配方法的操作整理即可得解；
（2）根据a大于0确定出抛物线开口向上，根据顶点式解析式写出顶点坐标和对称轴．
【解答】解：（1）y＝x2﹣8x﹣9
＝（x2﹣8x+16）﹣16﹣9
＝（x﹣4）2﹣25，
即y＝（x﹣4）2﹣25；

（2）因为a＝1，
所以该抛物线的开口方向向上，
由y＝（x﹣4）2﹣25知，抛物线的顶点坐标是（4，﹣25），对称轴直线为x＝4．
17．（8分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，△ABC的顶点都在格点上．
（1）以点O为位似中心，画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使△ABC与△A1B1C1的位似比为1：2．
（2）以点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，若点M（a，b）在线段AC上，请直接写出点M经过（1）的位似变换后的对应点M'的坐标．

【分析】（1）把点A、B、C点的横纵坐标分别乘以﹣2得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标关系写出点M'的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；

（2）M'（﹣2a，﹣2b）．
18．（8分）平行于x轴的直线与函数y＝（k1＞0，x＞0）交于点A，与y轴交于点C．
（1）若k1＝10，点C的坐标为（0，5），求点A的坐标；
（2）若该直线与函数y＝（k2＞0，x＞0）交于点B，如图所示，且△ABO的面积为4，求k1﹣k2的值．

【分析】（1）设点A的坐标为（a，b），依据AC∥x轴，点C的坐标为（0，5），即可得到b＝5，再根据点A在反比例函数y＝的图象上，即可得出点A的坐标为（2，5）；
（2）由反比例函数系数k的几何意义可得，S△OAC＝，S△OBC＝，再根据S△AOB＝S△OBC﹣S△OAC，即可得到k1﹣k2的值．
【解答】解：（1）设点A的坐标为（a，b），
∵AC∥x轴，点C的坐标为（0，5），
∴b＝5，
又∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴5a＝10，
∴a＝2，
∴点A的坐标为（2，5）；
（2）由反比例函数系数k的几何意义可得，S△OAC＝，S△OBC＝，
∵S△AOB＝S△OBC﹣S△OAC，
∴4＝（k2﹣k1），
∴k2﹣k1＝8，即k1﹣k2＝﹣8．

19．（10分）为了测量学校旗杆的高度AB，数学兴趣小组带着标杆和皮尺来到操场进行测量，测量方案如下：如图，首先，小红在C处放置一平面镜，她从点C沿BC后退，当退行1.8米到D处时，恰好在镜子中看到旗杆顶点A的像，此时测得小红眼睛到地面的距离ED为1.5米；然后，小明在F处竖立了一根高1.6米的标杆FG，发现地面上的点H、标杆顶点G和旗杆顶点A在一条直线上，此时测得FH为2.4米，DF为3.3米，已知AB⊥BH，ED⊥BH，GF⊥BH，点B、C、D、F、H在一条直线上．
（1）直接写出＝　　；
（2）请根据以上所测数据，计算学校旗杆AB的高度．

【分析】（1）根据已知条件推出△ACB∽△ECD，根据相似三角形的性质得到，代入数据即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝∠CDE＝90°，
∠ACB＝∠DCE，
∴△ACB∽△ECD，
∴，
∵DE＝1.5米，CD＝1.8米，
∴＝＝，
故答案为：，
（2）∵FG⊥BH，AB⊥BH，
∴AB∥FG，
∴△HFG∽△HBA，
∴＝，
∴＝，
∴AB＝25（米），
答：学校旗杆AB的高度为25米．
20．（10分）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（﹣1，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当a≤x≤a+1时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值．

【分析】（1）二次函数的对称轴是直线x＝1，求出b＝﹣2，将A（﹣1，0）代入y＝x2﹣2x+c中，即可求解；
（2）分a+1≤1，a＜1＜a+1，a≥1三种情况讨论即可．
【解答】解：（1）∵二次函数的对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2，
将A（﹣1，0）代入y＝x2﹣2x+c中，
解得c＝﹣3．
∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）①若a+1≤1，即a≤0时，
则当x＝a+1时，函数值最小，
∴（a+1）2﹣2（a+1）﹣3＝2a，
解得：a＝1﹣或a＝1+（舍去）；
②如a＜1＜a+1，即0＜a＜1时，
则当x＝1时函数值最小，
∴1﹣2﹣3＝2a，
解得：a＝﹣2（不合题意）；
③若a≥1，
则当x＝a时函数值最小，
∴a2﹣2a﹣3＝2a，
解得：a＝2+或a＝2﹣（舍去），
∴a的值为1﹣或2+．
21．（12分）如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线与直线y＝x+m只有一个交点，求m的值；
（3）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．

【分析】（1）根据题意设出二次函数的顶点式，然后把点C的坐标代入求解即可；
（2）通过一元二次方程根的判别式进行求解；
（3）由△BCQ与△BCP的面积相等，得到PQ与BC平行，①过P作PQ∥BC，交抛物线于点Q，如图所示；②过点P作x轴的垂线交BC于G，在直线PG上取PG＝GH，可得G（1，2），可得PG＝GH＝2，过H作直线Q2Q3∥BC，交抛物线于点Q2，Q3，分别求出Q的坐标即可．
【解答】解：（1）∵抛物线顶点P（1，4），
设y＝a（x﹣1）2+4（a≠0），
把C（0，3）代入抛物线解析式得：a+4＝3，
即a＝﹣1，
则抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；
（2）∵抛物线与直线y＝x+m只有一个交点，
∴﹣x2+2x+3＝x+m，
即x2﹣x+m﹣3＝0，
∴Δ＝1﹣4×1×（m﹣3）＝0，
∴13﹣4m＝0，
解得：m＝；
（3）令y＝0，得﹣x2+2x+3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∵△BCQ与△BCP的面积相等，
∴PQ∥BC，
①过P作PQ∥BC，交抛物线于点Q1，如图所示，

设直线PQ1的解析式为y＝﹣x+b′，把P（1，4）代入得：4＝﹣1+b′，
解得：b′＝5，
∴直线PQ1的解析式为y＝﹣x+5，
联立方程组，得，
解得：（与P重合，舍去），，
∴Q1（2，3）；
②过点P作x轴的垂线交BC于G，在直线PG上取PG＝GH，
∵直线BC的解析式为y＝﹣x+3，P（1，4），
∴G（1，2）
∴PG＝GH＝2，
∴H（1，0），
过H作直线Q2Q3∥BC，交抛物线于点Q2，Q3，
同理可得直线Q2Q3解析式为y＝﹣x+1，
联立得：，
解得：或，
∴Q2（，）Q3（，）．
综上，Q1（2，3）、Q2（，）、Q3（，）．
22．（12分）某水果店销售一种新鲜水果，平均每天可售出120箱，每箱盈利60元，为了扩大销售减少库存，水果店决定采取适当的降价措施，经调查发现，每箱水果每降价5元，水果店平均每天可多售出20箱．设每箱水果降价x元．
（1）当x＝10时，每箱利润 　50　元，平均每天可售出 　160　箱水果；
（2）设每天销售该水果的总利润为w元．
①求w与x之间的函数解析式；
②试判断w能否达到8200元，如果能达到，求出此时x的值；如果不能达到，求出w的最大值．
【分析】（1）利用每箱利润＝60﹣每箱降低的价格，平均每天的销售量＝120+20×，即可求出结论；
（2）①根据“每箱利润×平均每天的销售量”，即可得到w与x之间的函数解析式；
②根据二次函数的性质求出w的最大值，与8200比较即可得到结论．
【解答】解：（1）根据题意，可知：当每箱水果降价10元时，每箱利润为60﹣10＝50（元），平均每天可售出120+20×＝160（箱）．
故答案为：50；160；
（2）①由题意得w与x之间的函数解析式为w＝（60﹣x）（120+×20）＝﹣4x2+120x+7200；
②w不能达到8200元．
w＝﹣4x2+120x+7200＝﹣4（x﹣15）2+8100．
∵﹣4＜0，
∴当x＝15时，w取到最大值，
∵w最大值＝8100＜8200，
∴w不能达到8200元，
w的最大值是8100元．
23．（14分）[初步尝试]
（1）如图①，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AM与BM的数量关系为 　AM＝BM　；
[思考说理]
（2）如图②，在三角形纸片ABC中，AC＝BC＝6，AB＝10，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，求的值；
[拓展延伸]
（3）如图③，在三角形纸片ABC中，AB＝9，BC＝6，∠ACB＝2∠A，将△ABC沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边AC上的点B′处，折痕为CM．
①求线段AC的长；
②若点O是边AC的中点，点P为线段OB′上的一个动点，将△APM沿PM折叠得到△A′PM，点A的对应点为点A′，A′M与CP交于点F，求的取值范围．

【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
（2）利用相似三角形的性质求出BM，AM即可．
（3）①证明△BCM∽△BAC，推出＝＝，由此即可解决问题．
②设PB′＝x．证明△PFA′∽△MFC，推出＝，因为CM＝5，推出＝＝+，判断出x的取值范围，即可解决问题．
【解答】解：（1）如图①中，

∵△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，
∴MN垂直平分线段BC，
∴CN＝BN，
∵∠MNB＝∠ACB＝90°，
∴MN∥AC，
∵CN＝BN，
∴AM＝BM．
故答案为AM＝BM．

（2）如图②中，

∵CA＝CB＝6，
∴∠A＝∠B，
由题意MN垂直平分线段BC，
∴BM＝CM，
∴∠B＝∠MCB，
∴∠BCM＝∠A，
∵∠B＝∠B，
∴△BCM∽△BAC，
∴＝，
∴＝，
∴BM＝，
∴AM＝AB﹣BM＝10﹣＝，
∴＝＝．

（3）①如图③中，

由折叠的性质可知，CB＝CB′＝6，∠BCM＝∠ACM，
∵∠ACB＝2∠A，
∴∠BCM＝∠A，
∵∠B＝∠B，
∴△BCM∽△BAC，
∴＝＝，
∴＝，
∴BM＝4，
∴AM＝CM＝5，
∴＝，
∴AC＝．

②如图③﹣1中，设PB′＝x．

∵AC＝，BC＝CB′＝6，
∴AB′＝﹣6＝，
∴AP＝AP′＝+x，
∵∠A＝∠A′＝∠MCF，∠PFA′＝∠MFC，PA＝PA′，
∴△PFA′∽△MFC，
∴＝，
∵CM＝5，
∴＝＝+，
∵OA＝OC＝，
∴0≤x≤，
∴≤≤．