福建省泉州市泉港区2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份福建省泉州市泉港区2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省泉州市泉港区九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
1．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠﹣2
2．已知3x＝5y（y≠0），则下列比例式成立的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
3．下列各式中，能与合并的二次根式是（　　）
A． B． C． D．
4．下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．任意抛掷一只纸杯，杯口朝下
B．a为实数，|a|＞0
C．打开电视，正在播放动画片
D．任选三角形的两边，其差小于第三边
5．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是（　　）
A．x2﹣2x＝5 B．2x2﹣4x＝5 C．x2+4x＝5 D．x2+2x＝5
6．如图，P是∠α的边OA上一点，且点P的横坐标为3，sinα＝，则tanα＝（　　）

A． B． C． D．
7．如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若，则的值为（　　）

A． B． C． D．
8．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？经过计算，你的结论是：长比宽多（　　）
A．12步 B．24步 C．36步 D．48步
9．如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，且点D与点G是一对对应点，点D（2，2），点G（0，1），则它们位似中心的坐标是（　　）

A．（﹣2，0） B．（﹣1，0） C．（0，0） D．（﹣3，0）
10．已知xy≠1，且3x2+2022x+6＝0，6y2+2022y+3＝0，则＝（　　）
A．9 B．3 C．2 D．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．化简：＝　 　．
12．一元二次方程（x﹣2）（x+7）＝0的根是 　 　．
13．如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度是i＝1：，堤高BC是50米，则迎水坡面AB的长是　 　米．

14．目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2020年底有5G用户2万户，计划到2022年底全市5G用户数累积到达到9.5万户．设全市5G用户数年平均增长率为x，则x的值为 　 　．
15．如图，在△ABC中，AE是BC边上的中线，点G是△ABC的重心，过点G作GF∥AB交BC于点F，那么＝　 　．

16．如图，已知正方形ABCD，E为边BC上一个动点（E点不与B、C重合），F为BC延长线上的一个动点，且有BE＝CF，AE交BD于H，连接DF，过F作FG⊥BD于G，连接AG、EG，则下列结论：
①四边形AEFD为菱形；
②AG＝EG；
③当E为BC中点时，tan∠BGE＝；
④当＝时，＝．
其中正确的有 　 　．（写出正确结论的序号）

三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．计算：（﹣）﹣1+|﹣3|﹣（2sin60°﹣3）0+4cos45°．
18．解方程：x2﹣6x+1＝0．
19．国家的“双减”政策要求教师注重作业的设计与布置，为了更好落实国家的“双减”政策，某学校七年级为学生设计了丰富多彩的寒假实践作业，作业由两类7项组成，供学生自主选择完成．
A类：创作微视频，内容可从以下四方面选择：a1：一道（类）题的解法研究，a2：读数学类书籍的心得分享；a3：魔术与数学；a4：某个数学知识的探究．B类：创作手抄报，内容可以从以下3个方面选择：b1：绘制七年级上章节思维导图：b2：数学家的故事；b3：数学知识发展史．
同学们可以从以上7项作业中任选一项或两项来完成，请回答下列问题：
（1）小明准备随机选择一项去完成，则他选择a3：魔术与数学的概率为 　 　；
（2）小丽准备从A、B两类中分别随机选择一项完成，求小丽最终选择完成a2和b3两项作业的概率．
20．如图，两座建筑物AB和DC的水平距离BC为24米，从点A测得点D的俯角α＝30°，测得点C的俯角β＝60°，求这两座建筑物的高．（答案保留根号）

21．关于x的一元二次方程x2+（k﹣5）x+1﹣k＝0，其中k为常数．
（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）若原方程的一根大于3，另一根小于3，求k的最大整数值．
22．如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．
（1）尺规作图：在边AB上确定一点D，使∠ADC＝2∠B（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）；
（2）在（1）的条件下，若∠B＝15°，∠ACB＝105°，CD＝3，AC＝，求△ABC的面积．

23．某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系y＝﹣80x+560，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他各项费用80元．
（1）如果每天获得160元的利润，销售单价为多少元？
（2）设每天的利润为w元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？
24．如图1，直线AB与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C在x轴负半轴上，这三个点的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C（﹣1，0）．
（1）请求出直线AB的解析式；
（2）连接BC，若点E是线段AC上的一个动点（不与A，C重合），过点E作EF∥BC交AB于点F，当△BEF的面积是，求点E的坐标；
（3）如图2，将点B向右平移1个单位长度得到点D，在x轴上存在动点P，若∠DCO+∠DPO＝∠α，当tan∠α＝4时，请直接写出点P的坐标．


25．已知，四边形ABCD是矩形，AD＞AB，E、F、G分别是AB、BC、AD上的点，，．

（1）当n＝1，DE⊥EF．
①如图1，求证：；
②如图2，连接DF，若CF＝2AG，求；
（2）如图3，，AD＝2AB＝10，∠GEF＝45°，直接写出△EFG面积的最小值．



参考答案
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
1．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠﹣2
【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数，即可确定二次根式被开方数中字母的取值范围．
解：∵在实数范围内有意义，
∴2x﹣4≥0，
解得：x≥2，
∴x的取值范围是：x≥2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数是非负数．正确把握二次根式的定义是解题关键．
2．已知3x＝5y（y≠0），则下列比例式成立的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】直接利用比例的性质得出x，y之间关系进而得出答案．
解：A、＝，可以化成：xy＝15，故此选项错误；
B、＝，可以化成：3x＝5y，故此选项正确；
C、＝，可以化成：5x＝3y，故此选项错误；
D、＝，可以化成：5x＝3y，故此选项错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查了比例的性质，正确掌握比例的基本性质是解题关键．
3．下列各式中，能与合并的二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【分析】先把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．
解：A.与不是同类二次根式，不能合并，故选项A不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不能合并，故选项B不符合题意；
C、与不是同类二次根式，不能合并，故选项C不符合题意；
D、是同类二次根式，能合并，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是同类二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
4．下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．任意抛掷一只纸杯，杯口朝下
B．a为实数，|a|＞0
C．打开电视，正在播放动画片
D．任选三角形的两边，其差小于第三边
【分析】根据绝对值的非负性，随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
解：A、任意抛掷一只纸杯，杯口朝下，是随机事件，故A不符合题意；
B、a为实数，|a|＞0，是随机事件，故B不符合题意；
C、打开电视，正在播放动画片，是随机事件，故C不符合题意；
D、任选三角形的两边，其差小于第三边，是必然事件，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了绝对值，绝对值的非负性，随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
5．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是（　　）
A．x2﹣2x＝5 B．2x2﹣4x＝5 C．x2+4x＝5 D．x2+2x＝5
【分析】根据配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方分别进行解答，即可得出答案．
解：A、因为本方程的一次项系数是﹣2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项错误；
B、先在等式的两边同时除以2，得到x2﹣2x＝，因为此方程的一次项系数是﹣2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项错误；
C、因为本方程的一次项系数是4，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方4；故本选项正确；
D、因为本方程的一次项系数是2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项错误；
故选：C．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
6．如图，P是∠α的边OA上一点，且点P的横坐标为3，sinα＝，则tanα＝（　　）

A． B． C． D．
【分析】先由sinα＝＝求得PQ＝4，OP＝5，再根据正切函数的定义求解可得．
解：如图，

由sinα＝＝可设PQ＝4a，OP＝5a，
∵OQ＝3，
∴由OQ2+PQ2＝OP2可得32+（4a）2＝（5a）2，
解得：a＝1（负值舍去），
∴PQ＝4，OP＝5，
则tanα＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，能求出PQ、OP的长是解此题的关键．
7．如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若，则的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】直接利用平行线分线段成比例定理进而得出，再将已知数据代入求出即可．
解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
∵，
∴；
故选：A．
【点评】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，得出是解题的关键．
8．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？经过计算，你的结论是：长比宽多（　　）
A．12步 B．24步 C．36步 D．48步
【分析】设矩形田地的长为x步（x＞30），则宽为（60﹣x）步，由矩形的面积＝长×宽，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其代入x﹣（60﹣x）中，即可求出结论．
解：设矩形田地的长为x步（x＞30），则宽为（60﹣x）步，
根据题意得：x（60﹣x）＝864，
整理得：x2﹣60x+864＝0，
解得：x＝36或x＝24（舍去），
∴x﹣（60﹣x）＝12．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及矩形的面积，根据矩形的面积公式，列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
9．如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，且点D与点G是一对对应点，点D（2，2），点G（0，1），则它们位似中心的坐标是（　　）

A．（﹣2，0） B．（﹣1，0） C．（0，0） D．（﹣3，0）
【分析】两个位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行．则位似中心就是两对对应点的延长线的交点．
解：∵点F与点C是一对对应点，可知两个位似图形在位似中心同旁，位似中心就是CF与x轴的交点，
设直线GD解析式为y＝kx+b，
将D（2，2），G（0，1），代入，
得，
解得 ，
即y＝x+1，
令y＝0得x＝﹣2，
∴O′坐标是（﹣2，0）；
故选：A．

【点评】本题主要考查位似图形的性质，难度适中，每对位似对应点与位似中心共线．注意若题干中不指明“点G与点D是一对对应点”，则应有两种情况．
10．已知xy≠1，且3x2+2022x+6＝0，6y2+2022y+3＝0，则＝（　　）
A．9 B．3 C．2 D．
【分析】把方程6y2+2022y+3＝0两边除以y2得到3（）2+2022×+6＝0，则x、可看作方程3t2+2022t+6＝0的两根，然后利用根与系数的关系解决问题．
解：∵6y2+2022y+3＝0，y≠0，
∴6+2022×+3×（）2＝0，
即3（）2+2022×+6＝0，
∴x、可看作方程3t2+2022t+6＝0的两根，
∴x•＝＝2，
∴＝．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．化简：＝　8　．
【分析】根据算术平方根的定义求出即可．
解：＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了对算术平方根的定义的应用，主要考查学生的计算能力．
12．一元二次方程（x﹣2）（x+7）＝0的根是 　x1＝2，x2＝﹣7　．
【分析】利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
解：（x﹣2）（x+7）＝0，
x﹣2＝0或x+7＝0，
x1＝2，x2＝﹣7，
故答案为：x1＝2，x2＝﹣7．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解题的关键．
13．如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度是i＝1：，堤高BC是50米，则迎水坡面AB的长是　100　米．

【分析】由坡度的定义求出坡角为30°，即可解决问题．
解：∵迎水坡AB的坡度i＝1：，
∴tan∠BAC＝＝＝，
∴∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝100（米），
故答案为：100．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念是解题的关键．
14．目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2020年底有5G用户2万户，计划到2022年底全市5G用户数累积到达到9.5万户．设全市5G用户数年平均增长率为x，则x的值为 　50%　．
【分析】设全市5G用户数年平均增长率为x，根据该市2020年底及计划到2022年底全市5G用户数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：设全市5G用户数年平均增长率为x，
依题意，得：2+2（1+x）+2（1+x）2＝9.5，
整理，得4x2+12x﹣7＝0，
解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣3.5（不合题意，舍去）．
故答案为：50%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．如图，在△ABC中，AE是BC边上的中线，点G是△ABC的重心，过点G作GF∥AB交BC于点F，那么＝　　．

【分析】根据三角形的重心的概念得到＝，根据平行线分线段成比例定理得到＝＝，根据三角形的中线的概念计算即可．
解：∵点G是△ABC的重心，
∴＝，
∵GF∥AB，
∴＝＝，
∵AE是BC边上的中线，
∴EB＝EC，
∴＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是三角形的重心的概念、平行线分线段成比例定理，掌握重心到顶点的距离是重心到对边中点的距离的2倍是解题的关键．
16．如图，已知正方形ABCD，E为边BC上一个动点（E点不与B、C重合），F为BC延长线上的一个动点，且有BE＝CF，AE交BD于H，连接DF，过F作FG⊥BD于G，连接AG、EG，则下列结论：
①四边形AEFD为菱形；
②AG＝EG；
③当E为BC中点时，tan∠BGE＝；
④当＝时，＝．
其中正确的有 　②③④　．（写出正确结论的序号）

【分析】①可证得四边形AEFD为平行四边形，而AD＜AE，可判断▱AEFD不是菱形；
②如图1，连接CG，分别证得△ADG≌△CDG（SAS），△BEG≌△FCG（SAS），即可判断②；
③如图2，过点E作EK⊥BD于点K，设正方形ABCD的边长为a，利用正方形和等腰直角三角形性质可求得EK、GK，再根据三角函数定义即可判断③；
④设正方形ABCD的边长为a，可证得△ADH∽△EBH，得出＝＝＝，进而可得＝＝＝，＝＝，＝×＝×＝；即可判断④．
解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝BC，AD∥BC，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝EC+CF，
即BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
在Rt△ABE中，AB＜AE，
∴AD＜AE，
∴▱AEFD不是菱形；故①错误；
②如图1，连接CG，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADB＝∠CDB＝∠EBG＝45°，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴AG＝CG，
∵FG⊥BD，
∴∠BGF＝90°，
∵∠FBG＝45°，
∴△BFG是等腰直角三角形，
∴BG＝FG，∠CFG＝∠EBG＝45°，
在△BEG和△FCG中，
，
∴△BEG≌△FCG（SAS），
∴EG＝CG，
∴AG＝EG；故②正确；
③如图2，过点E作EK⊥BD于点K，

设正方形ABCD的边长为a，则AB＝BC＝a，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CF＝a，
∴BF＝BC+CF＝a+a＝a，
∵△BFG是等腰直角三角形，
∴BG＝FG•cos∠FBG＝a•cos45°＝a，
∵EK⊥BD，
∴∠BKE＝∠EKG＝90°，
∴EK＝BK＝BE•cos∠FBG＝a•cos45°＝a，
∴GK＝BG﹣BK＝a﹣a＝a，
∴tan∠BGE＝＝＝；故③正确；
④设正方形ABCD的边长为a，则BD＝a，
∵＝，
∴BE＝CF＝a，

∴BF＝BC+CF＝a+a＝a，
∵△BFG是等腰直角三角形，
∴BG＝BF＝×a＝a，
∵AD∥BC，
∴△ADH∽△EBH，
∴＝＝＝，
∴BH＝BD＝×a＝a，
∴HG＝BG﹣BH＝a﹣a＝a，
∴＝＝＝，＝＝，
∴＝×＝×＝；故④正确；
故答案为：②③④．
【点评】本题是正方形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角函数定义，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形面积等，熟练掌握全等三角形的判定和性质及相似三角形的判定和性质是解题关键．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．计算：（﹣）﹣1+|﹣3|﹣（2sin60°﹣3）0+4cos45°．
【分析】先计算负整数指数幂、绝对值、零次幂、特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．
解：（﹣）﹣1+|﹣3|﹣（2sin60°﹣3）0+4cos45°
＝﹣2+3﹣2﹣1+4×
＝﹣2+3﹣2﹣1+2
＝0．
【点评】此题考查了负整数指数幂、绝对值、零次幂、特殊角的三角函数值的混合运算能力，关键是能确定正确的运算顺序，并能进行正确运算．
18．解方程：x2﹣6x+1＝0．
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．
解：∵x2﹣6x＝﹣1，
∴x2﹣6x+9＝﹣1+9，即（x﹣3）2＝8，
则x﹣3＝，
∴x＝3．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
19．国家的“双减”政策要求教师注重作业的设计与布置，为了更好落实国家的“双减”政策，某学校七年级为学生设计了丰富多彩的寒假实践作业，作业由两类7项组成，供学生自主选择完成．
A类：创作微视频，内容可从以下四方面选择：a1：一道（类）题的解法研究，a2：读数学类书籍的心得分享；a3：魔术与数学；a4：某个数学知识的探究．B类：创作手抄报，内容可以从以下3个方面选择：b1：绘制七年级上章节思维导图：b2：数学家的故事；b3：数学知识发展史．
同学们可以从以上7项作业中任选一项或两项来完成，请回答下列问题：
（1）小明准备随机选择一项去完成，则他选择a3：魔术与数学的概率为 　　；
（2）小丽准备从A、B两类中分别随机选择一项完成，求小丽最终选择完成a2和b3两项作业的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出小丽最终选择完成a2和b3两项作业的结果数，然后根据概率公式求解．
解：（1）小明准备随机选择一项去完成，则他选择a3：魔术与数学的概率＝；
故答案为：；
（2）画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中小丽最终选择完成a2和b3两项作业的结果数为1，
所以小丽最终选择完成a2和b3两项作业的概率＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果，再从中选出符合事件A或B的结果数目，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
20．如图，两座建筑物AB和DC的水平距离BC为24米，从点A测得点D的俯角α＝30°，测得点C的俯角β＝60°，求这两座建筑物的高．（答案保留根号）

【分析】在直角△ABC和直角△ADE中，根据BC可以求得AB、DE的长，根据AB、DE可以求得CD的长，即可解题．
解：延长CD至E，作AE⊥CE，则四边形ABCE是矩形，

∴AE∥BC，AE＝BC，AB＝CE，∠ACB＝∠CAE＝60，
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝60°，
∴tan60°＝∴AB＝BC＝24 （米），
在Rt△AED中，DE＝AE•tanα＝8 （米），
∴CD＝CE﹣DE＝AB﹣DE＝16 （米）．
【点评】本题考查了解直角三角形中仰角俯角的问题，特殊角的三角函数值，本题中求DE的长是解题的关键．
21．关于x的一元二次方程x2+（k﹣5）x+1﹣k＝0，其中k为常数．
（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）若原方程的一根大于3，另一根小于3，求k的最大整数值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝（k﹣3）2+12＞0，由此可证出：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）由方程两根的范围可得出抛物线y＝x2+（k﹣5）x+1﹣k与x轴的两交点位于（3，0）的两侧，结合抛物线的开口方程可得出当x＝3时y＜0，进而可得出关于k的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．
解：（1）∵a＝1，b＝k﹣5，c＝1﹣k，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（k﹣5）2﹣4×1×（1﹣k）＝k2﹣6k+21＝（k﹣3）2+12．
∵（k﹣3）2≥0，
∴（k﹣3）2+12＞0，即Δ＞0，
∴无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）∵方程x2+（k﹣5）x+1﹣k＝0的一根大于3，另一根小于3，
∴抛物线y＝x2+（k﹣5）x+1﹣k与x轴的两交点位于（3，0）的两侧．
∵a＝1＞0，
∴当x＝3时，y＜0，即9+3（k﹣5）+1﹣k＜0，
∴2k﹣5＜0，
解得：k＜，
∴k的最大整数值为2．
【点评】本题考查了根的判别式、抛物线与x轴的交点以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征找出关于k的一元一次不等式．
22．如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．
（1）尺规作图：在边AB上确定一点D，使∠ADC＝2∠B（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）；
（2）在（1）的条件下，若∠B＝15°，∠ACB＝105°，CD＝3，AC＝，求△ABC的面积．

【分析】（1）作线段BC的垂直平分线交AB于点D，连接CD，点D即为所求；
（2）根点C作CH⊥AB于点H，求出AB，CH可得结论．
解：（1）如图，点D即为所求；

（2）过点C作CH⊥AB于点H．
∵点D在BC的垂直平分线上，
∴DC＝DB，
∴∠B＝∠DCB＝15°，
∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝30°，
∵∠ACB＝105°，
∴∠ACD＝90°，
∵CD＝，
∴AC＝CD•tan30°＝1，
∴AD＝2AC＝2，CH＝CD＝，
∵AB＝AD+BD＝2+，
∴S△ABC＝•AB•CH＝×（2+）×＝+．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23．某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系y＝﹣80x+560，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他各项费用80元．
（1）如果每天获得160元的利润，销售单价为多少元？
（2）设每天的利润为w元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）根据每天获得160元的利润，列出关于x的一元二次方程并求解，再结合3.5≤x≤5.5即可求解；
（2）根据每天的利润＝每天每袋的利润×销售量﹣每天需支付的其他各项费用，列出w关于x的二次函数解析式，再根据二次函数的性质求解即可．
解：（1）由题意得：（x﹣3）（﹣80x+560）﹣80＝160，
整理，得x2﹣10x+24＝0，
解得：x1＝4，x2＝6，
∵3.5≤x≤5.5，
∴x＝4，
∴如果每天获得160元的利润，销售单价为4元；
（2）由题意得：w＝（x﹣3）（﹣80x+560）﹣80
＝﹣80x2+800x﹣1760
＝﹣80（x﹣5）2+240，
∵3.5≤x≤5.5，
∴当x＝5时，w有最大值为240．
∴当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是240元．
【点评】本题考查了一元二次方程与二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
24．如图1，直线AB与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C在x轴负半轴上，这三个点的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C（﹣1，0）．
（1）请求出直线AB的解析式；
（2）连接BC，若点E是线段AC上的一个动点（不与A，C重合），过点E作EF∥BC交AB于点F，当△BEF的面积是，求点E的坐标；
（3）如图2，将点B向右平移1个单位长度得到点D，在x轴上存在动点P，若∠DCO+∠DPO＝∠α，当tan∠α＝4时，请直接写出点P的坐标．


【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）先求出点F坐标，由面积的和差关系可求解；
（3）先求出tan∠BCO＝，再分两种情况讨论，由锐角三角函数可求NP＝18，即可求解．
解：（1）∵直线AB经过点B（0，4），
∴设直线AB的解析式为y＝kx+4，
把A（4，0）代入上式，得：4k+4＝0，
解得k＝﹣1，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4；
（2）设点E（m，0），
∵直线BC表达式中的k值为4，EF∥BC，
∴设直线EF的表达式为：y＝4x+n，
将点E坐标代入上式并解得：0＝4m+n，
∴n＝﹣4m，
∴直线EF的表达式为：y＝4x﹣4m，
∴﹣x+4＝4x﹣4m，
解得：x＝（m+1），把x的值代入y＝﹣x+4，得：y＝，
∴点F坐标为（m+，），
S△BEF＝S△OAB﹣S△OBE﹣S△AEF＝×4×4﹣×4m﹣（4﹣m）×＝，
解得：m＝，
∴点E坐标为（，0）；
（3）如图，连接BD，过点D作DN⊥AO于N，过点B作BH⊥CD于H，

∵B（0，4），C（﹣1，0），
∴OB＝4，OC＝1，
∴tan∠BCO＝＝4，BC＝＝＝，
∵tan∠α＝4，
∴∠α＝∠BCO，
∴∠DCO+∠DPO＝∠α＝∠BCO＝∠BCD+∠DPO，
∴∠BCD＝∠DPO，
∵将点B向右平移1个单位长度得到点D，
∴BD＝1＝CO，BD∥CO，点D（1，4），
∴DN＝4，
∵C（﹣1，0），D（1，4），
∴CD＝＝2，
∵S△DBC＝×BD×DH＝×CD×BH，
∴1×4＝2×BH，
∴BH＝，
∴CH＝＝＝，
∴tan∠BCO＝＝＝，
当点P在点A的右侧时，tan∠DPO＝＝，
∴，
∴NP＝18，
∴OP＝19，
∴点P（19，0），
当点P'在点C的左侧时，tan∠DP'O＝＝，
∴NP＝18，
∴OP＝17，
∴点P（﹣17，0），
综上所述：点P坐标为（19，0）或（﹣17，0）．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，三角形面积公式，平移的性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
25．已知，四边形ABCD是矩形，AD＞AB，E、F、G分别是AB、BC、AD上的点，，．

（1）当n＝1，DE⊥EF．
①如图1，求证：；
②如图2，连接DF，若CF＝2AG，求；
（2）如图3，，AD＝2AB＝10，∠GEF＝45°，直接写出△EFG面积的最小值．

【分析】（1）①根据矩形的性质可得∠A＝∠B＝90°，∠AED+∠ADE＝90°，根据DE⊥EF，可得出∠AED+∠BEF＝90°，从而得到∠ADE＝∠BEF，即可证明△ADE∽△BEF，根据相似三角形的性质即可证明；
②根据相似三角形的判定得出△AEG∽△CDF，根据相似三角形的性质可得∠AGE＝∠CFD，可得AD∥BC，证明△AED∽△EFD，可得∠ADE＝∠EDF，根据等边对等角可得GD＝GE，即可求得＝2；
（2）过点G作GT⊥EF于点T，设AG＝x，EF＝y，设△EFG的面积为s，过E作EM⊥EG，过点F作MF⊥EM，EM交BC于点N，根据已知条件表示出EG，根据（1）的结论可得△AEG∽△BNE，根据相似三角形的性质可得EN，进而证明△MNF∽△AEG，根据相似三角形的性质可得方程，整理方程，根据方程存在解，根据判别式列出不等式，解不等式求解即可．
【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴∠AED+∠ADE＝90°，
∵DE⊥EF，
∴∠AED+∠BEF＝90°，
∴∠ADE＝∠BEF，
∴△ADE∽△BEF，
∴；
②解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD，AD∥BC，
∵n＝1，AE＝BE，
∴，
∵CF＝2AG，
∴，
∴，
∵∠A＝∠C，
∴△AEG∽△CDF，
∴∠AGE＝∠CFD，
∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠CFD，
∴∠AGE＝∠ADF，
∴GE∥DF，
∴∠GED＝∠EDF，
∵，AE＝BE，
∴，
∵∠A＝∠DEF，
∴△AED∽△EFD，
∴∠ADE＝∠EDF，
∴∠GDE＝∠GED，
∴GD＝GE，
∴，
即＝2；
（2）解：如图，

过点G作GT⊥EF于点T，
设AG＝x，EF＝y，设△EFG的面积为s，
则，
∵∠GEF＝45°，
∴∠1＝∠2＝45°，
∴GT＝ET，GT＝EG，
∴，
过E作EM⊥EG，过点F作MF⊥EM，EM交BC于点N，
则△EFM是等腰直角三角形，
∴ME＝MF＝EF＝y，
∵AD＝2AB＝10，∠GEF＝45°，，
∴AE＝2，BE＝3，
∴EG＝，
∵∠GEN＝90°，
根据（1）的结论可得△AEG∽△BNE，
∴，∠AEG＝∠BNE，
∴，
∴EN＝，
∴MN＝ME﹣EN＝，
∵∠MNF＝∠BNE，
∴∠MNF＝∠AEG，
∵∠A＝∠M＝90°，
∴△MNF∽△AEG，
∴，
即，
∴y＝，
∵s＝，EG＝，
∴s＝，
整理得：3x2﹣2sx+4s+12＝0，
∵Δ≥0，
即，
∴或，
∵s＞0，
解得：s≥6+6，
∴s的最小值为6+6，
即△EFG的面积最小值为6+6．
【点评】此题考查四边形综合题，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的判别式，矩形的性质，勾股定理，灵活应用相似三角形的判定和性质是解题关键．