广西大学附属中学2022-2023学年上学期九年级期中数学试卷(含答案)

2022-2023学年广西大学附中九年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3. 下列事件中，属于必然事件的是(    )

A. 任意购买一张电影票，座位号是奇数
B. 明天晚上会看到太阳
C. 五个人分成四组，这四组中有一组必有人
D. 三天内一定会下雨

4. 如图，将绕着点顺时针旋转，得到，若，，则旋转角度是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的抛物线解析式为(    )

A.  B.
C.  D.

6. 已知反比例函数，下列结论中不正确的是(    )

A. 图象经过点 B. 图象在第一、三象限
C. 当时， D. 当时，随着的增大而增大

7. 某校劳动社团种植一批小树苗，若每人种棵则余棵；若每人种棵则差棵．设该社团有名学生，则可列方程(    )

A.  B.
C.  D.

8. 如图，、、是的切线，切点分别为、、，若，，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

9. 定义运算：例如：则方程的根的情况为(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 只有一个实数根

10. 如图，在中，，，分别以点，，为圆心，的长为半径画弧，与该三角形的边相交，则图中阴影部分的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是，小正方形面积是，则(    )
     

A.  B.  C.  D.

12. 已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一直角坐标系中的图象可能是(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）

13. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是______．
14. 的半径为，点到圆心的距离是，则点与的位置关系是______．
15. 如图是反比例函数在第二象限内的图象，若图中的矩形的面积为，则等于______．

16. 如图是一位同学用激光笔测量某古城墙高度的示意图．点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好到古城墙的顶端处，若，，测得，，，则该古城墙的高度是______

17. 一个圆锥的底面半径为，母线长为，则它的侧面展开图的圆心角的度数是______．
18. 如图，抛物线与轴交于、两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最小值是______ ．

三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）

19. 计算：．
20. 解方程：．

四、解答题（本大题共6小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21. 本小题分
    如图，有一个残缺圆，请作出残缺圆的圆心保留作图痕迹，不写作法．
    
    如图，设是该残缺圆的直径，是圆上一点，的角平分线交于点，过作的切线交的延长线于点．
    求证：；
    若，，求残缺圆的半径．
22. 本小题分
    某校八年级甲、乙两班各有学生人，为了了解这两个班学生身体素质情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．
    收集数据从甲、乙两个班各随机抽取名学生进行身体素质测试，测试成绩百分制如下：

整理描述数据按如下分数段整理、描述这两组样本数据：

在表中：______，______．
分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：

在表中：______，______．
若规定测试成绩在分含分以上的学生身体素质为优秀，请估计乙班名学生中身体素质为优秀的学生有______人．
现从甲班指定的名学生男女，乙班指定的名学生男女中分别抽取名学生去参加上级部门组织的身体素质测试，用树状图和列表法求抽到的名同学是男的概率．

23. 本小题分
    月重庆市巴南区某景区红枫烂漫，迎来大量游客观赏．为了落实防疫要求，景区计划在西门和东门之间修建一条笔直的专用通道其中在的正东方向上已知通道的一侧有一个半径为米的圆形湖泊，湖泊正中央是多彩喷泉，在通道上的有个观景台，经测得喷泉在观景台的北偏东方向上，从观景台向东走米到达凉亭处，此时测得喷泉正好在凉亭的东北方向上．
    参考数据：，，
    求观景台与多彩喷泉之间的距离是多少米？
    为了不破坏湖泊，修建的通道是否需要改变线路？请说明理由．

24. 本小题分
    “玫瑰香”葡萄品种是农科院研制的优质新品种，在被广泛种植，某葡萄种植基地年种植亩，到年的种植面积达到亩．
    求该基地这两年“玫瑰香”种植面积的平均增长率．
    某超市调查发现，当“玫瑰香”的售价为元千克时，每周能售出千克，售价每上涨元，每周销售量减少千克，已知该超市“玫瑰香”的进价为元千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过元．若使销售“玫瑰香”每周获利元，则售价应上涨多少元？
25. 本小题分
    如图，两个等腰直角和中，．
    观察猜想如图，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______．
    探究证明把绕直角顶点旋转到图的位置，中的结论还成立吗？说明理由；
    拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，当、、三点在同一直线上时，请直接写出的长．
     
26. 本小题分
    如图，抛物线与坐标轴分别交于，，三点，是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为．
    ，，三点的坐标为______，______，______．
    连接，交线段于点，
    当与轴平行时，求的值；
    当与轴不平行时，求的最大值；
    连接，是否存在点，使得，若存在，求的值，若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B.是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C.是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D.是一元二次方程，故本选项符合题意；
故选：．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义的内容是解此题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：从左面看易得是一个正方形，正方形的右上角有一个被遮挡的正方形，所以有两条边需要化成虚线．
故选：．
找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
本题考查简单组合体的三视图．
 

3.【答案】 

【解析】分析
根据事件发生的可能性判断相应事件的类型即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
详解
解：任意购买一张电影票，座位号是奇数是随机事件；
B.明天晚上会看到太阳是不可能事件；
C.五个人分成四组，这四组中有一组必有人是必然事件；
D.三天内一定会下雨是随机事件．
故选C．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，
，
将绕着点顺时针旋转，得到，
旋转角为，
故选：．
由旋转的性质可得旋转角为．
本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
平移后的解析式为：，
即：．
故选：．
根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查反比例函数的性质，当时，函数图象在第一、三象限，在每个象限内，的值随的值的增大而减小．
根据反比例函数的性质，利用排除法求解．
【解答】
解：、，，图象经过点，正确；
B、，图象在第一、三象限，正确；
C、，图象在第一象限内随的增大而减小，当时，，正确；
D、应为当时，随着的增大而减小，错误．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：设该社团有名学生，
由每人植棵树，则余棵树，可知树的总棵数为：，
由每人植棵树，则差棵树，可知树的总棵数为：，
故，
故选：．
根据若每人植棵树．则余棵树；若每人植棵树，则差棵树，即可列出相应的方程．
本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是找出题目中的等量关系，列出相应的方程．
 

8.【答案】 

【解析】解：、是的切线，
，
，
，
、是的切线，
，
故选：．
先根据切线长定理求出，进而求出，再根据切线长定理解答即可．
本题考查的是切线长定理，根据切线长定理得出、是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意可知：，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
根据新定义运算法则以及根的判别式即可求出答案．
本题考查根的判别式，解题的关键是正确理解新定义运算法则，本题属于基础题型．
 

10.【答案】 

【解析】解：作于点，

，，
，
，
．
故选：．
根据图中阴影部分的面积的面积以的长为半径的半圆的面积，计算即可．
本题考查的是扇形面积计算、等腰三角形的性质，明确阴影部分的面积的面积以的长为半径的半圆的面积是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了锐角三角函数的定义，正方形的面积，难度适中．
根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为，小正方形的边长为，再根据直角三角形的边角关系列式即可求解．
【解答】
解：大正方形的面积是，小正方形的面积是，
大正方形的边长为，小正方形的边长为，
，
，
．
故选：．  

12.【答案】 

【解析】解：反比例函数的图象在一、三象限，
，
A、二次函数图象开口向上，对称轴在轴右侧，交轴的负半轴，
，，，
一次函数图象应该过第一、二、四象限，A错误；
B、二次函数图象开口向下，对称轴在轴右侧，
，，
与矛盾，B错误；
C、二次函数图象开口向下，对称轴在轴右侧，
，，
与矛盾，C错误；
D、二次函数图象开口向上，对称轴在轴右侧，交轴的负半轴，
，，，
一次函数图象应该过第一、二、四象限，D正确．
故选：．
根据反比例函数的图象得出，逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与轴的关系，抛物线与轴的交点，即可得出、、的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，根据函数图象与系数的关系进行判断是解题的关键，同时考查了数形结合的思想．
 

13.【答案】 

【解析】解：点关于原点的对称点的坐标为：．
故答案为：．
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是，进而得出答案．
此题主要考查了原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．
 

14.【答案】点在外 

【解析】解：的半径，且点到圆心的距离，
，
点在外，
故答案为：点在外．
根据的半径，且点到圆心的距离知，据此可得答案．
本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有种．设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内．
 

15.【答案】 

【解析】解：因为反比例函数，且矩形的面积为，
所以，即，
又反比例函数的图象在第二象限内，，
所以．
故答案为：．
过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积是个定值，再由反比例的函数图象所在象限确定出的值．
本题考查了反比例函数比例系数的几何意义：在反比例函数的图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，
，，
，
∽，
，
，
，
该古城墙的高度是，
故答案为：．
根据题意可得，根据垂直定义可得，从而可证∽，然后利用相似三角形的性质，进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：圆锥的底面周长是：，
设圆心角的度数是，则，
解得：．
故侧面展开图的圆心角的度数是．
故答案是：．
首先求得圆锥的底面周长，即扇形的弧长，然后根据弧长的计算公式即可求得圆心角的度数．
正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
 

18.【答案】 

【解析】解：连接，如图，
当时，，解得，，则，，
是线段的中点，
为的中位线，
，
当最小时，最小，
连接交圆于时，最小，
，
的最小值，
线段的最小值为．
故答案为．
连接，如图，先解方程得，，再判断为的中位线得到，利用点与圆的位置关系，连接交圆于时，最小，然后计算出的最小值即可得到线段的最小值．
本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了三角形中位线．
 

19.【答案】解：



． 

【解析】先算乘方，再算乘除法，最后算加法即可．
本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的运算顺序和运算法则．
 

20.【答案】解：分解因式得：，
可得或，
解得：，． 

【解析】方程利用因式分解法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

21.【答案】解：在残圆上分别取、、三点，连接、，
再分别作与的垂直平分线，两直线的交点即为所求的圆心；
证明：连接，
是圆的切线，
，
，
，
平分，
，
，
，
；
解：是圆的直径，
，
，
，，
四边形是矩形，
，，
是的中点，
是的中点，
，
，
，
，
残缺圆的半径为． 

【解析】在残圆上分别取、、三点，连接、，再分别作与的垂直平分线，两直线的交点即为所求的圆心；
根据已知求得，即可证明；
由已知分别得到四边形是矩形，是的中点，再用勾股定理求出的长即可求解．
本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆的切线性质，直角三角形的勾股定理，矩形的判定及性质是解题的关键．
 

22.【答案】         

【解析】解：由收集的数据可知：，；
故答案为：，
甲班的成绩从小到大排列为：，，，，，，，，，，
所以甲班成绩的中位数为：，
甲班成绩的中位数为：，
乙班成绩出现的次数最多，所以乙班成绩的中位数是，
故答案为：，；
估计乙班名学生中身体素质为优秀的学生有：
人，
故答案为：；
列表如下：

由表可知，共有种等可能的结果，其中抽到名同学是男的有种可能的结果，
抽到的名同学是男的概率为：．
由收集的数据即可得；
根据众数和中位数的定义求解可得；
用总人数乘以乙班样本中优秀人数所占比例可得；
列表得出所有可能的结果，利用概率公式求解可得．
本题考查了众数、中位数以及样本估计总体，用列表或画树状图法求概率，熟练掌握众数、中位数以及用样本估计总体是解题的关键．
 

23.【答案】解：过点作于点，

由题意得，，，米，
设米，
在中，，
解得，
米，
在中，，
解得，
，
解得，
观景台与多彩喷泉之间的距离约为米．
为了不破坏湖泊，修建的通道不需要改变线路，理由如下：
由可知，米，
米米，
喷泉到道路的距离大于圆形湖泊的半径，道路与圆形湖泊所在的圆相离，
修建的通道不需要改变线路． 

【解析】过点作于点，设米，在中，可得米，则米，在中，，求出的值，再利用即可求出的值．
比较的长与米即可求解．
本题考查解直角三角形的应用方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
 

24.【答案】解：设该基地这两年“玫瑰香”种植面积的平均增长率为，
依题意，得，
解得：，不合题意，舍去．
答：该基地这两年“玫瑰香”种植面积的平均增长率为；
设售价应上涨元，则每天可售出千克，
依题意，得，
整理，得，
解得，．
该水果售价不能超过元，
符合题意．
答：售价应上涨元． 

【解析】设该基地这两年“玫瑰香”种植面积的平均增长率为，根据该基地年及年“玫瑰香”的种植面积，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
设售价应上涨元，则每天可售出千克，根据总利润每千克的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

25.【答案】解：；；
成立；
理由：如图中，延长交于，交于．

，
，
，，，
，
，，
，，
，
，即．
满足条件的的值为或． 

【解析】

【分析】
本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
延长交于只要证明即可；
结论不变．延长交于，交于只要证明即可；
分两种情形分别求解即可解决问题．
【解答】
解：如图中，延长交于．

，，，
，
，，
，，
，
，即，
故答案为，．
见答案；
当射线在直线的上方时，作于．

，，，
，，
在中，，，
，
．
当射线在直线的下方时，作于．

同法可得：，故AD，
综上所述，满足条件的的值为或．  

26.【答案】     

【解析】解：令，则，
；
令，则，
或，
，．
故答案为：；；．
轴，，
，
，，
轴，
．
如图，过点作交于点，

直线的解析式为：．
设点的横坐标为，
则，．
，
，
，
当时，的最大值为．
另解：分别过点，作轴的平行线，交直线于两点，仿照以上解法即可求解．
假设存在点使得，即．
过点作轴交抛物线于点，

，，
，
延长交轴于点，
轴，
，
，
为等腰三角形，
，
，，
，
直线的解析式为：，
令，
解得或舍，
存在点满足题意，此时．
令，则，令，则，所以或，由此可得结论；
由题意可知，，所以，，由平行线分线段成比例可知，．
过点作交于点，所以直线的解析式为：设点的横坐标为，则，所以，因为，所以，由二次函数的性质可得结论；
假设存在点使得，即过点作轴交抛物线于点，由，可知平分，延长交轴于点，易证为等腰三角形，所以，所以直线的解析式为：，令，可得结论．
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行线分线段成比例，角度的存在性等相关内容，解本题的关键是求抛物线解析式，确定点的坐标．