2023苏州吴江汾湖高级中学高二上学期9月教学调研测试数学试题含解析

2022-2023学年第一学期汾湖高级中学九月教学调研测试

高二数学试卷

2022.09

一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 在等差数列中，，，则值是（    ）

A. 9 B. 11 C. 13 D. 15

3. 记为等差数列的前n项和．已知，则

A  B.  C.  D.

4. 已知等比数列的前项和为，若，，则的值是（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 若是等比数列中的项，且不等式的解集是，则的值是（   ）

A.  B.  C.  D.

6. 若直线经过、两点，则直线的倾斜角的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 三个实数成等差数列，首项是，若将第二项加、第三项加可使得这三个数依次构成等比数列，则的所有取值中的最小值是（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知数列满足，且，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. （多选题）已知A(m，3)，B(2m，m+4)，C(m+1，2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为（    ）

A. 1 B. 0 C. 2 D. -1

10. 已知等差数列的前项和为，公差为，且，，则（    ）．

A.  B.  C.  D.

11. 在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是　　

A.

B. 数列是等比数列

C.

D. 数列是公差为2的等差数列

12. 等差数列是递增数列，满足，前项和为，下列选项正确的是（    ）

A  B.

C. 当时最小 D. 时的最小值为

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 在等比数列中，若，，则数列的公比为___________.

14. 已知等比数列中，各项都是正数，且，，成等差__________．

15. 若A(a，0)，B(0，b)，C(，)三点共线，则________.

16. 已知数列满足：，，，，则______．

四､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知点，在坐标轴上求一点P，使直线PA的倾斜角为60°.

18. 在递增的等比数列中，已知，.

（1）求等比数列的前和；

（2）若数列满足：，求数列的前和.

19. 已知直线经过点、，直线经过点､，

（1）若，求的值；

（2）若的倾斜角为锐角，求的取值范围.

20. 已知数列的前n项和为.

（1）求数列的通项公式；

（2） 求数列的前n项和.

21. 已知数列的各项均为正数，其前项和，．

（1）求数列通项公式；

（2）设，求数列的前项的和．

22. 已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）设是首项为1，公比为3等比数列，

①求数列的前项和；

②若不等式对一切恒成立，求实数的最大值.

2022-2023学年第一学期汾湖高级中学九月教学调研测试

高二数学试卷

2022.09

一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】求得倾斜角的正切值即得．

【详解】k=tan120°=.

故选：B．

2. 在等差数列中，，，则的值是（    ）

A. 9 B. 11 C. 13 D. 15

【答案】B

【解析】

【分析】

根据等差数列的性质计算．

【详解】∵是等差数列，∴，，，，

∴．

故选：B．

【点睛】本题考查等差数列的性质，利用等差数列的性质解题方便快捷．本题也可利用等差数列的基本量法求解．

3. 记为等差数列的前n项和．已知，则

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B，，，排除B，对C，，排除C．对D，，排除D，故选A．

【详解】由题知，，解得，∴，故选A．

【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．

4. 已知等比数列的前项和为，若，，则的值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用等比数列片段和性质可求得的值.

【详解】由等比数列片段和的性质可知，、、成等比数列，

所以，，即，解得.

故选：C.

5. 若是等比数列中的项，且不等式的解集是，则的值是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定的条件，结合韦达定理求出，再利用等比数列的性质计算作答.

【详解】因不等式的解集是，则是方程的两根，

有，即有，

而是等比数列中的项，则，且，

所以.

故选：C

6. 若直线经过、两点，则直线的倾斜角的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】计算出的取值范围，结合角的取值范围可求得结果.

【详解】由题意可得，又因为，故.

故选：C.

7. 三个实数成等差数列，首项是，若将第二项加、第三项加可使得这三个数依次构成等比数列，则的所有取值中的最小值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】设原来的三个数为、、，根据题意可得出关于的等式，解出的值，即可得解.

【详解】设原来的三个数为、、，

由题意可知，，，，且，

所以，，即，解得或.

则的所有取值中的最小值是.

故选：D.

8. 已知数列满足，且，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由可得，从而得数列以为首项，2为公比等比数列，根据，可化为，从而即可求得答案.

【详解】由可得，

若，则，与题中条件矛盾，故，

所以，即数列是以为首项，2为公比的等比数列，

所以，所以

，所以，

故选：A．

二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. （多选题）已知A(m，3)，B(2m，m+4)，C(m+1，2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为（    ）

A. 1 B. 0 C. 2 D. -1

【答案】AB

【解析】

【分析】先分析直线斜率不存在时，即时，直线与直线是否平行，再分析当，两直线的斜率相等，求出，得到答案.

【详解】（1）当时，直线，，故直线AB与直线CD平行；

（2）当时，直线的斜率为，的斜率为，

则，得，此时直线的方程为：，的方程为，

 直线AB与直线CD平行.

故选：AB.

【点睛】本题考查了已知两点求直线的斜率，两直线平行的应用，注意分类讨论直线斜率是否存在，属于基础题.

10. 已知等差数列的前项和为，公差为，且，，则（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】根据等差数列的性质可求公差和，从而可判断ABCD的正误.

【详解】因为，，故，故A错误，B正确.

而，故C错误，D正确.

故选：BD.

11. 在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是　　

A.

B. 数列是等比数列

C.

D. 数列是公差为2的等差数列

【答案】ABC

【解析】

【分析】由，，，，公比为整数．解得，．可得，，进而判断出结论．

【详解】解：，，，，公比为整数．

解得．

，．

，数列是公比为2的等比数列．

．

．数列是公差为的等差数列．

综上可得：只有ABC正确．

故选：ABC．

12. 等差数列是递增数列，满足，前项和为，下列选项正确的是（    ）

A.  B.

C. 当时最小 D. 时的最小值为

【答案】ABD

【解析】

【分析】设等差数列的公差为，因为，求得，根据数列是递增数列，得到A、B正确；再由前项和公式，结合二次函数和不等式的解法，即可求解．

【详解】解：由题意，设等差数列的公差为，

因为，可得，解得，

又由等差数列是递增数列，可知，则，故A、B正确；

因为，

由可知，当或4时最小，故C错误，

令，解得或，即时的最小值为8，故D正确．

故选：ABD．

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 在等比数列中，若，，则数列的公比为___________.

【答案】##

【解析】

【分析】设等比数列的公比为，利用等比通项公式得到公比，从而得到结果.

【详解】设等比数列的公比为，

则，

∴，

∴数列的公比为，

故答案为：

14. 已知等比数列中，各项都是正数，且，，成等差__________．

【答案】

【解析】

【详解】由题意得

15. 若A(a，0)，B(0，b)，C(，)三点共线，则________.

【答案】

【解析】

【分析】由斜率相等得的关系．

【详解】解析：由题意得，

ab+2(a+b)=0，．

故答案为：．

16. 已知数列满足：，，，，则______．

【答案】81

【解析】

【分析】根据给定条件构造新数列使，计算并探求函数的性质即可得解.

【详解】因当时，，则，

令，，于是有，且，，

因此，，

从而得数列是周期数列，周期为6，而，则，即，

所以.

故答案为：81

四､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知点，在坐标轴上求一点P，使直线PA的倾斜角为60°.

【答案】或.

【解析】

【分析】分类讨论，当点P在x轴上时，设点，利于斜率即可求出，当点P在y轴上时，设点，利用斜率公式可求.

【详解】①当点P在x轴上时，设点.

又，

∴直线PA的斜率又直线PA的倾斜角为，

∴，解得，

∴点P的坐标为.

②当点P在y轴上时，设点，同理可得，

∴点P的坐标为.

故所求点P的坐标为或.

【点睛】本题主要考查了直线的斜率公式，涉及分类讨论思想，属于中档题.

18. 在递增的等比数列中，已知，.

（1）求等比数列的前和；

（2）若数列满足：，求数列的前和.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）求出等比数列的公比和首项，再利用等比数列的求和公式可求得；

（2）求得，利用裂项相消法可求得.

【小问1详解】

解：设等比数列的公比为，则，

由题意可得，则，则，

所以，，.

【小问2详解】

解：由（1），所以，

所以，

所以：.

19. 已知直线经过点、，直线经过点､，

（1）若，求的值；

（2）若的倾斜角为锐角，求的取值范围.

【答案】（1）或   

（2）

【解析】

【分析】（1）分、两种情况讨论，在第一种情况下，直接验证，在第二种情况下，利用斜率关系可得出关于实数等式，解之即可；

（2）由题意可知，直线的斜率为正数，可得出关于实数的不等式，解之即可.

小问1详解】

解：当时，直线的斜率不存在，此时直线的斜率为，满足；

当时，由，设直线、的斜率分别为、，

可得，即，解得，

所以当时，的值是或.

【小问2详解】

解：因为直线经过点､，所以直线的斜率，

又因为直线的倾斜角为锐角，所以，即，

即，解得，故的取值范围是.

20. 已知数列的前n项和为.

（1）求数列的通项公式；

（2） 求数列的前n项和.

【答案】（1），（2）

【解析】

【分析】（1）利用求解数列通项公式；

（2）由（1）由得，然后分和两种情况对化简求解即可

【详解】解：（1）当时，，即，

当时，，

 时，满足上式，

所以

（2）由得，而，

所以当时，，当时，，

当时，，

当时，

，

所以

【点睛】此题考查的关系，考查数列求和的方法，考查分类思想，属于基础题

21. 已知数列的各项均为正数，其前项和，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项的和．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1），先求出，利用和的关系，化简可得出，再根据等差数列的定义可证明数列为等差数列，从而可求数列的通项公式；

（2）数列的前项的和，又，，，是首项为3，公差为2的等差数列，再运用等差数列的前项和公式，即可求得数列的前项的和.

【详解】解：（1）当时，，即或，

因为，所以，

当时，，，

两式相减得：，

又因为，所以，所以，

则数列是首项为2，公差为1的等差数列，

所以.

（2）

，

又，，...，是首项为3，公差为2的等差数列，

所以，

故．

【点睛】本题考查等差数列的通项公式与前项和公式的应用，考查和的关系的应用，以及利用等差数列的定义证明等差数列，考查化简运算能力.

22. 已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）设是首项为1，公比为3的等比数列，

①求数列的前项和；

②若不等式对一切恒成立，求实数的最大值.

【答案】（1）；（2）①；②.

【解析】

【分析】

（1）由可得，再由，，成等比数列可得，解出即可求出通项公式；

（2）①可得，利用错位相减法即可求出；

②不等式对一切恒成立，等价于对一切恒成立，利用单调性求出的最小值即可得出.

【详解】（1），，

，，成等比数列，，即，

联立方程解得，

；

（2）①， ，

，

，

两式相减得

，

.

②由（1），

不等式对一切恒成立，等价于对一切恒成立，

令，则，

是单调递增数列，，

.

【点睛】结论点睛：解决数列问题的常用方法：

（1）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和.

（2）对于数列不等式的恒成立问题，常常构造数列，利用数列的单调性求最值.