2023连云港赣榆智贤中学高二上学期第一次学情检测数学试题含解析

赣榆智贤中学高二年级第一学期第一次学情检测

数学试题

考试范围：直线与圆；考试时间：120分钟；命题人：

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、单选题（每题5分，共40分）

1. 过点且与直线平行的直线方程是（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是（    ）

A.  B.

C.  D.

3. 若圆C与直线和：都相切，且圆心在直线上，则圆C的方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

4. 已知圆（、为正实数）上任意一点关于直线的对称点都在圆上，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 下列说法正确是（    ）

A. 平面内所有的直线方程都可以用斜截式来表示

B 直线与轴的交点到原点的距离为

C. 在轴、轴上的截距分别为，的直线方程为

D. 不能表示经过点且斜率为的直线方程

6. 与圆关于直线对称的圆的方程为，则等于（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

7. 已知圆的方程为，过点的该圆的所有弦中，最短弦的长为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

8. 在唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即认为回到军营，则当“将军饮马”的总路程最短时，将军去往河边饮马的行走路线所在的直线方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

二、多选题（每题5分，共20分）

9. 下列说法正确的是（    ）

A. 直线与直线垂直

B. 过点的直线被圆所截得的弦的长度的最小值为2．

C. 直线与圆的位置关系不确定．

D. 若直线与圆相交，则点在圆外．

10. 设圆的圆心为，直线过，且与圆交于两点，若，则直线的方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

11. 已知圆，直线，则（    ）

A. 圆心坐标为 B. 圆半径为3

C. 直线与圆相交 D. 圆上的点到直线的距离最大值为

12. 已知圆M：，点P是直线l：上一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点分别是A，B，下列说法正确的有（    ）

A. 圆M上恰有一个点到直线l的距离为 B. 切线长PA的最小值为1

C. 四边形AMBP面积的最小值为2 D. 直线AB恒过定点

第II卷（非选择题）

三、填空题（每题5分，共20分）

13. 与圆同时相切的直线有___________条.

14. 若直线与直线相互垂直，则被圆截得弦长为________．

15. 在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与圆的两个交点分别位于不同的象限，则l的斜率的取值范围为______．

16. 过圆O：外一点引直线l与圆O相交于A，B两点，当的面积取得最大值时，直线l的斜率为，则______．

四、解答题

17. 已知中，、、，写出满足下列条件的直线方程．

（1）BC边上的高线的方程；

（2）BC边的垂直平分线的方程．

18. 求满足条件的圆的标准方程：

（1）已知，，以为直径；

（2）圆心为点且与直线相切.

19. 圆的圆心为，且过点．

（1）求圆的标准方程；

（2）直线：与圆交两点，且，求．

20. 已知动圆过定点，且在y轴上截得的弦长为8．

（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；

（2）已知P为轨迹C上的一动点，求点P到直线和y轴的距离之和的最小值．

21. 在以下这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解．

①圆经过点；②圆心在直线上；③圆截y轴所得弦长为8且圆心M的坐标为整数．

已知圆M经过点且_____．

（1）求圆M方程；

（2）求以为中点的弦所在的直线方程．

22. 已知直线与圆.

（1）求证：直线l过定点，并求出此定点坐标；

（2）设O为坐标原点，若直线l与圆C交于M，N两点，且直线OM，ON的斜率分别为，，则是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．

赣榆智贤中学高二年级第一学期第一次学情检测

数学试题

考试范围：直线与圆；考试时间：120分钟；命题人：

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、单选题（每题5分，共40分）

1. 过点且与直线平行的直线方程是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用平行直线的特点先设出待求直线方程，代入所过点可得答案.

【详解】由题意设所求方程为，

因为直线经过点，

所以，即，所以所求直线为.

故选：A.

2. 以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意直接写出圆的标准方程即可.

【详解】以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程为.

故选：B

3. 若圆C与直线和：都相切，且圆心在直线上，则圆C的方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】可设圆心为，由两切线可求，再由点到直线距离可求，进而求得圆C的方程.

【详解】因为圆心在直线上，可设圆心为，又因为圆C与直线和：都相切，两直线间距离为，则半径，

又由圆心到直线距离得，化简得，故，

则圆的标准方程为：.

故选：B

4. 已知圆（、为正实数）上任意一点关于直线的对称点都在圆上，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】分析可知直线过圆心，可得出，利用二次函数的基本性质可求得的最小值.

【详解】圆的圆心坐标为，由题意可知，圆心在直线上，则，

可得，则，由已知可得，可得，

所以，，

当且仅当时，等号成立，故的最小值为.

故选：B.

5. 下列说法正确的是（    ）

A. 平面内所有的直线方程都可以用斜截式来表示

B. 直线与轴的交点到原点的距离为

C. 在轴、轴上的截距分别为，的直线方程为

D. 不能表示经过点且斜率为的直线方程

【答案】D

【解析】

【分析】直接利用直线的倾斜角和斜率的关系及直线的方程判断各选项即可．

【详解】解：对于A：斜率存在的直线的方程可以用斜截式表示，故A错误；

对于B：直线与轴的交点到原点的距离为，故B错误；

对于C：在轴、轴上的截距分别为，且不为0的直线方程为，故C错误；

对于D：由方程可知，，即方程表示不过点且斜率为的直线方程，故D正确；

故选：D．

6. 与圆关于直线对称的圆的方程为，则等于（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】C

【解析】

【分析】先利用两个圆的一般方程得到各自的圆心，通过题意可得两个圆心关于直线对称，即可得到答案

【详解】解：由可得，所以圆心为，

由可得，所以圆心为，

因为与圆关于直线对称的圆的方程为，

所以关于直线对称的点为，且半径相等，

所以与的中点在上，即解得，满足题意，

故选：C

7. 已知圆的方程为，过点的该圆的所有弦中，最短弦的长为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】计算出圆的圆心和半径，设，由几何性质得到当与圆的弦垂直时，弦最短，利用垂径定理求解出最短弦长.

【详解】整理为，故圆心为，半径为，

设，故当与圆的弦垂直时，弦最短，

其中，

由垂径定理得：.

故选：B

8. 在唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即认为回到军营，则当“将军饮马”的总路程最短时，将军去往河边饮马的行走路线所在的直线方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】求圆心C关于直线的对称点B的坐标，结合图形分析可得.

【详解】军营所在区域为，即军营在以为圆心，1为半径的圆内和圆上.

设圆心C关于直线的对称点的坐标为B，

则，解得.

如图，由对称性可知，

所以，当将军去往河边饮马的行走路线所在的直线经过，两点时，“将军饮马”的总路程最短，

因为，所以该直线方程为，即.

故选：B

二、多选题（每题5分，共20分）

9. 下列说法正确的是（    ）

A. 直线与直线垂直

B. 过点的直线被圆所截得的弦的长度的最小值为2．

C. 直线与圆的位置关系不确定．

D. 若直线与圆相交，则点在圆外．

【答案】BD

【解析】

【分析】对于A，判断两直线的斜率的乘积是否为，对于B，过点的直线被圆截得的最短弦为当弦与圆心和点的连线垂直时即可，对于C，先求出直线过的定点，然后再判断即可，对于D，由题意可得，化简可得结论

【详解】对于A，因为直线与直线的斜率分别为，且，所以两直线不垂直，所以A错误，

对于B，圆可化为，圆心，半径为3，当弦与圆心和点的连线垂直时，弦最短，最短弦长为，所以B正确，

对于C，直线化为，所以直线恒过点，因为点在圆内，所以直线与圆必相交，所以C错误，

对于D，因为直线与圆相交，所以，所以，所以点在圆外，所以D正确，

故选：BD

10. 设圆的圆心为，直线过，且与圆交于两点，若，则直线的方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，当直线斜率存在时，设直线方程为：，根据圆心到直线的距离，得到方程，解得即可；

【详解】解：圆，即的圆心为，半径为2，当直线垂直于轴时，直线方程为：，由得或，此时符合题意：当直线斜率存在时，设直线方程为：，即.由，得圆心到直线的距离.故，解得，直线方程为：，即.

故选：AC.

11. 已知圆，直线，则（    ）

A. 圆心坐标为 B. 圆的半径为3

C. 直线与圆相交 D. 圆上的点到直线的距离最大值为

【答案】BCD

【解析】

【分析】把圆方程化为标准方程得圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离可判断直线与圆位置关系，由圆心到直线的距离加半径可得圆上的点到直线距离的最大值．

【详解】转化为标准方程为，故圆心，半径为，故直线与圆相交，圆上的点到直线距离的最大值为.

故选：BCD．

12. 已知圆M：，点P是直线l：上一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点分别是A，B，下列说法正确的有（    ）

A. 圆M上恰有一个点到直线l的距离为 B. 切线长PA的最小值为1

C. 四边形AMBP面积的最小值为2 D. 直线AB恒过定点

【答案】BD

【解析】

【分析】利用圆心到直线的距离可判断A，利用圆的性质可得切线长利用点到直线的距离可判断B，由题可得四边形AMBP面积为，可判断C，由题可知点A，B，在以为直径的圆上，利用两圆方程可得直线AB的方程，即可判断D.

【详解】由圆M：，可知圆心，半径，

∴圆心到直线l：的距离为，圆M上恰有一个点到直线l的距离为，故A错误；

由圆的性质可得切线长，

∴当最小时，有最小值，又，

∴，故B正确；

∵四边形AMBP面积为，

∴四边形AMBP面积的最小值为1，故C错误；

设，由题可知点A，B，在以为直径的圆上，又，

所以，即，

又圆M：，即，

∴直线AB方程为：，即，

由，得，即直线AB恒过定点，故D正确.

故选：BD.

第II卷（非选择题）

三、填空题（每题5分，共20分）

13. 与圆同时相切的直线有___________条.

【答案】

【解析】

【分析】判断两个圆的位置关系，由此确定正确答案.

【详解】圆的圆心为，半径为；

圆的圆心为，半径为；

圆心距，所以两圆相交，公切线有条.

故答案为：

14. 若直线与直线相互垂直，则被圆截得的弦长为________．

【答案】

【解析】

【分析】由两条直线垂直得，再结合几何法求弦长即可得答案.

【详解】解：因为直线与直线相互垂直，

所以，解得，

故，

所以圆心到的距离，

所以所求弦长为．

故答案为：

15. 在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与圆的两个交点分别位于不同的象限，则l的斜率的取值范围为______．

【答案】

【解析】

【分析】由题设，根据圆的方程找到轴线点，应用两点式求与各轴线点连线的斜率，数形结合法判断满足题设情况下直线l的范围.

【详解】记，，，，．

当，即时，两个交点分别位于第一、三象限，满足题意；

当，即时，两个交点分别位于第三、四象限，满足题意；

当时，若直线l与圆有两个交点，则两个交点均在第二象限，不满足题意；

当时，若直线l与圆有两个交点，则两个交点均在第三象限，不满足题意．

综上，或．

故答案为：.

16. 过圆O：外一点引直线l与圆O相交于A，B两点，当的面积取得最大值时，直线l的斜率为，则______．

【答案】##

【解析】

【分析】根据圆的性质，结合三角形面积公式、点到直线的距离公式进行求解即可.

【详解】设，则，当时，的最大值为，此时根据对称性，不妨取直线l的方程为，

因为，，

所以点O到直线l的距离为，所以，解得．

故答案为：

四、解答题

17. 已知中，、、，写出满足下列条件的直线方程．

（1）BC边上的高线的方程；

（2）BC边的垂直平分线的方程．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）BC边上的高线过点A且垂直于BC，由点斜式即可得解；

（2）BC边的垂直平分线过BC中点且垂直于BC，由点斜式即可得解.

【小问1详解】

因为，所以BC边上的高线的斜率 ，

故BC边上的高线的方程为：,

 即所求直线方程为：.

【小问2详解】

因为，所以BC边上的垂直平分线的斜率 ，

又BC的中点为，

故BC边的垂直平分线的方程为：，

即所求直线方程为：.

18. 求满足条件的圆的标准方程：

（1）已知，，以为直径；

（2）圆心为点且与直线相切.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意得到圆心，半径为，即可得到答案.

（2）根据直线与圆的位置关系求解即可.

【小问1详解】

圆心为的中点，半径为，

所以圆的标准方程为.

【小问2详解】

点C到直线的距离为，

所以圆的标准方程为.

19. 圆的圆心为，且过点．

（1）求圆的标准方程；

（2）直线：与圆交两点，且，求．

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】（1）根据两点间的距离公式求得半径，再求标准方程即可；

（2）由题知圆心到直线的距离为，再结合点到直线的距离公式求解即可.

【小问1详解】

解：因为圆的圆心为，且过点,

所以半径，

所以，圆标准方程为

【小问2详解】

解：设圆心到直线的距离为，因为

所以，解得

所以，由圆心到直线距离公式可得．

解得或．

20. 已知动圆过定点，且在y轴上截得的弦长为8．

（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；

（2）已知P为轨迹C上的一动点，求点P到直线和y轴的距离之和的最小值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）设圆心的坐标为，求出半径，再根据弦长结合勾股定理列出等式，化简即可；

（2）画出图形，由图可知的最小值为F到直线的距离，再根据点到直线的距离公式即可得解.

【小问1详解】

解：设圆心的坐标为，

则半径，

又因动圆在y轴上截得的弦长为8，

所以，

化简得，

即动圆圆心的轨迹C的方程为；

【小问2详解】

解：如图，设轨迹C的焦点为F，点P到直线的距离为，到y轴的距离为，F到直线的距离为，

由抛物线定义，可知，

所以，

由图可知的最小值为F到直线的距离，

所以，

所以的最小值为．

21. 在以下这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解．

①圆经过点；②圆心在直线上；③圆截y轴所得弦长为8且圆心M的坐标为整数．

已知圆M经过点且_____．

（1）求圆M的方程；

（2）求以为中点的弦所在的直线方程．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）若选条件①，，将三个点的坐标代入圆的方程，计算即可. 选条件②，设圆的方程为，将两个点的坐标代入圆的方程，将圆心坐标代入直线方程，计算即可. 选条件③．设圆的方程为，将两个点的坐标代入圆的方程，再结合弦长公式，计算即可.

（2）由垂径定理知，过该中点的直径与弦垂直，从而得到其斜率即可.

【小问1详解】

选条件①．设圆的方程为，

由题意得解得

所以圆的方程为，即．

选条件②．设圆的方程为，

由题意得解得

所以圆的方程为，即．

选条件③．设圆的方程为，

由题意得（i）

因圆截轴所得弦长为8，

所以方程有两个不等的实数根，，

且，

即，（ii）

由（i）（ii）可得，，或，，，

又因为圆心的坐标为整数，

所以，，．

故圆方程为，即．

【小问2详解】

由（1）知圆心的坐标为，弦的中点为，

弦的斜率，

所以弦所在的直线方程为，即．

22. 已知直线与圆.

（1）求证：直线l过定点，并求出此定点坐标；

（2）设O为坐标原点，若直线l与圆C交于M，N两点，且直线OM，ON的斜率分别为，，则是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．

【答案】（1）证明见解析，定点   

（2）是定值，定值为

【解析】

【分析】（1）由已知可得根据过定点的直线系方程计算方法可得l恒过定点
（2）设出直线的方程.联立直线与圆的方程，利用韦达定理求解进而即可得结果.

【小问1详解】

由直线得，

联立，解得，

直线l恒过定点.

【小问2详解】

圆的圆心为，半径为，直线过点，

直线l与圆C交于M，N两点，则直线l的斜率存在，设直线l方程为，

联立，得，

设，，则，，

是定值，定值为