【高考真题解密】高考数学真题题源——专题44《导数中的函数零点问题》母题解密（全国通用）

专题44　导数中的函数零点问题

【高考真题】

1．(2022·全国乙文) 已知函数．

(1)当时，求的最大值；

(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．

1．解析　(1)当时，，则，

当时，，单调递增；当时，，单调递减；

所以；

(2)，则，

当时，，所以当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

所以，此时函数无零点，不合题意；

当时，，在上，，单调递增；

在上，，单调递减；

又，由(1)得，即，所以，

当时，，

则存在，使得，所以仅在有唯一零点，符合题意；

当时，，所以单调递增，又，

所以有唯一零点，符合题意；

当时，，在上，，单调递增；

在上，，单调递减；此时，

由（1）得当时，，，所以，

此时

存在，使得，所以在有一个零点，在无零点，

所以有唯一零点，符合题意；

综上，a的取值范围为．

2．(2022·全国乙理) 已知函数

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．

2．解析　(1)的定义域为，当时，，

所以切点为，所以切线斜率为2．

所以曲线在点处的切线方程为．

(2)，

设

若，当，即

所以在上单调递增，．

故在上没有零点，不合题意．

若，当，则．

所以在上单调递增所以，即．

所以在上单调递增，．

故上没有零点，不合题意．

若

(1)当，则，所以在上单调递增．

．所以存在，使得，即．

当单调递减，当单调递增．

所以当，当．

所以在上有唯一零点．又没有零点，即在上有唯一零点．

(2)当．

设，．所以在单调递增．

，所以存在，使得

当单调递减，当单调递增．

，又．

所以存在，使得，即

当单调递增，当单调递减，有

而，所以当．所以在上有唯一零点，上无零点

即在上有唯一零点，所以，符合题意．

所以若在区间各恰有一个零点，求的取值范围为．

3．(2022·新高考Ⅰ)已知函数和有相同的最小值．

(1)求a；

(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．

3．解析　(1)的定义域为R，而，

若，则，此时无最小值，故．

的定义域为，而．

当时，，故在上为减函数，

当时，，故在上为增函数，

故．

当时，，故在上为减函数，

当时，，故在上为增函数，

故．

因为和有相同的最小值，

故，整理得到，其中，

设，则，

故为上的减函数，而，

故的唯一解为，故的解为．

综上，．

(2)由(1)可得和的最小值为．

当时，考虑的解的个数、的解的个数．

设，，

当时，，当时，，

故在上为减函数，在上为增函数，

所以，而，，

设，其中，则，

故在上为增函数，故，

故，故有两个不同的零点，即的解的个数为2．

设，，

当时，，当时，，

故在上为减函数，在上为增函数，

所以，而，，

有两个不同的零点即的解的个数为2．

当，由（1）讨论可得、仅有一个零点，

当时，由（1）讨论可得、均无零点，

故若存在直线与曲线、有三个不同的交点，则．

设，其中，故，

设，，则，

故在上为增函数，故，即，

所以，所以在上为增函数，

而，，

故在上有且只有一个零点，且

当时，即即，

当时，即即，

因此若存在直线与曲线、有三个不同的交点，故，

此时有两个不同的零点，

此时有两个不同的零点，

故，，，．

所以，即，即，

故为方程的解，同理也为方程的解．

又可化为，即，即，

故为方程的解，同理也为方程的解，

所以，而，

故，即．

【方法总结】

1．利用导数求函数零点的常用方法

(1)构造函数g(x)(其中g′(x)易求，且g′(x)＝0可解)，利用导数研究g(x)的性质，结合g(x)的图象，判断函数零点的个数；

(2)利用零点存在性定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图象与性质确定函数零点的个数．

2．求解函数零点(方程根)的个数问题的3步骤

第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题；

第二步：利用导数研究该函数在该区间上单调性、极值(最值)、端点值等性质，进而画出其图象；

第三步：结合图象求解．

3．利用函数零点的情况求参数范围的方法

(1)分离参数(a＝g(x))后，将原问题转化为y＝g(x)的值域(最值)问题或转化为直线y＝a与y＝g(x)的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解；

(2)利用零点的存在性定理构建不等式求解；

(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．

【题型突破】

1．已知函数f(x)＝xex＋ex．

(1)求函数f(x)的单调区间和极值；

(2)讨论函数g(x)＝f(x)－a(a∈R)的零点的个数．

2．设函数f(x)＝ln x＋，m∈R．

(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；

(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数．

3．已知函数f(x)＝x－aln x(a>0)．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)求函数g(x)＝x2－ax－f(x)的零点个数．

4．已知函数f(x)＝ln x－aex＋1(a∈R)．

(1)当a＝1时，讨论f(x)极值点的个数；

(2)讨论函数f(x)的零点个数．

5．函数f(x)＝ex－2ax－a．

(1)讨论函数的极值；

(2)当a＞0时，求函数f(x)的零点个数．

6．已知函数f(x)＝(2－x)ex，g(x)＝a(x－1)2．

(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；

(2)讨论y＝f(x)和y＝g(x)的图象的交点个数．

7．已知函数f(x)＝－2(a∈R)．

(1)若曲线y＝f(x)在点处的切线经过坐标原点，求实数a；

(2)当a>0时，判断函数f(x)在x∈(0，π)上的零点个数，并说明理由．

8．已知函数f(x)＝xsin x＋cos x，g(x)＝x2＋4．

(1)讨论f(x)在[－π，π]上的单调性；

(2)令h(x)＝g(x)－4f(x)，试证明h(x)在R上有且仅有三个零点．

9．(2018·全国Ⅱ)已知函数f(x)＝x3－a(x2＋x＋1)．

(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；

(2)证明：f(x)只有一个零点．

10．(2021·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax2＋b．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)从下面两个条件中选一个，证明：f(x)有一个零点．①＜a≤，b＞2a；②0＜a＜，b≤2a．

11．(2020·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ex－a(x＋2)．

(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．

12．(2021·全国甲)已知a>0且a≠1，函数f(x)＝(x>0)．

(1)当a＝2时，求f(x)的单调区间；

(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围．

13．已知f(x)＝x3＋x2＋2x，f′(x)是f(x)的导函数．

(1)求f(x)的极值；

(2)令g(x)＝f′(x)＋kex－1，若y＝g(x)的函数图象与x轴有三个不同的交点，求实数k的取值范围．

14．已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax2＋b＋．

(1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间；

(2)当a＝时，f(x)的图象与直线y＝bx有3个交点，求b的取值范围．

15．已知函数f(x)＝ex(ax＋1)，曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝bx－e．

(1)求a，b的值；

(2)若函数g(x)＝f(x)－3ex－m有两个零点，求实数m的取值范围．

16．设函数f(x)＝－x2＋ax＋ln x(a∈R)．

(1)当a＝－1时，求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)在上有两个零点，求实数a的取值范围．

17．已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2ln x．

(1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性；

(2)若方程f(x)＝g(x)在区间[，e]上有两个不等的解，求实数a的取值范围．

18．(2021·浙江卷节选)设a，b为实数，且a>1，函数f(x)＝ax－bx＋e2(x∈R)．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若对任意b>2e2，函数f(x)有两个不同的零点，求a的取值范围．

19．设函数f(x)＝ex－ax－2．

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若a＝1，k为整数，且当x>0时，(x－k)·f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值．

20．已知函数f(x)＝ex＋(a－e)x－ax2．

(1)当a＝0时，求函数f(x)的极值；

(2)若函数f(x)在区间(0，1)内存在零点，求实数a的取值范围．