2022-2023学年北师大版九年级数学上册期中复习试卷（含答案）

北师大版九年级数学上册期中复习试卷

                    姓名：______班级：___考号：_____

一、选择题（每题3分，共24分）

1．下列性质中，矩形一定具有的是                       （  ）

A．四边相等 B．对角线垂直 C．邻边相等 D．对角线相等

2．已知菱形的两条对角线的长分别是4和10则菱形的面积  （   ）

A．14 B．48 C．40 D．20

3．下列方程中，关于x的一元二次方程是                  （　　）

A． B． C． D．

4．用配方法解方程，下列变形正确的是         （　　）

A． B． C． D．

5．已知粉笔盒里只有4支黄色粉笔和6支红色粉笔，每支粉笔除颜色外均相同，现从中任取一支粉笔，则取出黄色粉笔的概率是      （   ）．

A． B． C． D．

6．在下列条件中，能判定是菱形的是               （　　）

A． B． C． D．

7．若一元二次方程 (a≠0)的系数满足，则这个方程必有一个根是                                          （   ）

A．1 B． C．2 D．

8．如图，由两个长为，宽为的全等矩形叠合而得到四边形，则四边形面积的最大值是                                 （   ）

A．15 B．16 C．19 D．20

二、填空题（每题3分，共24分）

9．已知关于x的方程x2＋kx－10＝0的一个根是－2，则k＝______．

10．方程的根的判别式的值为_________.

11．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，若BF＝5，则DE＝___．

12．乌鲁木齐市林业局要考察一种树苗移植的成活率，对该市这种树苗移植成活情况进行了调查统计，并绘制了统计图，根据统计图提供的信息，估计该树苗成活的概率为____________．

13．一个不透明口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.7，那么口袋中白球的个数很可能是______个．

14．从①，②，③，④四个关系中，任选1个作为条件，那么选到能够判定平行四边形是菱形的概率是_______．

15．已知是方程x2+2021x+1＝0的两个根，则_____．

16．如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接FG，若，则FG的最小值为_____．

三、解答题（每题8分，共72分）

17．解方程：

(1)；

(2)；

(3)．

18．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且AF＝CE，求证：DF＝BE．

19．已知关于的一元二次方程有实数根．

(1)求实数的取值范围_________．

(2)设方程的两个实数根分别为，若，求的值．

20．如图：在矩形中，作对角线的垂直平分线，垂足为，分别交，于，，连接，．

求证：四边形是菱形．

21．一个不透明的布袋中装有3个只有颜色不同的球，其中1个黄球、2个红球．

(1)任意摸出1个球，记下颜色后不放回，再任意摸出1个球，求两次摸出的球恰好都是红球的概率（要求画树状图或列表）；

(2)现再将n个黄球放入布袋，搅匀后，使任意摸出1个球是黄球的概率为，求n的值．

22．2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商销售以冬奥会为主题的文化衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出3件．

(1)若降价x元后，每件衬衫的利润=________元，平均每天销售数量为________件（用含x的代数式表示）；

(2)若该经销商每天获得利润1800元，则每件商品应降价多少元？

23．如图，在中，，AB=5，BC=12，点从点A开始沿边AB向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动．设、分别从、同时出发，运动时间为，当其中一点先到达终点时，另一点也停止运动． 解答下列问题：

(1)经过几秒，的面积等于6？

(2)是否存在这样的时刻，使线段PQ恰好平分△ABC的面积？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由．

24．

(1)【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在我们学过的：①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，能称为垂美四边形是______；（只填序号）

(2)【概念理解】如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由．

(3)【性质探究】如图1，垂美四边形的两对角线交于点，试探究，，，之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明；

(4)【性质应用】如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求长．

25．如图，以的三边为边在BC的同侧作等边、、，请回答下列问题：

（1）求证：四边形ADEF为平行四边形：

（2）当满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在，并说明理由：

（3）如图（2），若，，AB和AC的长为一元二次方程的两个根，求四边形ADEF的面积．

参考答案：

1．

矩形的对边平行且相等，但是邻边不一定相等，故本选项不符合题意；

矩形的对角线相等但不一定垂直，故本选项符合题意；

矩形的邻边不一定相等，故本选项不符合题意；

矩形的对角线相等，故本选项符合题意；

故选：D

2．

解：由已知可得，这个菱形的面积=4×10÷2=20，

故选：D．

3．

解：A、该方程没有规定，故本选项错误；

B、该方程中含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误；

C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确；

D、该方程不是整式方程，故本选项错误；

故选：C．

4．

解：，

移项得：，

配方得：，即．

故选A．

5．

解：根据题意得，取出黄色粉笔的概率是．

故选：B．

6．

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形；

故选：A．

7．

解：由题意，一元二次方程(a≠0)的系数满足，

所以，当时，一元二次方程即为：，即，

综上可知，方程必有一根为．

故选：D．

8．

如图1，作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，

，

∵AD∥BC,AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵两个矩形的宽都是3，

∴AE=AF=3，

∵S四边形ABCD=AE⋅BC=AF⋅CD，

∴BC=CD，

∴平行四边形ABCD是菱形．

如图2，

，

设AB=BC=x，则BE=9−x，

∵BC2=BE2+CE2，

∴x2=(9−x)2+32，

解得x=5，

∴四边形ABCD面积的最大值是：

5×3=15.

故选A.

9．

解：把x=-2代入x2+kx-10=0得:

4-2k-10=0，

解得k=-3．

故答案为：-3．

10．

解：∵a=1，b=-5，c=-1，

∴．

故答案为：29．

11．

解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，F为CA的中点，BF=5，

∴AC=2BF=10．

又∵D、E分别为AB、BC的中点，

∴DE是Rt△ABC的中位线，

∴DE=AC=5．

故答案为：5．

12．

解：由统计图可知，该树苗成活的频率在0.9附近摆动，

∴估计该树苗成活的概率为0.9，

故答案为：0.9．

13．

设口袋中白球的个数可能是m个，

因为摸到白球的频率稳定在0.7，

根据多次实验中，可用一个事件发生的频率作为这个事件的概率的估计值，

所以=0.7，

解得m=7．

故答案为：7．

14．

解：①∵中，，∴是菱形，故①正确；

②∵，，∴是矩形，故②不正确；

③∵，，∴是菱形，故③正确；

④∵，，∴是矩形，故④不正确；

故选到能够判定是菱形的有①、③，2种结果，

∴选到能够判定是菱形的概率是，

故答案为：．

15．

解：∵α，β是方程x2+2021x+1＝0的两个根，

∴α2+2021α+1＝0，β2+2021β+1＝0，αβ＝1，

∴（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）

＝（α2+2021α+1+α）（β2+2021β+1+β）

＝（0+α）（0+β）

＝αβ

＝1．

故答案是：1．

16．

解：如图，连接，

∵四边形是正方形，

∴，，，

∵，，

∴四边形是矩形，

∴，

∴最小即是最小，

∴当时，最小，

∵，，

∴，

∵，，，

∴是的中线，

∴，

∴最小为．

故答案为：

17． （1）

解：∵，

∴，

∴，

∴或，

∴．

（2）

解：∵，

∴，

∵，，，

∴，

∴，

∴．

（3）

解：∵，

∴，

∴或，

∴．

18．

证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，∠D＝∠B＝90°，

在Rt△ADF与Rt△CBE中，

AD＝CB，AF＝CE，

∴Rt△ADF≌Rt△CBE（HL），

∴DF＝BE．

19． （1）

解：∵一元二次方程有实数根，

∴，

解得：；

故答案为：

（2）

解：∵方程的两个实数根分别为，

∴，

∵，

∴，

∴，

解得：．

20．

证明：四边形是矩形，

，

，

垂直平分，

，

在和中，

，

（ASA），

，

四边形是平行四边形，

，

四边形是菱形．

21． （1）

解：如图画出树状图，

∵由图可知总共有六种情况，其中都是红球的情况有两种，

∴两次摸出的球恰好都是红球的概率为

（2）

解：由题意得，

，

解得

所以n的值为5．

22． （1）

解：依题意得：降价x元后，每件衬衫的利润为元，平均每天的销售量为件．

故答案为：；；

（2）

解：依题意得：，

整理得：，

解得：=10，=20，

又∵要尽快减少库存、增加盈利，

∴x=20．

答：每件商品应降价20元．

23． （1）

解：设经过x秒，△PBQ的面积等于，则BP＝5−x，BQ＝2x，

所以，即，

可得：x＝2或3，

即经过2秒或3秒，△PBQ的面积等于；

（2）

解：不存在，理由如下：

设经过t秒，线段PQ恰好平分△ABC的面积，△PBQ的面积等于，

∴，

即，

∵＝25−4×30＝−95＜0，

∴△PBQ的面积不会等于，则线段PQ不能平分△ABC的面积．

24． （1）

解：∵在①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是③菱形，④正方形，

∴③菱形，④正方形一定是垂美四边形，

故答案为：③④；

（2）

解：四边形ABCD是垂美四边形，

理由如下：如图2，∵AB＝AD，

∴点A在线段BD的垂直平分线上，

∵CB＝CD，

∴点C在线段BD的垂直平分线上，

∴直线AC是线段BD的垂直平分线，

∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；

（3）

解：，

证明如下：如图①，∵AC⊥BD，

∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，

由勾股定理得，，

，

∴；

（4）

解：如图3，连接BE、CG，设AB与CE交于点M，

∵∠CAG＝∠BAE＝90°，

∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，

在△GAB和△CAE中，

，

∴△GAB≌△CAE（SAS），

∴∠ABG＝∠AEC，

∵∠AEC+∠AME＝90°，

∴∠ABG+∠BMC＝90°，即CE⊥BG，

∴四边形CGEB是垂美四边形，

∴，

∵AB＝10，AC＝8，

∴，，，

∴，

则GE＝．

25．

解：（1）∵△ABD，△EBC都是等边三角形．

∴AD=BD=AB，BC=BE=EC，∠DBA=∠EBC=60°

∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA．

∴∠DBE=∠ABC．

在△DBE和△ABC中，

∵BD=BA，∠DBE=∠ABC，BE=BC，

∴△DBE≌△ABC（SAS）．

∴DE=AC．

又∵△ACF是等边三角形，

∴AC=AF．

∴DE=AF．

同理可证：AD=EF，

∴四边形ADEF平行四边形；

（2）当∠BAC=60°时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在；理由如下：

∵∠BAC=60°，∠BAD=∠CAE=60°，

∴∠DAF=360°-∠DAB-∠BAC-∠CAF=180°，

∴点D、A、F共线，

∴以D、A、E、F为顶点的四边形不存在；

（3）过点A作AH⊥DE于点H，

∵AB和AC的长为一元二次方程的两根，

∴，①

，②

①+②，得：，

在Rt△ABC中，∵BC=，

∴，AB+AC==10，

∴有，

解得：m=24，

∴原方程为，

解得：，，

若AB=6，AC=4，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DE∥AF，DE=AF=AC=4，AD=EF=AB=6，

∴∠ADE+∠DAF=180°，

∵∠DAF=360°-60°-60°-90°=150°，

∴∠ADE=30°，

∴AH=AD=3，

∴S平行四边形ADEF=DE×AH=12；

若AB=4，AC=6，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DE∥AF，DE=AF=AC=6，AD=EF=AB=4，

∴∠ADE+∠DAF=180°，

∵∠DAF=360°-60°-60°-90°=150°，

∴∠ADE=30°，

∴AH=AD=2，

∴S平行四边形ADEF=DE×AH=12；

综上：四边形ADEF的面积为12．