辽宁省沈阳市沈北新区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份辽宁省沈阳市沈北新区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年辽宁省沈阳市沈北新区九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（每题2分，共20分）
1．利用配方法解方程x2+2x＝1时，方程可变形为（　　）
A．（x+1）2＝2 B．（x﹣1）2＝2 C．（x+1）2＝0 D．（x﹣1）2＝0
2．方程（x﹣1）2＝9的解是（　　）
A．x1＝3，x2＝﹣3 B．x1＝4，x2＝﹣4 C．x1＝4，x2＝﹣2 D．x＝4
3．如图，已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列能判断它是正方形的条件是（　　）

A．AC＝BC＝CD＝DA B．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD
C．AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD D．AB＝BC，CD⊥DA
4．关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0没有实数根；则m的值可能是（　　）
A．﹣2 B．0 C．3 D．5
5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知AO＝2，OB＝4，则菱形ABCD的面积是（　　）

A．4 B．8 C．16 D．20
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D是AB的中点，则CD的长为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8
7．如图，△ABC与△DEF是位似图形，相似比是2：3，已知AB＝4，则DE的长为（　　）

A． B．5 C．6 D．9
8．九年级（5）班文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了132本图书，如果设全组共有x名同学，依题意，可列出的方程是（　　）
A．x（x+1）＝132 B．x（x﹣1）＝132
C．2x（x+1）＝132 D．x（x+1）＝132
9．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于（　　）

A．1﹣ B．1﹣ C． D．
10．菱形ABCD的一条对角线的长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（　　）
A．16 B．12 C．12或16 D．无法确定
二、填空题（每题3分，共18分）
11．把1m的线段进行黄金分割，则分成较短的线段长为 　 　．
12．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC．若AD＝2，AB＝3，DE＝4，则BC的长为　 　．

13．若，a+b+c＝18，则a的值为 　 　．
14．如图，已知∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AD＝4，BD＝9，则CD的长为 　 　．

15．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝21cm．动点P从点C出发，沿CA方向运动；动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动．如果点P，Q的运动速度均为1cm/s，那么运动 　 　秒时，它们相距15cm．

16．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为　 　．

三、解答题
17．用适当的方法解一元二次方程：
（1）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）；
（2）（x﹣1）（x﹣2）＝5．
18．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BD平分∠ABC，AC⊥BD，垂足为点O．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若CD＝3，BD＝2，求四边形ABCD的面积．

19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．
（1）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时△PCQ的面积为8cm2？
（2）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似？

20．某县2013年公共事业投入经费40000万元，其中教育经费占15%，2015年教育经费实际投入7260万元，若该县这两年教育经费的年平均增长率相同．
（1）求该县这两年教育经费平均增长率；
（2）若该县这两年教育经费平均增长率保持不变，那么2016年教育经费会达到8000万元吗？
21．某商场销售一批名牌衬衫，每件进价为100元，若每件售价为160元，则平均每个月可售出100件，经调查发现，每件衬衫每降价2元，商场平均每月可多售出10件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，设每件衬衫降价x元．
（1）用含x的代数式表示每月可售出的衬衫件数为 　 　；
（2）若商场每月要盈利7875元，请你帮助商场算一算，每件衬衫应降价多少元？
22．在菱形ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接BD、DF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若BD＝2，BE＝4，求BC的长．

23．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作DE∥BC交AB于点D．
（1）求证：AE•BC＝BD•AC；
（2）如果S△ADE＝3，S△BDE＝2，DE＝6，求BC的长．

24．如图1，P是菱形ABCD对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE＝PB．
（1）求证：PD＝PE；
（2）求证：∠DPE＝∠ABC；
（3）如图2，当四边形ABCD为正方形时，连接DE，试探究线段DE与线段BP的数量关系，并说明理由．

25．在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．
（1）观察猜想
如图1，当α＝60°时，的值是　 　，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是　 　．
（2）类比探究
如图2，当α＝90°时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由．
（3）解决问题
当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．



参考答案
一、选择题（每题2分，共20分）
1．利用配方法解方程x2+2x＝1时，方程可变形为（　　）
A．（x+1）2＝2 B．（x﹣1）2＝2 C．（x+1）2＝0 D．（x﹣1）2＝0
【分析】方程两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形得到结果，即可作出判断．
解：方程x2+2x＝1，
配方得：x2+2x+1＝2，即（x+1）2＝2．
故选：A．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
2．方程（x﹣1）2＝9的解是（　　）
A．x1＝3，x2＝﹣3 B．x1＝4，x2＝﹣4 C．x1＝4，x2＝﹣2 D．x＝4
【分析】方程利用平方根的定义开方转化为两个一元一次方程来求解．
解：开方得：x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3，
解得：x1＝4，x2＝﹣2．
故选：C．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
3．如图，已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列能判断它是正方形的条件是（　　）

A．AC＝BC＝CD＝DA B．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD
C．AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD D．AB＝BC，CD⊥DA
【分析】根据正方形的判定对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，对各个选项进行分析从而得到最后的答案．
解：A、由AC＝BC＝CD＝DA只能判定四边形ABCD为菱形，故A不符合题意；
B、AC⊥BD且AC、BD互相平分可判定为菱形，再由AC＝BD判定为正方形，故B符合题意；
C、由AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD不能判定为正方形，故C不符合题意；
D、根据AB＝BC，CD⊥DA不能判定为正方形，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：
①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；
②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．
4．关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0没有实数根；则m的值可能是（　　）
A．﹣2 B．0 C．3 D．5
【分析】先根据根的判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣4m＜0，再解不等式，然后利用m的取值范围对各选项进行判断．
解：根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4m＜0，
解得m＞4．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知AO＝2，OB＝4，则菱形ABCD的面积是（　　）

A．4 B．8 C．16 D．20
【分析】根据菱形的性质求菱形的对角线的长，再根据菱形面积公式即可解决问题．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC＝2AO＝4，BD＝2OB＝8，
则菱形ABCD的面积＝×AC×BD＝4×8＝16
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质，掌握菱形面积的公式是解答本题的关键．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D是AB的中点，则CD的长为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】根据勾股定理求出AB，根据直角三角形的性质求出CD．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
则AB＝＝＝10，
∵D是AB的中点，
∴CD＝AB＝5，
故选：A．
【点评】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
7．如图，△ABC与△DEF是位似图形，相似比是2：3，已知AB＝4，则DE的长为（　　）

A． B．5 C．6 D．9
【分析】位似图形就是特殊的相似图形位似比等于相似比．利用相似三角形的性质即可求解．
解：∵△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，AB＝4，
∴AB：DE＝2：3，即4：DE＝2：3，
∴DE＝6．
故选：C．
【点评】本题主要考查位似变换．解题的关键是掌握位似图形是相似图形的特殊形式，位似比等于相似比的特点．
8．九年级（5）班文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了132本图书，如果设全组共有x名同学，依题意，可列出的方程是（　　）
A．x（x+1）＝132 B．x（x﹣1）＝132
C．2x（x+1）＝132 D．x（x+1）＝132
【分析】如果设全组共有x名同学，那么每名同学要赠送（x﹣1）本，有x名学生，那么总互共送x（x﹣1）本，根据全组共互赠了132本图书即可得出方程．
解：设全组共有x名同学，那么每名同学送出的图书是（x﹣1）本；
则总共送出的图书为x（x﹣1）；
又知实际互赠了132本图书，
则x （x﹣1）＝132．
故选：B．
【点评】考查的是列一元二次方程，本题要读清题意，弄清每名同学送出的图书是（x﹣1）本是解决本题的关键．
9．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于（　　）

A．1﹣ B．1﹣ C． D．
【分析】此题只需把公共部分分割成两个三角形，根据旋转的性质发现两个三角形全等，从而求得直角三角形的边，再进一步计算其面积．
解：设CD与B′C′相交于点O，连接OA．
根据旋转的性质，得∠BAB′＝30°，则∠DAB′＝60°．
在Rt△ADO和Rt△AB′O中，AD＝AB′，AO＝AO，
∴Rt△ADO≌Rt△AB′O．
∴∠OAD＝∠OAB′＝30°．
又∵AD＝1，
∴AD＝OD，
∴OD＝．
∴公共部分的面积＝2×××1＝1×＝．
故选：D．

【点评】本题主要考查了利用正方形和旋转的性质来求三角形的面积．
10．菱形ABCD的一条对角线的长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（　　）
A．16 B．12 C．12或16 D．无法确定
【分析】先求出方程x2﹣7x+12＝0的两个根，再根据三角形的三边关系判断出符合题意的菱形的边AB，即可求出菱形的周长，
解：∵x2﹣7x+12＝0，
∴（x﹣3）（x﹣4）＝0，
∴x1＝3，x2＝4，
当x1＝3时，由菱形的对角线的一条对角线6和菱形的两边3，3不能组成三角形，即不存在菱形，舍去；
当x2＝4时，由菱形的对角线的一条对角线6和菱形的两边4，4能组成三角形，即存在菱形，∴菱形的周长为4×4＝16．
故选：A．
【点评】此题是菱形的性质题，主要考查了菱形性质，三角形的三边关系，一元二次方程的解法，解本题的关键是确定出菱形的边长，难点是用三角形的三边关系判断符合条件的x的值，也是易错点．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．把1m的线段进行黄金分割，则分成较短的线段长为 　　．
【分析】根据黄金分割的定义列式进行计算即可得解．
解：较短的线段长＝1×＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了黄金分割的概念，熟记黄金分割的比值是解题的关键．
12．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC．若AD＝2，AB＝3，DE＝4，则BC的长为　6　．

【分析】由DE∥BC可得出∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，进而可得出△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质可得出＝，代入AD＝2，AB＝3，DE＝4即可求出BC的长．
解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，即＝，
∴BC＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形对应边的比相等是解题的关键．
13．若，a+b+c＝18，则a的值为 　4　．
【分析】设辅助未知数，根据比例的性质求出辅助未知数，进而求出答案．
解：设＝＝＝k，则a＝2k，b＝3k，c＝4k，
∵a+b+c＝18，即2k+3k+4k＝18，
∴k＝2，
∴a＝2k＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查比例的性质，设辅助未知数是常用的方法．
14．如图，已知∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AD＝4，BD＝9，则CD的长为 　6　．

【分析】根据射影定理得到：CD2＝BD•AD，代入求值即可．
解：∵如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，AD＝4，BD＝9，
∴由射影定理得：CD2＝BD•AD＝9×4＝36，
∴CD＝6（舍去负值）．
故答案为：6．
【点评】本题考查了射影定理．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．
15．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝21cm．动点P从点C出发，沿CA方向运动；动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动．如果点P，Q的运动速度均为1cm/s，那么运动 　9或12　秒时，它们相距15cm．

【分析】可设运动x秒时，它们相距15cm，根据题意表示出CP，CQ的长，再根据勾股定理列出方程求解即可．
解：设运动x秒时，它们相距15cm，则CP＝xcm，CQ＝（21﹣x）cm，依题意有：
x2+（21﹣x）2＝152，
解得x1＝9，x2＝12．
故运动9或12秒时，它们相距15cm．
故答案为：9或12．
【点评】本题考查了勾股定理与一元二次方程，正确求得方程的解是解决本题的关键．
16．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为　　．

【分析】连接AD，由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DMAN是矩形，可得MN＝AD，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．
解：连接AD，
∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，
∴BC＝＝5，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，
∴四边形DMAN是矩形，
∴MN＝AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，
∴AD＝＝，
∴MN的最小值为；
故答案为：．

【点评】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
三、解答题
17．用适当的方法解一元二次方程：
（1）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）；
（2）（x﹣1）（x﹣2）＝5．
【分析】（1）先移项得到2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0，然后利用因式分解法解方程；
（2）先把方程化为一般式为x2﹣3x﹣3＝0，再计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．
解：（1）2（x﹣3）＝3x（x﹣3），
2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（2﹣3x）＝0，
x﹣3＝0或2﹣3x＝0，
所以x1＝3，x2＝；
（2）（x﹣1）（x﹣2）＝5，
方程化为一般式为x2﹣3x﹣3＝0，
a＝1，b＝﹣3，c＝﹣3，
Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣3）＝21＞0，
x＝＝，
所以x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
18．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BD平分∠ABC，AC⊥BD，垂足为点O．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若CD＝3，BD＝2，求四边形ABCD的面积．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠ABD＝∠ADB，根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，等量代换得到∠ADB＝∠CBD，根据全等三角形的性质得到AO＝OC，于是得到结论；
（2）根据菱形的性质得到OD＝BD＝，根据勾股定理得到OC＝＝2，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵AC⊥BD，AB＝AD，
∴BO＝DO，
在△AOD与△COB中，，
∴△AOD≌△COB，
∴AO＝OC，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝BD＝，
∴OC＝＝2，
∴AC＝4，
∴S菱形ABCD＝AC•BD＝4．
【点评】本题考查了菱形的性质和判定，勾股定理，菱形的面积的计算，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键．
19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．
（1）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时△PCQ的面积为8cm2？
（2）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似？

【分析】（1）设P、Q同时出发，x秒钟后，AP＝xcm，PC＝（6﹣x）cm，CQ＝2xcm，依据△PCQ的面积为8，由此等量关系列出方程求出符合题意的值．
（2）分两种情况讨论，依据相似三角形对应边成比例列方程求解即可．
解：（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2．
由题意得，AP＝xcm，PC＝（6﹣x）cm，CQ＝2xcm，
则（6﹣x）•2x＝8，
整理得x2﹣6x+8＝0，
解得x1＝2，x2＝4．
所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2．

（2）设t秒后以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似，则PC＝（6﹣t）cm，CQ＝2tcm．
当△PCQ∽△ACB时，＝，即＝，
解得：t＝．
当△PCQ∽△BCA时，＝，即＝，
解得：t＝．
综上所述，经过秒或秒时，以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质，三角形的面积公式，依据题意列出方程是解题的关键．
20．某县2013年公共事业投入经费40000万元，其中教育经费占15%，2015年教育经费实际投入7260万元，若该县这两年教育经费的年平均增长率相同．
（1）求该县这两年教育经费平均增长率；
（2）若该县这两年教育经费平均增长率保持不变，那么2016年教育经费会达到8000万元吗？
【分析】（1）等量关系为：2013年教育经费的投入×（1+增长率）2＝2015年教育经费的投入，把相关数值代入求解即可；
（2）2016年该区教育经费＝2015年教育经费的投入×（1+增长率）．
解：（1）2013年教育经费：40000×15%＝6000（万元）
设每年平均增长的百分率为x，根据题意得：
6000（1+x）2＝7260，
（1+x）2＝1.21，
∵1+x＞0，
∴1+x＝1.1，
x＝10%．
答：该县这两年教育经费平均增长率为10%；

（2）2016年该县教育经费为：7260×（1+10%）＝7986（万元），
∵7986＜8000，
∴2016年教育经费不会达到8000万元．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
21．某商场销售一批名牌衬衫，每件进价为100元，若每件售价为160元，则平均每个月可售出100件，经调查发现，每件衬衫每降价2元，商场平均每月可多售出10件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，设每件衬衫降价x元．
（1）用含x的代数式表示每月可售出的衬衫件数为 　（100+5x）件　；
（2）若商场每月要盈利7875元，请你帮助商场算一算，每件衬衫应降价多少元？
【分析】（1）根据题意可以用含x的代数式表示每天可售出的衬衫；
（2）以利润为等量关系列出方程解答即可；
解：（1）每件衬衫每降价2元，商场平均每月可多售出10件，
∴每件衬衫降价x元，每月可售出衬衫件数为（100+5x）件．
故答案为：（100+5x）件；
（2）每件衬衫降价x元，由题意得，
（160﹣x﹣100）（100+5x）＝7875
解得x1＝25，x2＝15
∵要尽快减少库存
∴x＝25
答：每件衬衫应降价25元
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．在菱形ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接BD、DF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若BD＝2，BE＝4，求BC的长．

【分析】（1）由平行四边形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，推出四边形DFBE是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）在Rt△BDE中，由勾股定理求得DE＝2，由菱形的性质得到CE＝BC﹣2，在Rt△BDE中，根据勾股定理构造方程，解方程即可求得BC＝5．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵AF＝CE，
∴FB＝ED，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∵BE⊥CD，
∴∠BED＝90°，
∴四边形DFBE是矩形；
（2）解：在Rt△BDE中，DE＝＝＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，
∴CE＝CD﹣DE＝BC﹣2，
在Rt△BDE中，BC2＝CE2+BE2，
∴BC2＝（BC﹣2）2+42，
解得BC＝5．
【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，根据勾股定理构造方程．
23．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作DE∥BC交AB于点D．
（1）求证：AE•BC＝BD•AC；
（2）如果S△ADE＝3，S△BDE＝2，DE＝6，求BC的长．

【分析】（1）由BE平分∠ABC交AC于点E，ED∥BC，可证得BD＝DE，△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AE•BC＝BD•AC；
（2）根据三角形面积公式与S△ADE＝3，S△BDE＝2，可得AD：BD＝3：2，然后由平行线分线段成比例定理，求得BC的长．
【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE．
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠DEB．
∴BD＝DE，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴AE•BC＝BD•AC；
（2）解：设△ABE中边AB上的高为h．
∴＝＝＝，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴＝，
∴，
∴BC＝10．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
24．如图1，P是菱形ABCD对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE＝PB．
（1）求证：PD＝PE；
（2）求证：∠DPE＝∠ABC；
（3）如图2，当四边形ABCD为正方形时，连接DE，试探究线段DE与线段BP的数量关系，并说明理由．

【分析】（1）根据菱形的性质得出BC＝DC，∠BCP＝∠DCP，然后利用“边角边”证明△BCP≌△DCP得出PB＝PD，由已知PE＝PB，即可得出结论；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠CBP＝∠CDP，根据等边对等角可得∠CBP＝∠E，然后求出∠DPE＝∠DCE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠DCE＝∠ABC，从而得证；
（3）证出△PDE是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出DE＝PE，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝DC，∠BCP＝∠DCP，AB∥DC，
∵在△BCP和△DCP中，，
∴△BCP≌△DCP（SAS），
∴PB＝PD，
∵PE＝PB，
∴PD＝PE；
（2）证明：如图1所示：由（1）知，△BCP≌△DCP，
∴∠CBP＝∠CDP，
∵PE＝PB，
∴∠CBP＝∠E，
∵∠CFE＝∠DFP（对顶角相等），
∴180°﹣∠DFP﹣∠CDP＝180°﹣∠CFE﹣∠E，
即∠DPE＝∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠DCE＝∠ABC，
∴∠DPE＝∠ABC；
（3）解：DE＝BP，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，
由（1）知：PD＝BP＝PE，
由（2）知，∠DPE＝∠ABC＝90°，
∴△PDE是等腰直角三角形，
∴DE＝PE，
∴DE＝BP．

【点评】本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；本题综合性强，熟记菱形和正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
25．在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．
（1）观察猜想
如图1，当α＝60°时，的值是　1　，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是　60°　．
（2）类比探究
如图2，当α＝90°时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由．
（3）解决问题
当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．

【分析】（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．证明△CAP≌△BAD（SAS），即可解决问题．
（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．证明△DAB∽△PAC，即可解决问题．
（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．证明AD＝DC即可解决问题．
②如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：DA＝DC解决问题．
解：（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．

∵∠PAD＝∠CAB＝60°，
∴∠CAP＝∠BAD，
∵CA＝BA，PA＝DA，
∴△CAP≌△BAD（SAS），
∴PC＝BD，∠ACP＝∠ABD，
∵∠AOC＝∠BOE，
∴∠BEO＝∠CAO＝60°，
∴＝1，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60°，
故答案为1，60°．

（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．

∵∠PAD＝∠CAB＝45°，
∴∠PAC＝∠DAB，
∵＝＝，
∴△DAB∽△PAC，
∴∠PCA＝∠DBA，＝＝，
∵∠EOC＝∠AOB，
∴∠CEO＝∠OAB＝45°，
∴直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为45°．


（3）如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．

∵CE＝EA，CF＝FB，
∴EF∥AB，
∴∠EFC＝∠ABC＝45°，
∵∠PAO＝45°，
∴∠PAO＝∠OFH，
∵∠POA＝∠FOH，
∴∠H＝∠APO，
∵∠APC＝90°，EA＝EC，
∴PE＝EA＝EC，
∴∠EPA＝∠EAP＝∠BAH，
∴∠H＝∠BAH，
∴BH＝BA，
∵∠ADP＝∠BDC＝45°，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AH，
∴∠DBA＝∠DBC＝22.5°，
∵∠ADB＝∠ACB＝90°，
∴A，D，C，B四点共圆，
∠DAC＝∠DBC＝22.5°，∠DCA＝∠ABD＝22.5°，
∴∠DAC＝∠DCA＝22.5°，
∴DA＝DC，设AD＝a，则DC＝AD＝a，PD＝a，
∴＝＝2﹣．
解法二：在Rt△PAD中，∵E是AC的中点，
∴PE＝EA＝EC，
∴∠EPC＝∠ECP，
∵∠CEF＝45°＝∠EPC+∠ECP，
∴∠EPC＝∠ECP＝22.5°，
∵∠PDA＝45°＝∠ACD+∠DAC，
∴∠DAC＝22.5°，
∴AD＝DC，
设PD＝a，则AD＝DC＝a，
∴＝＝2﹣

如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：DA＝DC，设AD＝a，则CD＝AD＝a，PD＝a，

∴PC＝a﹣a，
∴＝＝2+．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．