湖北省部分高中联考协作体2022-2023学年高一上学期期中联考数学试题

2022年秋季湖北省部分高中联考协作体期中考试

高一数学试卷

命题教师：赵茜

考试时间：2022年11月7日上午8：00—10：00    试卷满分：150分

★祝考试顺利★

注意事项：

1. 答卷前，考生务必将自己的学校、考号、班级、姓名等填写在答题卡上.

2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷、草稿纸上无效.

3. 填空题和解答题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效.

4. 考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷  选择题（共60分）

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，则集合的真子集有（    ）

A. 3个 B. 4个 C. 7个 D. 8个

2. 设集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 已知：，：，若是的充分条件，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知正数、满足，求的最小值是（    ）

A.  B. 9 C.  D. 4

6. 已知函数是上的增函数，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 已知二次函数的图象与轴交于点与，其中，方程的两根为，（），则下列判断正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知函数是定义域为的偶函数，当时，，如果关于的方程恰有7个不同的实数根，那么的值等于（    ）

A. 5 B. －4 C. 4 D. －5

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有若干个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.

9. 已知集合，，若，则实数的可能取值（    ）

A. 3 B. 0 C. －1 D.

10. 若函数对定义域中的每一个都存在唯一的，使成立，则称为“影子函数”，以下说法正确的有（    ）

A. “影子函数”可以是奇函数

B. “影子函数”的值域可以是

C. 函数是“影子函数”

D. 若，都是“影子函数”，且定义域相同，则是“影子函数”

11. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，以下关于狄利克雷函数的结论中，正确的是（    ）

A. 函数为偶函数

B. 函数的值域是

C. 若且为有理数，则对任意的恒成立

D. 在图象上不存在不同的三个点，，，使得为等边三角形.

12. 已知函数的最小值为0，（为自然常数，），则下列结论正确的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

第Ⅱ卷  非选择题（共90分）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若集合，，则_________（用列举法表示），集合与集合的关系为：（填入适当的符号）.

14. 若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是_________.

15. 若函数的值域为，则实数的取值范围是_________.

16. 设二次函数，若函数的值域为，且，则的取值范围为_________.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）设全集为，，.

（1）若，求；

（2）若，是否存在实数使得是的_________，存在求实数的取值范围，不存在请说明理由.

请在_________处从“①充分不必要条件”“②必要不充分条件”中选择一个再作答.

18.（12分）已知，命题：，恒成立，命题：存在，使得.

（1）若为真命题，求的取值范围；

（2）若、有且只有一个真命题，求实数的取值范围.

19.（12分）已知函数是定义在上的偶函数，当时，.

（1）求的解析式；

（2）当时，求的最大值，并求函数的最小值.

20.（12分）已知集合具有性质：对任意，（），与至少一个属于.

（1）分别判断集合，与是否具有性质，并说明理由；

（2）证明：；

（3）具有性质，当时，求集合.

21.（12分）已知函数，，.

（1）若，方程有解，求实数的取值范围；

（2）若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围；

（3）设，记为函数在上的最大值，求的最小值.

22.（12分）定义：若函数对于其定义域内的某一数，有，则称是的一个不动点，已知函数.

（1）当，时，求函数的不动点；

（2）若函数有两个不动点，且图像上两个点、的横坐标恰是函数的两个不动点，且、的中点在函数的图像上，求的最小值.（参考公式：，的中点坐标为）

2022年秋季湖北省部分高中联考协作体期中考试

高一数学答案

13.（3分）  （2分）

14. 或写成

15.             16.

部分题详解

1. ，所以的真子集有个，选C.

2. ，所以，选B.

3. 为真命题，所以，所以，选D.

4. ：，：，由题意可得，

所以，所以，选B.

5. 因为，均为正数，，

所以，选C.

6. 要使函数在上为增函数，须有在上递增，在上递增，

且，所以，选A.

7. ，可看成函数与的交点，分类讨论，均可得，选D.

12. 由函数的最小值为0，

当时，，即，

故当时，的值域为的子集，即

对于AC，当时，为上的减函数，

又，则，即，故A正确，C错误；

当时，对勾函数在上单调递减，在上单调递增，

对于B，当时，对勾函数在上单调递增，

则函数在上单调递减，由A知，，故B错误；

对于D，当时，对勾函数在上单调递减，

则函数在上单调递增，又，则，即，故D正确；

故选：AD

15.当时，，

①当时，，，

，，

则此时函数的值域不是，

故不符合题意；

②当时，，，

，，

则此时函数的值域不是，

故不符合题意；

③当时，，，

，，

因为函数的值域为，

所以，解得，

综上所述实数的取值范围是.

故答案为：.

16. 二次函数f（x）对称轴为，

∵f（x）值域为，

∴且，n＞0.

，

∵

====

∴，，

∴∈[1，13].

故答案为：[1，13].

四、解答题

17.（1）当时，，

因为需满足，解得，所以.

所以.

（2）若选择①充分不必要条件，则，

因为，故，

不等式无解，故.

若选择②必要不充分条件，则，

所以，

所以实数的取值范围为.

18.（1）因为为真命题，则，恒成立，只需.

即，∴.

（2）当命题为真时，则不等式有解，即，

此时，

因为、有且只有一个真命题，

所以①当为真为假时，此时.

②当为假为真时，此时.

综上①②，若、有且只有一个真命题时，或.

19.（1）若，则，则，  

为偶函数，则，

故.

（2）当时，，开口向上，对称轴，

当时，，函数最小值为.

当即时，，函数最小值大于.

故，.

20.（1）集合具有性质，集合不具有性质

理由如下：

对集合，由于

所以集合具有性质；

对集合，由于，故集合不具有性质.   4分

（2）由于，则 ，故，

，故得证.

（3）由于，故，

又，故，

又，故，

.

因此集合.

21.（1），

因为函数的图象的对称轴是直线，

所以在上为减函数.

故的取值范围为.

（2）∵对任意的，总存在，使得，

∴在上，，                                      

∵函数图象的对称轴是直线，又

∴当时，函数有最大值为，

①当时，，不符合题意，舍去.

②当时，在上的值域，

∴，得，            

∴；

③当时，在上的值域为，只需，∴.

综上，的取值范围为.

（3）函数为的对称轴为，

当或时，在上单调递增，

则；

当时，，

解，得，

故当，.

综上，.

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴时取最小值为.

22.（1），令，

则得或，所以函数的不动点为3和－1；

（2）令，则.①

则方程①有两个不等实根，，且，满足，，

可设，（）.

因为的中点在函数上，所以

，

∴，

∴.

所以当时，，此时满足，成立.