安徽省合肥一六八中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试卷

安徽省合肥一六八中学2022-2023学年

高二上学期期中考试（数学）

（考试总分：150 分）

一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分）

1.（5分）1．过点(2，1)且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小的直线方程是(　　)

A．x＝2             B．y＝1               C．x＝1                D．y＝2

2.（5分）2．光线从点射到轴上，经反射以后经过点，则光线从到经过的路程为（    ）

A． B． C． D．

3.（5分）3．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于(　　)

A.         B.           C.           D.

4.（5分）4．直线与曲线有且仅有一个公共点，则b的取值范围是（    ）

A． B．或

C． D．

5.（5分）5．设，则两圆与的位置关系不可能是（    ）

A．相切 B．相交 C．内切和内含 D．外切和外离

6.（5分）6．已知线段AB两端点的坐标分别为和，若直线与线段AB有交点，则实数m的取值范围是（    ）

A．    B．    C．   D．

7.（5分）7．已知椭圆上有一点为左右焦点，，则（    ）

A． B． C． D．

8.（5分）8．已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点，若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围为（    ）

A．         B．          C．             D．

二、 多选题 （本题共计4小题，总分20分）

9.（5分）9．若两条直线，互相垂直，则的值是（    ）

A．3                B．-1                  C．1                   D．0

10.（5分）10.将一个椭圆绕其对称中心旋转90°，若所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，则称该椭圆为“对偶椭圆”．下列椭圆的方程中，是“对偶椭圆”的方程的是（    ）

A． B． C． D．

11.（5分）11.椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，则（    ）

A．过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为8

B．椭圆上存在点，使得     C．椭圆的离心率为

D．为椭圆上一点，为圆上一点，则点，的最大距离为3

12.（5分）12.如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（    ）

A．直线与是平行直线   B．直线与所成的角为60°

C．直线与平面所成的角为45°   D．平面截正方体所得的截面面积为

三、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）

13.（5分）13.过点的直线l与圆的圆心的距离为d，则d的取值范围为_______．

14.（5分）14．空间四边形中，，则其外接球表面积为__________．

15.（5分）15.已知是椭圆的左、右焦点，在椭圆上运动，当的值最小时，的面积为_______．

16.（5分）16.已知椭圆的左､右焦点分别为，过原点的直线与C交于A，B两点(A在第一象限)，若，且，则椭圆离心率的取值范围是___________.

四、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）

17.（10分）17．求适合下列条件的椭圆的标准方程．

（1）两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点；

（2）经过点P，Q.

18.（12分）18．已知圆，直线．

（1）求证：直线l恒过定点；

（2）判断直线l与圆C的位置关系；

（3）当时，求直线l被圆C截得的弦长．

19.（12分）19．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，其中左焦点为F(－2，0)．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线y＝x＋m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2＋y2＝1上，求m的值．

20.（12分）20.如图，在四棱锥P－ABCD中，∠PAB＝90°，AB∥CD，且PB＝BC＝BD＝，CD＝2AB＝2，∠PAD＝120°.E和F分别是棱CD和PC的中点.

(1)求证：CD⊥BF；

(2)求点B到平面PCD的距离.

21.（12分）21．已知平面直角坐标系上一动点到点的距离是点到点的距离的倍．

（1）求点的轨迹方程：

（2）若点与点关于点对称，求、两点间距离的最大值；

（3）若过点的直线与点的轨迹相交于、两点，，则是否存在直线，使取得最大值，若存在，求出此时的方程，若不存在，请说明理由．

22.（12分）22．已知椭圆的上下两个焦点分别为，过点与轴垂直的直线交椭圆于 两点，的面积为，椭圆的离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知为坐标原点，直线与轴交于点，与椭圆交于两个不同的点，若存在实数，使得，求的取值范围.；

答案

一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分）

1.（5分）1.A 

2.（5分） 2．C

3.（5分） 3.A   

4.（5分）4．B

5.（5分） 5．D 

6.（5分） 6．C  

7.（5分） 7．C  

8.（5分）   8．A

二、 多选题 （本题共计4小题，总分20分）

9.（5分）9．AB  

10.（5分）  10．AC 

11.（5分）     11．ABD    

12.（5分）   12.BC

三、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）

13.（5分）13．     

14.（5分）   14．   

15.（5分）   15．． 

16.（5分）    16．

四、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）

17.（10分）17．（1）；（2）.

（1）椭圆的焦点在纵轴上，．

由椭圆的定义，椭圆上一点到两焦点距离之和等于．，，

椭圆方程是...............5

（2）根据题意，设椭圆的方程为，

又由椭圆经过和，则有，解可得，；

则要求椭圆的方程为，

即其标准方程为．..................10

18.（12分）18（1）证明：直线l的方程可化为，又，

∴，解得，.......................4

∴直线l恒过定点．

（2）圆心，，

∴点A在圆C内，从而直线l与圆C相交（无论m为何实数）．.............8

（3）当时，直线l的方程为，圆心到直线l的距离．

∴此时直线l被圆C截得的弦长为．................12

19.（12分）19.解：(1)由题意，得解得所以椭圆C的方程为＋＝1.....4

(2)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，

线段AB的中点为M(x0，y0)，

由消去y得，3x2＋4mx＋2m2－8＝0，

Δ＝96－8m2>0，所以－2<m<2，因为x0＝＝－，所以y0＝x0＋m＝，

因为点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，所以＋＝1，所以m＝±........12

20.（12分）20.(1)证明　∵E为CD中点，CD＝2AB，∴AB＝DE.

又AB∥CD，∴四边形ABED为平行四边形.

∵BC＝BD，E为CD中点，∴BE⊥CD，

∴四边形ABED为矩形，∴AB⊥AD.

由∠PAB＝90°，得PA⊥AB，又PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，

∴AB⊥平面PAD.

∵AB∥CD，∴CD⊥平面PAD.

又PD⊂平面PAD，∴CD⊥PD.

∵EF∥PD，∴CD⊥EF.

又CD⊥BE，BE∩EF＝E，BE，EF⊂平面BEF，

∴CD⊥平面BEF.

又∵BF⊂平面BEF，∴CD⊥BF.........6

(2)解　由(1)知AB⊥平面PAD.

以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，平面PAD内过点A且与AD垂直的线为z轴建立空间直角坐标系A－xyz，如图所示.

∵∠PAD＝120°，∴∠PAz＝30°.

又PB＝，AB＝，AB⊥PA，∴PA＝2.

∴点P到z轴的距离为1.

∴P(0，－1，)，同时知A(0,0,0)，B(，0,0).

又BC＝BD＝，CD＝2，∴BE＝2.∴C(2，2,0)，D(0,2,0).

设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，

由得令y＝1，则n＝(0,1，).又＝(，1，－)，

设点B与平面PCD的距离为d，则d＝||·＝1...........12

21.（12分）21．（1）；（2）14；（3）存在；或．

解：（1）由已知，．

，即，.............2

（2）设，因为点与点关于点对称，

则点坐标为，

点在圆上运动，

点的轨迹方程为，

即：，

；............4

（3）由题意知的斜率一定存在，设直线的斜率为，且，，

则：，

联立方程：，

，

又直线不点，．

点到直线的距离，，

，

，，

当时，取得最大值，此时，，

直线得方程为或．............12

22．22.（12分）(1)   (2) （﹣2，﹣1）∪（1，2）∪{0}

（Ⅰ）根据已知椭圆的焦距为，当时，，

由题意的面积为，

由已知得，∴，∴，

∴椭圆的标准方程为．.............4

（Ⅱ）若，则，由椭圆的对称性得，即，

∴能使成立．

若，由，得，

因为，，共线，所以，解得．　

设，，由

得，

由已知得，即，

且，，

由，得，即，∴，

∴，即．

当时，不成立，∴，

∵，∴，即，

∴，解得或．

综上所述，的取值范围为．...............12