黑龙江省饶河县高级中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）

2022-2023上学期期中考试高二数学试题

范围：双曲线定义以前全部内容 分值：150分 时间：120分钟

一、单选题

1．已知集合，则中元素的个数为（    ）

A．4 B．5 C．6 D．无数个

2．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（    ）

A．充分而不必要条件               B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知函数，若，则（    ）

A．1或 B．或 C．或5 D．1或5

4．已知为虚数单位，复数，则复数z的虚部是（    ）

A． B． C． D．

5．已知，且，则（    ）

A．3 B．6 C．12 D．18

6．在中，已知，，，则角的大小为（    ）

A． B． C．或 D．或

7．设 ，，，则（    ）

A． B． C． D．

8．已知正四棱锥的侧棱长为3，其各顶点都在同一球面上，若该球的体积为，则该正四棱锥的体积是（    ）

A． B． C．18 D．27

二、多选题

9.连续掷两次骰子，设先后得到的点数为m，n，则（    ）

A．的概率为  B．m是偶数的概率为  C．的概率为 D．m>n的概率为

10．PM2.5是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即PM2.5日均值在以下，空气质量为一级，在，空气质量为二级，超过为超标.如图是某地12月1日至10日的PM2.5（单位：）的日均值，则下列说法正确的是（    ）

A．这10天中有3天空气质量为一级  

B．   B．从3日到6日PM2.5日均值逐渐升高

C．这10天中PM2.5日均值的中位数是45

D． D．这10天中PM2.5日均值的极差是48

11．已知圆过点，且与圆相切于原点，直线则下列结论中，正确的有（    ）

A．圆的方程为        B．直线过定点

C．直线被圆所截得的弦长最小值为 D．直线被圆截得的弦长有最大值时，则

12．矩形ABCD中，，，沿对角线AC将矩形折成一个大小为的二面角，若，则下列结论正确的有（    ）

A．四面体ABCD的体积为            B．点B与D之间的距离为

C．异面直线AC与BD所成角为45°       D．直线AD与平面ABC所成角的正弦值为

三、填空题

13．方程表示圆，则的取值范围是__________.

14．若是双曲线上一点，则到两个焦点的距离之差为______.

15．已知椭圆的两个焦点，，点P在椭圆上，且，则__．

16．设点M、N分别是不等边的重心与外心，已知、，且．则动点C的轨迹E______；

四、解答题

17．（1）若直线过点，且与直线平行，求直线的一般式方程．

（2）若直线过点，且与直线垂直，求直线的斜截式方程．

18．已知点是椭圆上一点，求点P到点的距离的取值范围．

19．从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．

(1)求第七组的频率；

(2)估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数；

(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求．

20．在中，角A,,所对的边为,，,，

，，若

(1)求函数的图象的对称点；

(2)若,且的面积为，求的周长.

21．在长方体 中，已知 ，E为的中点.

(1)在线段上是否存在点F，使得平面平面？若存在，请加以证明；若不存在，请说明理由；

(2)设 ，点G在上且满足，求 与平面 所成角的余弦值.

22．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，离心率为，过作直线l交椭圆C于M，N两点，的周长为．

(1)求椭圆C的方程；

(2)在轴上是否存在异于点的定点Q，使得直线l变化时，直线与的斜率之和为0？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案：

1．C解：，故集合中含有个元素；

2．B【详解】由题意：钱大姐常说“好货不便宜”，可得“好货” “不便宜”，故必要性成立，但没说“不便宜的是好货”，故“不便宜” “好货”，故充分性不成立，“不便宜”是“好货”的必要不充分条件；故选：B

3．A【详解】当时，得：；当时，得：；

综上，或.故选：A

4．B∵∴复数z的虚部是故选：B.

5．D【详解】由得：，由换底公式可得：，则，所以，因为，所以故选：D

6．C【详解】由正弦定理，可得，则，由，则，由，则或.故选：C.

7．D【详解】因为在上单调递减，，所以，因为，在定义域上单调递增，所以，，故.故选：D

8．A【详解】如图，设正四棱锥的底面边长 ，高为，外接球的球心为,则，∵球的体积为，所以球的半径，在中，则，在中，，解得,，所以正四棱锥的体积，故选:A

9．ABC【详解】连续掷两次骰子，基本事件有：

，，

，，

， ，

共种，其中的有：，共种，概率为，A选项正确.

是偶数的有：，，

，共种，概率为，B选项正确.

的有：，共种，概率为，C选项正确.

的有：，，，， ，共种，概率为，D选项错误.故选：ABC

10．AB【详解】由图可知：第1天、第3天、第4天空气质量为一级，A正确；

从3日到6日PM2.5日均值逐渐升高，B正确；由图可知，这10天中PM2.5日均值的中位数为，C错误；这10天中PM2.5日均值的极差是，D错误.故选：AB

11．【详解】设，圆的圆心，半径为，则，解得，所以圆的方程为，故A正确；

因为，即，

由得，所以直线过定点，故B错误；

设圆心到直线的距离为，则，当且仅当时，等号成立，

所以弦长，所以直线被圆截得的弦长的最小值为，故C正确；   直线被圆截得的弦长最大时，则直线过圆心，所以，即，故D错误.故选：AC.

12．ACD【详解】分别作，垂足为E，F，则，

由已知可得，，因为，

所以，

所以，故B错误；

因为，，所以，即，同理，

又，平面，则平面，

所以四面体ABCD的体积为，故A正确；

由题可得，，，则

，则，得，

所以异面直线与所成的角为，故C正确；

设点到平面为，则，所以，所以，

设直线AD与平面ABC所成角为，则，故D正确.故选：ACD．

13．【详解】由得，

则，得，故答案为：

14．【详解】由题意得：双曲线标准方程为，则，

由双曲线定义知：，则.故答案为：.

15．【详解】由椭圆知，椭圆的长半轴长，短半轴长，则半焦距，

由椭圆对称性不妨令焦点，因点P在椭圆C上，且，设，，则由，解得即有，所以的值为.故答案为：

16．【详解】设点，则的重心，

∵是不等边三角形，∴， 再设的外心，∵已知，∴MN∥AB，∴， ∵点N是的外心，∴，即，

化简整理得轨迹E的方程是. ∴动点C的轨迹E是指焦点在轴上的标准位置的一个椭圆（去掉其顶点）．故答案为：.

【点睛】本小题主要考查轨迹方程的求法，考查直线和曲线的位置关系，考查向量的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题．

17．【详解】（1）设直线方程为：，将代入方程，得 ，

所以直线方程为 ；

（2）设直线方程为：，将代入方程，得 ，

所以直线方程为，即直线的斜截式方程为．

18．【详解】解：因为点是椭圆上一点，所以，

又，，所以，，

设，，则，

所以函数在区间上单调递减，所以，，

所以，所以函数点P到点的距离的取值范围.

19．【详解】解：(1)第六组的频率为，

∴第七组的频率为．

(2)由直方图得，身高在第一组的频率为，

身高在第二组的频率为，身高在第三组的频率为，

身高在第四组的频率为，由于，，设这所学校的800名男生的身高中位数为m，则，

由得，

所以这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5cm，平均数为

．

(3)第六组的抽取人数为4，设所抽取的人为a，b，c，d，

第八组的抽取人数为，设所抽取的人为A，B，

则从中随机抽取两名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况，

因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．所以．

20．（1）由得，，

  由得，

令 ∴ 函数的图象的对称点为；

（2）

∴周长为.

21．（1）在线段上存在点F，使得平面平面，且F为线段中点．

证明：在长方体中，,

∵ 平面，平面,∴平面，

∵E为 的中点，F为的中点，∴ ，且，

∴四边形是平行四边形，∴ ，

∵平面，平面，∴ 平面，∵平面，

∴平面平面.

（2）在长方体中，

以D为坐标原点，所在直线分别轴，建立空间直角坐标系 ，

， ，

 故   ， ，

设平面的法向量为 ，则 ，

取 ，得 ， , 设 ，则 ，则，∴ ，

设与平面所成角为 ，则 ，

∴ ， 故与平面所成角的余弦值为.

22．（1）由椭圆定义可知的周长为4a，所以由题可知，解得，所以

所以椭圆C的方程为

（2）如图，设，，记点N关于x轴的对称点为，

易知直线l的斜率不为0，故设其方程为，代入整理可得：

，则

直线与的斜率之和为0，等价于三点共线，

等价于

即，等价于

因为

所以时，恒成立，即直线与的斜率之和为0.

所以，存在定点Q，使得直线l变化时，直线与的斜率之和为0，点Q坐标为