江苏省连云港市2022-2023学年高三上学期期中数学试题（含答案）

2022~2023学年第一学期期中调研考试

高三数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知复数z满足，则复数z的模为（    ）

A． B． C． D．

3．设x，，则“”的充要条件是（    ）

A．x，y不都为1 B．x，y都不为1 C．x，y都不为0 D．x，y中至多有一个是1

4．已知公差不为0的等差数列的第2，3，6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

5．已知，，，则a＋b与a－b的夹角为（    ）

A．60° B．120° C．45° D．135°

6．已知，且，，其中，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

7．当把一个任意正实数N表示成的时候，就可以得出正实数N的位数是n＋1，如：，则235是一个3位数．利用上述方法，判断的位数是（    ）（参考数据：，）

A．61 B．62 C．63 D．64

8．已知，，，则（    ）

A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知复数，则（    ）

A． B． C． D．

10．已知和都是锐角，向量，，，则（    ）

A．存在和，使得 B．存在和，使得

C．对于任意的和，都有 D．对于任意的和，都有

11．已知曲线在点处的切线为，则（    ）

A．当a＝0时，的极大值为

B．若，的斜率为2，则a＝1

C．若在上单调递增，则

D．若存在过点P的直线与曲线相切于点，则

12．已知函数的定义域是，函数是偶函数，是奇函数，则（    ）

A．  B．

C．4是函数的一个周期 D．函数的图象关于直线x＝9对称

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知a＞0，b＞0，且，则的最小值是______．

14．已知函数，且关于x的方程在区间上有两个不同的解，则a的取值范围是______．

15．已知数列的通项公式，前n项和是，对于，都有，则k＝______．

16．10世纪阿拉伯天文学家阿尔库希设计出一种方案，通过两个观察者异地同时观测同一颗小天体来测定小天体的高度．如图，有两个观察者在地球上A，B两地同时观测到一颗卫星S，仰角分别为∠SAM和∠SBM（MA，MB表示当地的水平线，即为地球表面的切线），设地球半径为R，弧AB的长度为，∠SAM＝30°，∠SBM＝45°，则卫星S到地面的高度为______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

在200人身上试验某种血清预防感冒的作用，把他们1年中的感冒记录与另外200名未用血清的人的感冒记录进行比较，结果如下表所示．

问：是否有90%的把握认为该种血清对预防感冒有作用？

附：，

18．（12分）

在中，AB＝4，AC＝3．

（1）若，求的面积；

（2）若A＝2B，求BC的长．

19．（12分）

已知数列和满足，为等比数列，且，．

（1）求与；

（2）设，求数列的前n项和．

20．（12分）

如图，在四棱锥P－ABCD中，平面ABCD，PB与底面ABCD所成角为45°，四边形ABCD是梯形，，，AD＝2，PA＝BC＝1．

（1）证明：平面平面PCD；

（2）若点T是CD的中点，点M是PT的中点，求点P到平面ABM的距离．

21．（12分）

已知椭圆C：经过点，．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过椭圆C右焦点的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x＝4于点D．设直线QA，QD，QB的斜率分别为，，，若，证明：为定值．

22．（12分）

已知函数，其中．

（1）若函数的最小值为，求a的值；

（2）若存在，且，使得，求a的取值范围．

高三数学参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．D   2．C   3．B   4．C   5．B   6．B   7．C   8．A

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．ABD   10．BC   11．AB   12．BC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．4   14．    15．5    16．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．解：

，所以有90%的把握认为该种血清对感冒有作用．

注：把n错看成200的，得0分．

18．解：（1）在中，设角A、B、C所对的边分别为a，b，c．

由余弦定理得，

即，得或（舍），

由，得，

所以的面积．

（2）在中，由正弦定理得，

所以．

在中，再由余弦定理得，

所以，解得．

19．解：（1）由，得，，

两式相除，得，，

因为，所以．设的公比为q，由，，得，

由题意知是正项数列，所以q＝2．故．

由，知，所以．

（2），所以，

由错位相减得：，

所以．

20．（1）证明：由平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，

得，，PB与底面ABCD所成角为∠PBA＝45°．

所以三角形PAB为等腰直角三角形，AB＝AP＝1．

又由四边形ABCD是直角梯形，，可知，三角形ABC为等腰直角三角形，

．在直角梯形ABCD中，过C作，垂足为E，可知AE＝BC＝CE＝1．

所以DE＝1，在等腰直角三角形CDE中，．

有，所以．

又因为，，面PAC，面PAC．

所以平面PAC．因为平面PCD，所以平面平面PCD．

（2）以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

则，，，，．

因为T是CD的中点，点M是PT的中点，所以，．

设平面ABM的法向量为，，，

则得，

取y＝4，则z＝－6．得平面ABM的一个法向量为．

所以点P到平面ABM的距离为．

21．解：（1）将点，点代入椭圆方程，

得，解得，所以椭圆方程为．

（2）由题意直线AB的斜率一定存在，设直线AB方程为：y＝k（x－1），D坐标为．

所以，与椭圆方程联立得．

恒成立，由韦达定理知，

．故（定值）．

22．解：（1）函数定义域为，．

若，则，函数为减函数，无最小值．

若a＞0，由得．

所以，的最小值即极小值为．

由，得．设，则，

为上的增函数，且．得a＝1．综上，a＝1．

（2）由，得，

即，将代入，

有：，得．

令，t＞1，，

转化为函数在区间上有零点．

．其中．函数的对称轴方程为t＝a．

若，则恒成立，得在区间为减函数，

又，有，函数在区间无零点．

若a＞1，则有两不等正实根和，设，有，且．

又，得．

下面证明函数在减区间上存在零点．考虑到中含参数a，

取．则，

a＞1时，，则．

令，则，令，

a＞1时，有，

可知函数在a＞1时为减函数，由，知恒成立．

为上的减函数．

所以．

又，于是，得函数在减区间上存在零点．综上，a＞1．

（注：本题标识点的选择，除外，也可取更远端，…进行论证．）